相似三角形中概念和性质的中考题

相似三角形中概念和性质的中考题

相似三角形的概念和性质【考试目标导引】★知识结构比例线段平行线分线段成比例比例的性质定理推论相似三角形概念性质基本性质合比性质等比性质★重点、热点确定线段的比、比例中项，用平行线分线段成比例定理进行有关计算和证明，用相似三角形的性质定理解证一类简单的问题.★目标要求ADEBC（图6.5-1）1.理解线段的比，成比例线段的概念，掌握比例的三个性质.2.会用平行线分线段成比例定理证明和计算，会分线段成比例.3.理解相似比的概念和相似三角形的性质.【命题趋势分析】例1.（1）（2001湖南邵阳）已知，那么_____.（2）（2002北京西城区）如图6.5-1，△ABC中，DE∥BC，如果AD=1，DB=2，那么，的值是_______.（3）（2001年北京密云县）如果两个相似的三角形对应边的比为3：4，那么，它们对应高的比是______________.（4）（2001年广东梅州）已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中其中一个数是其余两个数的比例中项，第三个数是_____（只需写一个）.【特色】以上几道题都是按目标要求设计的，着眼于对性质和定理的理解.【解答】（1）由合比性质或基本性质都可得;（2）由平行线分线段成比例定理的推论可直接得;（3）依据相似三角形的性质，对应高的比为3：4;（4）设第三个数为x由x2=4×8可知x=±4由42=8·x可知x=2由82=4·x可知x=16故第三个数可为4、-4、2、16.【拓展】求线段的比例中项只能取正值，而数的比例中项应取两个值.例2.（2001山西省）（1）阅读下列材料，补全证明过程：ADCIGEBFO(图6.5-2)已知：如图6.5-2，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G. 求证：点G是线段BC的三等分点.在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC∴OE∥DC∴∴∴（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）【特色】此题设计较新颖，立意于考查学生阅读理解、归纳小结及创新思维能力.【解答】补充证明：∵FG⊥BCDC⊥BC∴FG∥BC∴∵AB=DC∴又∵FG∥AB∴【拓展】可以通过此种方法得到将线段任意等分的一种新的方法.例3.（2001河北）在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当时，有（如图6.5-3）（2）当时，有（如图6.5-4）ABODEC(图6.5-6)FABODEC(图6.5-3)ABODEC(图6.5-4)ABODEC(图6.5-5)（3）当时，有（如图6.5-5）在图6.5-6中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n是正整数）.【特色】此题的设计意在通过特例进行归纳、猜想、证明来展示学生探究思维的能力.【解答】依据题意可猜想：当时，有成立证明：过点D作DF∥BE交AC于点F∵D是BC的中点∴F是EC的中点由时，可知∴∴∴【拓展】引平行线证明比例线段的实质是构造基本图形，本题添加辅助线的方法有多种.选点作辅助线的方法是：选已知（或求证）中比 在同一直线上的点作为引平行线的点，引平行线时，尽量使较多的已知或求证的线段成比例.【中考动向前瞻】本节的概念、性质、定理较多，且都是研究相似形的理论基础，在中考试卷中有一定的比重，常以选择题、填空题的题型出现，着重基础.平行成分线段成比例定理在综合题中体现较多，常以探究性、开放性的题型出现.【中考佳题自测】1.（2002上海）如图6.5-7,△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=.2.（2002常州）如图6.5-8,△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，AE:EB=3:2，则AF:FC=.3.（2002湖北黄冈市）如图6.5-9，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可证明成立（不要求考生证明）.ABFECD(图6.5-10)C若将上图中的垂直改为斜交，如图6.5-10，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD于点F，则还成立吗？如果成立，请给出证明；AFEB（图6.5-8）如果不成立，请说明理由.AECDB（图6.5-7）ABFECD(图6.5-9)【中考新题演练】1.若x:y=6:5，则下列等式中不正确的是（）.A.B.C.D.2.如果两地相距250km，那么在比例尺为1:10000000的地图上它们相距cm.AECDB（图6.5-11）3.如图6.5-11，△ABC中，DE∥BC交D、AC于E，下列各式不能成立的是（）A、B、C、D、4.同一时刻，某一同学的身高是1.5米，影长是1米，一旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（）.A.12米B.11米C.10米D.9米5.设实数a、b、c满足|a-2b|+,则a:b:c=.AFEBDC（图6.5-12）6.如图6.5-12，DE∥AB，EF∥BC，AF=5cm，FB=3cm，CD=2cm，求BD的长.ACEFBD（图6.5-13）7.如图6.5-13，△ABC中，AC=BC，F是AB边上一点，（m,n>0）取CF的中点D，连结AD并延长交BC于E.（1）求的值；（2）如果BE=2CE，那么CF所在直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；（3）E能否为BC中点？如果能，求出相应的 的值;如果不能，证明你的结论.8.如图6.5-14，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别在AB、CD上，且EF∥BC，EF分别交BD、AC于M、N.（1）求证ME=NF（2）当EF向上平移到图6.5-15各个位置，其它条件不变时（1）的结论是否还成立，证明你的判断.ADFC（图6.5-14）EMNBADFCE(M、N）BABCDMN、EF（图6.5-15）ADFCEMBN【参考答案】【中考佳题自测】1.∵DF∥BC∴即=AE=12;2.∵EF∥BC∴AF:FC=AE:EB=3:2;3.成立.∵AB∥EF∴∵CF∥EF∴∴∴.【中考新题演练】1.D(∵x=y代入=-5);2.设图上相距xcm则，x=2.5cm;3.D4.设旗杆高为h米，则∴h=12米，故选A;5.由已知得：a-2b=03b-c=0得：a=2bc=3b∴a:b:c=2b:b:3b=2:1:3;6.易证：EF=BD ∵EF∥BC∴∴5BD+10=8BD∴BD=;7.（1）过点C作CG∥AB交AE的延长线于G∴，∴（2）∵BE=2CE∴由（1）∴=1∴BF=AF又AC=BC∴CF⊥AB∴CF所在直线垂直平分边AB（3）不能∵∵∴∴BE>CE故E不能为BC中点;8.（1）由AD∥EF∥BC有则EM=NF（2）仍成立证明同（1）.