新人教版七年级数学上册导学案+数学上册全册教案
新人教版七年级数学上册导学案+数学上册全册教案
七年级数学第一章导学案
第 1 学时
内容：正数和负数（1）
展标导读:
1、整理前两个学段学过的整数、分数（小数）知识，掌握正数和负数概念.
2、会区分两种不同意义的量，会用符号表示正数和负数.
3、体验数学发展是生活实际的需要，激发学生学习数学的兴趣.
学习重点：两种意义相反的量
学习难点：正确会区分两种不同意义的量
教学方法：引导、探究、归纳与达标训练相结合
自学探究
1、小学里学过哪些数请写出来： 、 、 .
2、在生活中，仅有整数和分数够用了吗？有没有比 0 小的数？如果有，那叫做什么数？
3、阅读课本 P1 和 P2 三幅图（重点是三个例子，边阅读边思考）
回答上面提出的问题： .
合作探究
1、正数与负数的产生
1）、生活中具有相反意义的量
如：运进 5 吨与运出 3 吨；上升 7 米与下降 8 米；向东 50 米与向西 47 米等都是生活中遇到
的具有相反意义的量.
请你也举一个具有相反意义量的例子： .
2）负数的产生同样是生活和生产的需要
2、正数和负数的表示方法
1）一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，
如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的。正的量就用小学里学过的数表示，
有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号，如前面的 5、7、50；负的量用小学学过的数
前面放上“—”（读作负）号来表示，如上面的—3、—8、—47。
2）活动 两个同学为一组，一同学任意说意义相反的两个量，另一个同学用正负数表示.
3）阅读 P3 达标训练前的内容
3、正数、负数的概念
1）大于 0 的数叫做 ，小于 0 的数叫做 。
2）正数是大于 0 的数，负数是 的数，0 既不是正数也不是负数。
3）达标训练 P3 第一题到第四题（直接做在课本上）
达标训练
1、读出下列各数，指出其中哪些是正数，哪些是负数？
—2， 0.6， + 1
3
， 0， —3.1415， 200， —754200，
2、举出几对（至少两对）具有相反意义的量，并分别用正、负数表示
A 组 1．任意写出 5 个正数：________________；任意写出 5 个负数：_______________．
2．小明的姐姐在银行工作，她把存入 3 万元记作+3 万元，那么支取 2 万元应记作_______,-4
万元表示________________．
3．已知下列各数：
5
1 ，
4
32 ，3.14，+3065，0，-239．
则正数有_____________________；负数有____________________．
4．如果向东为正，那么 -50m 表示的意义是………………………（ ）
A．向东行进 50m C．向北行进 50m
B．向南行进 50m D．向西行进 50m
5．下列结论中正确的是 …………………………………………（ ）
A．0 既是正数，又是负数 B．O 是最小的正数
C．0 是最大的负数 D．0 既不是正数，也不是负数
6．给出下列各数：-3，0，+5，
2
13 ，+3.1，
2
1 ，2004，+2008．
其中是负数的有 ……………………………………………………（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
B 组
1．零下 15℃，表示为_________，比 O℃低 4℃的温度是_________．
2．地图上标有甲地海拔高度 30 米，乙地海拔高度为 20 米，丙地海拔高度为-5 米，其中
最高处为_______地，最低处为_______地．
3．“甲比乙大-3 岁”表示的意义是______________________．
C 组
1．写出比 O 小 4 的数，比 4 小 2 的数，比-4 小 2 的数．
2．如果海平面的高度为 0 米，一潜水艇在海水下 40 米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方 10
米处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度．
第 2 学时
内容：正数和负数（2）
展标导读:
1、会用正、负数表示具有相反意义的量.
2、通过正、负数学习，培养学生应用数学知识的意识.
3、通过探究，渗透对立统一的辨证思想
学习重点：用正、负数表示具有相反意义的量
学习难点：实际问题中的数量关系
教学方法：讲练相结合
自学探究
通过上节课的学习，我们知道在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量,为了区分
它们,我们用正数和负数来分别表示它们.
问题 1：“零”为什么即不是正数也不是负数呢?
引导学生思考讨论,借助举例说明.
参考例子:温度表示中的零上,零下和零度.
探究理解 解决问题
问题 2：(教科书第 4 页例题)
先引导学生分析，再让学生独立完成
例 (1)一个月内,小明体重增加 2kg,小华体重减少 1kg,小强体重无变化,写出他们这个月
的体重增长值;
(2)2009 年下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是:
美国减少 6.4%, 德国增长 1.3%,
法国减少 2.4%, 英国减少 3.5%,
意大利增长 0.2%, 中国增长 7.5%.
写出这些国家 2009 年商品进出口总额的增长率.
解:(1)这个月小明体重增长 2kg,小华体重增长-1kg,小强体重增长 0kg.
(2)六个国家 2009 年商品进出口总额的增长率:
美国-6.4%, 德国 1.3%,
法国-2.4%, 英国-3.5%,
意大利 0.2%, 中国 7.5%.
达标训练
从 0 表示一个也没有,是正数和负数的分界的角度引导学生理解.
在学生的讨论中简单介绍分类的数学思想先不要给出有理数的概念.
在例题中,让学生通过阅读题中的含义,找出具有相反意义的量,决定哪个用正数表示,哪个用
负数表示.
通过问题(2)提醒学生审题时要注意要求,题中求的是增长率,不是增长值.
(教科书第 8 页)用正负数表示加工允许误差.
问题:1.直径为 30.032mm 和直径为 29.97 的零件是否合格?
2.你知道还有那些事件可以用正负数表示允许误差吗?请举例.
1、本节课你有那些收获？
2、还有没解决的问题吗？
作业
教科书 5 页习题 4、5、:6、7、8 题
选做题
1、甲冷库的温度是-12°C,乙冷库的温度比甲冷酷低 5°C,则乙冷库的温度
是 .
2、一种零件的内径尺寸在图纸上是 9±0.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺寸是 9mm,加
工要求最大不超过标准尺寸多少?最小不小于标准尺寸多少?
3、吐鲁番的海拔是－155m，珠穆朗玛峰的海拔是 8848m ，它们之间相差多少米？
4、如果规定向东为正，那么从起点先走+40 米，再走－60 米到达终点，问终点在起点什么
方向多少米？应怎样表示？一共走过的路程是多少米？
5、10 筐橘子，以每筐 15 ㎏为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数。标
重的记录情况如下：+1，－0.5，－0.5，－1，+0.5，－0.5，+0.5，+0.5，+0.5，－0.5。问这
10 筐橘子各重多少千克？总重多少千克？
6.一种零件的内径尺寸在图纸上是 9±0.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺寸是 9mm,加
工要求最大不超过标准尺寸多少?最小不小于标准尺寸多少? 【解】9.05mm,8.95mm
正数和负数巩固提高达标训练
第 3 学时
1． 具有相反意思的量
某市某一天的最高温度是零上 5℃，最低温度是零下 5℃现实生活中，像这样的相反意义的
量还有很多．
例如，珠穆朗玛峰高于海平面 8848 米，吐鲁番盆地低于海平面 155 米，“高于”和“低于”
其意义是相反的．
“ 运 入 ” 和 “ 运 出 ” ， 其 意 义 是 相 反 的 ． 同 学 们 能 举 例 子 吗 ？
________________________________________
2．正数和负数
数学中采用符号来区分，规定零上 5℃记作+5℃(读作正 5℃)或 5℃，把零下 5℃记作-5℃
(读作负 5℃)．
①高于海平面 8848 米，记作+8848 米；低于海平面 155 米，记作________米。
②如果 80m 表示向东走 80m，那么－60m 表示_________。
③如果水位升高 3m 时水位变化记作＋3m，那么水位下降 3m 时水位变化记作_________m。
④月球表面的白天平均温度是零上 126℃，记作________℃,夜间平均温度是零下 150℃，记
作________℃。
问题 1 读下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数。
4 21,2.5, ,0, 3.14,120, 1.732,3 7
正数：__________________________________________________
负数：__________________________________________________
3．有理数
正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。（整
数和分数统称为有理数）
有理数的分类：
归纳：
①在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有________的意义。
②数 0 既不是_______，也不是________.
_________
0
_________
______________ _________
整数
有理数 0
____________ ________
正整数正数 ________
有理数
问题 2：有理数： 1 3 22,0, ,10.3, ,52, 8, 0.38,102, 31, 1 ,6.32 4 5
，其中：
正 数 ： … 正 分 数 ：
…
负 数 ： … 负 分 数 ：
…
负 整 数 ： … 正 整 数 ：
…
巩固 A：
1． 如果收入 100 元记作＋100 元，那么支出 180 元记作___________；如果电梯上升了两层
记作＋2，那么－3 表示电梯__________________。
2． 某校初一年级举行乒乓球比赛，一班获胜 2 局记作＋2，二班失败 3 局记作_________，
三班不胜不败记作_______.
3． 下列各数中既不是正数又不是负数的是（ ）
A．－1 B. －3 C.－0.13 D.0
4. －206 不是（ ）
A．有理数 B.负数 C.整数 D.自然数
5．既是分数，又是正数的是（ ）
A．+5 B．-5 1
4
C．0 D．8 3
10
6．下列说法正确的是（ ）
A．有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数
B．有理数不是正数就是负数
C．有理数不是整数就是分数; D．以上说法都正确
7．一潜水艇所在的高度为-100 米，如果它再下潜 20 米，则高度是_______，如果在原来的
位置上再上升 20 米，则高度是________．
巩固 B：
1．判断：①所有整数都是正数；（ ） ②所有正数都是整数：（ ）
③奇数都是正数；（ ） ④分数是有理数： （ ）
2. 把下列各数填入相应的大括号内：-13．5，2，0，0．128，-2．236，3．14，+27，- 4
5
，
-15%，-1 1
2
， 22
7
，26 1
3
．
正数集合{ …}， 负数集合{ …}，
整数集合{ …}， 分数集合{ …}，
非负整数集合{ …}．
3.北京某一天记录的温度是：早晨－1℃，中午 4℃，晚上－3℃，（0℃以上温度记为正数），
其中温度最高是______(写度数),最低是________(写度数).
4．某班在班际篮球赛中，第一场赢 4 分，第二场输 3 分，第三场赢 2 分，第四场输 2 分，
结果这个班是赢了还是输了？请用有理数表示各场的得分和最后的总分。
巩固 C：
如果用 m 表示一个有理数，那么－m 是（ ）
A．负数 B.正数 C.零 D.以上答案都有可能对
第 4 学时
内容：1.2 有理数
[展标导读]
1. 正我有理数的概念,会对有理数按照一定的标准进行分类,培养分类能力;
2. 了解分类的标准与分类结果的相关性,初步了解“集合”的含义;
3. 体验分类是数学上的常用的处理问题的方法.
[教学重点与难点]
重点:正确理解有理数的概念.
难点:正确理解分类的标准和按照定的标准进行分类.
一.知识回顾和理解
通过两节课的学习,我们已经将数的范围扩大了,那么你能写出 3 个不同类的数吗?.(3 名
学生板书)
[问题 1]:我们将这三为同学所写的数做一下分类.
(如果不全,可以补充).
[问题 2]:我们是否可以把上述数分为两类?如果可以,应分为哪两类?
二.明确概念 探究分类
正整数、0、负整数统称整数,正分数和负分数统称分数.
整数和分数统称有理数
[问题 3]:上面的分类标准是什么?我们还可以按其它标准分类吗?
每名学生都参照前一
名学生所写的,尽量写
不同类型的,最后有下
面同学补充.
在问题 2 中学生说出
按整数和分数来分,或
按正数和负数来分,可
以先不去纠正遗漏 0
的问题,在后面分类是
在解决。
负分数
负整数负有理数
零
正分数
正整数正有理数
有理数
三.练一练 熟能生巧
1.任意写出三个数,标出每个数的所属类型,同桌互相验证.
2.把下列各数填入它所属于的集合的圈内:
15,-
9
1 ,-5,
15
2 ,
8
13 ,0.1,-5.32,-80,123,2.333.
正整数集合 负整数集合
正分数集合 负分数集合
[小结]
到现在为止我们学过的数是有理数(圆周率π除),有理数可以按不同的标准进行分类,
标准不同时,分类的结果也不同.
[作业]
必做题:教科书第 8 页达标训练.P14 T1、2
作业 2.把下列给数填在相应的大括号里:
-4,0.001,0,-1.7,15,
2
3 .
正数集合｛ …｝,负数集合｛ …｝,
正整数集合｛ …｝,分数集合｛ …｝
[备选题]
1.下列各数,哪些是整数?哪些是分数?哪些是正数?哪
些是负数?
+7,-5,
2
17 ,
6
1 ,79,0,0.67,
3
21 ,+5.1
2.0 是整数吗?自然数一定是整数吗?0 一定是正整数吗?
整数一定是自然数吗?
3.图中两个圆圈分别表示正整数集合和整数集合,请写
并填入两个圆圈的重叠部分.你能说出这个重叠部分表示什
么数的集合吗?
教师可以按整数和分数的
分类标准画出结构图,,而问题
3 中的分类图可启发学生写
出.
在练习 2 中,首先要解释集合的含义.练
习 2 中可补充思考:四个集合合并在一起是
什么集合?(若降低难度可分开问)
这里可以提到无限不循环小数的问
题.并特殊指明我们以前所见到的数中,
只有π是一个特殊数,它不是有理数.但
3.14 是有理数.
作业 2 意在使学生熟悉集合的另一种表
示形式.
利用此题明确自然数的范围.0 是自然
数.这点可以在前面的教学中出现.
3 题是一个探索题,有一定难度,可以分
步完成,不如先写出正数,在写出整数,
观察都具备的是其中哪个数.
正数集合 整数集合
第 5 学时
内容：1.2 有理数
[展标导读]
1. 掌握数轴的概念,理解数轴上的点和有理数的对应关系;
2. 会正确地画出数轴,会用数轴上的点表示给定的有理数,会根据数轴上的点读出所表示的
有理数;
3. 感受在特定的条件下数与形是可以互相转化的,体验生活中的数学.
[教学重点与难点]
重点:数轴的概念和用数轴上的点表示有理数.
难点:同上.
一.创设情境 引入新知
观察屏幕上的温度计,读出温度..(3 个温度分别是零上,零,零下)
[问题 1]:在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东 3m 和
7.5m 处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西 3m 和 4.8m 处分别有一
棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.(分组讨论,交流合作,动手
操作)
二.合作交流 合作探究
通过刚才的操作,我们总结一下,用一条直线表示有理数,这条直线必
须满足什么条件?(原点,单位长度,正方向,说出含义就可以)
[小游戏]:在一条直线上的同学站起来,我们规定原点,正方向,单
位长度,按老师发的数字口令回答“到” 游戏前可先不加任何条件,游
戏中发现问题,进行弥补.
总结游戏,明确用直线表示有理数的要求, 提出数轴的概念和要求
(教科书第 11 页).
三.动手动脑 学用新知
1.你能举出生活中用直线表示数的实际例子吗?(温度计,测量尺,电视音量,量杯容量标志,
血压计等).
2.画一个数轴,观察原点左侧是什么数,原点右侧是什么数?每个数到原点的距离是多少?
四.反复演练 掌握新知
教科书 12 达标训练.画出数轴并表示下列有理数:
1.5,-2.2,-2.5,
2
9 ,
3
2 ,0.
问题 1 先给出情境,学生
观察,思考,研究,表示.
增强学生的合作意识.
满足的条件可以先不必
明确,基本能明确就可
以,在后面逐步明确
游戏的目的是使学生明白
数与点的对应关系,并知
道要想在直线上表示数必
须满足的条件是什么.
明确数轴的正确画法和要求.
练习中注意纠正学生数轴画法
的错误和点的表示错误
2.写出数轴上点 A,B,C,D,E 所表示的数:
. [小结]
1. 数轴需要满足什么样的条件;
2. 数轴的作用是什么?
[作业]
必做题:教科书第 15 页习题 5、6、7
[备选题]
1.在数轴上,表示数-3,2.6,
5
3 ,0,
3
14 ,
3
22 ,-1 的
点中,在原点左边的点有 个.
2.在数轴上点A表示-4,如果把原点O向负方向移动1.5
个单位,那么在新数轴上点 A 表示的数是( )
A.
2
15 B.-4 C.
2
12 D.
2
12
3.(1)(请先在头脑中想象点的移动,尝试解决下面问题,然后再画图解答)一个点在数轴上表
示的数是-5,这个点先向左边移动 3 个单位,然后再向右边移动 6 个单位,这时它表示的数是
多少呢?如果按上面的移动规律,最后得到的点是 2,则开始时它表示什么数?
(2)你觉得数轴上的点表示数的大小与点的位置有关吗?为什么?
第 6 学时
内容：1.2 有理数
[展标导读]
1. 借助数轴，使学生了解相反数的概念
2. 会求一个有理数的相反数
3. 激发学生学习数学的兴趣.
[教学重点与难点]
重点: 理解相反数的意义
难点: 理解相反数的意义
提问
1、 数轴的三要素是什么？
总结可以由教师提出问题,学
生总结,教师完善
2 题也可以启发学生反过来想,即点
A 向正方向移动 1.5 个单位.
3 题有一定的难度,两次变动可转化
成原点实际怎样移动了,移动了几个
单位,那么-5 实际上怎样移动了
2、 填空：
数轴上与原点的距离是 2 的点有 个，这些点表示的数是 ；与原点的距
离是 5 的点有 个，这些点表示的数是 。
相反数的概念：
只有符号不同的两个数，我们称它们互为相反数，零的相反数是零。
概念的理解：
（1） 互为相反数的两个数分别在原点的两旁，且到原点的距离相等。
（2） 一般地，数 a 的相反数是 a ， a 不一定是负数。
（3） 在一个数的前面添上“-”号，就表示这个数的相反数，如：-3 是 3 的相反数，-a 是
a 的相反数，因此，当 a 是负数时，-a 是一个正数
-（-3）是(-3)的相反数，所以-（-3）=3，于是
（4） 互为相反数的两个数之和是 0
即如果 x 与 y 互为相反数，那么 x+y=0;反之，若 x+y=0, 则 x 与 y 互为相反数
（5） 相反数是指两个数之间的一种特殊的关系，而不是指一个种类。如：“-3 是一个相反
数”这句话是不对的。
问题 1 求下列各数的相反数：
（1）-5 （2）
2
1 （3）0 （4）
3
a （5）-2b (6) a-b (7) a+2
问题 2 判断：
（1）-2 是相反数
（2）-3 和+3 都是相反数
（3）-3 是 3 的相反数
（4）-3 与+3 互为相反数
（5）+3 是-3 的相反数
（6）一个数的相反数不可能是它本身
问题 3 化简下列各数中的符号：
（1） )3
12( （2）-（+5）
（3） )7( （4） )3(
问题 4 填空：
（1）a-4 的相反数是 ，3-x 的相反数是 。
（2） x3
2 是 的相反数。
（3）如果-a=-9,那么-a 的相反数是 。
问题 5 填空：
（1）若-（a-5）是负数，则 a-5 0.
(2) 若 )( yx 是负数，则 x+y 0.
问题 6 已知 a、b 在数轴上的位置如图所示。
（1） 在数轴上作出它们的相反数；
（2） 用“<”按从小到大的顺序将这四个数连接起来。
问题 7 如果 a-5 与 a 互为相反数，求 a.
达标训练：教材 15 页 T3、4
第 7 学时
内容：1.2.有理数
展标导读
1， 掌握相反数的概念，进一步理解数轴上的点与数的对应关系；
2， 通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征，培养归纳能力；
3.体验数形结合的思想。
教学难点
归纳相反数在数轴上表示的点的特征
知识重点
相反数的概念
自学探究（师生活动）
设置情境,引入课题
问题 1：请将下列 4 个数分成两类，并说出为什么要这样分类
3， －2，－5，＋2
允许学生有不同的分法，只要能说出道理，都要难予鼓励，但教师要做适当的引导，逐渐得
出 5 和－5，＋2 和－2 分别归类是具有较特
征的分法。
（引导学生观察与原点的距离）
思考结论：教科书第 13 页的思考
再换 2 个类似的数试一试。
归纳结论：教科书第 13 页的归纳
深化主题提炼定义
给出相反数的定义
问题 2：你怎样理解相反数定义中的“只有符号不同”和“互为”一词的含义？零的相反数
是什么？为什么？
学生思考讨论交流，教师归纳总结。
规律：一般地，数 a 的相反数可以表示为－a
思考：数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系？
练一练：教科书第 14 页第一个达标训练
小节：相反数的概念及
注意事项
作业：18 页第 3 题
以开放的形式创设情境，以学生进行
讨论，并培养分类的能力,培养学生的
观察与归纳能力，渗透数形思想
体验对称的图形的特点，为相反数在
数轴上的特征做准备。
深化相反数的概念；“零的相反数是
零”是相反数定义的一部分。
强化互为相反数的数在数轴上表示的
点的几何意义
给出规律解决问题
问题 3：－（＋5）和－（－5）分别表示什么意思？你能化简它们吗？
学生交流。
分别表示＋5 和－5 的相反数是－5 和＋5
练一练：教科书第 15 页 T8
1， 课堂小结
相反数的定义
互为相反数的数在数轴上表示的点的特征
怎样求一个数的相反数？怎样表示一个数的相反数？
本课作业
1， 必做题 教科书第 15 页习题 9、10 题
选做题 教师自行安排
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
利用相反数的概念得出求一个数
的相反数的方法
反思：
1、相反数的概念使有理数的各个运算法则容易表述，也揭示了两个特殊数的特征．这
两个特殊数在数量上具有相同的绝对值，它们的和为零，在数轴上表示时，离开原点的
距离相等等性质均有广泛的应用．所以本教学设计围绕数量和几何意义展开，渗透数形
结合的思想．
2、教学引人以开放式的问题人手，培养学生的分类和发散思维的能力；把数在数轴上
表示出来并观察它们的特征，在复习数轴知识的同时，渗透了数形结合的数学方法，数
与形的相互转化也能加深对相反数概念的理解；问题 2 能帮助学生准确把握相反数的概
念；问题 3 实际上给出了求一个数的相反数的方法．
3、本教学设计体现了新课标的教学理念，学生在教师的引导下进行自主学习，自主探
究，观察归纳，重视学生的思维过程，并给学生留有发挥的余地
2.4 绝对值（1）
展标导读
1.借助数轴,理解绝对值的概念,能求一个有理数的绝对值
2.会利用绝对值比较两个有理数的大小
3.经历将实际问题数学化的过程,感受数学与生活的关系，贯彻数形结合的思想
学习难点
绝对值意义的理解
自学探究
【情景创设】
小明的家在学校西边 3 ㎞处，小丽的家在学校东边 2km 处。他们上学所花的时间与各家到
学校的距离有什么关系?
数轴上表示一个数的点与原点的距离,叫做这个数的绝对值
绝对值的表示方法如下：-2 的绝对值是 2，记作| -2|=2；3 的绝对值是 3 ，记作|3|=3
口答：如图，你能说出数轴上 A、B、C、D、E、F 各点所表示的数的绝对值
0 1 2 43-3 65-1-2-4-5-6
A EDCB F
表示 0 的点（原点）与原点的距离是 0，所以 0 的绝对值是 0
总结：从上面的问题中你能找到求一个数的绝对值的方法吗？
【例题精讲】问题 1、求 4、-3.5 的绝对值。
活动一：以某一小组为数轴，一位同学为原点，规定正方向后，请大家思考数轴上的各位同
学所代表的数是多少？这些数到原点的距离是多少？绝对值是几？
活动二：请一位同学随便报一个数，然后点名叫另一位同学说出它的绝对值。
思考：正数公司和负数公司招聘职员，要求是经过绝对值符号“︱︱”这扇大门后，结果为
正就是正数公司职员，结果为负就是负数公司职员。
（1）负数公司能招到职员吗？
（2）0 能找到工作吗？
总结：
问题 2、比较-3 与-6 的绝对值的大小
练一练：求-3、-0.4、-2 的绝对值，并用“〈”号把这些绝对值连接起来
计算：①
2
1
3
2 ② 23
144.3 ③ 4
1
4
3 ④
2
3
5
2
【拓展提高】
（1）求绝对值不大于 2 的整数＿＿＿＿＿＿
（2）绝对值等于本身的数是＿＿＿，绝对值大于本身的数是＿＿＿＿＿．
（3）绝对值不大于２.５的非负整数是＿＿＿＿
【知识巩固】
1.判断题
(1)任何一个有理数的绝对值都是正数. （ ）
(2)如果一个数的绝对值是 5，则这个数是 5 ( )
(3)绝对值小于 3 的整数有 2，1，0. ( )
2.填空题
(1) +6 的符号是_______,绝对值是_______,
6
5 的符号是_______,绝对值是_______
(2) 在数轴上离原点距离是 3 的数是________________
(3) 绝对值等于本身的数是___________
(4) 绝对值小于 2 的整数是________________________
(5) 用”>”、”<”、”=”连接下列两数:
∣
11
7 ∣___∣
11
7 ∣ ∣-3.5∣___-3.5
∣0∣____∣-0.58∣ ∣-5.9∣___∣-6.2∣
(6) 数轴上与表示 1 的点的距离是 2 的点所表示的数有___________________.
(7) 计算|4|+|0|－|－3|=______________.
3.选择题
(1)下列说法中，错误的是( )
A +5 的绝对值等于 5 B 绝对值等于 5 的数是 5
C -5 的绝对值是 5 D +5、-5 的绝对值相等
(2)绝对值最小的有理数是 ( )
A.1 B.0 C.-1 D.不存在
(3)绝对值最小的整数是( )
A.-1 B.1 C.0 D.不存在
(4)绝对值小于 3 的负数的个数有( )
A.2 B.3 C.4 D.无数
(5)绝对值等于本身的数有（ ）
A.1 个 B.2 个 C. 4 个 D.无数个
4.解答题. (1)求下列数的绝对值,并用“<”号把这些绝对值连接起来.
-1.5, -3.5, 2, 1.5, -2.75
（2）计算：
5.22.32 5.02
3
3
2
小结： 作业：习题 1.4 第 6、7 题
2.3 绝对值（2）
第 8 学时
展标导读
1、理解有理数的绝对值与该数的关系，把握绝对值的代数意义
2、会利用绝对值比较 2 个负数的大小，理解其中的转化思想[比较负数→比较正数
学习难点
绝对值与相反数意义的理解，数形结合的思想
自学探究
【情景创设】
1、说出绝对值的几何含义
2、互为相反数的 2 个数在数轴上有什么位置关系
3、书本第 23 页，根据绝对值与相反数的意义填空。（做在书上）
二、思考问题:一个数的绝对值与这个数本身、或与它的相反数之间有什么关系?
用符号表示为 |a|=
三．问题:求下列各数的绝对值
+6, -3, -2.7, 0, -2/3, 4.3, -8
四．议一议：
互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？
五．随堂达标训练
①一个数的绝对值是它本身，这个数是( )
A、正数 B、0 C、非负数 D、非正数
②一个数的绝对值是它的相反数，这个数是 ( )
A、负数 B、0 C、非负数 D、非正数
③什么数的绝对值比它本身大？什么数的绝对值比它本身小？
④ 绝对值是 4 的数有几个？各是什么？
绝对值是 0 的数有几个？各是什么？
有没有绝对值是-1 的数？为什么？
六．讨论 ：两个数比较大小，绝对值大的那个数一定大吗？
七．做一做
分别找出到原点的距离为 3 和 5 的数，并比较它们的大小 。
【知识巩固】
一、 选择题
1、 如果|a|=-a，那么 （ ）
A a 〉0 B a ＜0 C a 0 D 0a
2、下列各数中，一定互为相反数的是 （ ）
A -（-5）和-|-5| B |-5|和|+5| C -（-5）和|-5| D |a|和|-a|
3、若一个数大于它的相反数，则这个数是 （ ）
A 正数 B 负数 C 非负数 D 非正数
4、下列判断中：（1）负数没有绝对值；（2）绝对值最小的有理数是 0；（3）任何数的绝对
值都是非负数；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，其中正确的个数有
（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个
二、填空题
1.(1)-3_______-0.5； (2)+(-0.5)_______+|-0.5| (3)-8_______-12
(4)-5/6______-2/3 (5) -|-2.7|______-(-3.32)
2、有理数 a、b 在数轴上如图，用 > 、= 或 < 填空
（1）a____b , (2) |a|___|b| ,
(3)–a___-b, (4)|a|___a ,
(5) |b|____b
3、如果|x|=|-2.5|,则 x=______
4、绝对值小于 3 的整数有____个，其中最小的一个是____
5、|-3|的相反数是 ;若|x|=8,则 x= .
6、 的相反数等于它本身， 的绝对值等于它本身.
7、绝对值小于 3 的非负整数是 ．
8、-3.5 的绝对值的相反数是 ．-0.5 的相反数的绝对值是 ．
9、|-3|-|-4|= - = .
10、在- 3
7
，-0.42，-0.43，-19
4
中，最大的一个数是 ．
三、解答题
11、比较- 3
2
与- 2
3
的大小，并说明理由．
12、用“〈”将-4，12， 32 4
，-|-3|连接起来，并说明理由．
13、已知 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，试求|a|+|c-3|+|b|的值．
课后反思：
2.4 有理数的加法与减法（一）
第 9 学时
展标导读：1、探索有理数加法法则，理解有理数的加法法则；
2、能运用有理数加法法则，正确进行有理数加法运算；
3、经历探索有理数加法法则的过程，体验数学来源于实践并为实践服务的思
想，同时培养学生探究性学习的能力.
学习难点：师生共同合作探索有理数加法法则的过程及和的符号的确定.
课堂活动：
一、有理数加法的探索
1.汽车在公路上行驶，规定向东为正，向西为负，据下列情况，分别列算式，并回答：汽车
两次运动后方向怎样？离出发点多远？
（1）向东行驶 5 千米后，又向东行驶 2 千米，
（2）向西行驶 5 千米后，又向西行驶 2 千米，
（3）向东行驶 5 千米后，又向西行驶 2 千米，
（4）向西行驶 5 千米后，又向东行驶 2 千米，
（5）向东行驶 5 千米后，又向西行驶 5 千米，
（6）向西行驶 5 千米后，静止不动，
2. 足球队甲、乙两队比赛，主场甲队 4：1 胜乙队，赢了 3 球，客场甲队 1：3 负乙队，
输了 2 球，甲队两场比赛累计净胜球 1 个，你能把这个结果用算式表示出来吗？
议一议：比赛中胜负难料，两场比赛的结果还可能哪些情况呢？动动手填表：
你还能举 出一些应用有
理数加法的实 际例子吗？请
同学们积极思考.
二、有理数加法的归纳
探索：两个有理数相加，和的符号及绝对值怎样确定？你能找到有理数相加的一般方法吗？
说一说：两个有理数相加有多少种不同的情形？
议一议：在各种情形下，如何进行有理数的加法运算？
归纳：有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
②异号两数相加，绝对值相等时，和为０；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符
号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
③一个数与 0 相加，仍得这个数．
三、实践应用
问题 1.计算
（1）(＋8)＋(＋5) (2)(－8)＋(－5) (3)(＋8)＋(－5)
(4)(－8)＋(＋5) (5)(－8)＋(＋8) (6)(＋8)＋0；
问题 2.某公司三年的盈利情况如下表所示，规定盈利为“+”（单位：万元）
第一年 第二年 第三年
-24 +15.6 +42
（1） 该公司前两年盈利了多少万元？（2）该公司三年共盈利多少万元？
问题 3.判断（1）两个有理数相加，和一定比加数大. （ ）
（2）绝对值相等的两个数的和为 0.（ ）
（3）若两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数.( )
四、课堂反馈：
1.一个正数与一个负数的和是（ ）
A、正数 B、负数 C、零 D、以上三种情况都有可能
2.两个有理数的和（ ）
A、一定大于其中的一个加数 B、一定小于其中的一个加数
C、大小由两个加数符号决定 D、大小由两个加数的符号及绝对值而决定
赢球数 净胜球 算式
主场 客场
3 ‐2
‐3 2
3 2
‐3 ‐2
3 0
0 ‐3
3.计算 （1）（+10）+（-4） （2）（-15）+（-32） （3）（-9）+ 0
（4）43+（-34） （5）（-10.5）+（+1.3） （6）（-
2
1 ）+
3
1
知识巩固
一、选择题
1．若两数的和为负数，则这两个数一定（ ）
A．两数同负 B．两数一正一负 C．两数中一个为 0 D．以上情况都有可
能
2.两个有理数相加，若它们的和小于每一个加数，则这两个数（ ）
A.都是正数 B.都是负数 C.互为相反数 D.符号不同
3.如果两个有理数的和是正数，那么这两个数（ ）
A.都是正数 B.都是负数 C.都是非负数 D.至少有一个正数
4.使等式 xx 66 成立的有理数 x 是 ( )
A.任意一个整数 B.任意一个非负数 C.任意一个非正数 D.任意一个有理数
5.对于任意的两个有理数,下列结论中成立的是 （ ）
A.若 ,0 ba 则 ba B.若 ,0 ba 则 0,0 ba
C.若 ,0 ba 则 0 ba D.若 ,0 ba 则 0a
6.下列说法正确的是 ( )
A.两数之和大于每一个加数 B.两数之和一定大于两数绝对值的和
C.两数之和一定小于两数绝对值的和 D.两数之和一定不大于两数绝对值的和
二、判断
1.若某数比-5 大 3，则这个数的绝对值为 3.（ ）
2.若 a>0,b<0,则 a+b>0.（ ）
3.若 a+b<0,则 a，b 两数可能有一个正数.（ ）
4.若 x+y=0,则︱x︱=︱y︱.（ ）
5.有理数中所有的奇数之和大于 0.（ ）
三、填空
1．（+5）+（+7）=_______； （-3）+（-8）=________；
（+3）+（-8）=________； （-3）+（-15）=________；
0+（-5）=________； （-7）+（+7）=________．
2．一个数为-5，另一个数比它的相反数大 4，这两数的和为________．
3．（-5）+______=-8； ______+（+4）=-9．
_______＋(＋2)＝＋11； ______＋(＋2)＝－11；
5. 如果 ,5,2 ba 则 ba , ba
四、计算
（1）（+21）+（-31） （2）（-3.125）+（+3 1
8
） （3）（- 1
3
）+（+ 1
2
）
（4）（-3 1
3
）+0.3 （5）（-22 9
14
）+0 （6）│-7│+│-9 7
15
│
五、土星表面夜间的平均气温为－150℃，白天的平均气温比夜间高 27℃，那么白天的平均
气温是多少？
六、一位同学在一条由东向西的跑道上，先向东走了 20 米，又向西走了 30 米，能否确定他
现在位于原来的哪个方向，与原来位置相距多少米？
七、潜水员原来在水下 15 米处，后来上浮了 8 米，又下潜了 20 米，这时他在什么位置？要
求用加法解答。
八、 已知 .5,2 ba
（1）求 ba （2）若又有 ba ,求 ba .
2.4 有理数的加法与减法（二）
第 10 学时
展标导读：1.进一步掌握有理数加法运算法则，理解加法运算律在有理数范围内推广的合理
性；
2.能运用加法运算律简化加法运算；
3.经历有理数加法运算律的探索，体会观察、实践、归纳等活动在数学中的作
用.
学习难点：运用有理数加法法则简化运算.
课堂活动
一、有理数加法运算律的探索
1.试一试：
（1）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○内，并比较两个运
算的结果：
□+○ 和 ○+□
（2）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□、○和◇内，并比较两
个运算的结果：
（□+○）+◇ 和 □+（○+◇）
2.你能发现什么？请说说自己的猜想.
3.概括：通过实例说明加法的交换律和结合律对于有理数同样适用.
加法的交换律：文字概括： 字母表示
加法的结合律：文字概括： 字母表示
二、有理数加法运算律的应用
问题 1.计算
（1） (-23)+(+58)+(-17) （2）（-2.8)+(-3.6)+(-1.5)+3.6
（3） )7
5()6
5()7
2(6
1 （4）（+4.56）+（-3.45）+（+4.44）+（+2.45）
问题 2：计算 （1） (-11)+8+(-14) （2）
3
2)4
1()3
2()4
3(
（3） 0.35+(-0.6)+0.25+(-5.4) （4） )6
1(3
1)2
1()2(
三、拓展延伸
问题 3.10 筐苹果，以每筐 30 千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，
记录如下：2，-4，2.5，3，-0.5，1.5，3，-1，0，-2.5.
问（1）10 筐苹果共超过（不足）多少千克？
（2）10 筐苹果共重多少千克？
课堂反馈：1.从某点 O 出发,在一直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行
的路程记为负数,爬过的各段路程依次为(单位:厘米):+5, -3,+10, -8, -6, +12, -10. 试
问:小虫最后能否回到出发点 O?
2.10 名学生的某一次数学考试成绩如下（单位：分）87，91，94，88，93，91，89，87，
92，86，你能迅速算出总成绩之和吗？
知识巩固
一、填空
1. 存折中有存款 240 元,取出 125 元,又存入 100 元,存折中还有 元.
2.绝对值小于 5 的所有负整数的和为
3.已知 a 是最小的正整数,b 是 a 的相反数, c 的绝对值为 3,则 a +b +c =
4.某天股票 A 的开盘价是 18 元，上午 11：30 跌 1.5 元，下午收盘时又涨 0.3 元，则股票
A 这天的收盘价是 元.
5.如果 a<0,则︱a︱+a=
二、计算
（1） )4(1)3()1(3 （2）（-9）+4+（-5）+8；
（3）（-36.35）+（-7.25）+26.35+（+7 1
4
） （4） )2(9
4
6
519
5
（5） )12
7(2
5)12
5()2
3( （6）（- 1
3
）+（+ 2
5
）+（+ 3
5
）+（-1 2
3
）
三、解答题
1. 一天早晨的气温是-7ºC,中午上升了 11ºC,半夜又降了 9ºC,则半夜的气温是多少?
2.仓库内原存某种原料 4500 千克，一周内存入和领出情况如下（存入为正，单位：千克）：
1500，-300，-670，400，-1700，-200，-250.问：第 7 天末仓库内还存有这种原料多少
千克？
3. 某种袋装奶粉标明净含量为 400g，检查其中 8 袋，记录如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
差值/g -4.5 +5 0 +5 0 0 +2 -5
请问这 8 袋被检奶粉的总净含量是多少？
4.一只电子跳骚从数轴上的原点出发,第一次向右跳 1 个单位,第二次向左跳 2 个单位,第三
次向右跳 3 个单位,第四次向左跳 4 个单位,…,按这样的规律跳 100 次,跳骚到原点的距离
是多少？
5. 某出租车沿公路左右行驶，向左为正，向右为负，某天从 A 地出发后到收工回家所走的
路线如下：（单位：千米） 8, 9, 4, 7, 2, 10, 18, 3, 7, 5
⑴ 问收工时离出发点 A 多少千米？
⑵ 若该出租车每千米耗油 0.3 升，问从 A 地出发到收工共耗油多少升？
6.已知 cba ,7,2 的相反数为-5,试求 a + )( b +(- c )
7．计算：|1- 1
2
|+| 1
2
- 1
3
|+| 1
3
- 1
4
|+…+| 1
9
- 1
10
|
课后反思：
学习小结：
课后作业：
2.4 有理数的加法与减法（3）
第 11 学时
展标导读:
1.理解有理数减法法则, 能熟练进行减法运算.
2.会将减法转化为加法,进行加减混合运算,体会化归思想.
学习难点
有理数的减法法则的理解，将有理数减法运算转化为加法运算．
自主学习：
一、情境引入：
1．昨天，国际频道的天气预报报道，南半球某一城市的最高气温是 5℃，最低气温是-3℃，
你能求出这天的日温差吗？（所谓日温差就是这一天的最高气温与最低气温的差）
2．珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的海拔高度分别是 8848 米和-155 米，问珠穆朗玛峰比吐鲁番
盆地高多少？
探索新知：
（一） 有理数的减法法则的探索
1．我们不妨看一个简单的问题： （-8）-（-3）=？
也就是求一个数“？”，使 （？）+（-3）=-8
根据有理数加法运算，有 （-5）+（-3）= -8
所以 （-8）-（-3）= -5 ①
2．这样做减法太繁了，让我们再想一想有其他方法吗？
试一试
做一个填空：（-8）+（ ）= -5
容易得到 （-8）+（+3 ）= -5 ②
思考： 比较 ①、②两式，我们有什么发现吗？
3.验证：
（1）如果某天 A 地气温是 3℃，B 地气温是－5℃，A 地比 B 地气温高多少？
3－（－5）=3+ ；
（2）如果某天 A 地气温是－3℃，B 地气温是－5℃，A 地比 B 地气温高多少？
（－3）－（－5）=（－3）+ ；
（2）如果某天 A 地气温是－3℃，B 地气温是 5℃，A 地比 B 地气温高多少？
（－3）－5=（－3）+ ；
（二）有理数的减法法则归纳
1．说一说：两个有理数减法有多少种不同的情形？
2．议一议：在各种情形下，如何进行有理数的减法计算？
3．试一试：你能归纳出有理数的减法法则吗？
由此可推出如下有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
字母表示： )( baba
由此可见，有理数的减法运算可以转化为加法运算。
【思考】：两个有理数相减，差一定比被减数小吗？
说明：（1）被减数可以小于减数。如： 1-5 ；
（2）差可以大于被减数，如：（+3）-（-2） ；
（3）有理数相减，差仍为有理数；
（4）大数减去小数，差为正数；小数减大数，差为负数；
（三 ）问题：
问题 1. 计算：
①15－（－7） ②（－8.5）－（－1.5） ③ 0－（－22）
④（+2）－(+8) ⑤（－4）－16 ⑥
4
1)2
1(
问题 2．（1）－13.75 比
4
35 少多少？ （2）从－1 中减去－
12
5 与－
8
7 的和，差是多少？
（四）课堂反馈：
1.课本 P 32 1、2、3、4
2. 求出数轴上两点之间的距离：
（1）表示数 10 的点与表示数 4 的点；
（2）表示数 2 的点与表示数－4 的点；
（3）表示数－1 的点与表示数－6 的点。
归纳总结：
1．有理数减法法则
2.有理数减法运算实质是一个转化过程
【知识巩固】
1．下列说法中正确的是( )
A 减去一个数，等于加上这个数. B 零减去一个数，仍得这个数.
C 两个相反数相减是零. D 在有理数减法中，被减数不一定比减数或差
大.
2．下列说法中正确的是（ ）
A 两数之差一定小于被减数.
B 减去一个负数，差一定大于被减数.
C 减去一个正数，差不一定小于被减数.
D 零减去任何数，差都是负数.
3．若两个数的差不为 0 的是正数，则一定是（ ）
A 被减数与减数均为正数，且被减数大于减数.
B 被减数与减数均为负数，且减数的绝对值大.
C 被减数为正数，减数为负数.
4．下列计算中正确的是（ ）
A（—3）－（—3）= —6 B 0－（—5）=5
C（—10）－（＋7）= —3 D | 6－4 |= —（6－4）
5．（1）（—2）＋________=5； （—5）－________=2.
（2）0－4－（—5）－（—6）=___________.
（3）月球表面的温度中午是 1010C，半夜是-153oC，则中午的温度比半夜高____.
（4）已知一个数加—3.6 和为—0.36，则这个数为_____________.
（5）已知 b < 0，则 a，a－b，a＋b 从大到小排列________________.
（6）0 减去 a 的相反数的差为_______________.
（7）已知| a |=3，| b |=4，且 a
0, 则 a， a+b, a-b, b 中最大的是（ ）
A. a B. a+b C. a-b D. b
9.请你编写符合算式（-20）-8 的实际生活问题。
2.4 有理数的加法与减法（4）
第 12 学时
展标导读： 1、能把有理数的加、减法混合运算的算式写成几个有理数的和式，并能正确
地进行有理数加减混合运算。
2、能体会数学中的转化思想。
学习难点 ：有理数加减法的混合运算及其应用。
自学探究
一、情境引入
1．有理数的加法法则，有理数的减法法则。
2．一架飞机做特技表演，它起飞后的高度变化情况为：上升 4.5 千米，下降 3.2 千米，上
升 1.1 千米，下降 1.4 千米，求此时飞机比起飞点高了多少千米？
3．（-8）-（-10）+（-6）-（+4），
这是有理数的加减混合运算题，你会做吗？请同学们思考达标训练。
根据有理数减法法则，有理数的加减混合运算可以统一为
二、探索新知
1．加法、减法统一成加法
由于减法可以改写成加法进行运算，因此所有加法、减法的运算在有理数范围内都可以统一
成加法运算。如：
（-12）+（-5）-（-8）-（+9）可以改写成 （-12）+（-5）+（+8）+（-9）
做一做：（1） （-9）-（+5）-（-15）-（+9）
（2） 2+5-8
（3） 14-（-12）+（-25）-17
2．有理数加法运算中，加号可以省略
如： 12+（-8）=12-8； （-12）+（-8）=（-12）-（+8）=（-12）-8
（-9）+（-5）+（+15）+（-20）= -9-5+15-20
练一练：将（-15）-（+63）-（-35）-（+24）+（-12）先统一成加法，再省略加号。
3．加、减混合运算中“+”“—”号的理解
（1）可以看作是运算符号（第一个数除外）
如：-5-3+8-7 可读作负 5 减去 3 加上 8 减去 7
（2）可以看作是一个数的本身的符号
如：-5-3+8-7 可以看作是（-5）+（-3）+（+8）+（-7），可读作负 5、负 3、正 8、负 7 的和
4．省略加号的加法算式的运算
练一练： （1）-3-5+4
（2）-26+43-24+13-46
三、 问题
问题 1．计算
（1）（-4）+9-（-7）-13
（2）11-39.5+10-2.5-4+19
（3）
5
4)1.3()5
3(4.2
达标训练：课本 33P 练一练； 34P 4、5
问题 2．寻道员沿东西方向的铁路进行巡视维护。他从住地出发，先向东行走了 7km，休息
之后继续向东行走了 3km；然后折返向西行走了 11.5km，此时他在住地的什么方向？与住
地的距离是多少？
课堂反馈：在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从 A 处
出发，晚上到达 B 处，记向东方向为正方向，当天航行路程记录如下：（单位：千米） 14，
-9，+8，-7,13，-6，+10，-5
（1） B 在 A 何处？
（2） 若冲锋舟每千米耗油 0.5 升，油箱容量为 29 升，球途中还需补充多少升油？
四、归纳总结
1．有理数加减法统一成加法运算。
2．解题时要注意解题技巧的应用。
【知识巩固】
1.判断题
(1)运用加法交换律，得-7+3=-3+7. ( )
(2)-5-4=-9.( ) -5-4=-1.( )
(3)两个数相加，和一定大于任一个加数． （ ）
(4)两数差一定小于被减数． （ ）
(5)零减去一个数，仍得这个数． （ ）
2.选择题
(1)把（+5）-（+3）-（-1）+（-5）写成省略括号的和的形式是 ( )
A.-5-3+1-5 B.5-3-1-5
C.5+3+1-5 D.5-3+1-5
（2）算式 8-7+3-6 正确的读法是 ( )
A.8、7、3、6 的和 B.正 8、负 7、正 3、负 6 的和
C.8 减 7 加正 3、减负 6 D.8 减 7 加 3 减 6 的和
（3）两个数相加，其和小于每个加数，那么这两个数( )
A.同为负数 B.异号 C.同为正数 D.零或负数
（4）甲数减去乙数的差与甲数比较，必为( )
A.差一定小于甲数 B.差不能大于甲数
C.差一定大于甲数 D.差的大小取决于乙是什么样的数
3.把下列各式写成省略括号的和的形式
(1)（-28）-（+12）-（-3）-（+6）
（2）（-25）+（-7）-（-15）-（-6）+（-11）-（-2）
4.计算下列各题
(1)（+17）-（-32）-（+23） （2）（+6）-（+12）+（+8.3）-（+7.4）
（3）1.2-2.5-3.6+4.5 （4）－7+6+9－8－5；
（5）73－（8－9+2－5）
（6）－16+25+16－15+4－10 (7)－5.4+0.2－0.6+0.8
5．有十箱梨，每箱质量如下：（单位:千克）51,53,46,49,52,45,47,50,53,48。你能较快地算出
它们的总质量吗？列式计算。
6 若 5a ， 2b ， 6c 且 ,),( cacababa 求 a-b+c 的值。
1-4 有理数乘法与除法(1)
第 13 学时
展标导读：1．了解有理数乘法的实际意义，理解有理数的乘法法则；
2. 能熟练地进行有理数的乘法运算.
学习难点：积的符号的确定
自学探究：
一、情境引入：
什么叫乘法运算？
求几个相同加数的和的运算。如 2+2+2+2+2=2×5；
（-2）+（-2）+（-2）+（-2）+（-2）=（-2）×5
像（-2）×5 这样带有负数的式子怎么运算？
二、探究学习：
1、在水文观测中，常遇到水位上升与下降的问题，请根据日常生活经验，回答下列问题：
（1）如果水位每天上升 4cm，那么 3 天后的水位比今天高还是低？高（或低）多少？
（2）如果水位每天上升 4cm，那么 3 天前的水位比今天高还是低？高（或低）多少？
（3）如果水位每天下降 4cm，那么 3 天后的水位比今天高还是低？高（或低）多少？
（4）如果水位每天下降 4cm，那么 3 天前的水位比今天高还是低？高（或低）多少？
我们规定水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负；你能用正数或负
数表示上述问题吗？你算的结果与经验一致吗？
2、 填写书 37 页表格
3、两个有理数相乘，积的符号怎样确定？积的绝对值怎样确定？小组讨论，总结、归纳得
出有理数乘法法则。
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数与 0 相乘都得 0。
问题 1、计算 （1）（- 4）×5； （2）（- 5） ×（-7）
解：（1） （- 4）×5； （2）（- 5） ×（-7）
= - （4 ×5） （异号得负，绝对值相乘） = + （5 ×7） （同号得正，绝对值相乘）
= - 20 = 35
注：计算时，先定符号，再把绝对值相乘，切勿与加法混淆。
练一练：书 38 页
4、我们已经学会了两个有理数相乘，那多个有理数相乘又如何运算呢？
（－2）×3×4×5×6=－720
（－2）×（－3）×4×5×6=720
（－2）×（－3）×（－4）×5×6=－720
（－2）×（－3）×（－4）×（－5）×6=720
（－2）×（－3）×（－4）×（－5）×（－6）=－720
积的符号怎样确定？积的绝对值怎样确定？你发现规律了吗？
小组讨论，总结、归纳得：
多个有理数乘法法则：几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数来确定。当负因
数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为 0 时，
积就为 0。
问题 2、计算：
（1）－4×12×(－0.5) （2）－3
7
× －4
5
× － 7
24
练一练：
（1）－1
5
×2.5× － 7
16
×(－8) （2）－3
5
× －5
6
×(－6)
【知识巩固】
1．填空
_______×（-2）=-6 ； （-3）×______=9 ；______×(-5)=0
2.选择：
1. 一个有理数与它的相反数的积 （ ）
A. 是正数 B. 是负数 C. 一定不大于 0 D. 一定不小于 0
2. 下列说法中正确的是 （ ）
A.同号两数相乘,符号不变
B.异号两数相乘,取绝对值较大的因数的符号
C.两数相乘,积为正数,那么这两个数都为正数
D.两数相乘,积为负数,那么这两个数异号
3. 两个有理数，它们的和为正数，积也为正数，那么这两个有理数 （ ）
A. 都是正数 B. 都是负数 C. 一正一负 D. 符号不能确定
4. 如果两个有理数的积小于零，和大于零，那么这两个有理数 （ ）
A.符号相反 B.符号相反且绝对值相等
C.符号相反且负数的绝对值大 D.符号相反且正数的绝对值大
5.若 ab=0，则( )
A. a=0 B. b=0 C. a=0 或 b=0 D. a=0 且 b=0
6. 两个有理数 a,b 满足下列条件,能确定 a,b 的正负吗( )
A. a＋b＞0，ab＜0 B. a＋b＞0，ab＞0
C. a＋b＜0，ab＜0 D. a＋b＜0，ab＞0
3．判断
① 同号两数相乘，取原来的符号，并把绝对值相乘。 （ ）
② 两数相乘积为正，则这两个因数都为正。 （ ）
③ 两数相乘积为负，则这两个因数都为负。 （ ）
④ 一个数乘（-1），便得这个数的相反数。 （ ）
4、计算:
（1） (－4)×(－7) （2）6×(－8) （3）－ 5
24
× －13
5
（4）(－25)×16 （5） 3×(－5)×(－7)×4 （6） 15×(－17)×(－2009)×0
（7） －8×[― ―1
4
] （8）5×(－1)―(―4)× －1
4
5、规定一种新的运算：a△b＝a×b－a－b＋1.如，3△4＝3×4－3－4＋1
（1）计算－5△6＝ ；
（2）比较大小：(－3)△4 4△(－3)
6、初一年级共 100 名学生，在一次数学测试中以 90 分为标准，超过的记为正，不足的记为
负，成绩如下：
人数 10 20 5 14 12 18 10 4 9 6 2
成绩 －1 +3 －2 +1 +10 +2 0 －7 +7 －9 －12
请你算出这次考试的平均成绩.
1-4 有理数乘法与除法(2)
第 14 学时
展标导读：
1. 熟练掌握有理数的乘法法则
2. 会运用乘法运算率简化乘法运算.
3. 了解互为倒数的意义，并回求一个非零有理数的倒数
学习难点：运用乘法运算律简化计算
自学探究：
一、探索
1、同加法运算律在有理数范围内仍然适用的验证活动一样，从复习有理数的乘法运算
开始，由问题“在含有负数的乘法运算中，乘法交换律，结合律和分配律还成立吗？”引发
学生思考。
观察下列各有理数乘法，从中可得到怎样的结论
(1)(－6)×(－7)= (－7)×(－6)=
(2)[(－3)×(－5)]×2 = (－3)×[(－5)×2]=
(3)(－4)×(－3＋5)= (－4)×(－3)＋(－4)×5=
结论？
(4)请学生再举几组数试一试，看上面所得的结论是否成立？例如对扑克牌上数字的正
负规定(黑正，红负)，用抽两张扑克牌的方法验证有理数乘法运算律。
2.有理数乘法运算律
交换律 a×b=b×a 结合律 ( a×b)×c=a×(b×c)
分配律 a×(b＋c)=a×b＋a×c
二、问题讲解
问题 1.计算：
（1）8×(－
3
2 )×(－0.125) （2） )()()(
9
14
15
31
7
9
31
70
（3）(
12
7
6
5
2
1 )×(－36) （4） )()()()()()(
7
25127
2577
255
练一练：书 39 页 2
问题 2．计算
(1)99
17
16 ×20 (2)(—99
25
24 )×5
练一练：(1)(－28)×99 (2)(—5
18
1 )×9
问题 3.计算
(1)8×
8
1 (2)(—4)×(—
4
1 ) (3)(—
8
7 )×(—
7
8 )
互为倒数的意义______________________________________
倒数等于本身的数是 ;绝对值等于本身的数是 ;相反数等于本身的数
是 .
练一练：书 39 页 1
【知识巩固】
1．运用运算律填空．
（1）－2×(－3)＝(－3)×（_____）．
（2）[(－3)×2]×（－4）＝(－3)×[（______）×（______）]．
（3）(－5)×[(－2)＋(－3)]＝(－5)×（_____）＋（_____）×(－3)
2.选择题
（1）若 a×b<0 ,必有 ( )
A a<0 ,b>0 B a>0 ,b<0 C a,b 同号 D a,b 异号
（2）利用分配律计算 98( 100 ) 9999
时,正确的方案可以是 ( )
A 98(100 ) 9999
B 98(100 ) 9999
C 98(100 ) 9999
D 1( 101 ) 9999
3.运用运算律计算：
（1）(－25)×(－85)×(－4) （2） 1
4
－1
2
－1
8
×16
（3）60×3
7
－60×1
7
＋60×5
7
（4）（—100)×(
10
3 －
2
1 ＋
5
1 －0.1)
（5）(－7.33)×(42.07)＋(－2.07)×(－7.33) （6）18× －2
3
＋13×2
3
－4×2
3
4. 已知：互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值是 1，
求：3x—［(a＋b)＋cd］x 的值
5. 定义一种运算符号△的意义：a△b=ab—1，
求：2△(—3)、2△［(—3)—5］的值
6. 有 6 张不同数字的卡片：—3,＋2,0, —8, 5, ＋1,如果从中任取 3 张，
(1)使数字的积最小，应如何抽？最小积是多少？
(2)使数字的积最大，应如何抽？最大积是多少？
1-4 有理数乘法与除法(3)
第 15 学时
展标导读：
1.会将有理数的除法转化成乘法
2.会进行有理数的乘除混合运算
3.会求有理数的倒数
教学重点：正确进行有理数除法的运算，正确求一个有理数的倒数
教学难点：如何进行有理数除法的运算，求一个负数的倒数
自学探究：
一、复习引入：
1、倒数的概念；
2、说出下列各数对应的倒数：1、－
4
3 、－（－4.5）、|－
2
3 |
3、现实生活中，一周内的每天某时的气温之和可能是正数，可能是 0，也可能是负数，如
盐城市区某一周上午 8 时的气温记录如下：
周日 周一 周二 周三 周四 周五 周六
－30c －30c －20c －3°c 0°c －2°c －1°c
问：这周每天上午 8 时的平均气温是多少？
二、探索新知：
1、解：［（－3）+（－3）+（－2）+（－3）+0+（－2）+（－1）］÷7，
即：（－14）÷7=？
（除法是乘法的逆运算）什么乘以 7 等于－14？
因为（－2）×7=－14，
所以： （－14）÷7=－2
又因为：（－14）×
7
1 =－2
所以：（－14）÷7=（－14）×
7
1
2、有理数除法法则
除以一个不等于 0 的数等于乘以这个数的倒数；
0 除以任何一个不等于 0 的数都等于 0
有此可见：“除以一个数，等于乘以这个数的倒数”，在引进负数以后同样成立。
问题 1、计算：
（1）36÷（－9） （2）（48）÷（－6）
（2）0÷（－8） （3）（－
2
1 ）÷（－
3
2 ）
（4）0.25÷(－0.5) (5)(－24
7
6 )÷(－6)
（6）（－32）÷4×（－8） （7）17×（－6）÷5
★1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；
2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法；
3、有乘除混合运算时，注意运算顺序。先将除法转化为乘法，再进行乘法运算；
问题 2、计算：
（1）48÷[（－6）－4] （2）（－81）÷
4
9 ×
9
4 ÷（－
16）
（3）
5
2 ÷（－2
5
2 ）－
28
1 ×（－1
4
3 ）－0.75
达标训练 ： P42/2、3
问题 3、化简下列分数：
7
21 ，
12
2
，
3
1
7
3、小结本节内容
（1）有理数的乘法法则及运算律
（2）有理数的除法法则
（3）与小学四则运算不同，有理数的加、减、乘、除首先要确定和、差、积、商的符号，
然后在确定和、差、积、商的绝对值。
4、课堂作业：P43/4、5、7
课后思考题：
1、计算：（7
2
1 +3
4
3 －2
7
1 －1
8
7 ）÷（15
2
1 +7
4
3 －4
7
3 －3
8
7 ）（第 15 届“五羊杯”邀请赛
试题）
2、a、b、c、d 表示 4 个有理数，其中每三个数之和是－1，－3，2，17，求 a、b、c、d；
3、2001 减去它的
2
1 ，再减去剩余数的
3
1 ，再减去剩余数的
4
1 ，…，依此类推，一直减去
剩余数的
2001
1 ，求最后剩余的数；（第 16 届江苏竞赛题）
知识巩固：
A 组题:
1、下列说法中，不正确的是 （ ）
A.一个数与它的倒数之积为 1； B.一个数与它的相反数之商为-1；
C.两数商为-1，则这两个数互为相反数； D.两数积为 1，则这两个数互为倒数；
2、下列说法中错误的是 （ ）
A.互为倒数的两个数同号； B.零没有倒数；
C.零没有相反数； D.零除以任意非零数商为 0
3、如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是
（ ）
A.一定是负数； B.一定是正数；
C.等于 0； D.以上都不是；
4、1.4 的倒数是 ； 若 a,b 互为倒数，则 2ab= ；
5、若一个数和它的倒数相等，则这个数是 ；若一个数和它的相反数相等，则这个数
是 ；
6、计算：
（1）（-27）÷9； （2）-0.125÷ 8
3
； （3）（-0.91）÷（-0.13）；
（4）0÷（-3517
19
）； （5）（-23）÷（-3）× 1
3
； （6）1.25÷（-0.5）÷（-2 1
2
）；
（7）（-81）÷（+3 1
4
）×（- 4
9
）÷（-1 1
13
）； （8）（-45）÷[（- 1
3
）÷（- 2
5
）]；
（9）（ 1
3
- 5
6
+ 7
9
）÷（- 1
18
）； （10）-3 23
24
÷（- 1
12
）．
7、列式计算．
（1）-15 的相反数与-5 的绝对值的商的相反数是多少？
（2）一个数的 4 1
3
倍是-13，则此数为多少？
B 组:
1．若 0____0,0 b
aba ，则 若 0____0,0 b
aba ，则
2．若 0____0,0 b
aba ，则 若 0____0,0 b
aba ，则
3.=0，则一定有 （ ）
A.n=0 且 m≠0； B.m=0 或 n=0 ； C.m=0 且 n≠0； D.m=n=0
4.果两个有理数的和除以它们的积，所得的商是 0，那么这两个有理数 （ ）
A.互为相反数，但不等于 0 ； B.互为倒数 ； C.有一个等于 0 ； D.都等于 0
5.数的相反数与这个数的倒数的和为 0，则这个数的绝对值为 （ ）
A.2 B.1 C.0.5 D.0
6.b≠0,则
a
a +
b
b 的取值不可能是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.-2
7.
a
a +
b
b +
c
c =1，求（
abc
abc ）2003÷（
ab
bc ×
bc
ac ×
ac
ab ）的值。
有理数的乘方
第 16 学时
班级 小组 姓名 小组评价_________教师评价_______
使用说明及方法指导：
学生先自学课本，经历自主探索总结的过程，并独立完成自主学习部分，然后小组讨
论交流，预习时间 20 分钟
展标导读
1、理解乘方的意义，探究有理数乘方的符号法则，会进行乘方的运算
2、通过合作交流及独立思考，培养学生正确迅速的运算及合作探究识的能力。
重点：乘方的意义及运算
难点：乘方的运算
一、自主学习：
1、复习巩固：
①乘法运算的符号法则及运算方法：
②多个不为 0 的数相乘，积的符号怎样确定？
2、导学：
（1）一般地，几个相同因数 a 相乘，即 . .......a a a ，记作 ，读作
求 n 个相同因数的 ，叫作乘方，乘方的结果叫做 。 在 na 中， a 叫
做 ， n 叫作 。当 na 看作 a 的 n 次方的结果时，也可读作 。
特别地一个数也可以看作这数本身的一次方，如 5 就是 5 的一次，即 15 5 ，指数为 1
通常 不写。
（2）警示：
①乘方是一种运算（乘法运算的特例），即求 n 个相同因数连乘的简便形式；
②幂是乘方的结果，它不能单独存在，即没有乘方就无所谓幂；
③乘方具有双重含义：既表示一种 ，又表示乘方运算的结果；
④书写格式：若底数是负数、分数或含运算关系的式子时，必须要用 把底数括起
来，以体现底数的整体性。
（3）拓展：底数为 1 ，0，1，10，0.1 的幂的特性：
( 1)n 0n （n 为正整数） 1n (n 为整数)n 为奇数
n 为偶数
10 100 0n (1 后面有____个 0), 0.1n =0.00…01 (1 前面有______个 0)
（4）乘方的符号法则：
负数的奇次幂是 数，负数的偶次幂是 数。
正数的任何次幂都是 数，0 的任何正整数次幂都是 。
（5）参照乘法运算的方法进行乘方运算。
（6）用计算器作乘方运算。
二、合作探究：
1、计算：
2010( 1) 5( 2) 38 3( 5) 41( )2
4( 10) 3( 2) 22 3 ×
2、 2( 3) ； 23 ______
3、已知 n 是正整数，那么 2( 1) n ， 2 1( 1) n
4、如果一个有理数的偶次幂是非负数，那么这个有理数是 。
A、正数 B、负数 C、0 D、任何有理数
5、平方等于 9 的数是 ，立方等于 27 的数是 ，平方等于本身的数
是 ，立方等于本身的数是
三、学以致用：
1、把 3 3 3( )4 4 4
× × 写成乘方形式 。
2、计算： 2
32
， 22( )3
， 22( )3
3、下列运算正确的是 。
A、 22 9( )3 2
B、 33 27( )2 2
C、 23 9( )2 4
D、 33 27( )2 8
4、若 2 4
9x ，则 x
若 3 27x ，则 x
四、能力提升：
1、计算： 2 3 4 5 6 7 8 9 102 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2、 232 ______ ，
3、观察下列数，根据规律写出横线上的数
1
2
； 3
4
； 5
8
； 7
16
；______；第 2010 个数是____________。
有理数的乘方
第 17 学时
班级 小组 姓名 小组评价_________教师评价_______
使用说明及方法指导：
先回顾有理数的加、减、乘、除及乘方的运算法则，自学教材有理数混合运算部分，
独立完成自主学习部分，然后小组内交流讨论，预习时间 20 分
展标导读：
1、熟练进行有理数的混合运算
2、及时纠正运算中的错误，进一步培养学生正确迅速的运算能力，培养学生严谨的学
习态度
重难点：有理数的四则混合运算
一、自主学习：
（一）复习回顾：
1、有理数的加、减、乘、除及乘方的运算法则
2、加入乘方后，有理数的混合运算的顺序如何？
（二）导学：
有理数的混合运算顺序：（1）先 ，再 ，最后 ；（2）同级运算，
从左到右进行；（3）如有括号，先做 的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
方法规律：
（1）有理数运算分三级运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开
方（以后学习）是第 级运算。
运算顺序是：先算高级运算，再算 运算；同级运算，再按从左至右的顺序运算。
（2）在运算过程中注意运算律的运用
（三）完成 P43 例 3 及 P44 的达标训练
二、合作探究
1、计算：
（1） 31 1 4( 2) 1 1 ( 2 )4 2 5
× ÷ ÷
（2）
2
2 33 31 1 ( 12) 67 4
÷ × (- )
（3） 3 2 3 2 33 3 5 19 1 4 3( ) 2 ( 1 ) ( ) ( )2 5 19 49 2 5 2
(- )
2、观察下面行数：
① -3，9，-27，81，-243，729，…
② 0，12，-24，84，-240，732，…
③ -1，3，-9，27，-81，243，…
（1）第①行数有什么规律？
（2）第②行数与第①行数有什么关系？
（3）第③行数与第①行数有什么关系？
（3）取每行数的第 10 个数，计算这三个数的和
三、学习致用：
1、计算：
2 2 3311 2 3 3 ( 3) 3 ( )2
× ÷ ÷
2、 x 、 y 为有理数，且 21 2( 3) 0x y ，求 2 23 2x xy y 的值；
3、 2009 2010(0.25) 4×
4、一根 1 米长的绳子，第一次剪去 1
2
，第二次剪去剩下的 1
2
，如此剪下去，第六次后
剩下的绳子还有 1 厘米长吗？为什么？
四、能力提升
已知 22 ( 1) 0 ab b
试求 1 1 1 1
( 1)( 1) ( 2)( 2) ( 3)( 3)
ab a b a b a b
的值
科学记数法
第 18 学时
班级 小组 姓名 小组评价_________教师评价_______
使用说明及学法指导：
1、收集现实生活中你认为非常大的数；
2、自学课本第 44-45 页部分，勾画重难点，完成课后达标训练及自主学习部分，预习
时间 15 分钟
展标导读：
1、了解科学记数法的意义，体会科学记数法的好处，会用科学记数表示绝对值大于 10
的数；
2、弄清科学记数法中 10 的指数 n 与这个数的整数位数的关系。
重点：用科学记数法表示绝对值大于 10 的数；
难点：正确使用科学记数法表示数
一、自主学习：
1、展示你收集的你认为非常大的数，与同学交流，你觉得记录这些数据方便吗？
2、现实生活中，我们会遇到一些比较大的数，如太阳的半径、光速，日前世界人口等，
读写这样大的数有一定的困难，先看 10 的乘方的特点：
210 100 310 1000 610 1000 000 910 1000 000 000
10 n 10…..0（在 1 后面有 个 0）
对于一般的大数如何简单地表示出来？
3000 000 000 3 × 1000 000 000 83 × 10
696000 696 1000 6.96 × × 100 000 56.96 10 ×
读作 6.96 乘 10 的 5 次方（幂）
3、科学记数法：
像上面这样，把一个大于 10 的数表示成 的形式（其中 a 是整数数位只
有一位的数，n 是整数），使用的是科学记数法，“科学记数”谨记三点：
（1）弄清 a×10n 中的 a 的取值范围
（2）正确确定 a×10n 中的 n 的值，当所记数大于 10 时，n 是 且等于所记数
的整数位数 。
（3）会将用科学记数法表示的数还原。
提醒：a 符号与原数的符号相同，如：将 37000 科学记数时，a 为 3.7 而不是3.7 。
二、合作探究
1、用科学记数法表示下列各数：
1000 000； 572 000 000； 123 000 000 000； 2887.6 ； 30900000 ；
2、第五次人口普查知山西省人口总数约为 3297 万人，用科学记数法表示是多少人？
3、太阳直径为 61.392 10× 千米，其原数为多少米？
三、学以致用：
1、用科学记数法表示下列各数
10000； 800000； 567000； 7400 000；
2、下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？
71 10× 4.5 610× 7.04 510× 3.96 410× 7400 510×
3、下列各数，属于科学记数法表示的是 。
A、53.7 210× B、0.537 410× C、537 210× D、5.37 310×
4、在比例尺为 1：8000 000 的地图上，量得太原到北京的距离为 6.4 ㎝，将实际距离
用科学记数法表示为 ㎞。
四、能力提升：
地球绕太阳公转的速度约为 1.1 510× ㎞/h，声音在空气中传播速度为 330m/s,试比较
这两个速度的大小。
有理数全章复习
第 19 学时
一、课题 有理数复习课
二、展标导读
1、复习整理有理数有关概念和有理数运算法则，运算律以及近似计算等有关知识；
2、培养学生综合运用知识解决问题的能力；
3、渗透数形结合的思想
三、教学重点和难点
重点：有理数概念和有理数运算
难点：负数和有理数法则的理解
四、教学手段
现代课堂教学手段
五、教学方法
启发式教学
六、自学探究
（一）、讲授新课
1、阅读教材中的“全章小结”，给关键性词语打上横线
2、利用数轴患讲有理数有关概念
本章从引入负数开始，与小学学习的数一起纳入有理数范畴，我们学习的数地范围在不
断扩
大 从数轴上看，小学学习的数都在原点右边(含原点)，引入负数以后，数轴的左边就有了
实际意义，原点所表示的 0 也不再是最小的数了 数轴上的点所表示的数从左向右越来越大
，A 点所表示的数小于 B 点所表示的数，而 D 点所表示的数在四个数中最大
我们用两个大写字母表示这两点间的距离，则 AO＞BO＞CO，这个距离就是我们说的绝
对值
由 AO＞BO＞CO 可知，负数的绝对值越大其数值反而越小
由上图中还可以知道 CO=DO，即 C，D 两点到原点距离相等，即 C，D 所表示的数的绝对
值相等，又它们在原点两侧，那么这两数互为相反数 从数轴上看，互为相反数就是在原点
两侧且到原点等距的两点所表示的数
利用数轴，我们可以很方便地解决许多题目
例 1 (1)求出大于-5 而小于 5 的所有整数；
(2)求出适合 3＜ x ＜6 的所有整数；
(3)试求方程 x =5， x2 =5 的解；
(4)试求 x ＜3 的解
解：(1)大于-5 而小于 5 的所有整数，在数轴上表示±5 之间的整数点，如图，显然有
±4，±3，±2，±1，0
(2)3＜ x ＜6 在数轴上表示到原点的距离大于 3 个单位而小于 6 个单位的整数点
在原点左侧，到原点距离大于 3 个单位而小于 6 个单位的整数点有-5，-4；在原点右侧
距离原点大于 3 个单位而小于 6 个单位的整数点有 4，5
所以 适合 3＜ x ＜6 的整数有±4，±5
(3) x =5 表示到原点距离有 5 个单位的数，显然原点左、右侧各有一个，分别是-5 和
5
所以 x =5 的解是 x=5 或 x=-5
同样 x2 =5 表示 2x 到原点的距离是 5 个单位,这样的点有两个,分别是 5 和-5.
所以 2x=5 或 2x=-5，解这两个简易方程得 x=
2
5 或 x=-
2
5
(4) x ＜3 在数轴上表示到原点距离小于 3 个单位的所有点的集合.
很显然-3 与 3 之间的任何一点到原点距离都小于 3 个单位
所以 -3＜x＜3
例 2 有理数 a、b、c、d 如图所示，试求 cbdacac ,,,
解：显然 c、d 为负数，a、b 为正数，且 .da
c =-c， (复述相反数定义和表示)
ca =a-c，(判断 a-c＞0)
da =-a-d，(判断 a+d＜0)
cb =b-c (判断 b-c＞0)
3、有理数运算
(1)+17+20； (2)-13+(-21)； (3)-15-19； (4)-31-(-16)； (5)-11×12；
(6)(-27)(-13)； (7)-64÷16； (8)(-54)÷(-24)； (9)(-
2
1 )3； (10)-(
2
3 )2；
(11)-(-1)100； (12)-2×32； (13)-(2×3)2； (14)(-2)3+32
计算［4(
2
1 )2÷2(-
2
1 )］÷［(-
2
1 )2+(-
2
1 )3+(-
2
1 )+1］
4、课堂达标训练
(1)填空：
①两个互为相反数的数的和是_____；
②两个互为相反数的数的商是_____；(0 除外)
③____的绝对值与它本身互为相反数；
④____的平方与它的立方互为相反数；
⑤____与它绝对值的差为 0；
⑥____的倒数与它的平方相等；
⑦____的倒数等于它本身；
⑧____的平方是 4，_____的绝对值是 4；
⑨如果-a＞a，则 a 是_____；如果 3a =-a3，则 a 是______；如果 22 aa ，那么 a
是_____；如果 a =-a，那么 a 是_____；
10 如果 x3=14 76，(-24 53)3=-14760，那么 x=____
(2)用“＞”、“＜”或“=”填空：
当 a＜0，b＜0，c＜0，d＜0 时：
①
a
cd ____0； ②
b
aa ____0； ③
c
ba _____0；④
dc
ab
____0；⑤ 3
43
c
ba ____0；
⑥ 3
33
c
ba ____0； ⑦
b
b 2)( ____0； ⑧
d
ca 2 ____0；
a＞b 时，⑨a＞0，b＞0，则
ba
1_____1 ；
10a＜0，b＜0，则
ba
1_____1 .
七、达标训练设计
1、写出下列各数的相反数和倒数
原 数 5 -6
3
2 1 0 5 -1
相反数
倒 数
2、计算：
(1)5÷0.1； (2)5÷0.001； (3)5÷(-0.01)；(4)0.2÷0.1；(5)0.002÷0.001；
(6)(-0.03)÷0.01
3 计算：
(1)
7
1112
7
8
7
4
31 ； (2)(-81)÷
9
4
4
1 ÷(-16)；
(3) 25.04
3121
8
5
225
2
(4)3(-2.5)(-4)+5(-6)(-3)2；
(5)｛0.85-［12+4×(3-10)］｝÷5； (6)22+(-2)3×5-(-0.28)÷(-2)2
(7)［(-3)3-(-5)3］÷［(-3)-(-5)］
4 分别根据下列条件求代数式
yx
yx
22
的值：
(1)x=-1.3，y=2.4； (2)x=
6
5 ，y=-
4
3
八、板书设计
§2.12 有理数复习
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂小结
例 1、例 2
（二）观察发现 （四）课堂达标训练 达标训练
设计
九、教学后记
全章复习的目的是使学生进一步系统掌握基础知识、基本技能和基本方法，进一步提高
综合运用数学知识灵活地分析和解决问题的能力 因此，在选择教学内容时我们注意了下面
两个方面：第一，既加强基础，又提高能力和发展智力；第二，既全面复习，又突出重点 。
第一学时 整式(1)
学习内容：教科书第 54—56 页，2.1 整式：1．单项式。
展标导读：1．理解单项式及单项式系数、次数的概念。
2．会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
3．通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养自主探索知识
和合作交流能力。
学习重点和难点：
重点：掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会准确迅速地确定一个单项式的系
数和次数。
难点：单项式概念的建立。
一、自主学习；
1、先填空，再分析写出式子特点，与同伴交流。
(1)若正方形的边长为 a，则正方形的面积是 ；
(2)若三角形一边长为 a，并且这边上的高为 h，则这个三角形的面积为 ；
(3)若 x 表示正方体棱长，则正方体的体积是 ；
(4)若 m 表示一个有理数，则它的相反数是 ；
(5)小明从每月的零花钱中贮存 x 元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款 元。
2、观察以上式子的运算，有什么共同特点？
3、单项式定义：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。
[老师提示] 单独一个数或一个字母也是单项式，如 a，5，0。
4、达标训练：判断下列各代数式哪些是单项式？
(1)
2
1x ； (2)abc； (3)b2； (4)－5ab2； (5)y； (6)－xy2； (7)－5。
5、单项式系数和次数：
观察“1”中所列出的单项式，发现单项式是由数字因数和字母因数两部分组成。单项
式中的数字因数叫单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫单项式的次数。
说说四个单项式
3
1 a2h，2πr，abc，－m 的数字因数和字母因数及各个字母的指数？
二、合作探究：
1、教材 p56 例 1：阅读例题，体会单项式及系数次数概念。
2、判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数
和次数。
①x＋1； ②
x
1 ； ③πr2； ④－
2
3 a2b。
3、下面各题的判断是否正确？
①－7xy2 的系数是 7； ②－x2y3 与 x3 没有系数； ③－ab3c2 的次数是 0＋3＋2；
④－a3 的系数是－1； ⑤－32x2y3 的次数是 7； ⑥
3
1 πr2h 的系数是
3
1 。
[老师提示]
①圆周率π是常数；
②当一个单项式的系数是 1 或－1 时，“1”通常省略不写，如 x2，－a2b 等；
③单项式次数只与字母指数有关。
4、课堂达标训练：课本 p56：1，2。
5、若单项式 xmy2 的次数是 5，则 m= ；
6、已知单项式 2xmyn+2 与 3xm+2 的次数相同，求 n 的值。
7、写一个含 m，n 的 3 次单项式 ；
8、有一串单项式：－x,2x2, －3x3，4x4…, 10x10…
（1）、请写出第 2010 个单项式；
（2）、请写出第 n 个单项式。
三、学习小结：
四、课堂作业： 课本 p59 习题第 1，2 题
第二学时 整式(2)
学习内容：
教科书第 56—59 页，2.1 整式：2．多项式。
展标导读和要求：
1．通过本节课的学习，掌握整式多项式的项及其次数、常数项的概念。
2．通过小组讨论、合作交流，经历新知的形成过程，培养比较、分析、归纳的能力。
由单项式与多项式归纳出整式，有利于知识的迁移和知识结构体系的更新。
3．初步体会类比和逆向思维的数学思想。
学习重点和难点：
重点：掌握整式及多项式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常
数项等概念。
难点：多项式的次数。
一、自主学习：
1．列代数式：
(1)长方形的长与宽分别为 a、b，则长方形的周长是 ；
(2)某班有男生 x 人，女生 21 人，则这个班共有学生 人；
(3)鸡兔同笼，鸡 a 只，兔 b 只，则共有头 个，脚 只。
2．观察以上所得出的三个代数式与上节课所学单项式有何区别。
[老师提示]上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。几个单项式的和叫做多项
式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项，叫做常数项。如：
多项式 523 2 xx 有三项，它们是 23x ，－2x，5。其中 5 是常数项。
一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式
的次数。例如，多项式 523 2 xx 是一个二次三项式。
注意：
(1)多项式的次数不是所有项的次数之和，是次数最高的项的次数；
(2)多项式的每一项都包括它前面的符号。
(3)多项式不包含单项式
单项式与多项式统称整式
二、合作探究：
1、教材 p57 例 2
2、判断：
①多项式 a3－a2ｂ＋ab2－b3 的项为 a3、a2ｂ、ab2、b3，次数为 12； （ ）
②多项式 3n4－2n2＋1 的次数为 4，常数项为 1。 （ ）
[注意]：多项式的次数为最高次项的次数。
3、指出下列多项式的项和次数：
(1)3x－1＋3x2； (2)4x3＋2x－2y2。
4、指出下列多项式是几次几项式。
(1)x3－x＋1； (2)x3－2x2y2＋3y2。
5、已知代数式 3xn－(m－1)x＋1 是关于 x 的三次二项式，求 m、n 的条件。
6．课堂达标训练：课本 p59：1，2。
7、填空：－
4
5 a2b－
3
4 ab＋1 是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项
为 ，常数项为 ，写出所有的项 。
8、下列代数式中哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？
xy+z a x2+bx －1 π
2
1x ；
x
y 1_
三、学习小结：
四、课堂作业： 课本 p60：第 3 题
第三学时 整式(3)
学习内容：课本 p58 例 3 及课本 p64 提到的一个内容
学习目的和要求：
1、通过用整式来表示事物间的关系，逐步掌握数学建模思想；
2、理解多项式的升(降)幂排列的概念，会进行多项式的升(降)幂排列。
3、通过尝试和交流，体会多项式升(降)幂排列的可行性和必要性。
4、初步体验排列组合思想与数学美感，培养审美观。
学习重点和难点：
重点：会进行多项式的升(降)幂排列，体验其中蕴含的数学美。
难点：会进行多项式的升(降)幂排列，体验其中蕴含的数学美。
一、自主学习：
1、教材 p58 例 3：我们知道船在河流中行驶时，船的速度需要分两种情况讨论：
（1）顺水行驶：船的速度= ；
（2）逆水行驶：船的速度= ；
在上面两个关系式中若用字母 V 表示静水速度则
船的顺水速度为 船的逆水速度为
当 V=20 时则
甲船顺水速度 甲船逆水速度
乙船顺水速度 乙船逆水速度
2..请运用加法交换律，任意交换多项式 x2＋x＋1 中各项的位置，可以得到几种不同的
排列方式？在众多的排列方式中，你认为那几种比较整齐？
【提示】
有六种不同的排列方式，像 x2＋x＋1 与 1＋x＋x2 这样的排列比较整齐。这两种排列有
一个共同点，那就是 x 的指数是逐渐变小(或变大)的。我们把这种排列叫做升幂排列与降幂
排列。例如：把多项式 5x2＋3x－2x3－1 按 x 的指数从大到小的顺序排列，可以写成－2x3
＋5x2＋3x－1，这叫做这个多项式按字母 x 的降幂排列。
若按 x 的指数从小到大的顺序排列，则写成－1＋3x＋5x2－2x3，这叫做这个多项式按
字母 x 的升幂排列。
二、合作探究
1、请把卡片
按 x 降幂排列
2、把多项式 2πr－1＋3πr3－π2r2 按 r 升幂排列。
【提示】：π是数字，不是字母，题目中一次项、二次项、三次项系数分别为 2π、－
π2、3π。
3、把多项式 a3－b3－3a2b＋3ab2 重新排列。
(1)按 a 升幂排列；
(2)按 a 降幂排列。
4、把多项式 x4－y4＋3x3y－2xy2－5x2y3 用适当的方式排列。
(1)按字母 x 的升幂排列得： ；
(2)按字母 y 的升幂排列得： 。
【注意】：
(1)重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；
(2)含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列。
5．一个三位数百位数字是 a，十位数字是 b,个位数字是 c 则这个三位数表示
为 ；
6．课堂达标训练书 P61 习题 8,9,10,11 题
三．学习小结
四．作业。书 P60 习题 4,5,6,7，题
＋3x2y2 －7xy3 ＋2y －11x7y5 －35x3
第四学时 整式的加减(1)
学习内容：
教科书第 63—64 页，2.2 整式的加减：（1）同类项。
展标导读和要求：
1．理解同类项的概念，在具体情景中，认识同类项。
2．通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养自主探索知识和合作
交流的能力。
3．初步体会数学与人类生活的密切联系。
学习重点和难点：
重点：理解同类项的概念。 难点：根据同类项的概念在多项式中找同类项。
一、自主学习
1、问题；每本达标训练本 x 元，小明买 5 本，小红买 3 本，两人一共花了多少钱?小明
比小红多花多少钱？
用代数式表示以上问题；（用两种表示方法）
2、运用有理数的运算定律填空：
100×2+252×2=（ ） 100×（-2）+252×（-2）=（ ）
100t+252t=( )
你发现什么规侓了吗？与同伴交流一下。
3、用发现的规律填空：
（1）100t-252t=( ) t (2)3x2y+2x2y=( ) x2y
(3)3mn2-－4mn2=( ) mn2
4．同类项的定义：
我们常常把具有相同特征的事物归为一类。比如多项式的项 100t 和-252t 可以归为一类，
3x2y、2x2y 可以归为一类，3 mn2、-4mn2 可以归为一类，5a 与 9a 也可以归为一类，还有
8
3 、
0 与
9
5 也可以归为一类。3x2y 与 2x2y 只有系数不同，各自所含的字母都是 x、y，并且 x 的指
数都是 2，y 的指数都是 1；同样地 3mn2、4mn2，也只有系数不同，各自所含的字母都是 m、
n，并且 m 的指数都是 1，n 的指数都是 2。
像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做
同类项。另外，所有的常数项都是同类项。比如，前面提到的
8
3 、0 与
9
5 也
是同类项。
二、合作探究
1、判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”。
(1)3x 与 3mx 是同类项。 ( ) (2)2ab 与－5ab 是同类项。 ( )
(3)3x2y 与－
3
1 yx2 是同类项。 ( ) (4)5ab2 与－2ab2c 是同类项。 ( )
(5)23 与 32 是同类项。 ( )
2、指出下列多项式中的同类项：
(1)3x－2y＋1＋3y－2x－5； (2)3x2y－2xy2＋
3
1 xy2－
2
3 yx2。
3、k 取何值时，3xky 与－x2y 是同类项？
4、若把(s＋t)、(s－t)分别看作一个整体，指出下面式子中的同类项。
(1) 3
1 (s＋t)－
5
1 (s－t)－
4
3 (s＋t)＋
6
1 (s－t)； (2)2(s－t)＋3(s－t)2－5(s－t)－8(s－t)2＋s
－t。
三、学习小结：
四、课堂作业：若 2amb8 与 a3b2m+3n 是同类项，求 m 与 n 的值。
第五学时 整式的加减(2)
学习内容：
教科书第 64—66 页，2.2 整式的加减：2．合并同类项。
学习目的和要求：
1．理解合并同类项的概念，掌握合并同类项的法则。
2．经历概念的形成过程和法则的探究过程，培养观察、归纳、概括能力，发展应用意
识。
3．渗透分类和类比的思想方法。
4．在独立思考的基础上，积极参与讨论，敢于发表自己的观点，从交流中获益。
学习重点和难点：
重点：正确合并同类项。 难点：找出同类项并正确的合并。
一、自主学习
1、问题：为了搞好班会活动，李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品。他们首
先购买了 15 本软面抄和 20 支水笔，经过预算，发现这么多奖品不够用，然后他们又去购买
了 6 本软面抄和 5 支水笔。问：
①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔？
②若设软面抄的单价为每本 x 元，水笔的单价为每支 y 元，则这次活动他们支出的总金
额是多少元？
2．合并同类项的定义：
【提示】(讨论问题 2)可根据购买的时间次序列出代数式，也可根据购买物品的种类列
出代数式，再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起，将它们合并起来，化简整个
多项式，所得结果都为(21x＋25y)元。
由此可得：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
二、合作探究
1、找出多项式 3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5 种的同类项，并用交换律、结合律、分配
律合并同类项。
根据以上合并同类项的实例，讨论归纳，得出合并同类项的法则：
把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母指数保
持不变。
2、下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正。
(1)2x2＋3x2=5x4； (2)3x＋2y=5xy； (3)7x2－3x2=4； (4)9a2b－9ba2=0。
3、合并下列多项式中的同类项：
1 2a2b－3a2b＋0.5a2b； ②a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3；
③5(x＋y)3－2(x－y)4－2(x＋y)3＋(y－x)4。
【提示】(用不同的记号如横线、双横线、波浪线等标出各同类项，会减少运算错误，
当然熟练后可以不再标出。其中第(3)题应把(x＋y)、(x－y)看作一个整体，特别注意(x－
y)2n=(y－x)2n，n 为正整数。)
4、求多项式 3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1 的值，其中 x=－3。
试一试：把 x＝－3 直接代入例 4 这个多项式，可以求出它的值吗？与上面的解法比
较一下，哪个解法更简便？
(两种方法。通过比较两种方法，使学生认识到，在求多项式的值时，常常先合并同类项，
再求值，这样比较简便。)
5．课堂达标训练：课本 p66：1，2，3。
三、学习小结
四、课堂作业： 课本 p71：1
第六学时 整式的加减(3)
学习内容:
课本第 66 页至第 68 页．
展标导读
1、 能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简．
2、 经历类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化的规律，归纳出去
括号法则，培养观察、分析、归纳能力．
3、 培养主动探究、合作交流的意识，严谨治学的学习态度。
重、难点与关键
1．重点：去括号法则，准确应用法则将整式化简．
2．难点：括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误．
3．关键：准确理解去括号法则．
一、自主学习
问题： 在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要 t 小时，那么它通过非冻
土地段的时间为（t－0.5）小时，于是，冻土地段的路程为 100t 千米，非冻土地段的路程
为 120（t－0.5）千米，因此，这段铁路全长为
100t+120（t－0.5）千米 ①
冻土地段与非冻土地段相差
100t－120（t－0.5）千米 ②
上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？
【提示】类比数的运算， 利用分配律，可以去括号，合并同类项，得：
100t+120（t－0.5）=100t+120t+120×（－0.5）=220t－60
100t－120（t－0.5）=100t－120t－120×（－0.5）=－20t+60
我们知道，化简带有括号的整式，首先应先去括号．
上面两式去括号部分变形分别为：
+120（t－0.5）=+120t－60 ③
－120（t－0.5）=－120+60 ④
比较③、④两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？
【提示】 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【注意】 去括号规律要准确理解，去括号应对括号的每一项的符号都予考虑，做到要变
都变；要不变，则谁也不变；法则顺口溜：去括号，看符号：是“+”号，不变号；是“―”号，
全变号。另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项．
二、合作交流
1、做一做：
（1）a+(b-c)= (2)a- (-b+c)=
(3)(a+b)+(c+d)= (4)-(a+b)-（-c-d）=
2、化简下列各式：
（1）8a+2b+（5a－b）； （2）（5a－3b）－3（a2－2b）．
3、书 p68 页例 5
4、课本第 68 页达标训练 1、2 题．
5、计算：5xy2－[3xy2－（4xy2－2x2y）]+2x2y－xy2．
6、-（m-2n）+(3m-2n)-(m+n)
【提示】：一般地，先去小括号，再去中括号,然后去大括号．
三、学习小结
四 、作业布置
1．课本第 71 页习题 2．2 第 2、3、5、8 题．
第七学时 整式的加减(4)
学习内容：课本没有“添括号”内容，整式的加减过程中要用到。
展标导读和要求：
1．初步掌握添括号法则。
2．会运用添括号法则进行多项式变项。
3．理解“去括号”与“添括号”的辩证关系。
学习重点和难点：
重点：添括号法则；法则的应用。
难点：添上“―”号和括号，括到括号里的各项全变号。
一、自主学习
1、达标训练：
(1)(2x―3y)+(5x+4y)； (2)(8a―7b)―(4a―5b)；
(3)a―(2a+b)+2(a―2b)； (4)3(5x+4)―(3x―5)；
(5)(8x―3y)―(4x+3y―z)+2z； (6)―5x2+(5x―8x2)―(―12x2+4x)+
5
1 ；
(7)2―(1+x)+(1+x+x2―x2)； (8)3a2+a2―(2a2―2a)+(3a―a2)；
(9)2a―3b+［4a―(3a―b)］； (10)3b―2c―［―4a+(c+3b)］+c。
随 着 括 号 的 添
加，括号内各项
的符号有什么变
化规律？
二、合作探究
1．添括号的法则：
①观察：分别把前面去括号的(1)、(2)两个等式中等号的两边对调，并观察对调后两个
等式中括号和各项符号的变化，你能得出什么结论？
②通过观察与分析，可以得到添括号法则：
所号。添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；
所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符【法则顺口溜】添括
号，看符号：是“+”号，不变号；是“―”号，全变号。
2、按要求，将多项式 3a―2b+c 添上括号：
（1)把它放在前面带有“+”号的括号里。（2 把它放在带有）“-”的括号里。
3、做一做：在括号内填入适当的项：
(1)x2―x+1= x2―(__________)； (2) 2x2―3x―1= 2x2+(__________)；
(3)(a－b)―(c―d)=a－(________________)。 (4)(a+b―c)(a―b+c)=［a+( )］［a―( )］
3、用简便方法计算：
(1)214a＋47a＋53a； (2)214a－39a－61a．
4、按下列要求，将多项式 x3―5x2―4x+9 的后两项用( )括起来：
(1)括号前面带有“+”号； (2)括号前面带有“―”号
5、按要求将 2x2+3x―6：
(1)写成一个单项式与一个二项式的和； (2)写成一个单项式与一个二项式的差。
【提示】此题(1)、(2)小题的答案都不止一种形式，。
三、学习小结
第八学时 整式的加减(5)
学习内容：
教科书第 68—70 页，2.2 整式的加减：4．整式的加减。
学习目的和要求：
1．从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性，并能灵活运用整式的加减的步骤进
行运算。
2．培养观察、分析、归纳、总结以及概括能力。
3．认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具。
学习重点和难点：
重点：整式的加减。
难点：总结出整式的加减的一般步骤。
一、自主学习
1．做一做。
某学生合唱团出场时第一排站了ｎ名，从第二排起每一排都比前一排多一人，一共站了
四排，则该合唱团一共有多少名学生参加？
以上答案能进一步化简吗？如何化简？我们进行了哪些运算？
2．达标训练：化简：
（1）(x+y)—(2x－3y) (2)（8a-7b）-(4a-5b)
通过达标训练你发现进行整式加减的一般步骤了吗？
【提示】去括号和合并同类项是整式加减的基础。因此，整式加减的一般步骤可以总结为：
（１）如果有括号，那么先去括号。（２）如果有同类项，再合并同
类项。
二、合作探究
1、练一练
（1）3xy-4xy-(-2xy) (2)(8a-7b)-(4a-5b)
2、求整式 x2―7x―2 与―2x2+4x―1 的差。
3、一个多项式加上―5x2―4x―3 得―x2―3x，求这个多项式。
4、计算：―2y3+(3xy2―x2y)―2(xy2―y3)。
5、化简求值：(2x3―xyz)―2(x3―y3+xyz)+(xyz―2y3)，其中 x=1，y=2，z=―3。
6、书 p69 页例 7、例 8
7、课堂达标训练： 课本 p70：1，2，3。
三、学习小结
四、作业书 p71-72 页 6,7,9 题。
第九学时 整式的加减(5) 复习课
学习内容：
教科书第 76 页，整式的加减单元复习。
学习目的和要求：
1．对本章内容的认识更全面、更系统化。
2．进一步加深对本章基础知识的理解以及基本技能(主要是计算)的掌握。
3．通过复习，培养主动分析问题的习惯。
学习重点和难点：
重点：本章基础知识的归纳、总结；基础知识的运用；整式的加减运算。
难点：本章基础知识的归纳、总结；基础知识的运用；整式的加减运算。
一、自主复习
1、主要概念：
(1)关于单项式，你都知道什么?
(2)关于多项式，你又知道什么?
【提示】复习单项式的定义、单项式的系数、次数的定义，多项式的定义以及多项式的项、
同类项、次数、升降幂排列等定义。
(3)什么叫整式?
整式
升降幂排列）多项式（项同类项次数
）单项式（定义系数次数
2、主要法则：
①：在本章中，我们学习了哪几个重要的法则?分别如何叙述?
②整式的加减
合并同类项。
去（添）括号。
二、合作交流
1、找出下列代数式中的单项式、多项式和整式。
4xy，
a
1 ，
2
2 nm ，x2+x+
x
1 ，0，
xx 2
1
2
，m，―2.01×105
2、指出下列单项式的系数、次数：ab，―x2，
5
3 xy5，
3
53 zyx 。
3、指出多项式 a3―a2b―ab2+b3―1 是几次几项式，最高次项、常数项各是什么？
4、化简，并将结果按 x 的降幂排列：
(1)(2x4―5x2―4x+1)―(3x3―5x2―3x)； (2)―［―(―x+ 2
1 )］―(x―1)；
(3)―3( 2
1 x2―2xy+y2)+ 2
1 (2x2―xy―2y2)。
5、化简、求值：5ab―2［3ab―(4ab2+ 2
1 ab)］―5ab2，其中 a= 2
1 ，b=―
3
2 。
6、一个多项式加上―2x3+4x2y+5y3 后，得 x3―x2y+3y3，求这个多项式，并求当 x=―
2
1 ，y= 2
1
时，这个多项式的值。
7、课堂达标训练：书 p76―77 第 1,2,3（！）（3）(5),4（！）（3）（5）（7）5,7 题
三、作业：课本 p76―77：1，2， 3⑴⑶⑸，4⑴⑶⑸⑺，5，7
第一课时 3.1.1 一元一次方程（1）
班级 姓名＿＿ 小组＿＿评价＿＿
展标导读
1. 了解什么是方程，什么事一元一次方程。
2. 体会字母表示数的优越性。
重点：知道什么是方程，一元一次方程
难点：找等关系列方程
使用说明及学法指导：先自学课本 78—81 页内容，独立完成学案，然后小组讨论交流。
一. 导学
1. 书中问题用算术方法解决应怎样列算式：
2.含 X 的式子表示关于路程的数量：
王家庄距青山＿＿＿千米，王家庄距秀水＿＿＿千米。从王家庄到青山行车＿＿
小时，王家庄到秀水＿＿小时。
3 车从王家庄到青山的速度为＿＿＿千米/小时，从王家庄到秀水的速度为＿＿＿千
米/小时。
4.车匀速行驶，可列方程为：
5.什么是方程？
6.什么是一元一次方程？
二、合作探究
1.判断下列式子是否是方程:
(1)5x+3y-6x=7 (2)4x-7 (3)5x >3
(4)6x2+x-2=0 (5)1+2=3 (6) -
x
5 -m=11
2.下列式子哪些是一元一次方程？不是一元一次方程的，要说明理由.
(1)9x=2 (2)x+2y=0 (3)x2-1=0
(4) x=0 (5)
x
3 =2 (6) ax=b(a、b 是常数)
3.（1）已知 2xm+1 +3=7 是一元一次方程，求 m 的值；
（2）已知关于 x 的方程 mxn-1+2=5 是一元一次方程，则 m=＿＿,n=＿＿.
4、根据下列条件列出方程:
(1)某数的 5 倍加上 3，等于该数的 7 倍减去 5；
（2）某数的 3 倍减去 9，等于该数的三分之二加 6；
（3）某数的 8 倍比该数的 5 倍大 12；
（4）某数的一半加上 4，比该数的 3 倍小 21.
（5）某班有 x 名学生，要求平均每人展出 4 枚邮票，实际展出的邮票量比要求数
多了 15 枚，问该班共展出多少枚邮票？
三、学习小结
四、作业
习题 3.1 第 1、5 题。
第二课时 3.1.1 一元一次方程（2）
班级 姓名＿＿ 小组＿＿评价＿＿
展标导读
1. 根据实际问题中的数量关系，设未知数，列出一元一次方程。
2. 知道方程的解和解方程是两个不同的概念。
重点：根据实际问题列一元一次方程
难点：找相等关系列方程。
使用要求：20 分钟独立完成本学案，然后小组讨论。
一、 导学：
1. 根据下列问题，设未知数并列方程。
（1） 王涛买了 6kg 香蕉和 3kg 苹果，共花了 19 元，已知苹果 1.8 元/kg，则香蕉每
千克多少元？
（2） 如果一种小麦磨成面粉后质量减少了 20%，那么要得到 4500 千克面粉，需要
多少千克面粉？
（3） 甲乙两人骑自行车，同时从相距 45km 的两地出发相向而行，2h 后相遇，已知
甲每小时比乙多前进 2.5km,求甲、乙两人的速度。
2、检验下列各数是不是方程 2x-3=5x-15 的解：
（1） x=6; (2) x=4
二、合作探究：
1、判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由。
（1）5-2x=1 (2)y2+2=4y-1
(3)x-2y=6 (4)2x2+5x+8
2、设未知数，列出方程。
（1）小红买了甲、乙两种圆珠笔共 7 支，一共用了 9 元，已知甲种圆珠笔每只 1.5 元，
一种圆珠笔每只 1 元，求甲、乙两种圆珠笔各买了多少支？
（2）一根铁丝，第一次用去它的一半多 1 米，第二次又用去了剩下的一半少 1 米，
这时还剩下 3.5 米。请问铁丝原长多少米?
(3)把一些苹果分给几个小朋友，如果每个小朋友分 5 个苹果，那么还剩 2 个苹果；
如果每个小朋友分 6 个苹果，那么还缺 3 个苹果。一共有几个小朋友？
3、关于 x 的方程 2（x-1）-3a=0 的解为 3，则 a 的值为 ( )
A.-
3
4 B.-
4
3 C .
3
4 D.
4
3
4、检验下列各数是不是方程 4x-3=2x+3 的解：
（1）x=3; (2)x=8 (3)y=5
三、学习小结：
四、作业：习题 3.1 第 6、7、8、9 题。
第三课时 3.1.2 等式的性质（1）
班级 姓名＿＿ 小组＿＿评价＿＿
展标导读
1. 了解什么是等式，等式与方程的区别和联系。
2. 掌握等式的性质。
重点：等式的性质。
难点：等式的性质的应用。
使用要求：1.阅读课本 P82-P83.
2. 限时 20 分钟完成本学案.
一、导学
1、下列各式中，哪些是等式，哪些是一元一次方程？
(1) 4-1=3 (2) 6x-2=10 (3) y=0
(4)3a+4 (5)am+bm=(a+b)m (6) 6x-1 >y
(7) 2x2+5x=0 (8)S=
2
1 (a+b)h
2.等式的性质 1 ____________________________________________
如果 a=b,那么 a±c=＿＿___.
3.等式的性质 2 ____________________________________________
如果 a=b ,那么 ac=________
如果 a=b (c≠0),那么
c
a =_______
[提示]等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质。
(1)对称性：等式的左、右两边交换位置，所得的结果仍是等式。如果 a=b,那么 b=a .
(2)传递性：如果 a=b,且 b=c,那么 a=c.
二、合作探究
1、填空，使所得结果仍是等式，并说明结果是根据等式的哪一条性质及如何变形得
到的？
（1）如果 a-3=b-2,那么 a+1=_________;
(2)如果 3x=2x+5,那么 3x-______=5;
(3)如果
2
1 x=5,那么 x=________;
(4)如果 0.5m=2n,那么 n=_______;
(5)如果-2x=6,那么 x=________.
2、若
b
c
b
a ，则 a=___;若（c2+1）x=2(c2+1),则 x=____.
3、若 c=2a+1,b=3a+6, 且 c=b 则 a=____.
4、下列等式的变形中，不正确的是 （ ）
A.若 x=y, 则 x+5=y+5 B.若
a
y
a
x （a≠0）,则 x=y
C.若-3x=-3y,则 x=y D.若 mx=my,则 x=y
5、一个两位数，它的个位上的数字是十位上数字的 2 倍。若设个位数字为 a,则这个
两位数可表示为________.
三、小组小结
四、作业：习题 3.1 第 2、3 题。
第四课时 3.1.2 等式的性质（2）
班级 姓名＿＿ 小组＿＿评价＿＿
展标导读
1. 会用等式的性质解简单的一元一次方程。
2. 培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力。
重点：运用等式的性质。
难点：用等式的性质解简单的方程。
使用要求：独立完成学案，然后小组讨论交流。
一、 自主学习
1 、等式的基本性质有哪两条？
2、（1）从 3x+2=3y-2 中，能不能得到 x=y,为什么？
（2）从 ax=aby 中，能不能得到 x=by,为什么？
3、利用等式的性质解下列方程：
（1）x-2=5 (2) x3
2 =6
(3)3x=x+6 (4)
3
1 x-5=4
二、 合作探究
1、 达标训练 P84 利用等式的性质解下列方程并检验：
2、 某班有男生 25 人，比女生的 2 倍少 15 人，这个班有女生多少人？
3、 把 1200 克洗衣粉分别装入 5 个大小相同的瓶子中，除一瓶还差 75 克外，其余
4 瓶都装满了。每个瓶子可以装多少洗衣粉？
4、 甲乙二人同时由 A 地步行去 B 地.甲每小时走 5 千米，乙每小时走 3 千米.当甲
到达 B 地时，乙距 B 地还有 6 千米.甲走了几小时？A、B 两地的距离是多少？
三、 能力提升
已知 2x2+3x=5,求代数式-4x2-6x+6 的值
【提示】灵活运用等式的性质并将 2x2+3x 整体变成-4x2-6x 是解决问题的方法
四、 小组小结
五、 作业：习题 3.1 第 4、10、11 题.
第五课时 3.2 解一元一次方程（一）
——— 合并同类项与移项
班级 姓名＿＿ 小组＿＿评价＿＿
展标导读
1. 通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，使学生体会到列方程解应
用题的优越性.
2. 掌握合并同类项解“ax+bx=c”类型的一元一次方程的方法，能熟练求解一元一次
方程，并判别解得合理性.
3. 通过学生间的相互交流、沟通，培养他们的协作意识。
重点：1 建立列方程解决实际问题的思想方法。
2.学会合并同类项，会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程。
难点：1.分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程。
2.使学生逐步建立列方程解决实际问题的思想方法
使用说明：1.阅读课本 P88——89
2.限时 20 分钟完成本导学案。然后小组讨论。
一、导学
书中 88 页问题 1：
（1）如何列方程？分哪些步骤？
设未知数：设前年购买计算机 x 台.则去年购买计算机_____台，今年购买计算机
______台.
找相等关系:__________________________________________________
列方程：___________________________________________________
(2)怎样解这个方程？
x+2x+4x=140
合并同类项，得
_____x=140
系数化为 1，得
x=_____
（3）本题还有不同的未知数的设法吗？试试看
二、 合作探究
1、 解方程 7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3
2、 达标训练：解下列方程：
（1）23x-5x=9 (2)-3x+0.5x=10
(3)0.28y-0.13y=3 (4) 72
3
2
xx
3、小雨、小思的年龄和是 25，小雨年龄的 2 倍比小思的年龄大 8 岁，小雨、小思的
年龄各是多少岁？
三、 总结反思
小组讨论：本节课你学了什么？有哪些收获？
四、 作业：课本 P93 习题 3.2 第 1、4 题.
第六课时 3.2 解一元一次方程（一）
——— 合并同类项与移项
班级 姓名＿＿ 小组＿＿评价＿＿
展标导读
1. 找相等关系列一元一次方程；
2. 用移项解一元一次方程；
3. 体会解方程中的化归思想，会移项、合并解 ax+b=cx+d 型方程，进一步认识如何
用方程解决实际问题。
重点：1.找相等关系列一元一次方程；
2.用移项、合并同类项等解一元一次方程.
难点：找相等关系列方程，正确地移项解一元一次方程.
使用要求：1.自学 P89-91 中的内容。
2.独立完成学案，然后小组交流、展示.
一、 导学
1. 解下列方程：
（1）x+3x-2x=4 (2)3x-4x=-25-20
2.阅读课本 89 页上的问题 2，分析：
（1）设这个班有 x 名学生，每人分 3 本，共分出____本，加上剩余的 20 本，这批书
共_______本.
（2）每人分 4 本，需要___本，减去缺的 25 本，这批书共________本.
（3）这批书的总数有几种表示法？它们之间有什么关系？本题哪个相等关系可作为
列方程的依据呢？
（4） 思考：方程 3x+20=4x-25 的两边都含有 x 的项（3x 与 4x）和不含字母的常数
项（20 与-25），怎样才能使它向 x=a（常数）的形式转化呢？
（5） 利用等式的性质 1，得
3x-4x=-25-20
上面方程的变形，相当于把原方程左边的 20 变为____移到右边，把右边的 4x 变为
____移到左边.把某项从等式一边移到另一边时有什么变化？
（6） 什么叫做移项？移项的根据是什么？
二、 合作探究
1.（1）解方程 3x+7=32-2x （2）7x+1.37=15x-0.23
解：（1）移项，得
_____________________
合并同类项，得
_____________________
系数化为 1，得
____________________.
(温馨提示：移项要变号)
2. 用汽车若干辆装运货物一批，每辆汽车装 3.5 吨货物，这批货物就有 2 吨不能运
走；每辆汽车装 4 吨货物，那么装完这批货物后，还可以装其他货物 1 吨，问汽
车有多少辆？货物有多少吨？
3. 课本 91 页，达标训练
三、 小组小结
四、 作业：习题 3.2 第 3、7、9 题.
第七课时 3.2 解一元一次方程（一）
——— 合并同类项与移项
班级 姓名＿＿ 小组＿＿评价＿＿
展标导读
1. 会通过移项、合并同类项解一元一次方程.
2. 学会探索数列中的规律，建立等量关系；通过探究实际问题与一元一次方程
的关系，感受数学的应用价值.
3. 通过学生间的相互交流、沟通，培养他们的协作意识.
重点：利用方程解决数学中的数列问题.
难点：使学生逐步建立列方程解决实际问题的思想方法.
使用说明：独立完成学案，然后小组展示、讨论.
一、 导学
1、 解下列方程：
（1）2x-8=3x (2)6x-7=4x-5
(2) yy 3
142
1 (4) 52
1
4
1 xx
2、 有一数列，按一定的规律排列成 1，-3，9，-27，81，-243，…，其中某三个
相邻数的和是-1701，这三个数各是多少？
解析：观察这些数，考虑它们前后之间的关系，从中发现规律.
这些数的规律：（1）符号正负_____;(2)后者的绝对值是前者的_____倍.
如果设这三个相邻数中的第 1 个数为 x,那么第 2 个数就是______,第 3 个数就是
_______.
根据这三个数的和是_______,得方程：
解这个方程 ；
因此这三个数分别为；
【点评 】 解数列题的关键是找到数列间的关系
.
二、 合作探究
列方程解下列应用题：
1. 再一次足球比赛中，某队共赛了五场，保持着不败纪录.规则规定，胜一场积 3 分，
平一场记 1 分，负一场记 0 分。已知这个队 5 场共积 7 分，求该队共胜了多少场？
2. 一个两位数，个位数字是十位数字的 3 倍，如果把个位数字与十位数字对调，那
么得到的新数比原数大 54，求原来的两位数.
3、 三个连续偶数和是 30，求这三个偶数.
三、 小组总结反思
四、 作业：习题 3.2 第 5、6、8 题.
第八课时 3.2 解一元一次方程（一）
——— 合并同类项与移项
班级 姓名＿＿ 小组＿＿评价＿＿
展标导读
1. 用一元一次方程解决实际问题；
2. 知道用一元一次方程解决实际问题的基本过程；
3. 通过学习，更加关注生活，增强用数学的意识，从而激发学习数学的热情.
重点：会用一元一次方程解决实际问题.
难点：将实际问题转化为数学问题，通过列方程解决问题.
使用说明：独立完成学案，然后小组交流.
一、 导学
问题：
小平的爸爸新买了一部手机，他从电信公司了解到现在有两种移动电话计费方
式：
方式一 方式二
月租费 30 元/月 0
本地通话费 0.30 元/分 0.40 元/分
他正在为选哪种方式犹豫呢?你能帮助他作个选择吗？
（1）一个月内通话 200 分和 300 分钟，按两种计费方式各需缴费多少元？
方式一 方式二
200 分
300 分
（2）对于某个通话时间，两种计费方式的收费会一样吗？（列式计算）
由此可知，如果一个月内通话_____分钟，那么两种计费方式的收费相同.
（3）怎样选择计费方式更省钱呢？
如果一个月内累计通话时间不足_____分，那么选择“方式二”收费少；如果一
个月内累计通话时间超过_____分，那么选择________收费少.
（4）根据以上解题过程，你能为小平的爸爸作选择了吗？
二、合作探究
1、某牛奶加工厂现有鲜奶 9 吨，若在市场上直接销售，每吨可获利 500 元;制成酸奶
销售，每吨可获利 1200 元；制成奶片销售，每吨可获利 2000 元。该工厂的生产力量
有限，如果制成酸奶，每天可加工 3 吨；制成奶片，每天可加工 1 吨，受人员的限制，
两种加工方式不可同时进行，受气温限制，这批牛奶必须在 4 天内全部销售或加工完
毕.为此，该厂设计了两种可行方案.
方案一：尽可能制成奶片，其余直接销售鲜奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售.
无论采取哪一种方案，都必须保证 4 天完成，请问选哪一种方案比较好？为什
么？
【分析】选哪种方案比较好，就是看哪个方案获利多。方案一可通过算式直接
写出获利的多少；方案二先把 4 天的时间进行分配，根据时间求出加工的奶片吨数和
酸奶吨数，再求出所获利润多少，比较方案一与方案二，即可得出结论.
三、归纳小结：用一元一次方程分析和解决实际问题的基本过程.
四、作业：习题 3.2 第 10、11 题.
第 1 课时 3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母
展标导读：1．通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，体会到列方程解应
用题的快捷；
2．掌握去括号解一元一次方程的方法，能熟练求解一元一次方程，并判别解的
和理性。
学习重点：1．弄清列方程解应用题的思想方法.
2．用去括号解一元一次方程.
学习难点：去括号时应如何处理括号前是“－”号的问题及一元一次方程的应用.
（括号前是“－”号，去括号时，括号内的各项要改变符号）
学习要求： 1．阅读课本 P96－P97;
2．尝试完成课本 P97 的达标训练题；
3．限时 20 分钟完成本导学案（独立或合作完成）；
4．课前在小组内交流展示.
5．组长根据组员完成情况作出等级评价。（A、B、C、D）
一、自主学习：
1．解方程：10y＋5＝12y－7－3y 你会吗？请试一试.
2．去括号法则是什么？
做一做：去括号， （1）x＋(y ＋z) ＝ ______________ . (2) a－(b －c) ＝
________________ －3(2a－b－3c) ＝_________________
3．阅读 P96 的问题.
(1) 完成书上的填空；
(2) 请写出题中的一个相等关系，并列出方程_____________________________________
(3) 怎样所列方程向 x＝a 的形式转化呢？（见书上）
4．本题还有其他列方程的方法吗？用其他方法列出的方程应怎样解？
提 示 ： 方 法 1 设 下 半 年 每 月 平 均 用 电 量 x 度 ， 则 列 方 程 为 ：
_______________________________,并解出来.
方法 2 设这个厂去年上半年每月平均用电 x 度，则每两个月的平均用电量是
____________ ， 或 者 表 示 为 _____________ ， 于 是 列 出 方 程 ：
_______________________________会解吗？做一做.
【结论：方程中有带括号的式子时，根据乘法分配律和去括号法则化简。】
（括号前面是“＋”，把加号和括号去掉，括号内各项都不变号；括号前面
是“－”号，把“－”号和括号去掉，括号内各项都改变符号。）
二、合作探究：
1．解方程
（1）4x－3(20－x) ＝6x－7(9－x) (2) 3(2－3x) －3[3(2x－3) ＋3] ＝5
注意：① 不要漏乘括号内的任何一项；
② 若括号前的“－”，去括号后，括号内各项都变号。
2．完成 P97 的达标训练
（1） 4x＋3(2x－3) ＝12－(x＋4)； （2） 6（ 1
2 x－4）＋2x＝7－( 1
3 x－1)。
3．若式子 12－3（9－y）与式子 5（y－4）的值相等，则 y＝________。
4．父亲今年 32 岁，儿子今年 5 岁，_________年后，父亲的年龄是儿子的 4 倍。
5．学校团委组织 65 名团员为学校建花坛搬砖，初一同学每人搬 6 块，其他年级同学每人
搬 8 块，总共搬了 400 块，问初一同学有多少人参加了搬砖？
6．一旅游团有 40 人，他们去划船游湖，一共租了 8 条小船，其中有可做 4 人的小船和可
坐 6 人的小船，这 40 名游客刚好坐满 8 条小船，问这两种小船各租了几条？
三、学习小结：
1．本节课你学习了什么？
2．这节课你有哪些收获？应注意哪些问题？ （互相交流一下）
四、课后作业：
1．P102 习题 3.3 第 1、2 题
2．解方程 3x－2[3(x－1) －2(x＋2) ] ＝3(18－x) .
第 2 课时 3.4 解一元一次方程解（二）——去括号与去分母
展标导读：1. 会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次方程解决一些实际问题；
2. 通过观察、讨论等活动经历从实际中抽象数学模型的过程。
学习重点： 弄清题意，用列方程的方法解决实际问题。
学习难点： 寻找实际问题中的等量关系，建立数学模型。
学习要求：1. 阅读教材 P97---P98 的例 2、例 3；
2. 限时 25 分钟完成本导学案（独立或合作）；
3. 课前在组内交流展示。
4．组长根据组员的完成情况进行等级评价。
一、自主学习：
1.解方程：
（1） x－4[x－3(x＋2)－5]=12 ； (2) 8(3x－1)－9(5x－11)=2(2x－7)＋30
2.阅读教材例 2，并完成下列填空：
（1）一般情况下，可认为这艘船往返的路程相等，
即：顺水速度____顺水时间=逆水速度_____逆水时间.
（2）顺水速度=_______________________ ,逆水速度=___________________________.
（3）寻找相等关系列方程：
设 船 在 静 水 中 的 速 度 为 x 千 米 ／ 时 ， 则 顺 流 速 度 为 ___________ , 逆 流 速 度 为
___________ ,顺流航行的路程为______________ ,逆流航行路程为_____________________ ,
根据往返路程相等，可列方程为：________________________________________ ,解出并作
答。
反思：若要求出甲、乙两码头的路程，又如何解？
提示：（1） 可间接设未知数的方法；想一想：该怎样设？
（2） 可直接设未知数的方法.即：设甲、乙两码头的路程为 x 千米，则顺水速度
为 _________ , 逆 水 速 度 为 ____________ , 静 水 速 度 为 ______________ , 或 表 示 为
___________________ ,从而列出方程为_______________________________ ，并解出来。
3.教材例 3.生产调度问题。
（1） 如果设 x 名工人生产螺钉，则_________名工人生产螺母；
（2） 为了使每天的产品配套，应使生产的螺母恰好是螺钉数量的______ .
解：见 P98，认真阅读。
（3） 还可以怎样设未知数？你不妨试一试。
二、合作探究：
1. 对于方程 7(3－x)－5(x－3)＝8 .去括号正确的是（ ）
A 21－x－5x＋15＝8 B 21－7x－5x－15＝8
C 21－7x－5x＋15＝8 D 21－x－5x－15＝8
2. 解方程： 3
2 [ 2
3 (
4
x －1)－2]－x＝2
3.一架飞机在两城之间飞行，顺风时需 5 小时，逆风时需 6 小时，已知风速是每小时 24
千米，求两城之间的路程。（要求用两种方法设未知数）
4.在一次美化校园活动中，先安排 31 人去拔草，18 人去植树，后又增派 20 人去支援他们，
结果拔草的人数是植树人数的 2 倍，问支援拔草和植树的人分别有多少人？
三、学习小结：
本节课你学习了什么？有哪些收获？
四、课后作业：
1.课本 P102 习题 3.3 第 5、7 题；
2.若 x＝-2 为方程 1
2 (ax－4)－ 1
3 (6x＋1)＝- 1
3
的解，试求 a 的值。
第 3 课时 3.3 用去分母解一元一次方程
展标导读：1. 掌握解一元一次方程中“去分母”的方法，并能解这种类型的方程；
2. 了解一元一次方程解法的一般步骤。
学习重点：会用去分母的方法解一元一次方程。
学习难点：实际问题中如何建立等量关系，并根据等量关系列出方程。
学习要求：1. 阅读课本 P99—P100；
2. 试完成教材 P101 的达标训练题；
3. 限时 25 分钟完成本导学案；
4. 课前在小组内交流展示。
一、自主学习：
1．我们已学习了含有括号的一元一次方程方程 3(x-3)-2(2x+1)=6,那么，
方程 3
2
x － 2 1
3
x ＝1 又如何解呢？
提示：利用等式性质，方程两边同时乘以 2 与 3 的最小公倍数 6，看看会出现什么结果？
2．教材 P99 的问题.
（1）你能用方程解决这个问题吗？
设这个数为 x,根据题意，得________________________________ ,
(2) 能尝试解这个方程吗？
提示：根据等式性质，方程两边同时乘以各个分母的最小公倍数 42，即可划去分母，得到
整数系数的方程，即是：________________________________________ ,从而求出 x 的值.
3．尝试解方程： 3 1
2
x －2＝ 3 2
10
x － 2 3
5
x .
（1） 为使方程变为整系数方程，方程两边应乘以_____ ；
（2） 归纳解有分数系数的一元一次方程的一般步骤是：
① __________ , ② __________ , ③_________ , ④_______________ ,
⑤______________ 。
注意：【1】在去分母的过程中，不能漏乘某些不含分母的项；
【2】分子是多项式时要加括号。
二、合作探究：
1．认真阅读教材 P100 的例 4，注意解题的步骤。
2．练一练：解方程 4 3 253 3 2
x x xx .
3．解方程 2 12 6
x x ，去分母正确的是（ ）
A 3x－x＋2＝1 B 3x－x－2＝1
C 3x－x－2＝6 D 3x－x＋2＝6
4．教材 P101 的达标训练，解下列方程：
（1） 5 1 3 1 2
4 2 3
x x x ； （2） 3 2 2 1 2 112 4 5
x x x .
5. 3
a
的倒数与 2 9
3
a 互为相反数，则 a 的值是__________ .
6. 解 方 程 2 1 3 4 112 20 8
x x x ， 去 分 母 是 时 ， 方 程 两 边 应 都 乘 以 _______ , 得
_____________________________ ，这一变形的根据是___________________________ 。
7．当 x 为何值时，式子 1
3
x 的值比 x＋ 1
2
的值大 3.
8．小亮有一本书，他第一次读了全书的 1
3
多 2 页，第二次读了全书的 1
2
少 1 页，最后还
剩 31 页，问小亮这本书一共有多少页？
三、学习小结：
四、课后作业：P102 的习题 3.3 ，第 8、10、12 题。
第 4 课时 3.4 利用一元一次方程解决工程、效率等问题
展标导读：1. 会根据实际问题中数量关系列方程解决实际问题，熟练掌握一元一次方程的
解法
2. 培养学生数学建模能力，分析问题、解决问题的能力。
学习重点：用一元一次方程解决工程等问题。
学习难点：实际问题中，如何建立等量关系，并根据等量关系列出方程。
学习要求：1. 阅读课本 P101 的例 5；
2．完成书上的填空；
3．限时 25 分钟完成本导学案（独立或合作）；
4．课前在组内交流展示，组长对组员进行等级评价。
一、自主学习：
1．一件工作，如果甲独做 a 小时完成，则甲独做 1 小时，完成全部工作量的__________ .
2．工作量、工作时间、工作效率之间有怎样的关系？
（1） 工作量 ＝___________ × _____________ ；
（2） 工作时间＝___________ ÷ _____________ ；
（3） 工作效率＝___________ ÷ _____________ 。
3．水池一个进水管，8 小时可以注满空池，池底有一个出水管，12 小时可以放完满池的
水，如果同时打开进水管和出水管，那么，多少小时可以把空池注满？
提示：（1）注满一池水的工作量为“____”.
（2）进水管工作效率为________ ，出水管工作效率为________ .
（3）若设经过 x 小时可以注满水池，则进水管的进水量为______________ ，出
水管的出水量为_____________ .
（4）相等关系为： ___________ － ___________＝ 1 ，则列出方程为：
__________________________ ，解得：x＝________ .
二、合作探究：
1． 阅读教材 P101，并完成下列填空：
（1） 把总工作量看着______ ；
（2） 人 均 效 率 为 _______ ， 若 设 先 安 排 x 人 工 作 4 小 时 ， 则 完 成 的 工 作 量 为
___________ ，再增加 2 人和前一部分人一起做 8 小时，完成的工作量为
______________ ，
（3） 这段工作分两段完成，两段完成的工作量之和为____________________________ .
则列方程为__________________________________ .你会解吗？试一试。
提示：① 此时工作量＝人均效率×人数×工作时间 ② 如果一件工作分几段完成，则
各阶段工作量的和＝总工作量。
思考：你还能用其他的方法解吗？试一试。
2．一个道路工程，甲队单独施工 8 天完成，乙队单独施工 12 天完成，现在甲、乙两队共
同施工 4 天，由于甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？
3．解方程： 3 1 3 2 2 322 3 5
x x x
4．若 a－ 1
2
a 与 2 25
a 的值互为相反数，则 a 值为_______ .
5．小王抄写一份材料，每分钟抄写 30 个字，若干分钟可以抄完，当抄写了 2
5
的时候，决
定提高效率 50％，结果提前 20 分钟完成，则这份材料有__________字。
三、能力提升：
一项工程，甲独做需 9 天完成，乙单独做 12 天完成，丙单独做需 15 天完成，若甲、
丙先做 3 天后，甲因故离开，由乙接替甲的工作，要完成这项工作的 5
6
，还需要多少天？
四、学习小结：
五、课后作业：
1．习题 3.3 第 9、10 题
2．已知关于 x 的方程（m＋2） | | 1mx ＋5＝0 是一元一次方程，求方程 5 3 3 13 2
x m mx
m
的解。
第 5 课时 解较复杂的一元一次方程方程
展标导读：1. 正确熟练地解分母中含小数的一元一次方程及含多重括号的一元一次方程；
2．进一步熟练掌握解一元一次方程的一般步骤；
3．用一元一次方程思想解决实际问题。
学习重点：熟练掌握解分母中含小数的一元一次方程及含多重括号的一元一次方程.
学习难点：分母小数整数化以及去多重括号的方法。
学习要求：1. 回顾解一元一次方程的一般步骤；
2．限时 25 分钟完成本导学案（独立或合作）；
3．课前在组内交流展示，组长对组员进行等级评价。
一、自主学习：
1．利用分数的基本性质，把下列式子的分母化成整数.
（1） 0.12 0.4 ________0.3
x ； （2） 0.2 0.3 __________0.05
a .
2．解方程： 2 1 5 213 2
x x .
3．若式子 3 1
2
x 比式子 0.2 0.1
0.3
x 小 1 ，则 x＝_________ .
4．你会下列解方程吗？试试看：
（1） 0.1 0.2 1 30.02 0.5
x x ； （2） 1 1 1[ ( 3) 3] 02 2 2 y .
【注意】 （1）解分母是小数的一元一次方程方程，可先利用分数的基本性
质，将分子、分母同时扩大若干倍，此时，分子.整体要加括号，不
是去分母，不能把方程其余的项也扩大若干倍。
（2）对于多重括号的，可先去小括号，再去中括号，若有大括号，
最后去大括号，或由外向内去括号，有时也可用去分母的方法去括号。
二、合作探究：
1．对于方程 1 4 1 1[ (2 3)4 3 2 3x x 变形，第一步较好的方法是（ ）
(A ) 去分母 （B） 去括号
（C） 移项 （D） 合并同类项
2．解方程 ：
（1） 0.5 2 0.3(0.5 2)
0.03 0.2
x xx ； （2） 2 1 2 15[ ( 1) ] 75 4 5 2x x x .
3． 甲、乙两车同时从 A，B 两地相向而行，两车的相遇点距 A、B 两地中点处 8km,已知
甲车速度是乙车速度的 1.2 倍，求 A、B 两地的路程。
三、学习小结：
四、课后作业：
1．解方程： 0.2 2.7 1.6 2 1.5 4
0.1 0.2 0.5
x x x .
2．一块金与银的合金重 250 克，放在水中减轻了 16 克，已知金在水中称重量减轻 1
19
，
银在水中称重量减轻 1
10
，求这块合金中含金、银各多少克？
第 6 课时 3.4 实际问题与一元一次方程
学习目的：1. 会分析亏盈问题中的数量关系，并能正确列出方程；
2．体念数学与生活的密切关系，提高学数学的意识和数学建模能力。
学习重点：如何找相等关系，并列出方程解应用题，如亏盈、增长率等问题。
学习难点：设未知数找量等关系.
学习要求：1. 阅读课本 P104 的探究 1；
2．完成书上的填空；
3．限时 25 分钟完成本导学案（独立或合作）；
4．课前在组内交流展示。
一、自主学习：
1．商品经济中的盈利与亏损.
（1） 利润＝________ － _________；
（2） 当_______＞________时，盈利，当________＜________时，亏本；
（3） 商品利润率＝__________／__________×100％；
2．一家商店将某种服装按成本价提高 40％后标价，又以 8 折（即按标价的 80％）优惠卖
出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的成本是多少元？
提示：每件商品的利润是商品售价与商品成本价的差，如果设每件商品的成本价为 x
元，那么每件服装的标价是__________ 元，每件服装的实际售价为_____________元，每件
服 装 的 利 润 可 表 示 为 ______________________ ， 则 列 方 程 ：
_____________________________ .
解这个方程， 得 x＝_____ . 因此，这种服装每件的成本价是______元。
3．牛刀小试：
（1）一件羊毛衫的进价为 150 元，销售价为 180 元，则该商品的销售利润为________
元，利润率是_______。
（2）某人以八折的优惠价买一套服装省了 25 元，则这套服装实际用了（ ）元。
（A） 31.25 (B) 60 (C) 125 (D) 100
二、合作探究：
1．阅读 P104 的探究 1，并完成下面的填空：
设盈利的那件衣服的进价为 x 元，则它的利润是________元，根据售价、进价、利润三
者的关系，列方程为：___________________________ ，解之得： x＝_____ .
类似地，可设另一件衣服的进价为 y 元，则它的商品利润是___________元，列出方程是：
_____________________________ ，解得：y＝_______ .
两件衣服的进价是 x＋y＝_______ 元，而两件衣服的总售价是________ 元，于是，进
价______售价（填＜、＞、＝），由此可知，卖出这两件衣服总的盈亏情况是__________ .
注意：解这类问题也可用下面的关系式：
（1） 进价×（1＋盈利率）＝售价 ； （2）进价×（1－亏损率）＝售价.
（3） 进价×（1＋利润率）＝标价×
10
n . （其中 n 为打折数）
2．做一做：
（1）一件衣服标价是 132 元，若以九折降价出售，仍可获利 10％，这件衣服的进价是
多少元？
（2）某商店有两个进价不同的篮球都买 84 元，其中一个盈利 20％，另一个亏本 20％，
在这次买卖中，这家商店盈亏如何？
（3）某种风扇因季节原因准备打折出售，如果按标价的七五折出售将赔 30 元，如果按
标价的九折出售，将赚 24 元，问这种风扇的标价是多少元？
3．填一填：
（1）一家商店将某件商品按成本价提高 50%后，标价为 450 元，又以 8 折出售，则售
出这件商品可得利润_______元。
（2）一种货物连续两次均以 10％的幅度降价后，售价为 486 元，则降价前的售价是___
元。
4．某种商品降价 10％后的价格恰好比原来的一半多 40 元，问该商品的原价是多少元？
三、小组小结：
四、课后作业：
1．P108 的习题 3.4 第 3、4 题；
2．选做题：某商品第二次进货时比第一次进货价格便宜了 8％，而售价不变，这时这种
商品的利润率由原来的 x％增加到（x＋10）％，试求 x 的值。
第 7 课时 3.4 实际问题与一元一次方程
展标导读：1. 掌握经济作物中的数量关系，并能正确列出方程学会分析问题的方法；
2. 体会数学与生活的密切关系，提高学数学、用数学的意识和数学建模能力。
学习重点：经济作物种植问题中，如何找相等关系，布列方程.
学习难点：准确把握题意，找出贯穿全题的等量关系。
学习要求：1. 阅读教材 P105 的探究 2；
2. 尝试完成探究 2 的填空；
3. 限时 25 分钟完成本导学案；
4. 课前组内交流展示，组长根据完成情况进行等级评价。
一、自主学习：
通过前几章的学习，我们利用一元一次方程可以解决许多实际问题，请你试一试，你能
解决下面的问题吗？
1. 在购物商场，小王想买一件标价为 500 元的衣服，一般的商场都是加价 100％标
价，你能帮小王还价吗？
2. 某村去年种植油菜籽 200 亩，亩产量达 160 千克，若油菜籽含油率 40％，则去年
的产油量是____________ ，若今年改种新品种，亩产量提高 40 千克，含油率增
加 10％，产油量比去年提高 20％，则今年油菜籽的种植面积是多少？
提示：总产量＝亩产量×种植面积； 产油量＝亩产量×含油率×种植面积。
二、合作探究：
1．仔细阅读 P105 探究 2，
2．设今年种植的油菜 x 亩，完成下表： （列式即可）
年 份 亩产量（千克） 种植面积（亩） 含 油 率 产 油 量（千克）
去 年 160
今 年 x
3. 根 据 今 年 比 去 年 产 油 量 提 高 20 ％ ， 列 出 方 程 为 ：
______________________________ ，
解得：x＝_________
4. 完成下表： （列式并化简）
年份 种植成本（元） 售油收入（元） 售油收入与种植成本之差
（元）
去年 即： 即：
今年 即： 即：
5．两年相比，油菜种植成本、售油收入有什么变化？
三．能力提升：
1．某家电商场销售 A、B 两种品牌的冰箱，5 月份 A 品牌冰箱的销售量是 80 台，B 品牌
的冰箱的销售量是 120 台，6 月份 A 品牌的销售量减少了 5％，但 A、B 两种品牌的冰箱总
销量增长了 16％，问 B 品牌的冰箱 6 月份的销量比 5 月份增长了百分之几？
2．某市出租车的计价规则是：行程不超过 3 千米，收起步价 8 元，超过部分每千米路程
收费 1.2 元，小刚去办事，坐出租车付了 22.4 元，则他乘坐了多少路程？
四、学习小结：
五、课后作业：
1．P108 习题 3.4 第 5、6 题；
2．某同学做数学题，若每小时做 5 题，就可以在预定时间内完成，当他做完 10 题后，
每题效率提高了 60％，因而不但提前 5 小时完成，而且还多做了 5 道题，问这位同学原计
划做多少道题？多少小时完成？
第 8 课时 3.4 实际问题与一元一次方程
展标导读：1. 结合球赛积分表，掌握从图表中获取信息的方法，培养观察与推理能力；
2．增强运用数学知识解决实际问题的意识，激发学生学习数学的热情；
3．认识到由实际问题得到的方程的解要符合实际意义。
学习重点：从表格中获取有关数据信息，利用方程进行计算、推理、判断。
学习难点：从图表中获取有关信息，寻找数量之间的隐蔽关系，正确建立方程。
学习要求：1. 阅读教材 P106 的探究 3；
2．限时 25 分钟完成本导学案；（独立或合作）
3．课前在组内交流展示。
4．组长根据组员完成情况进行等级评价。
一、自主学习：
1．篮球比赛积分中，胜一场积几分？负一场积几分？这与足球比赛的积分制是否相同？
2．足球赛规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分。“猛虎”队赛了 9 场，共
得 17 分，已知这个队只输 2 场，问这个队胜几场？又平几场？
二、合作探究：
1．认真阅读 P106 探究.
（1）要解决探究中的问题，必须先求出胜一场积几分，负一场积几分。你能从积分表中
选出其中哪一行最能说明负一场积几分吗？能否求出胜一场得几分？又如何检验结论的正
确性呢？
① 观察积分榜，从________行的数据可以发现负一场积______ 分；
2 设胜一场积 x 分，则从表中任何一行都可以列出方程，求出 x 的值。若选第三行数
据，则列方程为：_________________________ ，
由此得 x＝________ ，
若选第 5 行呢？再试一试，又会怎样？
③ 用表中其他行可以验证，得出此次比赛的积分规则：负一场积_____ 分，胜一场积
______分。
（2）如何计算积分？你能否列一个式子来表示积分与胜负场数之间的关系？
① 要弄清两个关系：★ 总积分＝_______积分＋_______积分；
★ 总场数＝__________ ＋___________。
②如果设一个队胜 a 场，则负______场，胜场积分为__________，负场积分为_______ ，
总积分为：_____________________ 。
（3）某队的胜场总积分能等于它的负场积分吗？
提示：要解决这类问题，通常先假设某队的胜场积分等于它的负场总积分，列出方程进
行计算，再根据结果做出判断。
① 设一个队胜了 x 场，则负了_______ 场，如果这个队的胜场积分等于它的负场总积
分，则得方程为：_________________________ ，解得 x＝_______ .
2 想一想：x 表示什么量？它可以是分数吗？由此你能得出什么结论？
3 由此可以看出：
★ 利用方程不仅能计算未知数的值，而且还可以进一步推理 ；
★ 解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程
的解是否符合问题的实际意义。
2．某班的一次数学小测验中，一共出了 20 道选择题，每题 5 分，总分为 100 分，现从
中抽取 5 份试卷，进行分析，如下表：
试 卷 正确个数 错误个数 得分
A 19 1 94
B 18 2 88
C 17 3 82
D 14 6 64
E 10 10 40
（1） 某同学得了 70 分，问他答对了多少道题？
（2） 同学甲说他自己得了 86 分，同学乙说他自己得了 72 分，请你判断一下：谁说
的是真话？为什么？
三、学习小结：
四、课后作业：
1. P107 的习题 3.4 第 2、9 题；
2．（选做）清明节，某校师生排成两路纵队去烈士陵园扫墓，他们以 4 千米／时的速
度前进，在队尾的联络员要把队长的通知立即送给队首的团委书记，送到后立即返回
队尾，共用去 14.4 分钟，已知联络员的速度为 6 千米／时，你能算出该队伍的长度吗？
第 9 课时 3.4 实际问题与一元一次方程
展标导读：
1、掌握利息、本金、利率、税率问题，能熟练地利用它们的关系列方程；
2、提高学生分析实际问题中数量关系的能力。
学习重点：寻找等量关系列方程.
学习难点：根据题意找等量关系.
学习要求：1. 限时 20 分钟完成本导学案；
2．课前在组内交流展示；
3．组长根据完成情况对组员作出等级评价（A、B、C、D）。
一、自主学习：
1．知识准备：
（1）本息和=本金+______，利息=_______×______×________
（2）利息税=利息×________
2．思考下列问题，看谁做得又快又好：
（1）小刚把压岁钱按定期一年存入银行，若一年定期存款的年利率为 4.14％，利息税的税
率为 5％ ，到期支取时，扣除利息税后，小刚本利和为 519.665 元，问小刚存入银行的压
岁钱有多少元？
（2）某商店促销某种品牌彩电，2008 年元旦那天购买该彩电可分两期付款，在购买时先付
一笔款，余下的部分及它的利息（年利率为 6%）在 2009 年元旦付清，该彩电售价是每台 6592
元，若两次付款相同，那每次应付款多少元？
（3）某企业存入银行甲、乙两种不同性质用途的存款共 20 万元，甲种存款的年利率为 2.5%，
乙种存款的年利率为 2.25%，该企业一年可获利息 4850 元，求甲、乙两种存款各多少元？
.
二、合作探究：
1．蔬菜种植专业户王先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请甲、乙两种贷款共
13 万元，王先生每年需付利息 6075 元，已知甲种贷款的年利率为 6%，乙种贷款的年利率为
3.5%，求甲、乙两种贷款分别是多少元？
2．小明爸爸准备将一笔钱存入银行，想在 2 年后取出本息和 1 万元，他有两种选择：一
是存 1 年期，年利率是 2.25%，到期后自动转存；二是直接存 2 年期，年利率是 2.79%，请
你帮小明爸爸选择较合算的储蓄方式，按这种方式，他应存入多少钱？（精确到元）
三、学习小结：
四、课后作业：
1．张先生 2009 年 7 月 8 日买了 2008 年发行的 5 年期国库劵 1000 元，回家后在存款单
的背面记下了当国库劵 2014 年 7 月 8 日到期时，他可获得的本息和为 1390 元，若设国库劵
的年利率为 x，则列方程为_________________________ .
2．股民小李星期六买进某公司股票 1000 股，每股 27 元，本周内该股票每日的涨跌情况
如下表所示（单位：元）
星期 一 二 三 四 五 六
每股涨跌 +4 +4.5 －1 －2.5 －6 +2
（1）本周内最高价每股是多少元？最低每股是多少元？
（2）已知小李买进股票时付了 1.5‰的手续费，卖出时需付成交额 1.5‰的手续费和 1‰的
交易税，如果小李星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
第 10 课时 实际问题与一元一次方程
展标导读：
1、掌握数字问题，能熟练地利用相等关系列方程；
2、掌握等积变形问题，能熟练地利用变形前后的体积相等的关系列方程；
3、提高学生分析实际问题中数量关系的能力。
学习重点：寻找等量关系列方程.
学习难点：根据题意找等量关系.
学习要求：1. 限时 25 分钟完成本导学案；
2．课前在组内交流展示；
3．组长根据组员完成的情况作出等级评价。
一、自主学习：
1、知识回顾：
（1）一个两位数，个位上的数是 x，十位上的数是 y，这个两位数是________ ；
（2）一个三位数，个位上的数的 x，十位上的数是 y，百位上的数是 z，则这个三位数是
___________ ；
（3）圆柱的体积＝_________，圆锥的体积＝____________；
（4）正方形的体积＝_______ ,长方形的体积＝______________。
2、思考下列问题，比一比，看谁做得好：
(1) 一个两位数，数字之和为 11，若原数加 45 得到的数和原数的两个数字交换位置后得
到的数恰好相等，求原两位数。
（2）有一个底面半径为 4 ㎝的圆柱形储油器，油中浸有钢珠，若从中捞出 624π克的钢珠,
问液面将下降多少厘米?(1 3厘米 钢珠重 7.8 克)
(3) 用直径为 10 ㎝的圆柱形铅柱,铸造 9 只直径为 10 ㎝的铅球,应截取多长的铅柱?(球的
体积= 34
3 r ,r 为半径)
二、合作探究：
1．用直径为 8 ㎝的圆钢铸造 6 个直径为 4 ㎝，高为 8 ㎝的圆柱形零件，问需要截取多长
圆钢？
2．一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大 1，个位上的数字比十位上的数字的 3
倍少 2.若将三个数字顺序倒过来，所得的三位数与原三位数的和是 1171，求这个三位数。
3．有一些卡片排成一行，上面分别标有 24，30，36，42，48，……，小丽从中拿了相邻
的 3 张，这 3 张卡片的数字之和为 252.
（1）小丽拿到的是哪三张？
（2）能否拿到的数字之和是 312 的相邻三张？如果能，请求出是哪三张；如果不能，请说
明理由。
三、学习小结：
四、课后作业：
1．有一个三位数，百位上的数字是 1，若把 1 放在最后一位上，而另两个数字的顺序不
变，则所得的新数比原数大 234，求原三位数。
4．有一艘驳船载重量是 800 吨，容积是 795 立方米。现在装运生铁和棉花两种物质，生
铁每吨体积是 0.3 立方米，棉花每吨体积是 4 立方米，为了充分利用船的载重量和容积，生
铁和棉花各应装多少吨？
第 11 课时 第三章 《一元一次方程》复习（1）
展标导读：
1. 对本章所学知识及其间的关系有一个总体认识，深刻体会数学建模思想和解方程中的
化归思想在解题中的作用；
2．准确理解方程、方程的解、解方程和一元一次方程等概念，并能综合运用它们进行计
算、推理、判断；
3．熟练掌握等式性质及一元一次方程的解法。
学习重点：等式性质及一元一次方程的解法.
学习难点：一元一次方程的解法.
学习要求：1. 阅读教材 P112 的小结；
2．限时 25 分钟完成本导学案；
3．课前在组内交流展示；
4．组长根据组员完成的情况进行等级评定。
一、自主学习：
1．知识回顾：
（1）方程：
（2）一元一次方程：
（3）方程的解：
（4）解方程：
（5）等式的性质：
（6）解一元一次方程的一般步骤及根据
步骤 根据
1 去分母—————————__________________ ；
2 去括号—————————__________________ ；
3 移 项 —————————__________________ ；
4 合 并 —————————__________________ ；
5 化系数为 1 ———————__________________；
6 验 根 ————————把根分别代入方程的左右两边看求得的值是否相等。
2．练一练：
（1）若 2x－3 与－ 1
3
互为倒数，则 x＝_______ ；
（2）已知关于 x 的方程 |m|( 3) 2 6m x —2 是一元一次方程，则 m＝_______ ；
（3）已知关于 x 的方程 2 0a bx cx 的一个解是﹣1，试求| 2010|a b c 的值。
（4）如果﹣5x＝5y，那么 x＝______ ，其根据是__________________ ，在等式的两边同
时_______________________________。
（5）如果代数式 16( 4) 22 x x 与 17 ( 1)3 x 的值相等，则 x＝_______。
二、合作探究：
1．如果|3x-2| 4 ，则 x＝______ ；
2．已知方程 13 8 4x x a 的解满足| 2| 0x ，则 a＝______；
3．解方程：
（1） 2(x＋3) －5(1－x) ＝3(x－1) ； （2） 4 3 2( 5)5 3 2
x x xx ；
（3） 3 1.5 0.2 0.18 40.2 0.09
x xx 。
4．若 3 2 3(2 1) a bx c dx x x ，要求 a＋b＋c＋d 的值，可令 x＝1，原等式变形
为：______________________________________ ，所以，a＋b＋c＋d＝__________ 。
想一想：利用上述求 a＋b＋c＋d 的方法，能否求：
（1） a 的值；
（2） a＋c 的值？若能，写出解答过程，若不能，说明理由。
三、学习小结：1. 解一元一次方程应注意哪些问题？
2．你又有哪些收获？
四、课后作业：P113 的复习题 3，第 1,2,3,4 题。
第 12 课时 《一元一次方程》复习（2）
展标导读：
1． 更熟练地掌握一元一次方程的解法；
2． 能列出一元一次方程解应用题，提高分析问题、解决问题的能力。
学习重点：列方程解应用题。
学习难点：用一元一次方程解决实际问题。
学习要求：1. 限时 25 分钟完成本导学案；
2．课前在组内交流展示；
3．组长根据组员完成的情况进行等级评价。
一、自主学习：
1．解一元一次方程一般步骤：
分母小数整数化，分子分母同时乘；
去分母时各项乘，分子整体要括起；
去括号时要遍乘，移项切记要变号；
合并同类要熟悉，最后系数化为 1。
2．回顾列方程解应用题的一般步骤：
（1）审题 ； （2）设未知数； （3）找相等关系；
（4）列方程； （5）解方程； （6）检验； （7）作答。
3．若 7 14 na b 与 57 m na b 是同类项，则 2m－3n＝___________ ；
4．某人商人一次卖出两件商品，一件赚 15％，另一件赔 15％，卖价都是 1955 元，在这
次买卖中，商人（ ）
A 不赚不赔 B 赚 90 元 C 赔 90 元 D 赚 100 元
5．设 x 表示两位数，y 表示三位数，如果 x 放在 y 的前面组成一个五位数，则用式子表示
这个五位数是__________________ ；
6．某商品的标价是 16.5 元，若降价以 9 折出售仍可获利 10％，则该商品进价是___元；
7．一件工程，甲队独做需 8 天完成，乙队独做需 12 天完成，现在先由甲队独做 2 天，然
后，乙队来支援，问乙队做多少天后，二人才能共同完成任务的
8
7 ？
8．K 取何值时，代数式 1
3
k 的值比 3 1
2
k 的值小 1？
二、合作探究：
1．甲、乙二人在公路上同方向匀速前进，甲的速度为 3 千米／时，乙的速度为 5 千米／
时，甲正午通过 A 地，乙于下午 2 点才通过 A 地，问下午几点乙才能追上甲？追及地距 A
地多远？
2．一个两位数，个位数字与十位数字的和是 9，如果将个位数字与十位数字对调后，所
得的新数比原数大 9，求原来的两位数是多少？
3．大明中学七年级共有三个班，向希望小学共捐书 385 本，1 班与 2 班捐书的本数比是
4∶3，1 班与 3 班捐书之比是 6∶7，问 2 班捐书多少本？
4． 某市为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：
每月每户用水量 每吨价格（元）
不超过 10 吨部分 1.60
超过 10 吨部分而不超过 20 吨部分 2.00
超过 20 吨部分 3.00
（1） 已知老王家三月份用水量是 18 吨，则应交水费多少元？
（2） 如果老王家六月份的水费为 60 元，则六月份用水多少吨？
三、学习小结：
四、课后作业：P113 复习题 3 第 5、6、7、8 题。
第四章 图形认识初步
第 1 学时 4．1．1 几何图形（1）
展标导读：1．观察生活中的实物或图片，认识以生活中的事物为原型的几何图形；
认识一些简单几何体的基本特性，能识别这些简单几何体．
2．能由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状；初步理解
立体图形与平面图形．
学习重点：识别简单几何体．
学习难点：从具体事物中抽象出几何图形．
使用要求：1．阅读课本 P115－P118；
2．尝试完成教材 P118 的两组思考的问题；
3．限时 25 分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）；
4．课前在小组内交流展示．
一、自主学习：
1．观察 P115 本章的章前图：
（1）知道这是什么地方吗？你对它了解多少？（可上网查找）
（2）你能从中找到我们熟悉的图形吗？找找看．
2．多姿多彩的图形美化了我们的生活，找一找我们生活中的你熟悉的图形．
3．你能不能设计一个装墨水的墨水盒？你能不能画出一个五角星？如果能，你就试一试，
如果不能，那就让我们一起走进多姿多彩的图形世界，共同学习．
二、合作探究：
1．观察 P116 的 9 张多姿多彩的图片，你能从中看出哪些熟悉的几何图形，与同学交流
你观察到的图形．
【老师提示】：对于一个物体，如果我们考虑它的颜色、材料和重量等，而只考虑它的形
状(如方的、圆的)、大小（如长度、面积、体积）和位置（如平行、垂直、相交），所得到
的图形就称为几何图形．如：我们学习过的长（正）方体、圆柱（锥）体、长（正）方形、
圆、三角形、四边形等都是几何图形．
2．立体图形：各部分不都在同一平面内的图形，叫做立体图形．
① 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是立体图形，
棱柱、棱锥也是常见的立体图形．
找一找生活中有哪些物体的形状类似于这些立体图形？（小组交流）
② 观察 P117 图 4.1－3，你能由实物想到几何图形及其形状吗？
③ 完成 P118 思考的问题（上），并与你的同学交流．
【老师提示】：常见．．的立体图形大致分为：柱体(圆柱、棱柱)、锥体(圆锥、棱锥)、球体
三类．
3．平面图形：各部分都在同一平面内的图形，叫做平面图形．
① 长方形、正方形、三角形、四边形、圆等都是平面图形．
找一找生活中的平面图形，与同学交流．
② 完成 P118 思考的问题（下）
4．立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但他们是互相联系的．
任何一个立体图形图形是由一个或几个平面图形围成的．
看看下面的几个立体图形是由怎样的平面图形围成的？
5．下面都是生活中的物体：粉笔盒、茶杯、文具盒、砖、铅垂仪、乒乓球、黑板面．
你能说出类似于这些物体的几何图形吗？
三、知识应用：
1．P119 达标训练题．
2．用两条线段、两个三角形、两个圆拼成图案．试着画几个，并取一个恰当的名字．
机器人 两盏电灯 稻草人
四、学习小结：
五、作业：P123 习题 4.1 第 1、2、3、7、8 题．
（有条件的同学可准备 10 个正方体形状的积木，下课时备用）
附：① 2008 年北京奥运会即第二十九届夏季奥林匹克运动会，于 2008 年 8 月 8 日 20 时开
幕，于 2008 年 8 月 24 日闭幕．
② 本届奥运会口号为“同一个世界，同一个梦想”，主办城市是中国北京．
③ 参赛国家及地区 204 个，参赛运动员 11438 人，设 302 项（28 种运动）比赛项目
④ 中国 51 金，21 银，28 铜．金牌数第一，奖牌总数第二．
第 2 学时 4．1．1 几何图形（2）
展标导读：1．从不同方向观察一个物体，体会其观察结果的不一样性．
2．能画出从不同方向看一些基本几何体或其简单组合得到的平面图形．
3．初步建立空间观念．
学习重点：识别并会画出从不同方向看简单几何体所得到的平面图形．
学习难点：识别并会画出从不同方向看简单组合体所得到的平面图形．
使用要求：1．阅读课本 P119
2．尝试完成教材 P120 达标训练第 1 题；
3．限时 15 分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）；
4．课前在小组内交流展示．
一、自主学习：
1．观察你身边的一个物体，试着从不同的角度去看它，你看到的形状是一样的吗？
2．下面这几个几何体，试着从不同角度去看看，你得到了怎样的几何图形？
【老师提示】：我们从不同的方向观察同一个物体时,可能看到不同的图形.为了能完整确切
地表达物体的形状和大小,必须从多方面观察物体.
在几何中,我们通常选择从正面、从左面、从上面三个方向来观察物体．通过这样的观
察，就能把一个立体图形用几个平面图形来描述．
3．分别正面、左面、上面再来观察上面的三个几何体，把观察的结果与同学交流．
二、合作探究：
1．分别从正面、左面、上面三个方向观察下面的几何体，把观察到的图形画出来．
（1） 从正面看 从左面看 从上面看
（2） 从正面看 从左面看 从上面看
（3） 从正面看 从左面看 从上面看
2．先阅读 P119 的教材再完成 P119 的探究．
（1）小组合作，可用正立体积木摆出书上的立体图形，再观察．
（2）改变正立体积木的摆放位置，你摆我答，合作学习．
（3）观察身边的几何体，如文具盒、同学的水杯等物品，与同学交流分别从正面、
左面、上面所看到的几何图形．
【老师提示】对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理．
3．P120 达标训练第 1 题．
3．苏东坡有一首诗《题西林壁》
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．”
为什么横看成岭侧成峰？这有怎样的数学道理？
三、学习小结：
四、作业：P123 习题 4.1 第 4、9、10、13 题．
（准备长方体形状的包装盒至少一个）
第 3 学时 4．1．2 点、线、面、体
展标导读：1．认识立体图形和它的展开图，体验平面图形和立体图形相互转换的过程．
2．通过实例，认识点、线、面、体的几何特征，感受它们之间的关系．
学习重点：1．了解基本几何体与其展开图之间的关系．
2．认识点、线、面、体的几何特征．
学习难点：正确判断一个平面图形能否可以折叠为立体图形．
使用要求：1．阅读课本 P120—P122
2．尝试完成教材 P121 达标训练第 2 题，P122 达标训练第 1、2 题；
3．限时 30 分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）；
4．课前在小组内交流展示．
一、自主学习：
1．立体图形是由平面图形围成的．观察你身边的长方体形状的包装盒，看一看它有
几个面，每个面分别是怎样的平面图形，给每个面作上记号（如前、后等）．
右边是一个圆柱体，想一想它有几个面？
2．把你刚才观察用的长方体形状的包装盒沿它的某几棱剪开铺平，观
察展开后的平
面图形形状，再观察你作上记号，看看它们之间有怎样的位置关系．
【老师提示】① 剪开之前最好先把它的包装口用胶水粘好．
② 不用把棱全部都剪开，只要能铺平就行了．
3．再找几个长方体形状的包装盒，沿与上次不一样的方向剪开铺平，看一看你展开
后的平面图形与上次展开后的平面图形是否有所不同？你能得出几种不同形状的
平面展开图．
4．观察一个长方体，面与面相交的地方形成了____，线与线相交的地方形成了___．
5．长方体、圆柱体、球、圆锥等都是几何体．几何体也简称体．
（1）包围着体的是面．面分为平面和曲面两种．
如图的圆锥体有两个面，一个是平面，另一个是曲面．
如图的六棱柱有_____个面，分别都是什么面？
如图的圆柱有_______个面，分别都是什么面？
（2）面与面相交的地方形成线．线分为直线和曲线两种．
圆锥体的两个面相交形成_______线．
（3）线与线相交形成点．
6．（1）如果把笔尖可能看作一个点，笔尖在纸上运动会形成什么_______．
如果把星星看作一个点，夜空中流星形成什么________．
（2）我们可以把汽车的雨刷看成一条线，汽车的雨刷在挡风玻璃上运动形成____．
生活中还有这样的例子吗？
由此我们可以得出：点动成_____，线动成______．
想一想，面动会成什么？生活中有没有这样的例子？
【老师提示】：几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的最基本元素．
二、合作探究
1．P120 的探究．（小组合作．先判断是什么样的立体图形，后动手实验验证）
2．P121 达标训练第 2 题．
3．P122 达标训练第 1、2 题．
4．一个立方体的六个面上分别标有 1、2、3、4、5、6 中的一个数字，下面是这个立方体
的三种不同放法，则三种放法中各个立方体下面的数字分别是____、___、____．
左左左
下 下
上上上
下
2
42 6
2
55 16
三、学习小结：
四、作业：P123 习题 4.1 第 5、6、11、12、14 题．
附：正方体展开图，共 11 种图形。
第 4 学时 4．2 直线、射线、线段（1）
展标导读：1．了解直线、射线、线段的联系和区别，掌握它们的表示方法．
2．了解两点确定一条直线的性质，并能初步应用．
3．会用几何语句描述几何图形，能根据几何语句画出相应的几何图形．
学习重点：1．直线、射线、线段的表示方法．
2．建立几何语句与几何图形之间的联系．
学习难点：建立几何语句与几何图形之间的联系．
使用要求：1．阅读课本 P128－P129；
2．尝试完成教材 P129 达标训练题；
3．限时 15 分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）；
4．课前在小组内交流展示．
一、自主学习：
1．学校总务处为解决下雨天学生雨伞的存放问题，决定在每个班级教室外钉一根 2 米长
的装有挂钩的木条．本校三个年级，每个年级 10 个班，问至少需要买几颗钉子？你能帮总
务处的老师算一算吗？
2．P128 的探究．
（1）在墙上固定一根木条，至少要几个钉子？动手试一试．
（2）动手作图试试：
① 过一点 O 可以作________直线.
② 过 A、B 两点________（能或不能）作直线，能作_________直线．
再过下面的 C、D 以及 E、F 两点作直线试试看
C
D
E
F
注意： 直线没有端点，是向两方无限延伸的，画直线时要画出向两方无限延伸的部分．
3．直线公理：
直线公理在生活中有广泛的应用，你能举出几个例子吗？
二、合作探究：
1．直线有几种表示方法？
（1）如图的直线可记作直线______或记作直线_______．
（2）用几何语言描述右面的图形，我们可以说：
点 P 在直线 AB______，点 A、B 都在直线 AB_____．
（3）如图，点 O 既在直线 m 上，又在直线 n 上，我们称直
线
m、n 相交，交点为 O．
想一想，如果两条直线相交，会有几个交点，作图试试．
（4）读下面的几何语句，画出图形．
① 点 A 在直线 a 外 ② 直线 AB、CD 相交于点 B，点 E 在直线 CD 上．
2．在直线上取点 O，把直线分成两个部分，去掉一边的一个部分，保留点 0 和另一部分
就得到一条射线，
如图就是一条射线，记作射线 OM 或记作射线 a．
注意：射线有一个端点，向一方无限延伸．
在下面的图中画射线 AB、射线 EF
m
A
B
P
A
B
n
m
O
a
O
M
a
A
B
A
B
E
F
3．在直线上取两个点 A、B，把直线分成三个部分，去掉两边的部分，保留点 A、B 和中
间的一部分就得到一条线段．
如图就是一条线段，记作线段 AB 或记作线段 a．
注意：线段有两个端点．
4．能不能把一条线段变成一条射线？能不能把一条线段变成一条直线？作图试试．
三、知识应用
1．P129 达标训练．
2．如图，分别有几条线段．
A
B
C
A
B
C
D
A
B
C
D
E
2．已知 A、B、C 三点，过其中的每两个点画直线，可画几条？
四、学习小结：
五、作业：P132 习题 4.2 第 1、2、3、4、11 题．
第 5 学时 4．2 直线、射线、线段（2）
展标导读：1．会画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的大小．
2．通过实例体会两点之间线段最短的性质，并能初步应用．
3．了解两点间的距离、线段的中点以及线段的三等分点的意义．
学习重点：线段比较大小以及线段的性质．
学习难点：线段的中点、三等分点及其应用．
使用要求：1．阅读课本 P129－P132；
2．尝试完成教材 P131 的达标训练题；
3．限时 20 分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）；
4．课前在小组内交流展示．
一、自主学习：
1．画直线 AB、画射线 CD、画线段 EF．
2．任意画线段 a．
你能不能再画一条线段 AB 正好等于你先前所画的线段 a．
你是怎样画的？你想到了几种方法？
二、合作探究：
1．如何比较两位同学的身高？
① 如果已知身高，我们如何比较？
② 如果不知身高，我们又如何比较？
2．如何比较两根木条的长短？
3．如何比较两条线段的大小？
① 任意画两条线段 AB, CD．我们如何比较 AB、CD 的大小？动手试试．
② 任意两条线段比较大小，其结果有几种可能性？
【老师提示】比较线段的常用方法有两种：① 度量法 ② 圆规截取法
4．试试身手：P131 达标训练第 1 题．
【老师提示】先估计大小关系看看我们的观察能力，再动手检验．
5．① 线段的中点：如图点 M 是线段 AB 上一点，并且 AM＝BM
我们称点 M 是线段 AB 的中点．
② 怎样找出一条线段 AB 的中点 M？
③ 线段的三等分点、线段的四等分点．（观察 P131 图 4.2－12）
6．（1）P131 思考．
（2）有些人要过马路到对面，为什么不愿走人行横道呢？
M
A
B
（3）从 A 地架设输电线路到 B 地，怎样架设可以使输电线路最短？
7．（1）线段的性质：
（2）两点间的距离：
8．画线段的和与差：
如图，已知两条线段 a、b（a＞b）
（1）画线段 a＋b
画法：① 画射线 AM；
② 在射线 AN 上顺次截取线段 AB＝a，BC＝b．
线段 AC 就是所要求作的线段 a＋b．记作 AC＝a＋b.
a
A B MC
b
（2）画线段 a－b
三、学习小结：
四、作业：1．P132 达标训练第 2 题．
2．P126 习题 3.2 第 5、6、7、8、9、10 题．
第 6 学时 4．3．1 角
展标导读：1．认识角，掌握角的两种定义形式及四种表示方法．
2．认识角度的单位；会初步进行角度的度、分互化运算．
学习重点：1．角的概念与角的表示方法．
2．角度的计算．
a b
学习难点：对角的概念的理解．
使用要求：1．阅读课本 P136－P137；
2．尝试完成教材 P138 的达标训练题；
3．限时 25 分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）；
4．课前在小组内交流展示．
一、自主学习：
1．下面的图形，你有怎样的认识？
2．角是一种基本的几何图形，画出一个角试试．
3．生活中有形如“∠”这种形状的图形吗？试举出一个例子．
4．角的概念．
（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．
这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
如图，角的顶点是 O，两边分别是射线 OA、OB．
（2）角有以下的表示方法：
① 用三个大写字母及符号“∠”表示．
三个大写字母分别是顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在中间．
如上图的角，可以记作∠AOB 或∠BOA．
② 用一个大写字母表示．这个字母就是顶点．如上图的角可记作∠O．
注意：当有两个或两个以上的角是同一个顶点时，不能用一个大写字母表示．
③ 用一个数字或一个希腊字母表示．
在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上希腊字母或数字．
如图的两个角，分别记作∠ 、∠1
5．想一想 P136“小贴示”中的问题．
图中有几个角？
（3）P136 思考．（这是角的另一种定义方式）
用你的圆规为工具，体会角的这种定义方式．
二、合作探究：
1．角度的单位：度、分、秒及其表示方法．
把圆周角等分成 360 等分，每一份就是什么是 1 度的角，记作 1°．
把 1 度的角等分成 60 等分，每一份就是什么是 1 分的角，记作 1′．
把 1 分的角等分成 60 等分，每一份就是什么是 1 秒的角，记作 1″．
由此我们可以得出：① 1°＝60′，1′＝60″
② 1 周角＝360°，1 平角＝180°
若∠ 是 51 度 26 分 37 秒，则记作∠ ＝____________（用符号表示）
【老师提示】：以度、分、秒为单位的角的度量制叫做角度制．
另外还有以弧度为单位的弧度制，军事上常用密位制．
O
B
A
1
1 弧度＝
180 ＝57°17′44″，1 密位＝ )50
3(6000
1 周角
2．用量角器画角与角的度量
（1）用量角器画 50°、90°、140°的角．26
【老师提示】用量角器度量角分三步：对中、重合、读数．
（2）估计画一个 70°的角，然后度量比较判断，看看你的判断能力．
（2）用三角尺画特殊 30°、45°、60°等特殊角．
三、当堂检测：
1．上午 7 时整，时针与分针成几度角？上午 7 时 15 分呢？
2．35.40°与 35°40′相等吗？为什么？
3．如图，有几个角？分别表示这几个角．
四、学习小结：
五、作业：1．P138 达标训练题第 1、2、3 题．
2．P143 习题 4.3 第 1、2、14 题．
第 7 学时 4．3．2 角的比较与运算（1）
展标导读：1．通过观察与操作，体会角的大小，会比较角的大小，能估计一个角的大小．
2．在图形中认识角的和、差关系，在操作中认识角的平分线．
A
B
O
C
D
学习重点：比较角的大小的方法．
学习难点：在图形中观察角的和、差关系．
使用要求：1．阅读课本 P138－P140；
2．尝试完成教材 P140 的达标训练第 1 题；
3．限时 20 分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）；
4．课前在小组内交流展示．
一、自主学习：
1．已知线段 AB 和线段 CD（如图），你如何比较这两条线段的大小？
A B C D
2．如图，图中共有几个角？如何表示这些角？
这些角之间有什么关系？
二、合作探究：
1．下面的三组图形，每组中都有两个角，你能判断它们的大小吗？说说你的方法．
AB
C
D
E
F
B A
C D
E
F
AB
C
D
E
F
(1) (2) (3)
【老师提示】如果你不会，可以参考我们前面对两条线段是如何比较大小的．
2．P140 达标训练第 1 题．
3．P138 思考：
4．想一想，你还能用三角尺可以画 30°、45°、60°、90°这些特殊角吗？
（1）我们能不能用三角尺画出 15°的角呢？怎样画？试试看．
（2）能用三角尺能画 75°的角吗？
（3）你还能用三角尺画哪些度数的角？试着画画看．
A
B
C
O
5．角的平分线．
（1）任意画一个角，取名叫∠AOB．
你能否从角的顶点作出一条射线，把∠AOB 分成两个相等的角？
如果能，试说出你的方法．
（2）角的平分线：
如图，射线 OP 是∠AOB 的角平分线，那么图这几个角
有怎样的大小关系？
6．我们知道线段有三等分点、四等分点，那么一个角会不会有三等分线或四等分线呢？
如图，给你一个角，你能作出它的三等分线吗？试试看．
三、当堂检测
如图，已知 OB、OC 是∠AOB 的三等分线，试说出几个你能得到的正确结论：
三、学习小结：
四、作业：P143 习题 4.3 第 4、6 题
第 8 学时 4．3．2 角的比较与运算（2）
展标导读：1．会进行度、分、秒的互化及角度的简单运算．
2．会进行角度的“加、减、乘、除”运算．
A
B
C
D
O
P
O
B
A
学习重点：度、分、秒的互化及角度的计算．
学习难点：角度的“除法”运算．
使用要求：1．阅读课本 P140 例 1、例 2；
2．尝试完成教材 P140 达标训练第 2、3 题；
3．限时 20 分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）；
4．课前在小组内交流展示．
一、自主学习：
1．任意画两个角（一个小于 90°，一个大于 90°）
先估计这两个角的度数，然后再用角器量出这两个角的度数，试试你的判断能力．
2．什么是 1°的角？什么是 1′的角？什么是 1″的角？还记得吗？
如果不记得了，没关系，先看看书再完成下面的问题．
（1）35°15′与 35.15°相等吗？为什么？
)4
135( 与 35°15′相等吗？为什么？
（2）
3
2 平角＝________度，
5
1 周角＝_______度．
（3）3.32°＝______度_______分_______秒． 12°9′36″＝_______度．
（完成上面的问题如果有困难，不妨与同学交流）
二、合作探究
1．计算：（1）46°55′＋23°35′ （2）46°55′－23°35′
（3）68°21′－32°48′ （4）23°35′×3 （5）15°23′18″×4
2．例 1：如图∠AOC＝53°17′，求∠BOC
3．例 2：把一个周角 6 等分，每一份是多少度的角？
那么把一个周角 7 等分，每一份的角度是多少？
A B
C
O
4．例 3：如图，∠AOC＝50°，OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC，
求∠DOE
三、当堂检测：
1．P140 达标训练第 2、3 题．
2．计算：122°48′÷3
四、拓展提高：
在上面的例 3 中，如果去掉“∠AOC＝50°”这个条件，还能不能求出∠DOE 呢？
五、学习小结：
六、作业：P143 习题 4.3 第 3、5、10、11 题．
第 9 学时 4．3．3 余角与补角（1）
展标导读：1．在具体情境中了解余角、补角的概念．
2．了解等角的余角与补角的性质，能运用这个性质解决简单的实际问题．
E
D
C
O
B
A
3．学习进行简单的推理，学习有条理的表达．
学习重点：等角的余角与补角的性质．
学习难点：推导“等角的余角与补角的性质”的过程．
使用要求：1．阅读课本 P141—P142；
2．尝试完成教材 P141 达标训练第 1、2、3 题；
3．限时 20 分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）；
4．课前在小组内交流展示．
一、自主学习：
1．① 如果∠1＝35°，∠2＝55°，那么∠1＋∠2＝_______.
如果∠A＝42°，那么当∠B＝_______时，∠A＋∠B＝90°．
② 三角尺中，有一个角是直角(90°),那么另两个角的和是________度．
③ 度量 P141 图 4.3-13 的两个角，∠3＝____，∠4＝____，计算：∠3＋∠4＝_____．
一般地，如果两个角的和等于 90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的
一个角是另一个角的余角．
2．（1）在上面的这些角中，哪两个角是互为余角的？
（2）已知∠A＝72°，那么∠A 的余角是______度．
（3）已知∠A 的余角是∠A 的两倍，你能求出∠A 的度数吗？说说你的想法．
3．度量 P141 图 4.3-14 的两个角，∠1＝____，∠2＝____，计算：∠1＋∠2＝_____．
一般地，如果两个角的和等于 180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一
个角是另一个角的补角．
（1）上面的∠1 与∠2 互为补角吗？
（2）试举出两个互为补角的例子．
（3）① 已知∠A＝72°，则∠A 的补角＝______度．
② 如果∠ ＝62°23′，则∠ 的余角＝______，则∠ 的补角＝______．
③ 已知∠A 的补角是∠A 的两倍，你还能求出∠A 的度数吗？
④ 已知一个角的补角是这个角的余角的 3 倍，求这个角的度数．
二、当堂检测：P141 达标训练第 1、2、3 题．
三、合作探究：
1．如果∠1 与∠2 互余，∠1 与∠3 互余，那么∠2 与∠3 相等吗？为什么？
2．如果∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补，那么∠2 与∠3 相等吗？为什么？
3．如果∠1 与∠2 互余，∠3 与∠4 互余，并且∠1＝∠3，那么∠2 与∠4 相等吗？
4．如果∠1 与∠2 互补，∠3 与∠4 互补，并且∠1＝∠3，那么∠2 与∠4 相等吗？
5．余角的性质：
补角的性质：
四、学习小结：
五、作业：P143 习题 4.3 第 7、8、13、15 题．
第 10 学时 4．3．3 余角与补角（2）
展标导读：1．了解用于表现方向的角——方位角的意义．，．
2．初步掌握方位角的判别，体会方位角在生活中的应用．
缉私艇
可疑船
A
B
学习重点：方位角的判别与应用．
学习难点：方位角的判别与应用．
使用要求：1．阅读课本 P142—P143；
2．限时 15 分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）；
3．课前在小组内交流展示．
一、自主学习：
1．海上缉私艇发现离它 50 海里处停着一艘可疑船只（如图），缉私艇要立即赶往检查．
（1）试画出缉私艇的航线．
（2）如果是真在海面上，你能确定船的航向吗？
2．在航行、测绘等日常生活中，我们经常会碰到上述类似的问题，即如何描述一个物体
的方位．描述一个物体的方位，通常要用到表示方位的角——方位角．
方位角的表示习惯上以正北、正南方向为基准来描
述物体的方向．即用“北偏东多少度”、“北偏西多少度”
或者“南偏东多少度”、“南偏西多少度”来表示方向．
如图，（1）射线 OA 的方向是南偏西 40°，或者说
点 A 在点 O 的南偏西 40°方向．
（2）射线 OB 的方向是北偏东 45°，或者说点 B 在
点 O 的________方向．
注：北偏东 45°的方向又称为“东北方向”．所以，
我们也可以称点 B 在点 O 的________方向．
（3）在图中画出北偏西 50°方向射线 OC．
3．在第 1 个问题中，我们规定“上北下南，左西右东”，试确定缉私艇的航向．
4．P142 例 4．
二、合作探究：
1．已知点 O 在点 A 的南偏东 65°方向，那么点 A 应在点 O 的
______________方向.
2．某同学参观展览馆 A 后，想去景点 B，但他不知道如何走，你
能借助右图，告诉他去景点 B 应朝什么方向，大约走多远吗？
（图中 1 厘米代表 1 千米）
3．如图，A、B、C 三点分别代表邮局、商店和学校．
邮局和商店分别在学校的北偏西方向，邮局又在商店的北偏
东方向．那么，图中 A 点应该是 ,B 点应该是 ，
C 点应该是______.
4．考察队从 P 地出发，沿北偏东 60°前进 5 千米到达 A 地，再沿东南方向前进到达 C 地，
C 恰好在 P 地的正东方．
东
南
西
北
A
B
O
40
450
0
（1）用 1 ㎝代表 2 千米，画出考察队的行进路线图．
（2）量得∠PAC＝________，∠ACP＝_______．（精确到 1°）
5．灯塔 A 在灯塔 B 的南偏西 60°，距离 20 海里，轮船 C 在灯塔 B 的西北方向，距离 40
海里．用 1 ㎝表示 10 海里画出示意图，试确定货船 C 在灯塔 A 的什么方向，距 A 多远？
三、学习小结：
四、作业：P143 习题 3.4 第 9、12 题．
第 11 学时 小结与复习（1）
展标导读：1．进一步熟悉常见几何体的基本特征，能正确识别常见的几何体．
2．进一步熟悉和了解常见几何体的平面展开图以及简单几何体的三视图．
3．进一步认识点、线、面、体及其相互关系．
学习重点：能正确识别常见的几何体及其平面展开图．
学习难点：正确作出简单几何体的三视图．
使用要求：1．阅读课本 P151 小结；
2．尝试完成教材 P152 复习题 4 第 1、2、3 题；
3．限时 25 分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）；
4．课前在小组内交流展示．
一、知识回顾：
1．什么是几何图形？
几何图形可分为_______和________两大类．
2．常见的立体图形：
常见．．的立体图形大致可分为：柱体、锥体和球体三类．
（1）下面的几何体都我们生活中常见的，你能不能找到生活中的实例以及想象其图形．
长方体、正方体、球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、棱台、圆台等．
（2）完成教材 P152 复习题 4 第 1 题．
3．常见的平面图形：
试写几个常见的平面图形，找一找生活中的实例，想一想其图形的形状．
4．点、线、面、体及其相互间的关系．
5．简单几何体的三视图．
从正面看 从左面看
从上面看
按要求画出这个几何体从正面、左面、上面观察所得到的三视图．
6．常见几何体的平面展开图
（1）圆柱的展开图与圆锥的展开图．
圆柱及其展开图 圆锥及其展开图
（2）你能画出下面这个几何体的展开图吗？试一试．
二、合作探究：
1．如图，左边这个几何体的展开图可以是（ ）
A B C D
【老师提示】当我们不能正确判断时，最好动手折一折．
2．如图，把左边的图形折叠起来，它会变为 ( )
A B C D
3．下面是水平放置的四个几何体，从正面观察不是长方形的是（ ）
A B C D
4．如图，5 个边长都为 1 ㎝的正方体摆在桌子上，
则露在表面的部分的面积是_______．
5．P152 复习题 4 第 2、4 题．
二、学习小结：
三、作业：P152 复习题 3 第 3、10、11 题．
第 12 学时 小结与复习（2）
展标导读：1．进一步理解直线、射线、线段的特征及有关性质．
2．进一步理解角的有关概念和性质．
3．能正确应用几何符号、几何语言描述几何图形．
学习重点：线段、角的概念及其相关性质．
学习难点：运用线段与角的相关知识解决问题．
使用要求：1．尝试完成教材 P152 复习题 4 第 5、8 题；
3．限时 25 分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）；
4．课前在小组内交流展示．
一、知识回顾：
1．直线、射线、线段的特征（端点与延伸性）；区别与联系；生活中的实例．
画直线 AB、射线 CD、线段 EF．
2．直线公理、线段公理及其在生活中的应用．
3．任意画线段 AB，作出其点 M；任意画线段 CD，作出其三等点 P、Q．
用式子表示中点、三等分点的性质．
4．什么叫做角？角度的单位有哪些？．
计算：25°28′×4＝_________ 125°28′÷4＝________.
23.23°＝_____°_____′_____″ 25°19′48″＝_________度．
5．任意画∠AOB，作出∠AOB 的平分线 OC，并用式子表示角平分线的性质．
6．画出能表示∠1＋∠2 的图形；画出能表示∠3－∠4 的图形．
7．怎样的两个角互为余角？怎样的两个互为补角？
余角与补角有怎样的性质？
二、合作探究：
1．已知点 C 是线段 AB 上一点，AC＝6 ㎝，BC＝4 ㎝，若 M、N 分别是线段 AC、BC 的
中点，求线段 MN 的长．
2．已知线段 AB＝10 ㎝，点 C 是线段 AB 上任意一点，若 M、N 分别是线段 AC、BC 的
中点，是否还能够求出线段 MN 的长？试试看．
3．如图，点 O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝50°，OM、ON 分别是∠AOC、∠BOC 的平分线，
求∠MON 的度数．
4．在上面第 3 题中去掉“∠AOC＝50°”这个条件，是否还能够求出∠MON 的度数？
试试看．
5．如图，点 O 是直线 AB 上一点，∠1：∠2：∠3＝1：2：3，
求：∠2 的度数．
6．一个角的余角的 3 倍，比它的补角少 20°，求这个角
三、作业：P152 复习题 4 第 5、6、7、8、9 题．
N
M
A
B
C
N
M
A
B
C
N
O
M
C
B
A
A BO
1
2 3
第 13 学时 小结与复习（3）——达标训练课
展标导读：综合运用本章知识解决问题．
学习重点：相关知识的灵活运用．
学习难点：相关知识的灵活运用．
一、合作探究：
1．如图，∠AOB、∠COD 都是直角，∠BOC＝38°，求∠AOD 的度数．
2．如图，OC、OD 是平角∠AOB 的三等分线，OE、OF 分别是∠AOC、∠BOD 的平分线，
求∠EOF 的度数．
3．如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM、ON 分别平分∠AOC、∠BOC，
求∠MON 的度数．
4．（1）在上面第 3 题中，如果∠BOC＝50°，那么∠MON 是多少度？
（2）在上面第 3 题中，如果∠AOB＝80°，那么∠MON 是多少度？
从上面这几个问题的解答过程中，你是否发现了其中的规律？
5．在 4 时和 5 时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针成直角．
O
D
C
B
A
A O B
C D
E F
N
M
O
C
B
A
1
2
3
4
567
8
9
10
11 12
A
6．小明同学晚上 6 点多种开始做作业时，他发现时钟的时针与分针成 120°的角，做完
作业后，他发现时钟的时针与分针还是成 120°的角，但这时已近晚上 7 点了，那么小
明同学做作业用了多少时间？
7．小明同学在操场上从点 A 出发向东北方向走 40 米到点 B，再从 B 出发向北偏西 75°
方向走 50 米到点 C．用 1：1000 的比例尺画出图形．
（1）量出 AC 的长．
（2）AC 间的实际长是多少？
（3）点 C 在点 A 的什么方向．
二、作业：P147 复习题 3 第 12、13、14、15、16 题．
1
2
3
4
567
8
9
10
11 12
A
七年级上册数学教案
第一章 有理数
单元教学内容
1．本单元结合学生的生活经验，列举了学生熟悉的用正、负数表示的实例，
从扩充运算的角度引入负数，然后再指出可以用正、负数表示现实生活中具有
相反意义的量，使学生感受到负数的引入是来自实际生活的需要，体会数学知识
与现实世界的联系．
引入正、负数概念之后，接着给出正整数、负整数、正分数、负分数集合及
整数、分数和有理数的概念．
2．通过怎样用数简明地表示一条东西走向的马路旁的树、电线杆与汽车站
的相对位置关系引入数轴．数轴是非常重要的数学工具，它可以把所有的有理数
用数轴上的点形象地表示出来，使数与形结合为一体，揭示了数形之间的内在联
系，从而体现出以下 4 个方面的作用：
（1）数轴能反映出数形之间的对应关系．
（2）数轴能反映数的性质．
（3）数轴能解释数的某些概念，如相反数、绝对值、近似数．
（4）数轴可使有理数大小的比较形象化．
3．对于相反数的概念，从“数轴上表示互为相反数的两点分别在原点的两
旁，且离开原点的距离相等”来说明相反数的几何意义，同时补充“零的相反数
是零”作为相反数意义的一部分．
4．正确理解绝对值的概念是难点．
根据有理数的绝对值的两种意义，可以归纳出有理数的绝对值有如下性质：
（1）任何有理数都有唯一的绝对值．
（2）有理数的绝对值是一个非负数，即最小的绝对值是零．
（3）两个互为相反数的绝对值相等，即│a│=│-a│．
（4）任何有理数都不大于它的绝对值，即│a│≥a，│a│≥-a．
（5）若│a│=│b│，则 a=b，或 a=-b 或 a=b=0．
三维目标
1．知识与技能
（1）了解正数、负数的实际意义，会判断一个数是正数还是负数．
（2）掌握数轴的画法，能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知
点所表示的解．
（3）理解相反数、绝对值的几何意义和代数意义，会求一个数的相反数和
绝对值．
（4）会利用数轴和绝对值比较有理数的大小．
2．过程与方法
经过探索有理数运算法则和运算律的过程，体会“类比”、“转化”、“数形结
合”等数学方法．
3．情感态度与价值观
使学生感受数学知识与现实世界的联系，鼓励学生探索规律，并在合作交流
中完善规范语言．
重、难点与关键
1．重点：正确理解有理数、相反数、绝对值等概念；会用正、负数表示具
有相反意义的量，会求一个数的相反数和绝对值．
2．难点：准确理解负数、绝对值等概念．
3．关键：正确理解负数的意义和绝对值的意义．
课时划分
1．1 正数和负数 2 课时
1．2 有理数 5 课时
1．3 有理数的加减法 4 课时
1．4 有理数的乘除法 5 课时
1．5 有理数的乘方 4 课时
第一章有理数（复习） 2 课时
1．1 正数和负数
第一课时
三维目标
一．知识与技能
能判断一个数是正数还是负数，能用正数或负数表示生活中具有相反意义的
量．
二．过程与方法
借助生活中的实例理解有理数的意义，体会负数引入的必要性和有理数应用
的广泛性．
三．情感态度与价值观
培养学生积极思考，合作交流的意识和能力．
教学重、难点与关键
1．重点：正确理解负数的意义，掌握判断一个数是正数还是负数的方法．
2．难点：正确理解负数的概念．
3．关键：创设情境，充分利用学生身边熟悉的事物，加深对负数意义的理
解
教学过程
四、课堂引入
我们知道，数是人们在实际生活和生活需要中产生，并不断扩充的．人们由
记数、排序、产生数 1，2，3，…；为了表示“没有物体”、“空位”引进了数“0”，
测量和分配有时不能得到整数的结果，为此产生了分数和小数．
在生活、生产、科研中经常遇到数的表示与数的运算的问题，例如课本第
2页至第 3 页中提到的四个问题，这里出现的新数：-3，-2，-2.7%在前面的实际
问题中它们分别表示：零下 3 摄氏度，净输 2 球，减少 2.7%．
五、讲授新课
（1）、像-3，-2，-2.7%这样的数（即在以前学过的 0 以外的数前面加上负号“－”
的数）叫做负数．而 3，2，+2.7%在问题中分别表示零上 3 摄氏度，净胜 2 球，
增长 2.7%，它们与负数具有相反的意义，我们把这样的数（即以前学过的 0
以外的数）叫做正数，有时在正数前面也加上“＋”（正）号，例如，+3，+2，
+0.5，+ 1
3
，…就是 3，2，0.5， 1
3
，…一个数前面的“＋”、“－”号叫做它的符
号，这种符号叫做性质符号．
(2)、中国古代用算筹（表示数的工具）进行计算，红色算筹表示正数，黑色算
筹表示负数．
(3)、数 0 既不是正数，也不是负数，但 0 是正数与负数的分界数．
(4) 、0 可以表示没有，还可以表示一个确定的量，如今天气温是 0℃，是指一
个确定的温度；海拔 0 表示海平面的平均高度．
用正负数表示具有相反意义的量
（5）、 把 0 以外的数分为正数和负数，起源于表示两种相反意义的量．正数和
负数在许多方面被广泛地应用．在地形图上表示某地高度时，需要以海平面为基
准，通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，负数表示低于海平面的某地
的海拔高度．例如：珠穆朗玛峰的海拔高度为 8844m，吐鲁番盆地的海拔高度为
-155m．记录账目时，通常用正数表示收入款额，负数表示支出款额．
（6）、 请学生解释课本中图 1．1-2，图 1．1-3 中的正数和负数的含义．
（7）、 你能再举一些用正负数表示数量的实际例子吗？
（8）、例如，通常用正数表示汽车向东行驶的路程，用负数表示汽车向西行驶的
路程；用正数表示水位升高的高度，用负数表示水位下降的高度；用正数表示买
进东西的数量，用负数表示卖出东西的数量．
六、巩固练习
课本第 3 页，练习 1、2、3、4 题．
七、课堂小结
为了表示现实生活中的具有相反意义的量，我们引进了负数．正数就是我们
过去学过的数（除 0 外），在正数前放上“－”号，就是负数，但不能说：“带
正号的数是正数，带负号的数是负数”，在一个数前面添上负号，它表示的是原
数意义相反的数．如果原数是一个负数，那么前面放上“－”号后所表示的数反
而是正数了，另外应注意“0”既不是正数，也不是负数．
八、作业布置
1．课本第 5 页习题 1．1 复习巩固第 1、2、3 题．
九、板书设计
1．1 正数和负数
第一课时
1、像-3，-2，-2.7%这样的数（即在以前学过的 0 以外的数前面加上负号“－”
的数）叫做负数．而 3，2，+2.7%在问题中分别表示零上 3 摄氏度，净胜 2 球，
增长 2.7%，它们与负数具有相反的意义，我们把这样的数（即以前学过的 0
以外的数）叫做正数，有时在正数前面也加上“＋”（正）号，例如，+3，+2，
+0.5，+ 1
3
，…就是 3，2，0.5， 1
3
，…一个数前面的“＋”、“－”号叫做它的符
号，这种符号叫做性质符号．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.1 正数和负数
第二课时
三维目标
一．知识与技能
进一步巩固正数、负数的概念；理解在同一个问题中，用正数与负数表示的
量具有相同的意义．
二．过程与方法
经历举一反三用正、负数表示身边具有相反意义的量，进而发现它们的共同
特征．
三．情感态度与价值观
鼓励学生积极思考，激发学生学习的兴趣．
教学重、难点与关键
1．重点：正确理解正、负数的概念，能应用正数、负数表示生活中具有相
反意义的量．
2．难点：正数、负数概念的综合运用．
3．关键：通过对实例的进一步分析，使学生认识到正负数可以用来表示现
实生活中具有相反意义的量.
教学过程
四、复习提问课堂引入
1．什么叫正数？什么叫负数？举例说明，有没有既不是正数也不是负数的
数？
2．如果用正数表示盈利 5 万元，那么-8 千元表示什么？
五、新授
例 1．一个月内，小明体重增加 2kg，小华体重减少 1kg，小强体重无变化，
写出他们这个月的体重增长值．
2．2001 年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：
美国减少 6.4%，德国增长 1.3%，法国减少 2.4%，英国减少 3.5%，意大利增
长 0.2%，中国增长 7.5%．
写出这些国家 2001 年商品进出口总额的增长率．
分析：在一个数前面添上负号，它表示的是与原数具有意义相反的数．“负”
与“正”是相对的，增长-1，就是减少 1；增长-6.4%就是减少 6.4%，那么什么情
况下增长率是 0？当与上年持平，既不增又不减时增长率是 0．
解：1．这个月小明体重增长 2kg，小华体重增长-1kg，小强体重增长 0kg．
2．六个国家 2001 年商品进出口总额的增长率分别为：
美国-6.4%，德国 1.3%，法国-2.4%，英国-3.5%，意大利 0.2%，中国 7.5%．
归纳：在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义，如盈
利-2 千元，就是亏本 2 千元；前进-3 米，就是后退 3 米；浪费-14 元，就是节
约 14 元；向南走-7 米，就是向北走 7 米，因此盈利 2 千元与盈利-2 千元具有
相反的意义．
六、巩固练习
1．课本第 5 页的第 8 题．
点拨：增长-3.4%，就是减少 3.4%，所以这一年里这六国中中国、意大利的
服务出口额增长了，美国、德国、英国、日本的服务出口额都减少了，意大利增
长最多，日本减少最多．
2．补充练习．
若向西走 10 米，记作-10 米，如果一个人从 A 地先走 12 米，再走-15 米，
你能判断此人这时在何处吗？
解：向西走 10 米，记作-10 米，那么这人走 12 米，则表示向东走 12 米，
再走-15 米，表示向西走了 15 米，即这个人从 A 地先向东走 12 米，接着再向西
走 15 米，此人这时应该在 A 地的西方 3 米处．
七、课堂小结
通过本节课的学习，你对正数、负数的概念是否有了进一步理解？请你用正
负数表示身边具有相反数的量．
八、作业布置
1．课本第 5 页习题 1．1 第 4、5、6、7 题．
九、板书设计
九、板书设计
1．1 正数和负数
第二课时
1、复习巩固，例题讲解。
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1．2 有理数
第一课时
三维目标
一、 知识与能力
理解有理数的概念，懂得有理数的两种分类方法：会判别一个有理数是整数
还是分数，是正数、负数还是零．
二、过程与方法
经历对有理数进行分类的探索过程，初步感受分类讨论的思想．
三、情感态度与价值观
通过对有理数的学习，体会到数学与现实世界的紧密联系．
教学重难点及突破
在引入了负数后，本课对所学过的数按照一定的标准进行分类，提出了有理
数的概念．分类是数学中解决问题的常用手段，通过本节课的学习，使学生了解
分类的思想并进行简单的分类是数学能力的体现，教师在教学中应引起足够的重
视．关于分类标准与分类结果的关系，分类标准的确定可向学生作适当的渗透，
集合的概念比较抽象，学生真正接受需要很长的过程，本课不宜过多展开．
教学过程
四、课堂引入
1、我们把小学里学过的数归纳为整数与分数，引进了负数以后，我们学过
的数有哪些？将如何归类？
2．举例说明现实中具有相反意义的量．
3．如果由 A 地向南走 3 千米用 3 千米表示，那么-5 千米表示什么意义？
4．举两个例子说明+5 与-5 的区别．
5 数 0 表示的意义是什么？
二、自主探究
在学生讨论的基础上，引导学生自己进行有理数的分类，我们学过的数就可
以分为以下几类：
正整数，如 1，2，3，…；
零：0；
负整数，如-1，-2，-3，…；
正分数，如 1
3
， 22
7
，4.5（即 4 1
2
）；
负分数，如- 1
2
，-2 2
7
，-0.3（即- 3
10
），- 3
5
……
正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数，整数和分数统称
有理数．
回答下列各题：
（1）0 是不是整数？0 是不是有理数？
（2）-5 是不是整数？-5 是不是有理数？
（3）-0.3 是不是负分数？-0.3 是不是有理数？
2．你能对以上各种数作出一张分类表吗（要求不重复不遗漏）？
让学生把自己作出的分类表进行分类，可以根据不同需要，用不同的分类标
准，但必须对讨论对象不重不漏地分类．把一些数放在一起，就组成一个数的
集合，简称数集．所有的有理数组成的数集叫做有理数集．类似的，所有整数
组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集
叫做负数集，如此等等．
五、题例精解
例 把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里：-18，22
7
，3.1416，0，2001，
- 3
5
，0.142857，95%
六、随堂练习
一、判断
1．自然数是整数． （ ） 2．有理数包括正数和负数．（ ）
3．有理数只有正数和负数．（ ） 4．零是自然数． （ ）
5．正整数包括零和自然数．（ ） 6．正整数是自然数． （ ）
7．任何分数都是有理数． （ ） 8．没有最大的有理数． （ ）
9．有最小的有理数． （ ）
七、课堂小结：（提问式）
1．有理数按正、负数，应怎样分类？
2．有理数按整数、分数，应怎样分类？
3．分类的原则是什么？
八、课后作业：
1．课本第 14 页习题 1．2 第 1 题．
九、板书设计：
1．2 有理数
第一课时
1、复习巩固，例题讲解。
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.2.2 数轴
第二课时
三维目标
一．知识与技能
（1）掌握数轴三要素，能正确地画出数轴．
（2）能准备地将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的
数．
二、过程与方法
经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，初步学会数学的类比方法和数形
结合的思想方法．
三、情感态度与价值观
体会知识源于生活，并应用于生活．
教学重、难点与关键
1．重点：理解数形结合的数学方法，掌握数轴画法和用数轴上的点表示有
理数．
2．难点：正确理解有理数和数轴上的点的对应关系．
3．关键：掌握数形结合的数学方法.
教学过程
四、复习提问、新课引入
1．有理数包括哪些数？有理数是怎样分类的？
2．回顾小学数学是如何利用数轴表示正数和零的？
五、新授
引入负数后，又如何利用数轴表示有理数呢？让我们先看一个问题．
在一条东西走向的马路上，有一个汽车站，汽车站东 3m 和 7.5m 处分别有
一棵柳树和一棵杨树，汽车站西 3m 和 4.8m 处分别有一棵槐树和一根电线杆，
试画图表示这一情境．
1．画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向．
2．因为柳树、杨树都在汽车站的东面，即在汽车站的右边．槐树、电线杆
在汽车站的西面，即在汽车站的左边，它们都相对汽车站而言，所以在直线上任
取一个点 O 表示汽车站的位置，规定 1 个单位规定．（线段 OA 的长代表 1m 长）
（如下图）
3．分别标出柳树、杨树、槐树、电线杆的位置．
在点 O 右边，与 O 距离 3 个单位长度的点 B 表示柳树的位置：点 O 右边，
与 O点距离 7.5 个单位长度的点 C 表示杨树的位置；点 O 左边，与点 O 距离 3
个单位长度的点 D表示槐树位置；点 O 的左边，与点 O 距离 4.8 个单位长度的
点 E 表示电线杆的位置．
问：怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系？（方向、
距离）
为了使表达更清楚、更简洁，我们把点 O左右两边的数分别用正数和正数
表示．符号表示方向，点 O 的左边表示负数，点 O 的右边表示正数．
这样就可以简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系了．
这里，-4.8 中的负号“－”表示汽车站（点 O）的左边，4.8 表示与点 O的
距离为 4.8 个单位长度．
说明：以上分析，教师应边讲边画，分步进行．
观察后回答：（课本第 11 页）温度计可以看作表示正数、0 和负数的直线吗？
它和课本图 1．2-1 有什么共同点，有什么不同点？
答：可以，课本图 1．2-2 也是把正数、o 和负数用一条直线上的点表示出来，
它是向上方向为正（即 0 的上方表示正数，0 的下方表示负数），只要把温度计
水平放下就与课本图 1．2-1 相同了．
一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的
点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：
（1）在直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点，记为 0；
（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）
为负方向；
（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度
取一个点，依次表示 1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，
-3，…．
像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素，缺一不可．
单位长度的大小可以根据不同的需要选择．
任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，例如 3.5，数轴上从原点向右 3.5
个单位长度的点表示 3.5，又如要表示-2 1
3
，从原点向左 2 1
3
个单位长度的点就表
示-2 1
3
，如下图．
归纳：先由学生填空，然后教师加以讲评．
六、巩固练习
1．请同学们在练习本上画一条数轴．
2．下面的各图是不是数轴？为什么？
3．在数轴上画出表示下列各数的点．
（1）4，-2，-4，1 1
3
，0，-2 1
3
（2）-100，100，-250，-400，0，2.5
4．指出数轴上 A、B、C、D、E 各点分别表示什么数？
5．在数轴上与表示-1 的点的距离为 2 个单位长度的点有几个？请你在数轴
上把它们画出来，它们分别表示什么数？
学生独立完成后，老师讲解，给出正确的答案．
七、课堂小结
数轴是非常重点的数学工具，它的出现对数学的发展起了重要作用，它揭示
了数和形之间的内在联系，很多数学问题都可以以它为基础，借助图直观地表示，
为研究问题提供了新方法．
八、作业布置
1．课本第 10 页练习 1、2 题，第 14 页习题 1．2 的第 2 题．
九、板书设计：
1.2.2 数轴
第二课时
1、像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素，缺一不可．
单位长度的大小可以根据不同的需要选择．
任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，例如 3.5，数轴上从原点向右 3.5
个单位长度的点表示 3.5，又如要表示-2 1
3
，从原点向左 2 1
3
个单位长度的点就表
示-2 1
3
，如下图．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.2.3 相反数
第三课时
三维目标
一．知识与技能
（1）借助数轴了解相反数的概念，知道两个互为相反数的位置关系．
（2）给出一个数，能求出它的相反数．
二、过程与方法
借助数轴，通过观察特例，总结出相反数的概念．从数和形两个侧面理解相
反数．
三、情感态度与价值观
鼓励学生积极进行归纳、比较交流等活动．
教学 重、难点与关键
1．重点：理解相反数的意义，会求一个数的相反数．
2．难点：理解和掌握双重符合的简化．
3．关键：通过观察特例，以及互为相反数的两个数在数轴上的位置，理解
相反数．
教学过程
四、复习提问课堂引入
在数轴上，画出表示 6，-6，2 1
2
，-2 1
2
，4 1
3
，-4 1
3
各数的点．
五、新授
请同学们观察后回答：
1．上述中 6 和-6；2 1
2
和-2 1
2
，4 1
3
和-4 1
3
每对数有什么特点？
2．每对数在数轴上所表示的点有什么特点？
3．再观察课本第 8 页的图 1．2-1 中点 D 和点 B，它们的位置关系如何？
它们各表示的数有什么特点？
概括：
（1）每一对数，只有符号不同．
（2）在数轴上表示每一对数的两个点分别在原点的两边，并且离开原点的
距离相等．
（3）点 D 和点 B 分别位于原点的两边，且与原点的距离相等，它们分别表
示-3和 3．
思考：数轴上与原点的距离是 2 的点有几个？这些点表示的数是什么？与
原点的距离是 5 的点呢？
归纳：
一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点的距离是 a 的点有两个，它们分别
在原点左右，表示-a 和 a，那么称这两个点关于原点对称，如下图：
-2
2
-a
a
0
像这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数，例如 6 和-6，2 1
2
和-2 1
2
，
都是互为相反数，也就是说 6 的相反数是-6，-2 1
2
的相反数是 2 1
2
．
一般地，a 和-a 互为相反数，特别地，0 的相反数仍是 0．
问：数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系？
答：数轴上表示相反数的两个点是关于原点对称，是在原点的两旁（除 0
外），并且与原点的距离相等．
注意相反数与倒数的区别，若两个数只有符号不同，那么这两个数叫做互为
相反数；若两个数的乘积等于 1，则这两个数叫互为倒数．任何有理数都有相反
数，零的相反数是零，而零没有倒数．
例 1：分别写出下列各数的相反数．
5，-7，-3 1
2
，+11.2，0．
解：5 的相反数是-5；-7 的相反数是 7；-3 的相反数是 3；+11.2 的相反数是
-11.2；0 的相反数是 0．
强调书写格式，防止出现如“5=-5”的错误．
容易看出，在正数前面添上“－”号，就得到这个正数的相反数．在任意一
个数的前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数．
例如：-（+5）=-5，-（-7）=7，-（-3 1
2
）=3 1
2
，-（+11.2）=-11.2，-0=0．
我们知道一个正数，前面的“＋”号可以写也可以不写，所以在一个数的前
面添上“＋”号，表示这个数没有变化，还是它本身．
例如：+（-4）=-4，+（+12）=12，+0=0
六、课堂练习
1．写出下列各数的相反数．
+2 1
3
，-2.5，0， 4
3
2．化简下列各数．
-（-30），-（+3），-（-38.2），+（-5），+（+ 2
7
）．
3．指出下列各对数，哪些是相等的数？哪些是互为相反数？
+（-3）与-3，-（+3）与 3，-（-7 1
2
）与-7 1
2
．
4．如果 a=-a，那么表示 a 的点在数轴上的什么位置？
5．你会化简下列各数吗？试试看．（本题可根据学生实际情况选用）
-[+（-2）]，-[-（-6）]．
提示：
因为任意数 a 是-a 的相反数，所以表示 a 的点在数轴上与表示-a的点关系
原点对称，这两个点分别在原点左、右两边且与原点距离相等．
七、课堂小结
本节课我们学习了相反数的概念、相反数的求法和双重符号的简化．理解相
反数的意义，相反数总是一正一反成对出现（零除外），从数轴上看，表示互为
相反数的两个点，分别在原点的两边，且到原点距离相等．要表示一个数的相反
数，只要在这个数前面添“－”号，-a 表示 a 的相反数，当 a 是正数时，-a 表示
一个负数；当 a 是负数时，则-a 表示正数．此外我们还应该注意相反数和倒数的
区别．
八、作业布置
1．课本第 11 页练习 1、2、3 题，第 15 页习题 1．2 第 3 题．
九、板书设计：
1.2.3 相反数
第三课时
1、一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点的距离是 a 的点有两个，它们
分别在原点左右，表示-a 和 a，那么称这两个点关于原点对称，如下图：
-2
2
-a
a
0
像这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数，例如 6 和-6，2 1
2
和-2 1
2
，
都是互为相反数，也就是说 6 的相反数是-6，-2 1
2
的相反数是 2 1
2
．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.2.4 绝对值
第四课时
三维目标
一、知识与技能
（1）借助数轴初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值．
（2）通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．
二、过程与方法
通过观察实例及绝对值的几何意义，探索一个数的绝对值与这个数之间的关
系，培养学生语言描述能力．
三、情感态度与价值观
培养学生积极参与探索活动，体会数形结合的方法．
教学重、难点与关键
1．重点：正确理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值．
2．难点：正确理解绝对值的几何意义和代数意义．
3．关键：借助数轴理解绝对值的几何意义，根据绝对值定义和相反数的概
念，理解绝对值的代数意义．
四、教学过程
一、复习提问，新课引入
1．什么叫互为相反数？
2．在数轴上表示互为相反数的两个点和原点的位置关系怎样？
五、新授
在一些量的计算中，有时并不注意其方向，例如，为了计算汽车行驶所耗的
油量，起作用的是汽车行驶的路程而不是行驶的方向．
1．观察课本第 11 页图 1．2-5，回答：
（1）两辆汽车行驶的路线相同吗？
（2）它们行驶路程的远近相同吗？
这两辆车行驶的路线不同（方向相反），但行驶的路程的远近相同，都
是 10km．
课本图 1．2-5 中表示-10 的点 B 和表示 10 的点 A 离开原点的距离都是 10，
我们就把这个距离 10 叫做数-10、10 的绝对值．
一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作│a│．
这里的数 a 可以是正数、负数和 0．
例如上述的 10 和-10 的绝对值记作│10│=10，│-10│=10，同样在数轴上
表示+6 和-6 的两个点，离开原点的距离都是 6，即 6 和-6 的绝对值都是 6，记作
│6│=6，│-6│=6．数轴上表示数 0 的点与原点的距离是 0，所以│0│=0．
2．试一试：
（1）│+2│=______，│ 1
5
│=_____，│+10.6│=________．
（2）│0│=_______．
（3）│-12│=_______，│-20.8│=_______，│-32 1
7
│=_______．
3．你能从上面解答中发现什么规律吗？
学生若有困难，教师可提示：所得的结果与绝对值符号内的数有什么关系？
从而得出绝对值的代数意义：
（1）一个正数的绝对值是它本身；
（2）零的绝对值是零；
（3）一个负数的绝对值是它的相反数．
我们用 a 表示任意一个有理数，上述式子可以表示为：
①当 a 是正数时，│a│=_______；
②当 a 是负数时，│a│=_______；
③当 a=0 时，│a│=_______．
以上先让学生填空，然后让学生给 a取一些具体数值检验所填写的结果是
否正确．
教师问：
（1）任何一个有理数都有绝对值吗？一个数的绝对值有几个？
（2）有没有一个数的绝对值等于-2？任何一个数的绝对值一定是怎样的
数？
（3）绝对值等于 2 的数有几个？它们是什么？
归纳：
①任何有理数都有唯一的绝对值，任意一个数的绝对值总是正数或 0，不
可能是负数，即对任意有理数 a，总有│a│≥0．
②两个互为相反数的绝对值相等，即│a│=│-a│．
③因为 0 的绝对值是 0，而 0 的相反数是它本身 0，因此可知绝对值等于它
本身的数是正数或者零，绝对值等于它的相反数的数是负数或零．
六、巩固练习
1．课本第 12 页练习 1、2 题．
第 1 题强调书写格式，防止出现“-8=8”的错误．
第 2 题（1）错，如 3 与-2 的符号相反，但它们不是互为相反数，应改为“只
有大小相等符号相反的数是互为相反数”．（2）正确．（3）错，因为这个点也可
能越靠左，应改为：“一个数的绝对值越大，表示它的点离原点越远．”（4）正确．
七、课堂小结
理解绝对值的几何意义和代数意义．从几何意义可知，一个数的绝对值是表
示该数的点与原点的距离，因为距离总是正数和零，所以有理数的绝对值不可能
是负数，从绝对值的代数定义也可进一步理解这一点．
引入绝对值概念后，有理数可以理解为由性质符号和绝对值两部分组成的，
如-5 就是由“－”号和它的绝对值 5 两部分组成．
八、作业布置
1．课本第 15 页习题 1．2 第 4、7、10 题．
九、板书设计：
1.2.4 绝对值
第四课时
①任何有理数都有唯一的绝对值，任意一个数的绝对值总是正数或 0，不可能
是负数，即对任意有理数 a，总有│a│≥0．
②两个互为相反数的绝对值相等，即│a│=│-a│．
③因为 0 的绝对值是 0，而 0 的相反数是它本身 0，因此可知绝对值等于它
本身的数是正数或者零，绝对值等于它的相反数的数是负数或零．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.2.4 绝对值
第五课时
三维目标
一、知识与技能
掌握有理数的大小比较的两种方法──利用数轴和绝对值．
二、过程与方法
经历利用绝对值以及利用数轴比较有理数的大小，进一步体会“数形结合”
的数学方法，培养学生分析、归纳的能力．
三、情感态度与价值观
会把所学知识运用于解决实际问题，体会数学知识的应用价值．
教学 重、难点与关键
1．重点：会利用绝对值比较有理数的大小．
2．难点：两个负数的大小比较．
3．关键：正确理解绝对值的概念．
四、教学过程
一、复习提问，引入新课
用“>”、“<”号填空．
1．5.7______6.3； 2． 2
7 _____ 3
8
； 3．0.03_______0；
4．│-3│_______│2│； 5．│- 2
3
│_______│- 3
2
│．
五、新授
引入负数后，如何比较两个有理数的大小呢？让我们从熟悉的温度来比较，
大家观察课本第 12 页中“未来一周天气预报”．
1．课本图 1．2-6 中共有 14 个温度，其中最低的是多少？最高的是多少？
2．请你将这 14 个温度按从低到高的顺序排列．
课本图 1．2-6 中的 14 个温度按从低到高排列为：
-4℃，-3℃，-2℃，-1℃，0℃，1℃，2℃，3℃，4℃，5℃，6℃，7℃，8℃，
9℃．
按照这个顺序排列的温度，在温度计上所对应的点是从下到上的，按照这个
顺序把这些数表示在数轴上，表示它们的各点的顺序是从左到右的，如课本图
1．2-7，这就是说在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大
的顺序，即左边的数小于右边的数，因此，我们可以利用数轴比较有理数的大小．
例如在数轴上表示-6 的点在表示-5 的点的左边，所以-6<-5．
同样-5<-4，-3 1
2 <-3，-2<0，-1<1，…
从数轴上可知：
表示正数的点都在原点的右边；表示负数的点都在原点左边．
因此有正数大小 0，0 大于负数，正数大于负数．
两个正数的大小比较小学已学过，不画数轴你会比较两个负数的大小吗？
探索：
我们知道，在数轴上越靠左边的点所表示的数越小，而这个点与原点的距离
越大，即这个点所表示的数的绝对值越大，因此，我们还可以利用绝对值比较两
个负数的大小．
即两个负数，绝对值大的反而小．
例如：│-2│=2，│-5│=5，即│-2│<│-5│，因此-2>-5．
同样│-1│<│-3│，所以-1>-3．
例 1：比较下列各对数的大小：
（1）-（-1）和-（+2）； （2）- 8
21
和- 3
7
； （3）-（-0.3）和│- 1
3
│．
解：（1）先化简，-（-1）=1，-（+2）=-2，
正数大于负数，1>-2．
即 -（-1）>-（+2）．
（2）这是两个负数比较大小，要比较它们的绝对值，绝对值大的反而小．
│- 8
21
│= 8
21
，│- 3
7
│= 3
7 = 9
21
．
因为 8
21 < 9
21
，即│- 8
21
│<│- 3
7
│，
所以- 8
21 >- 3
7
．
（3）先化简，-（-0.3）=0.3，│- 1
3
│= 1
3 =
.
0.3 ，
0.3<0.3，即-（-0.3）<│- 1
3
│．
初学时，要求学生按以上步骤进行，能化简的要先化简，然后按照有理数
的大小比较法则：异号两数比较大小，要考虑它们的正负，根据“正数大于负数”，
同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值，特别是两个负数大小比较，先各自
求出它们的绝对值，然后依法则：两个负数，绝对值大的反而小，比较绝对值大
小后，即可得出结论．
例 2：已知 a>0，b<0 且│b│>│a│，比较 a，-a，b，-b 的大小．
解：方法一，可通过数轴来比较大小，先在数轴上找出 a，-a，b，-b的大
致位置，再比较．
由 a>0，b<0 可知表示 a 的点在原点的右边，表示 b 的点在原点的左边；由
│b│>│a│，可知表示 b 的点离开原点的距离更远，即它应在表示 a 的点的左
边，然后再根据两个互为相反数在数轴上所表示的点在原点两边，且与原点距
离相等即可得到下图．
-b
-a
a
0
b
根据数轴上，较左边的点所表示的数较小，可得：
b<-a”或“<”号填空．
1
-1
a
0
b
①a_____b； ②│a│_____│b│； ③-a_____-b； ④ 1
a _____ 1
b
．
七、全课小结（提问式）
比较有理数的大小有哪几种方法？
有两种方法，方法一：利用数轴，把这些数用数轴上的点表示出来，然后根
据“数轴上较左边的点所表示的数比较右边的点所表示的数小”来比较．
方法二：利用比较法则：“正数大于零，负数小于零，两个负数比较绝对值
大的反而小”来进行．
在比较有理数的大小前，要先化简，从而知道哪些是正数，哪些是负数．
八、作业布置
1．课本第 15 页习题 1．2 第 5、6、8 题．
九、板书设计：
1.2.4 绝对值
第五课时
1、表示正数的点都在原点的右边；表示负数的点都在原点左边．
因此有正数大小 0，0 大于负数，正数大于负数．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.3.1 有理数的加法（1）
第一课时
三维目标
一、知识与技能
理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理数的加
法运算．
二、过程与方法
引导学生观察符号及绝对值与两个加数的符号及其他绝对值的关系，培养学
生的分类、归纳、概括能力．
三、情感态度与价值观
培养学生主动探索的良好学习习惯．
教学重、难点与关键
1．重点：掌握有理数加法法则，会进行有理数的加法运算．
2．难点：异号两数相加的法则．
3．关键：培养学生主动探索的良好学习习惯．
四、教学过程
一、复习提问，引入新课
1．有理数的绝对值是怎样定义的？如何计算一个数的绝对值？
2．比较下列每对数的大小．
（1）-3 和-2； （2）│-5│和│5│； （3）-2 与│-1│；（4）-（-7）和-
│-7│．
五、新授
在小学里，我们已学习了加、减、乘、除四则运算，当时学习的运算是在正
有理数和零的范围内．然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围，例
如，足球循环赛中，可以把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫做净
胜球数．本章前言中，红队进 4 个球，失 2 个球；蓝队进 1 个球，失 1 个球，那
么哪个队的净胜球多呢？
要解决这个问题，先要分别求出它们的净胜球数．
红队的净胜球数为：4+（-2）；
蓝队的净胜球数为：1+（-1）．
这里用到正数与负数的加法．
怎样计算 4+（-2）呢？
下面借助数轴来讨论有理数的加法．
看下面的问题：
一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负、向右为正．
（1）如果物体先向右运动 5m，再向右运动 3m，那么两次运动后总的结
果是什么？
我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答．
这里两次都是向右运动，显然两次运动后物体从起点向右运动了 8m，写成
算式就是：
5+3=8 ①
这一运算在数轴上可表示，其中假设原点为运动的起点．（如下图）
（2）如果物体先向左运动 5m，再向左运动 3m，那么两次运动后总的结
果是什么？
显然，两次运动后物体从起点向左运动了 8m，写成算式就是：
（-5）+（-3）=-8 ②
这个运算在数轴上可表示为（如下图）：
（3）如果物体先向右运动 5m，再向左运动 3m，那么两次运动后物体与
起点的位置关系如何？
在数轴上我们可知物体两次运动后位于原点的右边，即从起点向右运动了
2m．（如下图）
写成算式就是：5+（-3）=2 ③
探究：
还有哪些可能情形？请同学们利用数轴，求以下情况时物体两次运动的结
果：
（4）先向右运动 3m，再向左运动 5m，物体从起点向______运动了______m．
要求学生画出数轴，仿照（3）画出示意图．
写出算式是：3+（-5）=-2 ④
（5）先向右运动 5m，再向左运动 5m，物体从起点向_____运动了_____m．
先向右运动 5m，再向左运动 5m，物体回到原来位置，即物体从起点向左
（或向右）运动了 0m，因为+0=-0，所以写成算式是：
5+（-5）=0 ⑤
（6）先向左运动 5m，再向左运动 5m，物体从起点向________运动了
_______m．
同样，先向左边运动 5m，再向右运动 5m，可写成算式是：
（-5）+5=0 ⑥
如果物体第 1 秒向右（或左）运动 5m，第 2 秒原地不动，两秒后物体从起
点向右（或左）运动了多少呢？请你用算式表示它．
可写成算式是：5+0=5 或（-5）+0=-5 ⑦
从以上写出的①～⑦个式子中，你能总结出有理数加法的运算法则吗？
引导学生观察和的符号和绝对值，思考如何确定和的符号？如何计算和的绝
对值？
算式是小学已学过的两个正数相加．观察算式②，两个加数的符号相同，都
是“－”号，和的符号也是“－”号与加数符号相同；和的绝对值 8等于两个
加数绝对值的和，即│-5│+│-3│=│-8│．
由①②可归结为：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
例如（-4）+（-5）=-（4+5）=-9．
观察算式③、④是两个互为相反数相加，和为 0．
由算式③～⑥可归结为：
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝
对值减去较小的绝对值，互为相反数相加得 0．
由算式⑦知，一个数同 0 相加，仍得这个数．
综合上述，我们发现有理数的加法法则，让学生朗读课本第 18 页中“有理
数的加法法则”．
一个有理数由符号与绝对值两部分组成，进行加法运算时，必先确定和的符
号，再确定和的绝对值．
例 1：计算．
（1）（-3）+（-5）； （2）（-4.7）+2.9； （3） 1
8 +（-0.125）．
分析：本题是有理数加法，所以应遵循加法法则，按判断类型，确定符号、
计算绝对值的步骤进行计算．（1）是同号两数相加，按法则 1，取原加数的符号
“－”，并把绝对值相加．（2）是绝对值不相等的异号两数相加．（3）是绝对值
相等的两数相加，根据法则 2 进行计算．
解：（1）（-3）+（-5）=-（3+5）=-8；
（2）（-4.7）+2.9=-（4.7-2.9）=-1.8；
（3） 1
8 +（-0.125）= 1
8 +（- 1
8
）=0．
例 2：足球循环赛中，红队胜黄队 4：1，黄队胜蓝队 1：0，蓝队胜红队 1：
0，计算各队的净胜球数．
分析：净胜球数是进球数与失球数的和，我们可以分别用正数、负数表示进
球数和失球数．红队胜黄队 4：1 表示红队进 4 球，失 1 球，黄队进 1 球失 4 球．
解：每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数．
三场比赛中，红队共进 4 球，失 2 球，净胜球数为：
（+4）+（-2）=+（4-2）=2；
黄队共进 2 球，失 4 球，净胜球数为：新 课 标 第 一 网
（+2）+（-4）=-（4-2）=-2；
蓝队共进 1 球，失 1 球，净胜球数为：
（+1）+（-1）=0．
以上讲解有理数加法时，严格按照：先判断类型，然后确定和的符号，最后
计算和的绝对值，这三步骤进行．
六、巩固练习
课本第 18 页练习 1、2 题．
七、课堂小结
有理数的加法法则指出进行有理数加法运算，首先应该先判断类型，然后确
定和的符号，最后计算和的绝对值．类型为异号两数相加，和的符号依法则取绝
对值较大的加数的符号，并把绝对值相减，因为正负互相抵消了一部分．有理数
加法还打破了算术数加法中和一定大于加数的常规．
八、作业布置
1．课本第 24 页习题 1．3 第 1 题．
九、板书设计：
1.3.1 有理数的加法（1）
第一课时
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝
对值减去较小的绝对值，互为相反数相加得 0．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.3.1 有理数的加法（2）
第二课时
三维目标
一、知识与技能
（1）能运用加法运算律简化加法运算．
（2）理解加法运算律在加法运算中的作用，培养学生的观察能力和思维能
力．
二、过程与方法
经历探索有理数的加法运算律的过程，培养学生的观察能力和思维能力．
三、情感态度与价值观
体会有理数加法运算律的应用价值．
教学重、难点与关键
1．重点：有理数加法运算律．
2．难点：灵活运用加法运算律．
3．关键：正确理解加法运算律在加法运算中的作用.
四、教学过程
一、复习提问，引入新课
1．叙述有理数的加法法则．
2．在小学里，数的加法有哪些运算律？
五、新授
在小学里，数的加法满足交换律、结合律．
如：5+3.5=3.5+5，（5+3.5）+2.5=5+（3.5+2.5）．
引进负数后，这些运算律还适用吗？
探索：
例 1．计算：30+（-20），（-20）+30．
两次所得的和相同吗？
换几个加数试一试，让学生自己得出：有理数的加法中，两个数相加，交换
加数的位置和不变，即
加法交换律：a+b=b+a．
例 2．计算：[8+（-5）]+（-4），8+[（-5）+（-4）]．
两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试．
从而得到：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后
两个数相加，和不变，即
加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．
上述 a、b、c 表示任意有理数，可以是正数，也可以是负数．
这样，多个有理数相加可以任意交换加数位置，也可以先把其中的几个数相
加，使计算简化．
例 3．计算：16+（-25）+24+（-35）．
分析：先观察题目中数据特点，根据运算律，选择合理途径．
本题采用正、负数分开相加的方法．
解：原式＝（16+24）+[（-25）+（-35）]
=40+（-60）
=-20
例 4．每袋小麦的标准重量为 90 千克，10 袋小麦称重记录如课本图 1．3-3
所示（课本第 19 页），与标准重量比较，10 袋小麦总计超过多少千克或不足多
少千克？10 袋小麦的总重量是多少？
分析：怎样求这 10 袋小麦的总重量呢？这是有理数加法在实际中的应用，
本题有两种解法，教学时可先让学生相互交流，提出自己的想法，对不同的解法
进行比较．
解法 1：先计算 10 袋小麦的总重量．
91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4，
再计算标准重量：90×10=900．
所以这 10 袋小麦总计超过 905.4-900=5.4（千克）
解法 2：先计算总误差，然后再求 10 袋小麦的总重量．
将每袋小麦超过标准重量的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，10
袋小麦的对应的数为+1，+1，+1.5，-1，+1.2，+1.3，-1.3，-1.2，+1.8，+1.1.
???+1+1+1.5+（-1）+1.2+1.3+（1.3）+（-1.2）+1.8+1.1
=[1+（-1）]+[1.2+（-1.2）]+[1.3+（-1.3）]+（1+1.5+1.8+1.1）
=5.4
90×10+5.4=905.4
所以 10 袋小麦总计超过标准 5.4 千克，总重量为 905.4 千克．
五、巩固练习
1．课本第 20 页，练习 1、2．
六、课堂小结
本节课我们探索了有理数加法的运算律，灵活运用加法的运算律使运算简
便．一般情况下，将互为相反数的数结合相加；同分母的分数能凑整的数结合；
正数、负数分别相加，以使计算简便．
七、作业布置
1．课本第 25 页习题 1．3 第 2 题，第 26 页第 9、10、12 题．
八、板书设计：
1.3.1 有理数的加法（2）
第二课时
1、有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，
和不变。
加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．
上述 a、b、c 表示任意有理数，可以是正数，也可以是负数．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
九、课后反思
1.3.2 有理数的减法（1）
第三课时
三维目标
一、知识与技能
（1）理解并掌握有理数的减法法则，能进行有理数的减法运算．
（2）通过把减法运算转化为加法运算，让学生了解转化思想．
二、过程与方法
经历探索有理数的加法运算律的过程，培养学生的观察能力和思维能力．
三、情感态度与价值观
体会有理数加法运算律的应用价值．
教学重、难点与关键
1．重点：掌握有理数减法法则，能进行有理数的减法运算．
2．难点：探索有理数减法法则，能正确完成减法到加法的转化．
3．关键：正确完成减法到加法的转化．
四、教学过程
一、复习提问，新课引入
1．计算．
（1）（-5.2）+（-4.8）； （2）（-4 3
5
）+5 2
5
；
（3）（-13 5
7
）+13 5
7
； （4）（+4 3
4
）+（-7.5）．
2．填空．
（1）_______+3=10； （2）30+_______=27；
（3）______+（-3）=10； （4）（-13）+____=6．
五、新授
实际问题中有时还要涉及有理数的减法，例如，某地一天的气温是-3℃～
4℃，这天的温差（最高气温减最低气温，单位：℃）就是 4-（-3），这里用到
正数与负数的减法，你会计算它吗？（鼓励学生探索）
可以先从温度计看出 4℃比-3℃高 7℃．
另外，我们知道减法和加法是互为逆运算．计算 4-（-3），就是要求出一个
数 x，使 x 与-3 的和等于 4，因为 7+（-3）=4，所以
4-（-3）=7 ①
另外 4+（+3）=7， ②
比较①、②两式，你发现了什么？
发现：4-（-3）=4+（+3）．
这就是说减法可以转化为加法，如何转化呢？
减-3 相当于加 3，即加上“-3”的相反数．
换几个数再试一试，把 4 换成 0，-1，-5，用上面的方法考虑．
0-（-3），（-1）-（-3），（-5）-（-3）．
因为（+3）+（-3）=0，所以 0-（-3）=+3，
又 0+（+3）=+3，所以 0-（-3）=0+（+3），
同样，可得（-1）-（-3）=（-1）+（+3），（-5）-（-3）=（-5）+（+3）
这些数减-3 的结果与它们加+3 的结果仍然相同．
计算：
（1）9-8，9+（-8）；（2）15-7，15+（-7），从中又发现了什么？
通过计算发现：
9-8=9+（-8），15-7=15+（-7）．
归纳：通过上述讨论，得出：
有理数的减法可以转化为加法来进行．“相反数”是转化的桥梁．
有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．
用式子表示为：a-b=a+（-b）．
例 5：计算：
（1）（-3）-（-5）； （2）0-7；
（3）7.2-（-4.8）； （4）（-3 1
2
）-5 1
4
．
分析：以上是有理数的减法，按减法法则，把减法转化为加法．
（4）（-3 1
2
）-5 1
4 =（-3 1
2
）+（-5 1
4
）=-8 3
4
强调：减号变加号、减数变相反数，必须同时改变，（4）题中减数的符号
为“＋”号，省略没有定．
六、课堂练习
1．课本第 23 页练习 1、2 题，第 26 页第 7、8 题．
2．差数一定比被减数小吗？
提示：不一定，例如（-7）-（-5）=（-7）+（+5）=-2，-2>-7．
七、课堂小结
引进负数后，任意两个有理数都可以求出它们的差，结果可能为正数（大数
减去小数），也可能为负数（小数减去大数），还可能为 0（相等的两数相减），
学习有理数减法，关键在于处理好两个“变”字；（1）改变运算符号──即把
减法转化为加法．（2）改变减数的符号──即减数变为它的相反数，这两个“变”
要同时进行，而被减数不变．
八、作业布置
1．课本第 25 页至第 26 页，习题 1．3 第 3、4、11、12 题．
九、板书设计：
1.3.2 有理数的减法（1）
第三课时
1、有理数的减法可以转化为加法来进行．“相反数”是转化的桥梁．
有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．
用式子表示为：a-b=a+（-b）．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.3.2 有理数的减法（2）
第四课时
三维目标
一、知识与技能
理解有理数加减法可以互相转化，能把有理数加减混合运算统一为加法运
算，灵活应用运算律进行计算．
二、过程与方法
经历综合运用有理数加减法解决实际问题的过程，培养学生分析问题解决问
题的能力．
三、情感态度与价值观
体会数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣．
教学重点、难点与关键
1．重点：有理数加减法统一为加法运算，掌握有理数加减混合运算．
2．难点：省略括号和加号的加法算式的运算方法．
3．关键：理解加减混合运算可以统一成加法，以及正确理解省略加号的有
理数加法形式．
四、教学过程
一、复习提问，引入新课
1．叙述有理数的加法、减法法则．
2．计算．
（1）（-8）+（-6）； （2）（-8）-（-6）； （3）8-（-6）；
（4）（-8）-6； （5）5-14．
五、新授
我们已学习了有理数加、减法的运算，今天我们来研究怎样进行有理数的加
减混合运算．
例 6：计算：（-20）+（+3）-（-5）-（+7）．
分析：这个式子中有加法，也有减法，可以按照运算顺序，从左到右逐一加
以计算．也可以用有理数的减法法则，则它改写为（-20）+（+3）+（+5）+（-7）
使问题转化为几个有理数的加法．
解：（-20）+（+3）-（-5）-（+7）
=（-20）+（+3）+（+5）+（-7）
=[（-20）+（-7）]+[（+3）+（+5）]
=-27+（+8）
=-19
把有理数加减混合运算转化为加法后，常用加法交换律和结合律使计算简
便．
归纳：加减混合运算可以统一为加法运算．
用式子表示为 a+b-c=a+b+（-c）．
式子（-20）+（+3）+（+5）+（-7）是-20，+3，+5，-7 这四个数的和，为了
书写简单，可以省略式子中的括号和加号，把它写为：-20+3+5-7．
这个式子读作“负 20、正 3、正 5、负 7 的和”或读作“负 20 加 3 加 5 减 7”．
例 6 的运算过程也可简写为：
（-20）+（+3）-（-5）-（+7）
=（-20）+（+3）+（+5）+（-7） （加减法统一为加法）
=-20+3+5-7 （省略式子中的括号和括号前面的加号）
=-20-7+3+5 （加法交换律交换时，要连同符号一起交换）
=-19 （异号两数相减）
六、巩固练习
1．课本第 24 页练习．
（1）题是已写成省略加号的代数和，可运用加法交换律、结合律．
原式=1+3-4-0.5=0-0.5=-0.5
（2）题运用加减混合运算律，同号结合．
原式=-2.4-4.6+3.5+3.5=-7+7=0
（3）题先把加减混合运算统一为加法运算．
原式=（-7）+（-5）+（-4）+（+10）
=-7-5-4+10 （省略括号和加号）
=-16+10
=-6
七、课堂小结
有理数加减混合运算通常统一成加法运算，运算时常用交换律和结合律使计
算简便，一般情况采用：（1）凡相加是整数的，可以先加；（2）分母相同或易于
通分的分数相结合；（3）有互为相反数可以互相抵消的，先相加；（4）正、负数
分别相加．总之要认真观察，灵活运用运算律．
八、作业布置
1．课本第 25 页第 26 页习题 1．3 第 5、6、13 题．
九、板书设计：
1.3.2 有理数的减法（2）
第四课时
1、把有理数加减混合运算转化为加法后，常用加法交换律和结合律使计算简便．
归纳：加减混合运算可以统一为加法运算．
用式子表示为 a+b-c=a+b+（-c）．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.4.1 有理数的乘法（1）
第一课时
三维目标
一、知识与技能
经历探索有理数乘法法则过程，掌握有理数的乘法法则，能用法则进行有理
数的乘法．
二、过程与方法
经历探索有理数乘法法则的过程，发展学生归纳、猜想、验证等能力．
三、情感态度与价值观
培养学生积极探索精神，感受数学与实际生活的联系．
教学重、难点与关键
1．重点：应用法则正确地进行有理数乘法运算．
2．难点：两负数相乘，积的符号为正与两负数相加和的符号为负号容易混
淆．
3．关键：积的符号的确定。
四、教学过程
一、引入新课
在小学，我们学习了正有理数有零的乘法运算，引入负数后，怎样进行有理
数的乘法运算呢？
五、新授
课本第 28 页图 1．4-1，一只蜗牛沿直线 L 爬行，它现在的位置恰在 L 上的
点 O．
l
0
（1）如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向右爬行，3 分后它在什么位置？
（2）如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向左爬行，3 分后它在什么位置？
（3）如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向右爬行，3 分前它在什么位置？
（4）如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向左爬行，3 分前它在什么位置？
分析：以上 4 个问题涉及 2 组相反意义的量：向右和向左爬行，3 分钟后与
3 分钟前，为了区分方向，我们规定：向左为负，向右为正；为区分时间，我们
规定：现在前为负，现在后为正，那么（1）中“2cm”记作“+2cm”，“3 分后”
记作“+3 分”．
（1）3 分后．．蜗牛应在 L 上点 O 右边．．6cm 处．（如课本图 1．4-2）
这可以表示为
（+2）×（+3）=+6 ①
（2）3 分后．．蜗牛应在 L 上点 O 左边．．6cm 处．（如课本图 1．4-3）
这可以表示为
（-2）×（+3）=-6 ②
（3）3 分前．．蜗牛应在 L 上点 O 左边．．6cm 处．（如课本图 1．4-4）
[讲问题（3）时可采用提问式：已知现在蜗牛在点 O 处，而蜗牛是一直向
右爬行的，那么 3 分前蜗牛应在什么位置？]
这可以表示为（+2）×（-3）=-6 ③
（4）蜗牛是向左爬行的，现在在 O 点，所以 3 分前．．蜗牛应在 L 上点 O 右．边．
6cm 处（如课本
图 1．4-5）．
这可以表示为（-2）×（-3）=+6 ④
观察①～④，根据你对有理数乘法的思考，完成课本第 39 页填空．
归纳： 两个有理数相乘，积仍然由符号和绝对值两部分组成，①、④式都
是同号两数相乘，积为正，②、③式是异号两数相乘，积为负，①～④式中的积
的绝对值都是这两个因数绝对值的积．
也就是两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
此外，我们知道 2×0=0，那么（-2）×0=？
显然（-2）×0=0．
这就是说：任何数同 0 相乘，都得 0．
综上所述，得有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对
值相乘，任何数同 0 相乘，都得 0．
进行有理数的乘法运算，关键是积的符号的确定，计算时分为两步进行：
第一步是确定积的符号，在确定积的符号时要准确运用法则；第二步是求绝对值
的积．
如：（-5）×（-3），……（同号两数相乘）
（-5）×（-3）=+（ ），……得正
5×3=15，……把绝对值相乘
所以 （-5）×（-3）=15
又如：（-7）×4……________
（-7）×4=-（ ），……_________
7×4=28，……__________
所以 （-7）×4=-28
例 1：计算：
（1）（-3）×9； （2）（- 1
2
）×（-2）；
（3）0×（-53 1
7
）×（+25．3）； （4）1 2
3
×（-1 1
5
）．
例 1 可以由学生自己完成，计算时，按判定类型、确定积的符号，求积的
绝对值．（3）题直接得 0．（4）题化带分数为假分数，以便约分．
小学里，两数乘积为 1，这两个数叫互为倒数．
在有理数中仍然有：乘积是 1 的两数互为倒数．
例如：- 1
2
与-2 是互为倒数，- 3
5
与- 5
3
是互为倒数．
注意倒数与相反数的区别：两数互为倒数，积为 1，它们一定同号；两数
互为相反数，和为零，它们是异号（0 除外），另外 0 没有倒数，而 0 的相反数
为 0．
数 a（a≠0）的倒数是什么？
1 除以一个数（0 除外）得这个数的倒数，所以 a（a≠0）的倒数为 1
a
．
例 2：用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一
座山峰，每登高 1km 气温的变化量为-6℃，攀登 3km 后，气温有什么变化？
解：本题是关于有理数的乘法问题，根据题意，
（-6）×3=-18
由于规定下降为负，所以气温下降 18℃．
六、巩固练习
课本第 30 页练习．
1．第 2 题：降 5 元记为-5 元，那么-5×60=-300（元）
与按原价销售的 60 件商品相比，销售额减少了 300 元．
2．第 3 题：1 和-1 的倒数分别是它们的本身； 1
3
，- 1
3
的倒数分别为 3，-3；
5，-5的倒数分别为 1
5
，- 1
5
； 2
3
，- 2
3
的倒数分别是 3
2
，- 3
2
；此外，1 与-1，1
3
与
- 1
3
，5 与-5， 2
3
与- 2
3
是互为相反数．
七、课堂小结
1．强调运用法则进行有理数乘法的步骤．
2．比较有理数乘法的符号法则与有理数加法的符号法则的区别，以达到进
一步巩固有理数乘法法则的目的．
八、作业布置
1．课本第 38 页习题 1．4 第 1、2、3 题．
九、板书设计：
1.4.1 有理数的乘法（1）
第一课时
1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同 0 相乘，都得
0．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.4.1 有理数的乘法（2）
第二课时
三维目标
一、知识与技能
（1）能确定多个因数相乘时，积的符号，并能用法则进行多个因数的乘积
运算．
（2）能利用计算器进行有理数的乘法运算．
二、过程与方法
经历探索几个不为 0 的数相乘，积的符号问题的过程，发展观察、归纳验
证等能力．
三、情感态度与价值观
培养学生主动探索，积极思考的学习兴趣．
教学重、难点与关键
1．重点：能用法则进行多个因数的乘积运算．
2．难点：积的符号的确定．
3．关键：让学生观察实例，发现规律．
教具准备
投影仪．
四、 教学过程
1．请叙述有理数的乘法法则．
2．计算：（1）│-5│（-2）； （2）（- 1
7
）×（-9）； （3）0×（-99．9）．
五、新授
1．多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘．
例如：计算：1 2
3
×（-1 1
5
）×（-7）= 5
3
×- 6
5
×（-7）=-2×（-7）=14；
又如：（+2）×[（-78）× 1
3 ]=（+2）×（-26）=-52．
我们知道计算有理数的乘法，关键是确定积的符号．
观察：下列各式的积是正的还是负的？
（1）2×3×4×（-5）； （2）2×3×4×（-4）×（-5）；
（3）2×（-3）×（-4）×（-5）；（4）（-2）×（-3）×（-4）×（-5）．
易得出：（1）、（3）式积为负，（2）、（4）式积为正，积的符号与负因数的个
数有关．
教师问：几个不是 0 的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？
学生完成思考后，教师指出：几个不是 0 的数相乘，积的符号由负因数的个
数决定，与正因数的个数无关，当负因数的个数为负数时，积为负数；当负因数
的个数为偶数时，积为正数．
2．多个不是 0 的有理数相乘，先由负因数的个数确定积的符号再求各个绝
对值的积．
例 3：计算：
（1）（-3）× 5
6
×（- 9
5
）×（- 1
4
）；
（2）（-5）×6×（- 4
5
）× 1
4
．
解：（1）（负因数的个数为奇数 3，因此积为负）
原式=-3× 5
6
× 9
5
× 1
4
=- 9
8
（2）（负因数的个数是偶数 2，所以积为正）
原式=5×6× 4
5
× 1
4 =6
观察下式，你能看出它的结果吗？如果能，说明理由？
7.8×（-5.1）×0×（-19.6）
归纳：几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于 0，这是因为任何数同 0
相乘，都得 0．
六、课堂练习
课本第 32 页练习．
思路点拨：先观察题目是什么类型，然后按有理数的乘法法则进行，（1）、
（2）题都是多个不是 0 的数相乘，要先确定积的符号，再求积的绝对值，（3）
题是几个数相乘，且其中有一个因数为 0，所以直接得结果 0．
七、课堂小结
本节课我们通过观察实例，归纳出几个不等于零的数相乘，积的符号由负因
数的个数确定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，
积为正；几个不等于零的数相乘，先确定积的符号，再把各个数的绝对值相乘；
几个数相乘，有一个因数是 0，积就为零．
八、作业布置
1．课本第 38 页习题 1．4 第 7 题第（1）、（2）、（3）题．
九、板书设计：
1.4.1 有理数的乘法（2）
第二课时
1、几个不是 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，与正因数的个数无关，
当负因数的个数为负数时，积为负数；当负因数的个数为偶数时，积为正数．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.4.1 有理数的乘法（3）
第三课时
三维目标
一、知识与技能
（1）能用乘法的三个运算律来进行乘法的简化运算．
（2）能进行乘法及加减法的混合运算．
二、过程与方法
经历探索有理数乘法运算律的过程，发展学生观察、归纳、验证等能力．
三、情感态度与价值观
鼓励学生积极思考，并与同伴进行交流的思想，体会运算律对简化运算的作
用．
教学重、难点与关键
1．重点：能运用乘法运算律进行乘法运算．
2．难点：灵活运用运算律进行乘法运算．
3．关键：掌握乘法运算律以及运算法则．
四、教学过程
1．有理数的乘法法则是什么？
2．在小学里学过正有理数乘法有哪些运算律？
五、新授
在小学里，数的乘法满足交换律，例如 8×3=3×8．
还满足结合律，例如（4×6）×3=4×（6×3）．
引入负数后，乘法交换律、结合律是否还成立？
规定有理数乘法法则后，显然乘法交换律、结合律仍然成立．
例如：5×（-6）=-30，（-6）×5=-30
即 5×（-6）=（-6）×5
[3×（-4）]×（-5）=（-12）×（-5）=60
3×[（-4）×（-5）]=3×（+20）=60
即 [3×（-4）]×（-5）=3×[（-4）×（-5）]
大家可以再任意取一些数，试一试．
一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
乘法交换律：ab=ba．
说明：a×b 可以写成 a·b 或 ab．当用字母表示乘法时“×”号可写成“·”
或省略．
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
乘法结合律：（ab）c=a（bc）．
在小学里，乘法还满足分配律，例如 6×（ 1
2 + 1
3
）=6× 1
2 +6× 1
3
．
任意选取三个有理数（至少有一个负数）分别填入下列□、○和△内，并比
较两个运算结果，你能发现什么？
所以：-5×[ 1
5 +（-2）]=-5× 1
5 +（-5）×（-2）
这就是说，有理数的乘法仍满足分配律．
一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再
把积相加．
分配律：a（b+c）=ab+ac．
以上表示乘法运算律的式子中，a、b、c 表示任意有理数．
乘法的运算律与加法运算律类似，也可以推广到多个数的情况．
在代数学的研究中，运算律是很重要的内容．在计算时运用运算律，往往能
使计算简便．
例 4：用两种方法计算（ 1
4
＋ 1
6
－ 1
2
）×12．
解法 1：按运算顺序，先计算小括号内的数．
（ 1
4
＋ 1
6
－ 1
2
）×12
=（ 3 2 6
12 12 12
）×12
=- 1
12
×12=-1
解法 2：运用分配律．
（ 1
4
＋ 1
6
－ 1
2
）×12
= 1
4
×12+ 1
6
×12- 1
2
×12
=3+2-6=-1
思考：比较以上两种方法，哪种解法运算量小？
显然解法 2 运算量小，它不需要通分．
六、课堂练习
1．课本第 33 页练习．
（1）-8500，运用结合律，先算（-25）×（-4）．
（2）15，运用乘法交换律和结合律．
（3）25，运用分配律．
七、课堂小结
运算律的运用十分灵活，在有理数的混合运算中，各种运算律常常是混合运
用的，这就要求我们要有较好的掌握运算律进行计算的能力，在平时的练习中，
要观察题目特点，寻找最佳解题方法，这样往往可以减少计算量．
八、作业布置
1．课本第 39 页，习题 1．4 第 7 题第（1）、（2）、（3）小题．
九、板书设计：
1.4.1 有理数的乘法（3）
第三课时
1、一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
2、一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再
把积相加．
3、随堂练习。
4、小结。
5、课后作业。
十、课后反思
1.4.2 有理数的除法（1）
第四课时
三维目标
一、知识与技能
掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算以及分数的化简．
二、过程与方法
通过学习有理数除法法则，体会转化思想，会将乘除混合运算统一为乘法运
算．
三、情感态度与价值观
培养学生勇于探索积极思考的良好学习习惯．
教学重、难点与关键
1．重点：正确应用法则进行有理数的除法运算．
2．难点：灵活运用有理数除法的两种法则．
3．关键：会将有理数的除法转化为乘法．
四、教学过程，课堂引入
1．小学里，除法的意义是什么？它与乘法有什么关系？
已知两数的积与一个因数，求另一个因数。用除法，乘法与除法互为逆运算
除以一个数等于乘以这个数的倒数．
2．求下列各数的倒数：
（1）- 2
5
； （2）-0.125； （3）-1 3
7
．
五、新授 w
引入负数后，如何计算有理数的除法呢？
例如 8÷（-4）．
根据除法意义，这就是要求一个数，使它与-4 相乘得 8．
因为 （-2）×（-4）=8
所以 8÷（-4）=-2 ①
另外，我们知道，8×（- 1
4
）=-2 ②
由①、②得 8÷（-4）=8×（- 1
4
） ③
③式表明，一个数除以-4 可以转化为乘以- 1
4
来进行，即一个数除以-4，等
于乘以-4 的倒数- 1
4
．
探索：换其他数的除法进行类似讨论，是否仍有除以 a（a≠0）可以转化为
乘以 1
a
呢？[例如（-10）÷（-4）]
从而得出有理数除法法则：
除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数．
这个法则也可以表示成：
a÷b=a· 1
b
（b≠0），
其中 a、b 表示任意有理数（b≠0）
例如：
两数相除的商仍有符号和绝对值两部分组成，由于除法可转化为乘法，因此
商的符号确定与有理数乘法类似，你能否得到与有理数乘法法则类似的除法法则
吗？
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
零除以任何一个不等于零的数，都得零．
这是有理数除法法则的另一种说法，具体采用哪一种方法，灵活选用．
例 5：计算：（1）（-36）÷9；（2）（- 12
25
）÷（- 3
5
）．
分析：（1）题，36 能被 9 整除，可以用方法二，直接除；（2）题是分数除
法，可转化为乘法．
解：（1）（-36）÷9=-（36÷9）=-4（先确定符号，再求绝对值）；
（2）（- 12
25
）÷（- 3
5
）=（- 12
25
）×（- 5
3
）= 4
5
．
例 6：化简下列分数：
（1） 12
3
； （2） 45
12
．
分析：分数可以理解为除法，所以要按除法法则进行，可以直接除，也可以
转化为乘法，利用乘法的运算性质简化分数．
解：（1） 12
3
=（-12）÷3=-4；
（2） 45
12
=（-45）÷（-12）=（-45）×（- 1
12
）=15
4
．
例 7：计算：
（1）（-125 5
7
）÷（-5）；（2）-2.5÷ 5
8
×（- 1
4
）．
分析：（1）题是分数除法，应转化为乘法，由于 125 5
7
化为假分数，计算量
大，可以把 125 5
7
写成 125+ 5
7
后用分配律．（2）题是乘除混合运算，应将它统一
为乘法以便约分．
解：（1）（-125 5
7
）÷（-5）
=125 5
7
÷5 （先确定符号）
=（125+ 5
7
）× 1
5
（除转化为乘，同时将 125 5
7
写成 125+ 5
7
）
=125× 1
5 + 5
7
× 1
5
（运用分配律）
=25+ 1
7 =25 1
7
（2）-2.5÷ 5
8
×（- 1
4
）= 5
2
× 8
5
× 1
4 =1
遇到乘除混合运算时，可先确定结果的符号，再将它统一为乘法，另外，既
有小数，也有分数时，通常把小数化为分数，以便约分．
六、随堂练习
课本第 36 页练习
七、课堂小结
本节课学习了有理数的除法法则，有理数的除法有两种方法．一是根据“除
以一个数，等于乘以这个数的倒数”，转化为乘法，按乘法法则进行．二是根据
“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．一般能整除时用第二种方
法．乘除混合运算，先统一为乘法，再按几个不等于 0 的数相乘的法则计算．
八、作业布置
1．课本第 38 页习题 1．4 第 4、6、7（4）～（8）．
九、板书设计：
1.4.2 有理数的除法（1）
第四课时
1、除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数．
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
零除以任何一个不等于零的数，都得零．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.4.2 有理数的除法（2）
第五课时
三维目标
一、知识与技能
（1）会用计算器计算有理数的除法运算．
（2）掌握有理数的加减乘除混合运算．
二、过程与方法
通过本节课的数学活动，培养学生分析问题，综合应用知识解决实际问题的
能力．
三、情感态度与价值观
培养学生动手操作能力，体会数学知识的应用价值．
教学重、难点与关键
1．重点：掌握有理数的加减乘除混合运算．
2．难点：符号的确定．
3．关键：掌握运算顺序以及运算法则．
四、教学过程、课堂引入
1、在小学里，加减乘除四则运算的顺序是怎样的？
先乘除后加减，同级运算从左往右依次进行，有括号的，先算括号内的，另
外还要注意灵活应用运算律． 有理数加减、乘除混合运算顺序与数的运算
顺序一样．
五、新授
例 8．计算：（1）-8+4÷（-2）；
（2）（-7）×（-5）-90÷（-15）．
分析：（1）按运算顺序，先做除法，再做加法．（2）先算乘、除法，然后做
减法．
解：（1）-8+4÷（-2）
=-8+（-2） =-10
（2）（-7）×（-5）-90÷（-15）
=35-（-6）=35+6=41
例 9：某公司去年 1～3 月平均每月亏损 1.5 万元，4～6 月平均每月盈利 2
万元，7～10 月平均每月盈利 1.7 万元，11～12 月平均每月亏损 2.3 万元，这个
公司去年总的盈利情况如何？
分析：盈利与亏损是具有相反意义的量，我们把盈利额记为正数，亏损额
记为负数，那么公司去年全年亏盈额就是去年 1～12 月的所亏损额和盈利额的
和．
解：（-1.5）×3+2×3+1.7×4+（-2.3）×2
=-4.5+6+6.8-4.6=3.7（万元）．
答：这个公司去年全年盈利 3.7 万元．
例 10：计算 36÷3× 1
3 -[（+ 1
7
）-（- 1
3
）-（+ 1
5
）]÷（- 1
105
）．
解：原式=36× 1
3
× 1
3 -（ 1
7 + 1
3 - 1
5
）×（-105）
=4+（ 1
7 + 1
3 - 1
5
）×105
=4+ 1
7
×105+ 1
3
×105- 1
5
×105
=4+15+35-21=33
计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，比
笔算要快捷得多．
例如：用计算器计算例 9 中的：
（-1.5）×3+2×3+1.7×4+（-2.3）×2
学生阅读课本第 37 页有关内容，按课本介绍的方法操作．教师巡视，关注
学习有困难的学生，给予指导．
六、随堂练习
1．计算． （1）11+（-22）-3×（-11）； （2）（-0.1）÷ 1
2
×（-100）；
（3）0÷（- 3
4
）×（- 2
3 - 1
3
）； （4）（ 3
4 - 7
8
）÷（- 7
8
）；
七、课堂小结
对于有理数的加减乘除四则运算，首先确定运算顺序，先乘除，后加减，同
级运算谁在前先算谁，一般情况将除法转化为乘法，减法转化为加法，灵活应用
运算律，有括号的应先算括号，计算时特别注意符号的确定，注意检查，使结果
正确无误．
八、作业布置
1．课本第 39 页至第 40 页习题 1．4 第 8、11、12、13、14、15 题．
九、板书设计：
1.4.2 有理数的除法（2）
第五课时
1、先乘除后加减，同级运算从左往右依次进行，有括号的，先算括号内的，
另外还要注意灵活应用运算律． 有理数加减、乘除混合运算顺序与数的运
算顺序一样．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.5.1 有理数的乘方（1）
第一课时
三维目标
一、知识与技能
（1）正确理解乘方、幂、指数、底数等概念．
（2）会进行有理数乘方的运算．
二、过程与方法
通过对乘方意义的理解，培养学生观察比较、分析、归纳概括的能力，渗透
转化思想．
三、情感态度与价值观
培养探索精神，体验小组交流、合作学习的重要性．
教学重、难点与关键
1．重点：正确理解乘方的意义，掌握乘方运算法则．
2．难点：正确理解乘方、底数、指数的概念，并合理运算．
3．关键：弄清底数、指数、幂等概念，注意区别－an 与（－a）n 的意义．
四、课堂引入
1．几个不等于零的有理数相乘，积的符号是怎样确定的？
几个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数
的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正．
2．正方形的边长为 2，则面积是多少？棱长为 2 的正方体，则体积为多少？
五、新授
边长为 a 的正方形的面积是 a·a，棱长为 a 的正方体的体积是 a·a·a．
a·a 简记作 a2，读作 a 的平方（或二次方）．
a·a·a 简记作 a3，读作 a 的立方（或三次方）．
一般地，几个相同的因数 a 相乘，记作 an．即 a·a……a． 这种求 n 个相
同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
在 an 中，a 叫底数，n 叫做指数，当 an 看作 a 的 n 次方的结果时，也可以读
作 a 的 n 次幂．
例如，在 94 中，底数是 9，指数是 4，94 读作 9 的 4 次方，或 9 的 4 次幂，
它表示 4 个 9 相乘，即 9×9×9×；又如（－2）4 的底数是－2，指数是 4，读作－
2 的 4 次方（或－2 的 4 次幂），它表示（－2）×（－2）×（－2）×（－2）．
思考：32 与 23 有什么不同？（－2）3 与－23 的意义是否相同？其中结果是
否一样？（－2）4 与－24 呢？（ 3
5
）2 与
23
5
呢？
（－2）3 的底数是－2，指数是 3，读作－2 的 3 次幂，表示（－2）×（－2）
×（－2），结果是－8；－23 的底数是 2，指数是 3，读作 2 的 3 次幂的相反数，
表示为－（2×2×2），结果是－8．
（－2）3 与－23 的意义不相同，其结果一样．
（－2）4 的底数是－2，指数是 4，读作－2 的四次幂，表示
（－2）×（－2）×（－2）×（－2），
结果是 16；－24 的底数是 2，指数是 4，读作 2 的 4 次幂的相反数，表示为
－（2×2×2×2），其结果为－16．
（－2）4 与－24 的意义不同，其结果也不同．
（ 3
5
）2 的底数是 3
5
，指数是 2，读作 3
5
的二次幂，表示 3
5 × 3
5
，结果是 9
25
；
23
5
表示 32 与 5 的商，即 3 3
5
，结果是 9
5
．
因此，当底数是负数或分数时，一定要用括号把底数括起来．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如 5 就是 51，指数 1 通常省略不写．
因为 an 就是 n 个 a 相乘，所以可以利用有理数的乘方运算来进行有理数的
乘方运算．
例 1：计算：
（1）（－4）3； （2）（－2）4； （3）（－ 1
2
）5；
（4）33； （5）24； （6）（－ 1
3
）2．
解：（1）（－4）3=（－4）×（－4）×（－4）=－64
（2）（－2）4=（－2）×（－2）×（－2）×（－2）=16
（3）（－ 1
2
）5=（－ 1
2
）×（－ 1
2
）×（－ 1
2
）×（－ 1
2
）×（－ 1
2
）=－ 1
32
（4）33=3×3×3=27
（5）24=2×2×2×2=16
（6）（－ 1
3
）2=（－ 1
3
）×（－ 1
3
）= 1
9
例 2：用计算器计算（－8）5 和（－3）6．
解：用带符号键（－）的计算器．
开启计算器后按照下列步骤进行：
（ （－） 8 ） ∧ 5 =
显示：（－8）^ 5
－32768 即（－8）5=－32768
（ （－） 3 ） ∧ 6 =
显示：（－3）^ 6
729 即（－3）6=729
用带符号转换键 +/－ 的计算器：
8 +/－ ∧ 5 =
显示：－32768
3 +/－ ∧ 6 =
显示：729
所以（－8）5=－32768 （－3）6=729
因此，可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何
非零次幂都是正数；0 的任何非零次幂都是 0．
六、巩固练习
1．课本第 52 页练习 1、2．
七、课堂小结
正确理解乘方的意义，a n 表示 n 个 a 相乘的积．注意（－a）n 与－a n 两者
的区别及相互关系：（－a）n 的底数是－a，表示 n 个－a 相乘的积；－a n 底数是
a，表示 n 个 a 相乘的积的相反数．当 n 为偶数时，（－a）n 与－a n 互为相反数，
当 n 为奇数时，（－a）n 与－a n 相等．
八、作业布置
1．课本第 47 页习题 1．5 第 1 题，第 48 页第 11、12 题．
九、板书设计：
1.5.1 有理数的乘方（1）
第一课时
1、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何非零次幂都是
正数；0 的任何非零次幂都是 0．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.5.1 有理数的乘方（2）
第二课时
三维目标
一、知识与技能
掌握有理数混合运算的顺序，能正确地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混
合运算．
二、过程与方法
通过例题学习，发展学生观察、归纳、猜想、推理等能力．
三、情感态度与价值观
体验获得成功的感受、增加学习自信心．
教学重、难点与关键
1．重点：能正确地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算．
2．难点：灵活应用运算律，使计算简单、准确．
3．关键：明确题目中各个符号的意义，正确运用运算法则．
四、课堂引入
1．我们已经学习了哪几种有理数的运算？
2．有理数的乘方法则是什么？
五、新授
下面的算式里有哪几种运算？
3+50÷22×（－ 1
5
）－1 ①
这个算式里，含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算，按怎样的顺序
进行运算？
有理数的混合运算，应按以下运算顺序进行：
1．先乘方，再乘除，最后加减；
2．同级运算，从左往右进行；
3．如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
例如上面①式
3+50÷22×（－ 1
5
）－1
=3+50÷4×（－ 1
5
）－1
=3+50× 1
4 ×（－ 1
5
）－1
=3－ 5
2
－1
=－ 1
2
例 3：计算：（1）2×（－3）3－4×（－3）+15；
（2）（－2）3+（－3）×[（－4）2+2]－（－3）2÷（－2）．
分析：分清运算顺序，先乘方，再做中括号内的运算，接着做乘除，最后做
加减．计算时，特别注意符号问题．
解：（1）原式=2×（－27）－（－12）+15
=－54+12+15
=－27
（2）原式=－8+（－3）×（16+2）－9÷（－2）
=－8+（－3）×18－（－4.5）
=－8－54+4.5=－57.5
例 4：观察下面三行数：
－2，4，－8，16，－32，64，…①
0，6，－6，18，－30，66，… ②
－1，2，－4，8，－16，32，… ③
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第 10 个数，计算这三个数的和．
分析：（1）第行数，从符号看负、正相隔，奇数项为负数，偶数项为正数，
从绝对值看，它们都是 2 的乘方．
解：（1）第①行数是
－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，（－2）5，（－2）6，…
（2）对比①②两行中位置对应的数，你有什么发现？
2 2 2 22 0, 4 6, 8 6,16 18, ..
第②行数是第①行相应的数加 2．
即 －2+2，（－2）2+2，（－2）3+2，（－2）4+2，…
对比①③两行中位置对应的数，你有什么发现？
第③行数是第①行相应的数的一半，即
－2×0.5，（－2）2×0.5，（－2）3×0.5，（－2）4×0.5，…
（3）根据第①行数的规律，得第 10 个数为（－2）10，那么第②行的第 10
个数为（－2）10+2，第③行中的第 10 个数是（－2）10×0.5．
所以每行数中的第 10 个数的和是：
（－2）10+[（－2）10+2]+[（－2）10×0.5]
=1024+（1024+2）+1024×0.5
=1024+1026+512=2562
六、巩固练习
课本第 44 页练习．
七、课堂小结
在进行有理数混合运算时，一般按运算顺序进行，但有时根据运算律会使运
算更简便，因此要在遵守运算顺序外，还要注意灵活运用运算律，使运算快捷、
准确．
八、作业布置
1．课本第 47 页至第 48 页习题 1．5 第 3、8 题．
九、板书设计：
1.5.1 有理数的乘方（2）
第二课时
1．先乘方，再乘除，最后加减；
2．同级运算，从左往右进行；
3．如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
4、随堂练习。
5、小结。
6、课后作业。
十、课后反思
1.5.2 科学记数法
第三课时
教学目标
一、知识与技能
借助身边熟悉的事物体会大数和小数，并会用科学记数法表示大数和小数．
二、过程与方法
通过学生回顾 10 的 n 次幂的意义和规律，以帮助理解科学记数法．
三、情感态度与价值观
培养学生自主探索交流、尝试出表示大数和较小的数的简单方法．
教学重、难点与关键
1．重点：会用科学记数法表示较大的数．
2．难点：用科学记数法表示较小的数．
3．关键：理解乘方意义和负指数的概率．
四、课堂引入
1．乘方的意义，a 表示什么意义？底数是什么？指数是什么？
五、新授．
例如第五次人口普查时，中国人口约为 1300000000人，太阳半径约为
696000000，光的速度约为 300000000 米/秒．读、写这样大的数有一定困难，那
么有简单的表示方法吗？
让我们先观察 10 的乘方有什么特点？
102=100，103=1000，104=10000，…
即 10 的 n 次幂等于 10…0（在 1 的后面有 n 个 0），所以可以利用 10 的乘方
表示一些大数，例如 567000000=5.67×100000000=5.67×108
读作：“5.67 乘 10 的 8 次方（幂）”．
这样不仅可以使书写简短，同时还便于读数．
像上面这样，把一个大于 10 的数表示成 a×10n 的形式，其中 a是整数数位
只有一位的数（1≤a<10），n 是正整数，这种记数方法叫科学记数法．
例如用科学记数法表示中国人口约为 1.3×109 人，太阳半径约为 6.96×108 米，
光的速度约为 3×108 米/秒．
例 5：用科学记数法表示下列各数．
1000000，57000000，123000000000．
解：1000000=106（这里 a=1 省略不写）
57000000=5.7×10000000=5.7×107
123000000000=1.23×100000000000=1.23×1011
观察上面的式子，等号左边整数的位数与右边 10 的指数有什么关系？
1000000 是 7 位整数，而 10 的指数是 6，57000000 是 8 位整数，而 10 的指
数为 7．
即等号右边 10 的指数比左边整数的位数小 1．
问：如果一个数是 6 位整数，用科学记数法表示时，10 的指数是多少？如
果一个数有 8 位整数呢？
用科学记数法表示一个 n 位整数，其中 10 的指数是 n－1．
注意：“n 位整数”是指这个数的整数部分的位数．
例如：831.5 的整数部分是 3 位，用科学记数法表示为 8.315×102．
另外，用科学记数法表示一个数时，规定 a 必须是大于或等于 1 且小于 10．
在生活中，我们还常常遇到一些较小的数据．例如存在于生物体内在某种细
胞的直径约为百万分之一米，即 1微米，本次中特等奖的概率只有百万分之
一，即 0．000001，它们也能用科学记数法表示吗？
本章引言中有 1 纳米=10 米，这是什么意思呢？
1 纳米是非常小的长度单位，1 米是 1 纳米的 10 亿倍，也就是说 1 纳米是
1米的十亿分之一，两者之间的单位换算关系可以表示为：
1 米=109 纳米，或 1 纳米= 9
1
10
米
在科学记数法中，后一式子表示为 1 纳米=10－9 米
一般地，当 a≠0，n 是正整数时，a－n= 1
na
例如 1 米=102 厘米，或 1 厘米= 2
1
10
米=10－2 米．
即 0.01=10－2
六、巩固练习
1．课本第 47 页习题 1．5 第 1、2 题．
七、课堂小结
用科学记数法表示较大的数时，注意 a×10n 中 a 的范围是 1≤a<10，n 是正整
数，n 与原数的整数部分的位数 m 的关系是 m－1=n，反过来由用科学记数法
表示的数写出原数时，原数的整数部分的数位 m 比 10 的指数大 1．（即 m=n+1）
另外，对于绝对值较大的负数，如－729000，它可表示为－7.29×105，它的
意义是 7.29×105 的相反数，这里的 a 仍然是 1≤a<10．
对于较小的数，如 0.00012，因为 0.00012=1.2÷10000=1.2÷104=1.2× 4
1
10 =1.2×10－
4．
八、作业布置
1．课本第 47 页习题 1．5 第 4、5、9、10 题．
九、板书设计：
1.5.2 科学记数法
第三课时
1． 像上面这样，把一个大于 10 的数表示成 a×10n 的形式，其中 a是整数数位
只有一位的数（1≤a<10），n 是正整数，这种记数方法叫科学记数法．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.5.3 近似数
第四课时
三维目标
一、知识与技能
（1）给了一个近似数，你能说出它精确到哪一位，有几个有效数字．
（2）给了一个数，会按照精确到哪一位或保留几个有效数字的要求，四舍
五入取近似数．
二、过程与方法
从测量引入近似数，使学生体会近似数的意义和生活中的应用．
三、情感态度与价值观
培养学生认真细致的学习态度，合作交流的意识．
教学重、难点与关键
1．重点：近似数，精确度，有效数字概念．
2．难点：由给出的近似数求其精确度及有效数字．
3．关键：理解有效数字的概念和小数点末尾的零的意义．
四、教学过程，课堂引入
1．准确数和近似数．
在日常生活和生产实际中，我们接触到很多这样的数．例如：对于参加同一
个会议的人数，有两种报道，一种报道说：“会议秘书处宣布，参加今天会议
的有 513 人”．这里数字 513 确切地反映了实际人数，它是一个准确数，另一种
报道说：“约有 500 人参加了今天的会议”，500 这个数只能接近实际人数，但
与实际人数还有差别，它是一个近似数．
例如，统计班上喜欢看球赛同学的人数是 35，这个数是与实际完全符合的
准确数，一个也不多，一个也不少，又如，初一（1）班有 55 个学生，某工厂有
126 台机床，我有 8 本练习本，这些数都是与实际完全符合的准确数．
如果量得语文课本的宽为 13.5cm，由于所用尺的刻度有精确度限制，而且
用眼观察时不可能非常细致，因此与实际宽度有一点偏差，这里的 13.5cm 只是
一个与实际宽度非常接近的数，又如，宇宙现在的年龄约为 200 亿年，长江长约
6300 千米，圆周率 约为 3.14，这些数都是近似数．
五、新授
在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似数．
你还能举出一些日常遇到的近似数吗？
2．关于精确度问题
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，例如，前面的 500 是精确
到百位的近似数，它与准确数 513 的误差为 13．
我们都知道圆周率 =3.141592…
计算时我们需按照要求取近似数．
如果要求按四舍五入精确到个位，那么≈3；
如果要求按四舍五入精确到 0.1（或精确到十分位），那么 ≈3.1；
如果要求按四舍五入精确到 0.01（或精确到百分位），那么 ≈3.14；
如果要求按四舍五入精确到 0.001（或精确到千分位），那么 ≈_______；
反过来，若 ≈3.1416，那么精确到________，或叫精确到_______．
一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
3．近似数的有效数字．
一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有数字都
是这个数的有效数字，一共包含的有效数字的个数，叫这个近似数的有效数字的
个数．
例如近似数 0.025 有两个有效数字：2，5；1500 有 4 个有效数字：1，5，0，
0；0.103有有 3 个有效数字：1，0，3．
对于用科学记数法表示的数 a×10n，规定它的有效数字就是 a 中的有效数字，
例如近似数 5.104×106 有 4 个有效数字：5，1，0，4．
规定有效数字的个数，也是对近似数精确程度的一种要求．
一般说，对于同一个数取近似数时，有效数字个数越多，精确程度越高．如
果四舍五入法对 取近似数时，若要求保留 1 个有效数字，则 ≈3；若要求保留
3 个有效数字，则 ≈3.14．
例 6：按括号内的要求，用四舍五入法对下列数取近似数．
（1）0.0158（保留 2 个有效数字）；
（2）30435（保留 2 个有效数字）；
（3）1.804（保留 2 个有效数字）；
（4）1.804（保留 3 个有效数字）；
（5）3.5046（精确到百分位）；
（6）2.971×104（保留 2 个有效数字）．
解：（1）0.0158≈0.016；
（2）30435=3.0435≈104≈3.04≈104（或 3.04 万）；
（3）1.804≈1.8；
（4）1.804≈1.80；
（5）3.5049≈3.50；
（6）2.971×104≈3.0×104．
思路点拨：（2）题，不能写成 30435≈30400，如果这样写，那就看不出哪
些是保留的有效数字，而近似数 30400 是有 5 个有效数字，所以做这类题，先
将它用科学记数法表示，再按照规定保留有效数字，或者写成 3.04 万．（4）题
中，1.80，这里的 0 不能去掉，由四舍五入得到的 1.8 与 1.80 的精确度是不同的，
前者是精确到 0.1，是保留 2 个有效数字，而后者是精确到 0.01，保留 3 个有效
数字，同理（6）题中 3.0×104 的 0 也不能丢了．（5）题，不能先约等于 3.505，
再约等于 3.51，四舍五入精确到百分位，是将千分位四舍五入，与千分位后面
的数字无关．
例 7：下列是由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？保留几个有效
数字？
（1）132.4； （2）0.0572； （3）2.40 万； （4）3000．
解：（1）132.4 是精确到 0.1，保留 4 个有效数字．
（2）0.0572 是精确到 0.0001，保留 3 个有效数字．
（3）2.40 万是精确到百位，保留 3 个有效数字．
（4）3000 是精确到个位，保留 4 个有效数字．
六、巩固练习
1．课本第 46 页练习．
七、课堂小结
正确理解和掌握近似数、准确数和有效数字的概念，给出一个近似数，能准
确地确定它精确到哪一位，有哪几个有效数字，并能按要求求一个数的近似数．
八、作业布置
1．课本第 47 页至第 48 页习题 1．5 第 6、7、11 题．
九、板书设计：
1.5.3 近似数
第四课时
1． 一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有数字
都是这个数的有效数字，一共包含的有效数字的个数，叫这个近似数的有效数字
的个数．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
第一章有理数 复习（1）
第一课时
三维目标
一、知识与技能
1． 复习有理数的意义及其有关概念。其内容包括正负数、有理数、数轴、有理
数大小的比较、相反数与绝对值等。通过复习使学生系统掌握有理数这一章
的有关基本概念；
2． 使学生提高辨别概念能力；
二、过程与方法
利用数轴来认识、理解有理数的有关概念.
三、情感态度与价值观
1、鼓励学生自己回顾本单元的学习内容。并与同伴交流在本单元学习中的
收获和不足，培养他们的反思意识。
教学重难点
理解掌握有理数的有关概念
四、复习提问：
1、 什么叫数轴？画出一个数轴来。
2、 什么是有理数？有理数集包括哪些数？有理数和数轴上的点有什么关
系？
答：整数和分数统称为有理数。有理数的分类：整数、分数统称有理数；整数又
包括正整数、零、负整数，分数又包括正分数与负分数。
每一个有理数都可以用数轴上唯一确定的点来表示。但反过来以后可以看
到，数轴上任一点并不一定表示有理数。表示正有理数的点在原点的右边，表示
零的点是原点，表示负有理数的点在原点的左边。
3、 观察数轴分别说出 A,B,C,D,E,F 各点表示的数是什么？
4、 点 A 与 F,点 B 与 E 所表示的数分别存在什么关系？（互为相反数）互
为相反数的几何意义？（互为相反数就是在原点两侧且到原点等距的两
点所表示的数。）相反数的性质？（只有符号不同的两个数是互为相反
数，a 的相反数为－a；）
各点所表示的数的绝对值是多少？绝对值的几何意义？（在数轴上，表示数
a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值）绝对值的代数意义？( a =a（a＞0），
a =0（a=0）， a =－a（a＜0）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对
值是它的相反数；零的绝对值是零。
5、 说出各数的倒数？（一个数除以 1 所得的商是这个数的倒数，零没有
倒数）
6、 比较各点表示的数的大小？
方法一：零大于一切正数，而小于一切负数；
两个负数，绝对值大的反而小。
方法二：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
其余相关概念：
（1）代数和：
把有理数的加、减运算统一写成加法形式，成为几个有理数的和，通常称为
代数和；省略加号的和的形式。
（2）去括号与添括号：
去括号法则：括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号
内各项都不变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内
各项都要变号。
添括号法则：在“+”号后边添括号，括到括号内的各项都不变；在“－”
号后边添括号，括到括号内的各项都要变号。
五、例题讲解：
例 1 下列说法是否正确，请将错误的改正过来。
⑴所有的有理数都能用数轴上的点表示； （ ）
⑵符号不同的两个数是互为相反数； （ ）
⑶两个有理数的和一定大于每一个加数； （ ）
⑷有理数分为正数和负数； （ ）
例 2 用数轴上的点表示下列有理数，并求其相反数、倒数和绝对值。
－0.5，－3.5，7，－4.5，－4
例 3 写出符合下列条件的数。
⑴最小的正整数； ⑵最大的负整数；⑶大于－3 且小于 2 的所有整数；
⑷绝对值最小的有理数； ⑸绝对值大于 2 且小于 5 的所有负整数；
例 4 一只蜗牛从数轴上的原点出发，先向右移动 2 个单位，再向左移动 5 个单
位，这时蜗牛与数轴上的田螺相距 1.5 个单位，求田螺表示的数
例 5 观察下面的每列数，按某种规律在横线上填上适当的数，并说明你的理由。
⑴－23，－18，－13， ， ；
⑵
64
5,32
4,16
3,8
2 ， ， ；
⑶－2，－4，0，－2，2， ， 。
例 6 某数学俱乐部有一种“秘密”的记帐方式。当他们收入 300 元时，记为－
240；当他们用去 300 元时，记为 360。猜一猜，当他们用去 100 元时，可
能记为多少？当他们收入 100 元时，可能记为多少？说明你的理由。新课
标第一网
例 7 若 的值求式子 2731982,2 20052006 aaaa .
全章知识点：
第一章有理数 复习（2）
第二课时
三维目标
一、知识与技能
1.会运用有理数的运算法则、运算律,熟练进行有理数的运算；
2.用四舍五入法,按要求(有效数字或精确度)确定运算结果；
3.会利用计算器进行有理数的简单计算和探索数的规律.
4. 会根据定义的一种新运算进行计算，能看懂程序，并设计运算程序.
二、过程与方法
1.在学生自主归纳的过程中，感受数学的整体性.
三、情感态度与价值观
1.鼓励学生在相互合作交流的过程中主动观察、归纳，提出猜想，从而使学生形
成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.
教学重点、难点
有理数的运算，看懂程序，并设计运算程序，探索数与式的变化规律，探索能力
的培养。
四、创设情境复习
根据知识结构复习相关的知识要点，并回答以下问题。
1．有理数的加、减、乘、除、乘方的法则各是什么？
2．在有理数运算中，有哪些运算律？混合运算的顺序是什么？
3．什么是近似数与有效数字？
五、实践应用
例 1 计算：
（3）（－3）2＋4×（－
2
1 ）－23
（4）（－2）3＋
2
12004
2
1 0 －－）－（ .
例 2 填空：(1)504.03 是由四舍五入所得的近似数，这个近似数精确到 ，有
效数字是 ，用科学记数法可表示为 .
(2)如果 a 为有理数,那么在|a|, -|-a|， ， , - , - 这几个数
中,一定是非负数的是 .
(3)圆的半径 r=2.5,圆的面积 S= ( 取 3.14 结果保留两个有效数字).
例 3 当 x=7，y=4，z=0 时，求代数式 x(2x-y+3z)的值．
解：当 x=7，y=4，z=0 时，
x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0)
=7×(14-4)
=70．
例 4 规定一种新的运算：a△b=ab-a-b+1,如 3△4＝3×4－3－4＋1，请比较（－
3）△4 与 4△（－3）的大小.
例 5 小红家春天粉刷房间，雇佣了 5 个工人，干了 10 天完成；用了某种涂料 150L，
费用为 4800 元；粉刷的面积是 150m2，最后结算工钱时，有以下几种方案：
方案一：按工算，每个工为 30 元（一个工人 1 天是一个工）
方案二：按涂料费算，涂料费用的 30％作为工钱；
方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱 12 元。
请你帮助小红家出主意，选择方案 付钱最合算。
六、交流反思小结
通过本节课的复习，你有那些收获？
本节课主要复习了有理数的运算,运算时要注意以下两点:
(1)在有理数的运算中，要特别注意符号问题，提高运算的正确性，还要善
于灵活运算律简化运算；
(2)在实际运算中经常会遇到近似数，要注意按要求的精确度进行计算和保
留结果．对较大的数用科学记数法表示，既方便，又容易体现对有效数字的要
求．
七、练习
1.计算：
2.用四舍五入法对下列各数按括号的要求取近似值：
(1)2.768(精确到百分位)；(2)0.009 403(保留 3 个有效数字)；
(3)8.965(精确到 0.1)； (4)17 289(精确到千位).
3.用计算器进行下列运算(保留 3 个有效数字)：
(1)56.2+7.41×(-2.12)； (2) -1.68；
(3) ÷(-5.62)+49.34.
4．（1）当 x=2 时，求式子 x2-1 的值；
5．已知 |a＋2|＋|b－3|=0，求 a 和 b 的值.
第二章 整式的加减
单元要点分析
教学内容
本单元主要内容：单项式、多项式、整式等有关概念，合并同类项、去括号、
整式的加减运算．
课本首先通过实例列式表示数量关系，介绍了单项式、多项式以及整式等有
关概念，然后通过对具体问题的解决，类比有理数的运算律，明确了同类项可以
合并的道理，明确整式加减的法则以及去括号和添活号法则．这些内容也是对前
一章内容的进一步认识．
本章在呈现形式上突出了整式及整式加减产生的实际背景，使学生经历实际
问题“符号化”的过程，发展符号感，为探索有关运算法则设置了归纳、类比等
活动，力求学生对算理的理解和法则的掌握．
三维目标
1．知识与目标
（1）了解单项式、多项式整式等概念，弄清它们之间的联系和区别．
（2）掌握单项式系数、次数和多项式的次数、项与项数的概念，明确它们
之间的关系．
（3）理解同类项的概念，能熟练地合并同类项．
（4）掌握去括号、添括号法则，能准确地去括号和添括号．
（5）熟练地进行整式的加减运算．
2．过程与方法
通过丰富的实例、经历观察、分析、交流、概括出单项式、多项式、整式等
有关概念；经历类比有理数的运算律，探索整式的加减运算法则．发展有条理的
思考及语言表达能力和用数学知识解决实际问题的能力．
3．情感态度与价值观
培养学生主动探究，合作交流的意识．通过将数的运算推广到整式的运算，
在整式的运算中又不断地运用数的运算，使学生感受到认识事物是一个由特殊到
一般，由一般到特殊的辩证过程．
重、难点与关键
1．重点：理解整式的概念，会进行整式的加减运算．
2．难点：正确区别单项式的次数与多项式的次数，括号前是负号时去括号
或添活号易搞错符号．
3．关键：正确理解整式有关概念及明确运算步骤的依据．
课时划分
2．1 整式 2 课时
2．2 整式的加减 3 课时
第二章整式的加减（复习） 1 课时
2.1 整式（1）
第一课时
三维目标
一、知识与技能
（1）能用代数式表示实际问题中的数量关系．
（2）理解单项式、单项式的次数，系数等概念，会指出单项式的次数和系
数．
二、过程与方法
经历列式表示实际问题中的数量关系，发展符号感，通过观察代数式的特点，
发现、归纳单项式的概念，培养学生观察、分析、归纳的能力．
三、情感态度与价值观
通过列单项式表示实际问题中的数量关系，体会整式比具体数字表达的式子
更具有一般性，这给实际问题的解决带来很大方便．
重、难点与关键
1．重点：单项式的有关概念．
2．难点：负系数的确定以及准确确定一个单项式的次数．
3．关键：正确理解单项式、单项式系数和次数的概念．
四、教学过程，引入新课
教师操作课件，展示章前图案以及字幕，学生观看并思考下列问题：
1．青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段，列车在冻
土地段的行驶速度是 100 千米/时，在非冻土地段的行驶速度可以达到 120 千米/
时，请根据这些数据回答下列问题：
（1）列车在冻土地段行驶时，2 小时能行驶多少千米？3 小时呢？t 小时呢？
（2）在西宁到拉萨路段，列车通过非冻土地段所需要时间是通过冻土地段
所需要时间的 2.1 倍，如果通过冻土地段所需要 t 小时，能用含 t的式子表示这
段铁路的全长吗？
（3）在格里木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用 0.5
小时，如果通过冻土地段需要 u 小时，则这段铁路的全长可以怎样表示？冻土
地段与非冻土地段相差多少千米？
分析：（1）根据速度、时间和路程之间的关系：路程=速度×时间．列车在
冻土地段 2 小时行驶的路程是 100×2=200（千米），3 小时行驶的路程为 100×
3=300（千米），t 小时行驶的路程为 100×t=100t（千米）．
（2）列车通过非冻土地段所需时间为 2.1t 小时，行驶的路程为 120×2.1t
（千米）；列车通过冻土地段的路程为 100t，因此这段铁路的全长为 120×
2.1t+100t（千米）．
（3）在格里木到拉萨路段，列车通过冻土地段要 u 小时，那么通过非冻土
地段要（u-0.5）小时，冻土地段的路程为 100u 千米，非冻土地段的路程为 120
（u-0.5）千米，这段铁路的全长为[100u+120（u-0.5）]千米，冻土地段与非冻土
地段相差为[100u-120（u-0.5）]千米．
思路点拨：上述问题（1）可由学生自己完成，问题（2）、（3）先由学生思
考、交流的基础上教师引导学生分析怎样列式．
上述的 3 个问题中的数量关系我们分别用含有字母的式子表示，通过本章
学习，我们还可以将上述问题（2）、（3）进行加减运算，化简．
五、新授 12999.com
2．下面，我们再来看几个用含字母的式子表示数量关系的问题．
用含有字母的式子填空，看看列出的式子有什么特点．
（1）边长为 a 的正方体的表面积为______，体积为_______．
（2）铅笔的单价是 x 元，圆珠笔的单价是铅笔的单价的 2.5倍圆珠笔的单价是
_______元．
（3）一辆汽车的速度是 v 千米/时，它 t 小时行驶的路程为_______千米．
（4）数 n 的相反数是_______．
教师课堂巡视，关注中下程度的学生，及时引导，学生探究交流．
上面各问题的代数式分别是：6a2，a3，2.5x，vt，-n．
观察上面各式中运算有什么共同特点？
上面各式中，数字与字母之间，字母与字母之间都是乘法运算，它们都是
数字与字母的积，例如：6a2 表示 6×a2，a3 表示 1×a3，2.5x 表示 2.5×x，vt 表示
1×v×t，-n表示-1×n．
像上面这样，只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个
字母也是单项式．如：-2，a， 1
3
，都是单项式，而 1
a
，1+x 都不是单项．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：6a2 的系数是 6，a3 的
系数是 1，-n 的系数是-1，- 5
ab 的系数是- 1
5
．
单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写成前面，当一个单项式的系
数是 1 或-1 时通常省略不写．
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．例如，2.5x
中字母 x 的指数是 1，2.5x 是一次单项式；vt 中字母 v 与 t 的指数和是 2，vt 是
二次单项式，-ab2c 中字母 a、b、c 的指数和是 4，-ab2c 是 4 次单项式．
例 1．用单项式填空，并指出它们的系数和次数．
（1）每包书有 12 册，n 包书有_______册．
（2）底边长为 a，高为 h 的三角形的面积是______．
（3）一个长方体的长和宽都是 a，高是 h，它的体积是_______．
（4）一台电视机原价 a 元，现按原价的 9 折出售，这台电视机现在售价为
_____元．
（5）一个长方形的长为 0.9，宽是 a，这个长方形的面积是_________．
教师操作投影仪，展示例 1，学生思考、交流．师生互动．
强调：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，字母的指数不写的，表
示这个字母的指数是 1，不是“没有”．
用字母表示数后，同一个式子在不同的问题中可以表示不同的含义．例如，
在问题（4）、（5）中，所填的结果都是 0.9a，一个是表示电视机的售价，一个是
表示长方形的面积，你还能赋予 0. 9a 一个含义吗？
让学生交流各自想法，加深对字母表示数的理解．
六、巩固练习
1．下列各式是不是单项式？为什么？
（1）x-2y； （2）- 4; (3) ; (4)5 5
x a b
m
； （5）-1．
2．判断下列各说法是否正确，错误的改正过来．
（1）单项式-xy2 的系数是 0，次数是 2．
（2）单项式 27a2 的系数是 2，次数是 9．
3．请你写出系数为-，含有 x、y，次数为 4 的所有单项式．
4．课本第 56 页练习 1、2 题．
七、课堂小结
师生互动，共同学习小结本节课内容．
1．什么叫单项式？举例说明．
2．单独的一个数或一个字母是单项式吗？ x
a
是单项式吗？为什么？
3．什么叫单项式的系数？什么叫单项式的次数？举例说明．
八、作业布置
1．课本第 59 页至第 60 页，习题 2．1 第 1、2、8 题．
九、板书设计：
2.1 整式（1）
第一课时
1． 像上面这样，只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一
个字母也是单项式．如：-2，a， 1
3
，都是单项式，而 1
a
，1+x 都不是单项．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
2.1 整式（2）
第二课时
三维目标
一、知识与技能
使学生理解多项式、整式的概念，会准确确定一个多项式的项数和次数．
二、过程与方法
通过实例列整式，培养学生分析问题、解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
培养学生积极思考的学习态度，合作交流意识，了解整式的实际背景，进一
步感受字母表示数的意义．
教学重、难点与关键
1．重点：多项式以及有关概念．
2．难点：准确确定多项式的次数和项．
3．关键：掌握单项式和多项式次数之间的区别和联系。
四、课堂引入
一、复习提问 1．什么叫单项式？举例说明．
2．怎样确定一个单项式的系数和次数？-
23
7
ab c 的系数、次数分别是多少？
3．列式表示下列问题：
（1）一个数比数 x 的 2 倍小 3，则这个数为________．
（2）买一个篮球需要 x（元），买一个排球需要 y（元），买一个足球需要 z
（元），买 3 个篮球，5 个排球，2 个足球共需________元．
（3）如图 1，三角尺的面积为________．
（4）如图 2 是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是________平
方米．
(1) (2)
五、新授
请同学们阅读课本第 57 页有关内容，并回答下列问题．
1．几个单项式的和叫做_________；
2．在多项式中，每个单项式叫做_________；
3．在多项式中，不含字母的项叫做_________；
4．在多项式中，_____________________，叫做这个多项式的次数．
（2）多项式的次数与单项式的次数概念不同，但又有联系，首先求出此多
项式各项（单项式）的次数，次数最高的就是这个多项式的次数．
（3）一个多项式的最高次项可以不唯一，次高项也可以不唯一，如，多
项式 3x2y- 1
2 xy2+x2-xy-5 中，最高次项为 3x2y 和- 1
2 xy2，二次项也有 2 项，x2 和-xy，
这个多项式为二次五项式．
单项式和多项式统称为整式，例如：100t，6a3，vt，-n，2x-3，3x+5y+2z 等都
是整式．
例 1．用多项式填空，并指出它们的项和次数．
（1）温度由 t℃下降 5℃后是_______℃．
（2）甲数 x 的 1
3
与乙数 y 的 1
2
的差可以表示为_________．
（3）如课本图 2．1-3，圆环的面积为________．
（4）如课本图 2．1-4，钢管的体积是________．
例 2．一条河流的水流速度为 2.5 千米/时，如果已知船在静水中的速度，
那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示？如果甲、乙两
条船在静水中的速度分别是 20 千米/时和 35 千米/时，则它们在这条河流中的
顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少？
顺水行驶时船的速度=船在静水中的速度+水流速度
逆水行驶时船的速度=船在静水中的速度-水流速度
这里水流速度为 2.5 千米/时，如果，我们设船在静水中的速度为 v 千米/时，
那么船在顺水行驶时的速度表示为（v+2.5）千米/时船在逆水行驶时的速度为
（v-2.5）千米/时．
当 v=20 时 ， 则 v+2.5=20+2.5=22.5 ， v-2.4=20-2.5=17.5 ； 当 v=35 时 ， 则
v+2.5=35+2.5=37.5，v-2.5=35-2.5=32.5．因此，甲船顺水行驶的速度是 22.5 千米/
时，逆水行驶的速度为 17.5 千米/时；乙船顺水行驶的速度是 37.5 千米/时，
逆水行驶的速度为 32.5 千米/时．
六、巩固练习
1．课本第 59 页练习，课本第 61 页第 10 题．
七、课堂小结
1．什么叫做多项式？多项式是整式吗？整式是多项式吗？
2．什么叫多项式的基？什么叫做常数项？什么叫做多项式的次数？
八、作业布置
1．课本第 60 页，习题 2．1 第 2、3、4、5、6、7 题．
九、板书设计：
2.1 整式（2）
第二课时
1．单项式和多项式统称为整式，例如：100t，6a3，vt，-n，2x-3，3x+5y+2z 等都
是整式．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
2.2 整式的加减(1)
第一课时
三维目标
一、知识与技能
（1）了解同类项、合并同类项的概念，掌握合并同类项法则，能正确合并
同类项．
（2）能先合并同类项化简后求值．
二、过程与方法
经历类比有理数的运算律，探究合并同类项法则，培养学生观察、探索、分
类、归纳等能力．
三、情感态度与价值观
掌握规范的解题步骤，养成良好的学习习惯，通过比较两种求代数式值的方
法，体会合并同类项的作用．
教学重、难点与关键
1．重点：掌握合并同类项法则，熟练地合并同类项．
2．难点：多字母同类项的合并．
3．关键：正确理解同类项概念和合并同类项法则。
四、 教学过程，新课引入
有理数可以进行加减计算，那么整式能否可以加减运算呢？怎样化简呢？
我们来看本章引言中的问题（2）．
在西宁到拉萨路段，如果列车通过冻土地段的时间是 t 小时，那么它通过非
冻土地段所需的时间就是 2.1t 小时，则这段铁路的全长是 100t+120×2.1t，
即 100t+252t
1．类比数的运算，我们应如何化简式子 100t+252t 呢？
五、新授
（1）运用有理数的运算律计算：
100×2+252×2=______；
100×（-2）+252×（-2）=________．
100×2+252×2=（100+252）×2=352×2
100×（-2）+252×（-2）=（100+252）×（-2）=352×（-2）
我们知道字母可以表示数，如果用 t 表示上述算术中的数 2（或-2）就有，
100t+252t=（100+252）×t=352t．
事实上，100t+252t 与 100×2+252×2 和 100×（-2）+252×（-2）有相同的
结构，都是两个数分别与同一个数乘积的和，这里 t 表示同一个因数，因此根
据分配律也应该有：100t+252t=（100+252）t=352t
2．填空:
（1）100t-252t=（ ）t； （2）3x2+2x2=（ ）x2；
（3）3ab24ab2=（ ）ab2．
观察（1）中多项式的项 100t 和-252t，它们都含有相同字母 t，并且 t 的指
数都是 1；（2）中的多项式的项 3x2+2x2 都含有相同字母 x，并且字母 x 的指数都
是 2；（3）中的多项式的项 3ab2 和-4ab2 都含有字母 a，b，并且字母 a 的指数都
是 1，b 的指数都是 2．
像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项，
几个常数项也是同类项．
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
合并同类项后，所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系
数、字母及字母的指数有什么联系？
合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数
保持不变．
若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，即这两项相抵消，如
-3ab2+3ab2=（-3+3）ab2=0·ab2=0．
多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并．新 课 标 第 一 网
通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从
小到大（升幂）的顺序排列，如-4x2+5x+5 或写成 5+5x-4x2．
例 1．合并下列各式的同类项：
（1）xy2- 1
5 xy2； （2）-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2； （3）4a2+3b2+2ab-4a2-4b2．
例 2．（1）求多项式 2x2-5x+x24x-3x22 的值，其中 x= 1
2
．
（2）求多项式 3a+abc- 1
3 c2-3a+ 1
3 c2 的值，其中 a=- 1
6
，b=2，c=-3．
解：（1）2x2-5x+x2+4x-3x2-2 （仔细观察，标出同类项）
=（2+1-3）x2+（-5+4）x-2 （系数相加，字母部分不变）
=-x-2 （系数是“1”或“-1”时省略不写）
当 x= 1
2
时，原式=- 1
2 -2=- 5
2
（2）3a+abc 21
3 c -3a 21
3 c
=（3-3）a+abc+（- 1
3 + 1
3
）c2
=abc
当 a=- 1
6
，b=2，c=-3 时，原式=（- 1
6
）×2×（-3）=1
例 3．（1）水库中水位第一天连续下降了 a 小时，每小时平均下降 2cm，
第二天连续上升了 a 小时，每小时平均上升 0.5cm，这两天水位总的变化情况如
何？
（2）某商店原有 5 袋大米，每袋大米为 x 千克，上午卖出 3 袋，下午又购
进同样包装的大米 4 袋，进货后这个商店有大米多少千克？
六、巩固练习
课本第 66 页，练习第 1、2、3 题．
七、课堂小结
1．什么叫同类项？字母相同，次数也相同的项是同类项吗？举例说明．
2．什么叫合并同类项？怎样合并同类项？合并同类项的依据是什么？
八、作业布置
1．课本第 71 页习题 2．2 第 1、7、10 题．
九、板书设计：
2.2 整式的加减(1)
第一课时
1．像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项，
几个常数项也是同类项． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
2.2 整式的加减(2)
第二课时
三维目标
一、知识与技能
能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简．
二、过程与方法
经历类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化的规律，归纳
出去括号法则，培养学生观察、分析、归纳能力．
三、情感态度与价值观
培养学生主动探究、合作交流的意识，严谨治学的学习态度．
教学重、难点与关键
1．重点：去括号法则，准确应用法则将整式化简．
2．难点：括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误．
3．关键：准确理解去括号法则。
四、 教学过程，课堂引入
利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含
有括号，那么该怎样化简呢？
五、新授
现在我们来看本章引言中的问题（3）：
在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要 t 小时，那么它通过非冻
土地段的时间为（t-0.5）小时，于是，冻土地段的路程为 100t 千米，非冻土地
段的路程为 120（t-0.5）千米，因此，这段铁路全长为
100t+120（t-0.5）千米 ①
冻土地段与非冻土地段相差
100t-120（t-0.5）千米 ②
上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？
利用分配律，可以去括号，合并同类项，得：
100t+120（t-0.5）=100t+120t+120×（-0.5）=220t-60
100t-120（t-0.5）=100t-120t-120×（-0.5）=-20t+60
我们知道，化简带有括号的整式，首先应先去括号．
上面两式去括号部分变形分别为：
+120（t-0.5）=+120t-60 ③
-120（t-0.5）=-120+60 ④
比较③、④两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相
同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相
反．
特别地，+（x-3）与-（x-3）可以分别看作 1 与-1 分别乘（x-3）．
利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得：
+（x-3）=x-3 （括号没了，括号内的每一项都没有变号）
-（x-3）=-x+3 （括号没了，括号内的每一项都改变了符号）
去括号规律要准确理解，去括号应对括号的每一项的符号都予考虑，做到要
变都变；要不变，则谁也不变；另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项．
例 1．化简下列各式：
（1）8a+2b+（5a-b）； （2）（5a-3b）-3（a2-2b）．
例 2．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在
静水中的速度都是 50 千米/时，水流速度是 a 千米/时．
（1）2 小时后两船相距多远？
（2）2 小时后甲船比乙船多航行多少千米？
六、巩固练习
1．课本第 68 页练习 1、2 题．
2．计算：5xy2-[3xy2-（4xy2-2x2y）]+2x2y-xy2． [5xy2]
七、课堂小结
去括号是代数式变形中的一种常用方法，去括号时，特别是括号前面是“－”
号时，括号连同括号前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号．去括号规
律可以简单记为“－”变“＋”不变，要变全都变．当括号前带有数字因数时，
这个数字要乘以括号内的每一项，切勿漏乘某些项．
八、作业布置
1．课本第 71 页习题 2．2 第 2、3、5、8 题．
九、板书设计：
2.2 整式的加减(2)
第二课时
1． 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相
同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相
反．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
2.2 整式的加减(3)
第三课时
三维目标
一、知识与技能
能根据题意列出式子：会进行整式加减运算，并能说明其中的算理．
二、过程与方法
经历用字母表示实际问题中的数量关系的过程，发展符号感，提高运算能力
及综合运用知识进行分析、解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
培养学生积极探索的学习态度，发展学生有条理地思考及代数表达能力，体
会整式的应用价值．
教学重、难点与关键
1．重点：列式表示实际问题中的数量关系，会进行整式加减运算．
2．难点：列式表示问题中的数量关系，去掉括号前是负因数的括号．
3．关键：明确问题中的数量关系，熟练掌握去括号规律。
四、教学过程 引入新课
1．多项式中具有什么特点的项可以合并，怎样合并？
2．如何去括号，它的依据是什么？
五、新授
例 1．（1）求多项式 2x-3y 与 5x+4y 的和．
（2）求多项式 8a-7b 与 4a-5b 的差．
例 2．一种笔记本的单价是 x（元），圆珠笔的单价是 y（元），小红买这种
笔记本 3 本，买圆珠笔 2 枝；小明买这种笔记本 4 个，买圆珠笔 3 枝，买这些笔
记本和圆珠笔，小红和小明共花费多少钱？
例 3．做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：厘米）．
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2
b
2c
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？
解：（1）（2ab+2ac+2bc）+（6ab+6ac+8bc）
=2ab+2ac+2bc+6ab+6ac+8bc）
=8ab+8ac+10bc
（2）（6ab+6ac+8bc）-（2ab+2ac+2bc）
=6ab+6ac+8bc-2ab-2ac-2bc
=4ab+4ac+6bc
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
例 4．求 1
2 x-2（x- 1
3 y2）+（- 3
2 x+ 1
3 y2）的值，其中 x=-2，y= 2
3
．
解： 1
2 x-2（x- 1
3 y2）+（- 3
2 x+ 1
3 y2）
= 1
2 x-2x+ 2
3 y2- 3
2 x+ 1
3 y2
=（ 1
2 -2- 3
2
）x+（ 2
3 + 1
3
）y2
=-3x+y2
当 x=-2，y= 2
3
时
原式=-3×（-2）+（ 2
3
）2=6+ 4
9 =6 4
9
六、巩固练习
1．课本第 70 页练习 1、2、3 题．
七、课堂小结
整式加减是代数式的基本运算，去括号与合并同类项是整式加减的基础，在
进行整式加减时，如果遇到括号应先去括号，再合并同类项，整式运算是建立在
数的运算的基础上，因此数的运算性质在整式运算中仍适用．
八、作业布置
1．课本第 71 页至第 72 页第 4，6，9 题．
九、板书设计：
2.2 整式的加减(3)
第三课时
1．一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
第二章整式的加减（复习 1）
三维目标
一、知识目标：理解整式的加减实质就是去括号，合并同类项，其结果仍然是整
式；掌握学生在掌握合并同类项、去括号与添括号的基础上，掌握整式加减的一
般步骤；能够正确地进行整式的加减运算．
二、能力目标：经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感；培养用代数的方
法解决实际生活中的问题的能力和口头表达能力．
三、情感目标：渗透教学知识来源于生活，又要为生活而服务的辩证观点；整式
的加减实质上就是去括号，合并同类项，结果总是比原来简洁，体现了数学的简
洁美．
教学重难点：利用去括号、合并同类项进行整式的加减运算；根据实际问题中的
数量关系列出算式，并求出结果；
教材处理与数学方法
1．调动学生自觉性与积极性，由浅入深地传授知识，提高学生学习兴趣。
2．运用启发式教学，让学生自行归纳出整式的加减的步骤。
3．利用不同记号标出各同类项，有助学生合并同类项。
4．让学生在实际解题过程中，体会到整式的加减实际上就是已经学过的去括号
法则与合并同类项这两个知识的综合，这样更有利于学生学会将新知转化为旧
知，不断更新知识结构。
5．充分利用教学时间，在课堂上进行针对性辅导，把共性问题与典型题目展示，
引导学生发现问题与纠错能力。
四、（一）复习旧知识
1、合并同类项定义、法则；
2、去括号法则。
3、 基础训练
计算
（1）（2ｘ－3ｙ）－（5ｘ＋4ｙ）
（2） －3ab-4a2+3 a2 -(-2ab)
(3) (3 a2 –ab+7)-(-4 a2+2ab+7)
(4) (-x+2x2+5)+(4x2-3-6x)
4、列式计算
（1） 2x2-3x+1 与-3x2+5x-7 的和；
（2）-x2+3xy-2y2 与-2x2+4xy-y2 的差；
（3）一个多项式加上 5x2+4x-1 得-8x2+6x+2 ，求这个多项式；
5、求值：2a2-b2+(2b2-a2)-(a2+2b2), 其中 a=1/3,b=3.
五、归纳小结
1．整式的加减实际上就是______________________．
2．整式的加减的步骤，一般分为_____________________．
3．整式加减的结果是__________或__________（单项式或多项式）．结果更
简单，体现我们数学中的简洁美．
六、布置作业：
复习准备期中考试
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程（一）
教学目标：
知识与技能：
通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步；
过程与方法：
初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；
情感、态度、价值观：
培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。
教学重点：从实际问题中寻找相等关系
教学难点：从实际问题中寻找相等关系
教学过程：
一、情境引入
提出教科收第 78 页的问题，并用多媒体直观演示，同进出现下图：
问题 1：从上图中你能获得哪些信息？（可以提示学生从时间、路程、速度、
四地的排列顺序等方面去考虑。）
可以在学生回答的基础上做回顾小结
问题 2：你会用算术方法求出王家庄到翠湖的距离吗·
教师可以在学生回答的基础上做回顾小结：
1、问题涉及的三个基本物理量及其关系；
2、从知的信息中可以求出汽车的速度；
3、从路程的角度可以列出不同的算式：
50 70 15 10 70 23015 13
50 70 13 10 50 23015 13
问题 3：能否用方程的知识来解决这个问题呢？
二、学习新知
1、引导学生设未知数，并用含未知数的字母表示有关的数量．
如果设王家庄到翠湖的路程为 x 千米，那么王家庄距青山 千米，王家庄
距秀水 千米．
2、引导学生寻找相等关系，列出方程．
问题 1:题目中的“汽车匀速行驶”是什么意思？
问题 2:汽车在王家庄至青山这段路上行驶的速度该怎样表示？你能表示其
他各段路程的车速吗？
问题 3：根据车速相等，你能列出方程吗？
根据学生的回答情况进行分析，如：
依据“王家庄至青山路段的车速=王家庄至秀水路段的车速”可列方程：
50 70
3 5
x x ，
依据“王家庄至青山路段的车速=青山至秀水路段的车速”
可列方程： 50 50 70
3 2
x
3、给出方程的概念，介绍等式、等式的左边、等式的右边等概念．
4、归纳列方程解决实际问题的两个步骤：
(1)用字母表示问题中的未知数（通常用 x,y,z 等字母）；
(2)根据问题中的相等关系，列出方程．
三、举一反三，讨论交流
1、比较列算式和列方程两种方法的特点．
列算式：只用已知数，表示计算程序，依据是间题中的数量关系；
列方程：可用未知数，表示相等关系，依据是问题中的等量关系。
2、思考：对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个
相等关系？
如果直接设元，还可列方程： 70 605
x
如果设王家庄到青山的路程为 x 千米，那么可以列方程： 12060;3 3 5
x x x
说明：要求出王家庄到翠湖的路程，只要解出方程中的 x 即可，我们在以后
几节课中再来学习．
四、初步应用
1、例题（补充）：根据下列条件，列出关于 x 的方程：
（1)x 与 18 的和等于 54；
（2）27 与 x 的差的一半等于 x 的 4 倍．
本例题可以先让学生尝试解答，然后教师点评．
解：（1）x＋18=54；
（2） 1
2
（27－x）＝4x.
2、练习（补充）：
5. 列式表示：
① 比 a 小 9 的数； ② x 的 2 倍与 3 的和；
③ 5 与 y 的差的一半； ④ a 与 b 的 7 倍的和．
(2)根据下列条件，列出关于 x 的方程：
（1） 12 与 x 的差等于 x 的 2 倍；
（2）x 的三分之一与 5 的和等于 6.
五、课堂小结
4. 本节课我们学了什么知识？
5. 你有什么收获？
说明方程解决许多实际问题的工具。
六、作业设计
课本 P80：1、2、3、4 题。
七、板书设计
3.1.1 一元一次方程（一）
第一课时
1、含有未知数的等式---方程。
归纳列方程解决实际问题的两个步骤：
(1)用字母表示问题中的未知数（通常用 x,y,z 等字母）；
(2)根据问题中的相等关系，列出方程．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
八、课后反思
3.1.1 一元一次方程（二）
教学目标：
1.理解一元一次方程、方程的解等概念；
2.掌握检验某个值是不是方程的解的方法；
3.培养学生根据间题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的能力；
4.体验用估算方法寻求方程的解的过程，培养学生求实的态度。
教学重点：寻找相等关系、列出方程．
教学难点：对于复杂一点的方程，用估算的方法寻求方程的解，需要多次的尝试，
也需要一定的估计能力
教学过程：
一、情境引入
问题：小雨、小思的年龄和是 25.小雨年龄的 2 倍比小思的年龄大 8 岁，小
雨、小思的年龄各是几岁？
如果设小雨的年龄为 x 岁，你能用不同的方法表示小思的年龄吗？
学生回答，教师加以引导：小思的年龄可以用两个不同的式子 25-x 和 2x-8
来表示，这说明许多实际问题中的数量关系可以用含字母的式子来表示．
由于这两个不同的式子表示的是同一个量，因此我们又可以写成：
25-x=2x-8．这样就得到了一个方程．
二、自主尝试
1.尝试：
让学生尝试解答课本第 67 页的例 1。对于基础比较差的学生，教师可以作
如下提示：
(1）选择一个未知数，设为 x，
(2）对于这三个问题，分别考虑：
用含 x 的式子表示这台计算机的检修时间；
用含 x 的式子分别表示长方形的长和宽；
用含 x 的式子分别表示男生和女生的人数．
(3)找一个问题中的相等关系列出方程．
2.交流：
在学生基本完成解答的基础上，请几名学生汇报所列的方程，并解释方程等
号左右两边式子的含义．
3.教师在学生回答的基础上作补充讲解，并强调：
（1）方程等号两边表示的是同一个量；
（2）左右两边表示的方法不同．
4.讨论：
问题 1：在第(1)题中，你还能用两种不同的方法来表示另一个量，再列出
方程吗？
让学生在学习小组内讨论，然后分组汇报交流：
选“已使用的时间”可列方程：2 450-150x=1 700.
选“还可使用的时间”可列方程：150x=2 450-1 700.
问题 2：在第(3)题中，你还能设其他的未知数为 x 吗？
在学生独立思考、小组讨论的基础上交流：
设这个学校的男生数为 x，那么女生数为(x+80)，全校的学生数为(x+x+80).
列方程：x＋80=52％(x+x＋80)．
三、建立概念
1.概念的建立．
让学生在观察上述方程的基础上，教师进行归纳：各方程都只含有一个未知
数，并且未知数的指数都是 1，这样的方程叫做一元一次方程．
“一元”：一个未知数；“一次”：未知数的指数是一次．
判断下列方程是不是一元一次方程：
（1）23-x=一 7： （2）2a-b=3
（3）y+3＝6y-9； （4）0.32 m-(3＋0.02 m) =0.7.
（5）x2＝1 （6） 1 142 3y y
2.引导学生归纳：
从上面的分析过程我们可以发现，用方程的方法来解决实际问题，一般要经
历哪几个步骤？在学生回答的基础上，教师用方框表示：
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决
实际问题的一种方法．
四、估算求解
列出方程后，还必须解这个方程，求出未知数的值．对于简单的方程，我们
可以采用估算的方法．
①问题：你认为该怎样进行估算？
可以采用“尝试—发现—归纳”的方法：让学生尝试后发现，要求出答案必须用一些具
体的数值代入，看方程是否成立，最后教师进行归纳．
可以像课本那样用列表的方法进行尝试，也可以像下面的示意图那样按程序进行尝试．
②在此基础上给出概念：能使方程左右两边的值相等
的未知数的值，叫做方程的解．求方程的解的过程，叫做
解方程．
一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个
值代替未知数代人方程，看方程左右两边的值是否相等．
五、课堂练习
练习课本第 83 页中练习
六、课堂小结
着重引导学生从以下几个方面进行归纳：
①这节课我们学习了什么内容？
②用列方程的方法解决实际问题的一般思路是什么？
③列方程的实质就是用两种不同的方法来表示同一个量．
④估算是一种重要的方法．
思考：课本第 81 页中的“思考”．（目的是体验用估算的方法有时会很麻烦）
七、作业设计
课本第 80 练习题第 1，2,,3,4 题．
八、板书设计
实际问题 一元一次方程
设未知数 列方程
3.1.2 等式的性质（一）
教学目标：
1.了解等式的两条性质；
2.会用等式的性质解简单的（用等式的一条性质）一元一次方程；
3.培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力；
4.渗透“化归”的思想．
教学重点：理解和应用等式的性质
教学难点：应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=a”
教学过程：
一、提出问题
用估算的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解．你能用这种方法求出
下列方程的解吗？
（1） 3x-5＝22； (2) 0.28-0.13y=0.27y＋1.
第(1)题要求学生给出解答，第(2)题较复杂，估算比较困难，此时教师提出：我
们必须学习解一元一次方程的其他方法．
二、探究新知
1.实验演示：
教师先提出实验的要求：请同学们仔细观察实验的过程，思考能否从中发现
规律，再用自己的语言叙述你发现的规律．然后按课本第 71 页图 2.1-2 的方法演
示实验．
教师可以进行两次不同物体的实验．
2.归纳：
请几名学生回答前面的问题．
在学生叙述发现的规律后，教师进一步引导：等式就像平衡的天平，它具有与上
面的事实同样的性质．比如“8=8”，我们在两边都加上 6，就有“8－11=8－11”.
3.表示：
问题 1：你能用文字来叙述等式的这个性质吗？
在学生回答的基础上，教师必须说明：等式两边加上的可以是同一个数，也
可以是同一个式子．
问题 2：等式一般可以用 a=b 来表示．等式的性质 1 怎样用式子的形式来表
示？
如果 a=b，那么 a±c=b±c
字母 a、b、c 可以表示具体的数，也可以表示一个式子。
4.观察课本 P71 图 2.1－3，你又能发现什么规律？你能用实验加以验证吗？
在学生观察图 2.1 一 3 时，必须注意图上两个方向的箭头所表示的含义．观
察后再请一名学生用实验验证．
然后让学生用两种语言表示等式的性质 2.
如果 a=b，那么 ac=bc
如果 a=b(c≠0)，那么 a b
c c
三、应用举例
方程是含有未知数的等式，我们可以运用等式的性质来解方程。
例 1 课本第 72 页例 2 中的第（1）、（2）题．
分析：所谓“解方程”，就是要求出方程的解“x=？’’因此我们需要把方程
转化为“x=a(a 为常数)”形式。
问题 1：怎样才能把方程 x＋7=26 转化为 x=a 的形式？
学生回答，教师板书：
解：（1）两边减 7，得、
x+7－7=26－7，
x=19. I
问题 2：式子“－5x”表示什么？我们把其中的－5 叫做这个式子的系数．你
能运用等式的性质把方程－5x=20 转化为 x=a 的形式吗？
用同样的方法给出方程的解．
小结：请你归纳一下解一元一次方程的依据和结果的形式．
例 2（补充）小涵的妈妈从商店买回一条裤子，小涵问妈妈：“这条裤子需
要多少钱？”妈妈说：“按标价的八折是 36 元．”你知道标价是多少元吗？
要求学生尝试用列方程的方法进行解答．在学生基本完成的情况下，教师给
出示范．
解：设标价是 x 元，则售价就是 80％x 元，根据售价是 36 元
可列方程：
80%x=36，
两边同除以 80％，得
x=45.
答：这条裤子的标价是 45 元．
四、课堂练习
1.分别说出下列各式子的系数
3x，－7m， 3
5 y ，a，－x， 1
2 n
2.利用等式的性质解下列方程
（1） x－5=6 （2）0.3x=45
（3）－y=0.6 （4） 1 23 y
3.七年级 3 班有 18 名男生，占全班人数的 45%，求七年级 3 班的学生人数。
4.思考：你能用等式的性质解本课引入时的方程 3x－5=22 吗？
五、课堂小结
让学生进行小结，主要从以下几个方面去归纳：
①等式的性质有那几条？用字母怎样表示？字母代表什么？
②解方程的依据是什么？最终必须化为什么形式？
③在字母与数字的乘积中，数字因数又叫做这个式子的系数．
六、作业设计
课本第 83 页 3.1 第 3 题
3.1.2 等式的性质（二）
教学目标：
1.进一步理解用等式的性质解简简单的（两次运用等式的性质）一元一次方
程
2.初步具有解方程中的化归意识；
3.培养言必有据的思维能力和良好的思维品质．
教学重点：用等式的性质解方程
教学难点：需要两次运用等式的性质，并且有一定的思维顺序。
教学过程：
一、复习引入
解下列方程：（1）x＋7=1.2; （2） 2 3
3 2x
在学生解答后的讲评中围绕两个问题：
（1）每一步的依据分别是什么？
（2）求方程的解就是把方程化成什么形式？
这节课继续学习用等式的性质解一元一次方程。
二、探究新知
对于简单的方程，我们通过观察就能选择用等式的哪一条性质来解，下列方
程你也能马上做出选择吗？
例 1 利用等式的性质解方程：
（1）0.5x－x=3.4 （2） 1 5 43 x
先让学生对第（1）题进行尝试，然后教师进行引导：
1 要把方程 0.5x－x=3.4 转化为 x=a 的形式，必须去掉方程左边的 0.5，怎
么去？
2 要把方程－x=2.9 转化为 x=a 的形式，必须去掉 x 前面的“－”号，怎么
去？
然后给出解答：
解：（1）两边减 0.5，得 0.5－x－0.5=3.4－0.5
化简，得
－x=－2．9，、
两边同乘－1，得 l
x=－2.9
小结：（1）这个方程的解答中两次运用了等式的性质（2）解方程的目
标是把方程最终化为 x=a 的形式，在运用性质进行变形时，始终要朝着这个目标
去转化．
你能用这种方法解第（2）题吗？
在学生解答后再点评．
解后反思：
①第（2）题能否先在方程的两边同乘“一 3”？
②比较这两种方法，你认为哪一种方法更好？为什么？
允许学生在讨论后再回答．
例 2（补充）服装厂用 355 米布做成人服装和儿童服装，成人服装每套平均
用布 3．5 米，儿童服装每套平均用布 1．5 米．现已做了 80 套成人服装，用余
下的布还可以做几套儿童服装？
在学生弄清题意后，教师再作分析：如果设余下的布可以做 x 套儿童服装，
那么这 x 套服装就需要布 1.5x 米，根据题意，你能列出方程吗？
解：设余下的布可以做 x 套儿童服装，那么这 x 套服装就需要布 1.5 米，
根据题意，得
80x×3.5＋1.5x＝355．
化简，得
280＋1.5x＝355，
两边减 280，得
280＋1.5x－280＝355－280，
化简，得
1.5x＝75，
两边同除以 1.5，得 x＝50．
答：用余下的布还可以做 50 套儿童服装．
解后反思：对于许多实际间题，我们可以通过设未知数，列方程，解方程，
以求出问题的解．也就是把实际问题转化为数学问题．
问题：我们如何才能判别求出的答案 50 是否正确？
在学生代入验算后，教师引导学生归纳出方法：检验一个数值是不是某个方
程的解，可以把这个数值代入方程，看方程左右两边是否相等，例如：把 x=50
代入方程 80×3.5＋1.5x=355 的左边，得 80×3.5＋1.5×50=280＋75=355
方程的左右两边相等，所以 x=50 是方程的解。
你能检验一下 x=－27 是不是方程 1 5 43 x 的解吗？
三、课堂练习
1.课本第 84 页练习 第（3）（4）题。
2.小聪带了 18 元钱到文具店买学习用品，他买了 5 支单价为 1.2 元的圆珠笔，
剩下的钱刚好可以买 8 本笔记本，问笔记本的单价是多少？（用列方程的方法求
解）
四、课堂小结
先让学生进行归纳、补充。主要围绕以下几个方面：
4.这节课学习的内容。
5. 我有哪些收获？
6. 我应该注意什么问题？
五、作业设计
课本第 83 页第 4、10 题
3.2 解一元一次方程（一）
——合并同类项与移项(1)
教学目标：
知识与技能：
1.学会合并（同类项），会解“ax＋bx=c”类型的一元一次方程．
2.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出
方程
过程与方法：
经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模
型．
情感、态度、价值观：
初步体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化。
教学重点：建立方程解决实际问题，会解 “ax＋bx=c”类型的一元一次方程。
教学难点：分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程。
教学过程：
（一）设置情境、提出问题
（讲述背景资料）约公元 825 年，中亚细亚数学家阿
尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名
为《对消与还原》．“对消”与“还原”是什么意思呢？通过下面几节课的学习讨
论，相信同学们一定能回答这个问题．
出示课本 88 页问题 1：某校三年共购买计算机 140 台，去年购买数量是前
年的2倍，今年购买的数量又是去年的2 倍。前年这个学校购买了多少台计算机？
（二）探索分析、解决问题
引导学生回忆：
实际问题 一元一次方程
设未知数 列方程
设问 1：如何列方程？分哪些步骤？
师生讨论分析：
4 设未知数：前年购买计算机 x 台
5 找相等关系：
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量=140 台
6 列方程：x＋2x＋4x=140
设问 2：怎样解这个方程？如何将这个方程转化为 x=a 的形式？学生观察、
思考：
根据分配律，可以把含 x 的项合并，即
x＋2x＋4x=（1＋2＋4）x=7x
老师板演解方程过程：（略）
为帮助有困难的学生理解，可以在上述过程中标上箭头和框图。
设问 3：以上解方程“合并”起了什么作用？每一步的根据是什么？
学生讨论、回答，师生共同整理：
“合并”是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近 x=a 的形式。
（三）例题分析、体现方法
出示课本第 89 页例 1
采用学生叙述、教师板书的师生合作方式完成。
（四）课堂练习
学生练习课本上第 89 页练习
（五）拓广探索、比较分析
对于问题 1 还有不同的未知数的设法吗？
学生思考回答：若设去年购买计算机 x 台，得方程
2 1402
x x x
若设今年购买计算机 x 台，得方程
1404 2
x x x
（六）综合应用、巩固提高
一个黑白足球的表面一共有 32 个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六
边形，黑、白皮块的数目之比为 3：5，问黑色皮块有多少？
学生思考、讨论出多种解法，师生共同讲评。
（七）课堂小结
提问：
1. 你今天学习的解方程有哪些步骤，每一步依据是什么？
2. 今天讨论的问题中的相等关系有何共同特点？
学生思考后回答、整理：
1.解方程的步骤及依据分别是：合并和系数化为 1
2.总量=各部分量的和。
（八）作业设计
课本 P91 页习题 3.2 中 1、3、4、6
3.2 解一元一次方程（一）
——合并同类项与移项(2)
教学目标：
知识与技能：
掌握移项方法，学会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程，理解解方程的
目标，体会解法中蕴涵的化归思想．
过程与方法：
通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型
的重要性．
情感、态度、价值观：
体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化。
教学重点：建立方程解决实际问题，会解 “ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程。
教学难点：分析实际问题中的相等关系，列出方程。
教学过程：
（一）提出问题
出示课本 89 页问题 2：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分 3 本，则
剩余 20 本；如果每人分 4 本，则还缺 25 本．这个班有多少学生？
（二）分析问题
引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路．
学生讨论、分析：
1、设未知数：设这个班有 x 名学生
2、找相等关系：
这批书的总数是一个定值，表示它的两个等式相等．
3、列方程：3x＋20=4x-25 … (1)
设问 1：怎样解这个方程？它与上节课遇到的方程有何不同？
学生讨论后发现：方程的两边都有含 x 的项（3x 与 4x)和不含字母的常数项
（20 与－25）．
设问 2：怎样才能使它向 x=a 的形式转化呢？
学生思考、探索：为使方程的右边没有含 x 的项，等号两边同减去 4x，为
使方程的左边没有常数项，等号两边同减去 20.
3x－4x=－25－20… （2）
设问 3：以上变形依据是什么？
等式的性质 1。
归纳：像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
师生共同完成解答过程。
设问 4：以上解方程中“移项”起了什么作用？
学生讨论、回答，师生共同整理：
通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于
x=a 的形式。
（三）运用新知
出示课本第 91 页例 2
可以由学生叙述教师板演，也可以让学生尝试给出解答，教师再进行讲评。
解题后反思归纳：
5、 什么时候需要“移项”？ “移项”起了什么作用？
6、 “移项”的依据是什么？“移项”应注意什么？
（四）课堂练习
学生练习课本上第 91 页练习
（五）拓广探索、比较分析
对于问题 1 还有不同的未知数的设法吗？
学生思考回答：若设去年购买计算机 x 台，得方程
2 1402
x x x
若设今年购买计算机 x 台，得方程
1404 2
x x x
（六）综合应用、巩固提高
有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐 6
人，如果减少一条船 ，正好每条船坐 9 人，问这个班共多少同学？
（七）课堂小结
提问：
1. 今天你又学会了解方程的哪些方法？有哪些步聚？每一步的依据是什
么？
2. 现在你能回答前面提到的古老的代数书中的“对消”与“还原”是什么
意思吗？
3. 今天讨论的问题中的相等关系又有何共同特点？
学生思考后回答、整理：
4， 解方程的步骤及依据分别是：
移项（等式的性质 1）
合并（分配律）
系数化为 1（等式的性质 2）
5， “对消”与“还原”就是“合并”与“移项”
6， 表示同一量的两个不同式子相等。
（八）作业设计
课本第 91 页习题 3.2 第 2、7、8 题
3.2 解一元一次方程（一）
——合并同类项与移项(3)
教学目标：
知识与技能：
1、学会探索数列中的规律，建立等量关系。
2、能正确地求解一元一次方程并判断解的合理性
过程与方法：
经历运用方程解决实际问题的过程，发展抽象、概括、分析和解决问题的能
力。
情感、态度、价值观：
通过学习“合并同类项”“移项”，体会到古老的代数书的“对消”和“还愿”
的思想，激发数学学习的热情.
教学重点：探索并发现实际问题中的等量关系，并列出方程
教学难点：建立一元一次方程解决实际问题。
教学过程：
（一）创设情境、提出问题
前几节课，我们讨论了用一元一次方程解决一些实际问题，其实许多数列、
游戏活动中也蕴含着方程知识。出示课本 79 页例 1：有一列数，按一定规律排
列成 1，－3，9，－27，81，－243……其中某三个相邻数的和是－1701，这三
个数各是多少？
（二）探索分析、解决问题
引导学生观察这列数有什么规律？
（从符号和绝对值两方面）
学生讨论后发现：后面一个数是前一个数的－3 倍。
师生共同分析，完成解答过程：
解：设这三个相邻数中的第一个数为 x,则第 2 个数为－3x，第 3 个数为－3
×(－3x)=9x
根据这三个数的和是－1710，得
x－3x＋9x=－1710
合并，得 7x=－243
所以－3x=729
9x=－2187
答：这三个数是－243、729、－2187
引导学生讨论以上列方程解决实际问题的关键。
学生讨论、分析：探索规律，找出相等关系
如有学生提出不同的设未知数的方法，同样给予鼓励。
（三）课堂练习
3. 三个连续的奇数的和是 27，求这三个奇数。
4. 如果三个连续奇数的和是 29，你能求出这三个奇数吗？
（四）综合应用、巩固提高
在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道这三天的日期的数字之
和是 39.
1， 培训时间是连续的三天，你知道这几天分别是当月的哪几号吗？
2， 若培训时间是连续三周的周六，那这几天又分是当月的哪几号？
学生练习，讲评。
（五）课堂小结
提问：
1 你是怎样分析数列中的规律的？
2 你学会判明方程的解是否合理吗？
3 试用自己的话概括“用一元一次方程分析和解决实际问题”的一般过程。
学生思考、讨论、整理。
（六）作业设计
课本第 91 页习题 3.2 第 5、9 题
选做部分：
小明和小红做游戏，小明拿出一张日历：“我用笔圈出了 2×2 的一个正方形，
它们数字的和是 76，你知道我圈出的是哪几个数字吗？”你能帮小红解决吗？
3.2 解一元一次方程（一）
——合并同类项与移项(4)
教学目标：
知识与技能：
通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受数学的应用价值，提高分析
问题，解决问题的能力。
过程与方法：
经历由实际问题抽象为方程模型的过程，进一步体会模型化的思想。
情感、态度、价值观：
通过学习，更加关注生活，增强用数学的意识，从而激发学习数学的热情。
教学重点：探究实际问题与一元一次方程的关系。
教学难点：建立一元一次方程解决实际问题。
教学过程：
（一）创设情境提出问题
信息社会，人们沟通交流方式多样化，移动电话已很普及，选择经济实惠
的收费方式很有理实意义。
出示课本 91 页的例 4;观察下列两种移动电话计费方式表：
全球通 神州行
月租费 30 元/月 0
本地通话
费
0.30 元/分 0.40 元/分
设计以下问题：
4. 你能从中表中获得哪些信息，试用自己的话说说。
5. 猜一猜，使用哪一种计费方式合算？
6. 一个月内在本地通话200分和350分，按两种计费方式各需交费多少元？
7. 对于某个本地通通话时间，会出现两种计费方式的收费一样的情况吗？
（二）探索分析、解决问题
学生充分交流讨论、整理归纳
解：1、用“全球通”每月收月租费 30 元，此外根据累计通话时间按 0.30
元/分加收通话费;用“神州行”不收月租费，根据累计通话时间按 0.40 元/分收
通话费。
2、 不一定，具体由当月累计通话时间决定。
3、
全球通 神州行
200 分 90 元 80 元
300 分 135 元 140 元
（3）设累计通话 t 分，则用“全球通”要收费（30+0.3t）元，用“神州行”
要收费 0.4t 元，如果两种计费方式的收费一样，则 0.4t=30+0.3t
移项得 0.4t－0.3t=30 合并，得 0.1t=30 系数化为 1，得 t=300
答：如果一个月内通话 300 分，那么两种计费方式的收费相同。
问题 2 是开放性的，答案与通话时间有关
（三）综合应用、巩固提高
一个周末，王老师等3 名教师带着若干名学生外出考察旅游（旅费统一支付），
联系了标价相同的两家旅游公司，经洽谈，甲公司给出的优惠条件是：教师全部
付费，学生按七五折付费;乙公司给的优惠条件是：全部师生按八折付费，请你
参谋参谋，选择哪家公司较省钱？
（四）课堂小结、知识梳理
试用框图概括“用一元一次方程分析和解决实际问题”的基本过程
学生思考、讨论、整理。
实际问题题 列方程 数学问题
（一元一次方程）
实际问题的
答案 数学问题的解
检 验
（五）作业设计
课本 91 页习题 3.2 第 10、11 题。
3.3 解一元一次方程（二）
——去括号与去分母(1)
教学目标：
知识与技能：
1、通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，使学生体会到列
方程解应用题更为简捷明了，省时少力；掌握去括号解方程的方法．
2、培养学生分析问题，解决问题的能力．
过程与方法：
在积极参与教学活动过程中，初步体验一元一次方程的使用价值，形成实事
求是的态度和独立思考的习惯。
情感、态度、价值观：
通过列方程解决实际问题，使学生感受到数学的应用价值，激发学生学习数
学的信心.
教学重点：逐步树立列方程解应用题的思想。
教学难点：弄清列方程解应用题的思想方法;用去括号解一元一次方程。
教学过程：
（一）复习引入
依次提出下列两个问题：
二、 解一元一次方程时，最终结果一般是化为哪种形式？
三、 我们可以采用哪两种方法将一个一元一次方程化为“x=a”的形式？
当问题中数量关系较为复杂时，列出的方程也会较复杂，仅用这两种方法行
吗？
（二）提出问题
出示课本 96 页问题。
分析：如果用方程解这道题，可以怎样设未知数？如果设上半年每月平均用
电 x 度，那么下半年每月平均用电____度;上半年共用电____度,下半年共用电
____度.根据哪个等量关系列方程?
在学生回答的基础上得出 6x＋6(x－2000)=150000
(三)解决问题
好，现在怎样使这个方程向 x=a 的形式转化呢？利用“分配律”先去括号，
下面的框图表示了解这个方程的具体进程，你能说出每步的依据吗？
6x＋6(x－2000)=150000
↓
6x＋6x－12000=150000
↓
6x＋6x=150000+12000
↓
12x=162000
↓
x=13500
由上可知，这个工厂去年上半年每月平均用电 13500 度。
思考：本题还有其他列方程的方法吗？
（四）例题分析
出示课本第 97 页例 1，师生共同给出解答。
解答后应强调：①方程中含有括号时，一般需要去括号。②去括号时应注意
括号前面的符号。
（五）巩固练习
（1）完成课本 97 页练习．
（2）学校团委组织 65 名团员为学校建花坛搬砖，初一同学每人搬六块，
其他年级同学每人搬 8 块，总共搬了 400 块，问初一同学有多少人参加了搬砖？
（3）学校田径队的小刚在 400 米跑测试时，先以 6 米／秒的）速度跑完了
大部分路程，最后以 8 米／秒的速度冲刺到达终点，成绩为 1 分零 5 秒，问小刚
在冲刺以前跑了多少时间？
3、拓展性练习：
编一道联系实际的数学问题，使所列的方程是
6x＋8（65 一 x）＝400
并将其与上题中的（2）、（3）相比较，有何感想？将你的想法和同学交流．
（六）本课小结
通过以下问题引导学生回顾、小结：
通过这节课，你在用一元一次方程解决实际问题方面又获得了哪些收获？去
括号解一元一次方程要注意什么？
（七）作业设计
课本 98 页习题 3.3 第 1、2、4 题.
3.3 解一元一次方程（二）
——去括号与去分母(2)
教学目标：
知识与技能：
1、会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次方程解决一些实际问题．
2、通过观察、实践、讨论等活动经历从实际中抽象数学模型的过程．
过程与方法：
在积极参与教学活动过程中，初步体验一元一次方程的使用价值，形成实事
求是的态度和独立思考的习惯。
情感、态度、价值观：
1.在独立思考的基础上，积极参与讨论，敢于发表自己的观点；
2.敢于面对学习中的困难，克服困难，锻炼意志，建立自信。
教学重点：寻找实际问题中的等量关系，建立数学模型。
教学难点：弄清题意，用列方程解决实际问题。
教学过程：
（一）复习巩固
4． 解下列方程：
（1）10x－4（3－x）－5（2＋7x）=15x-9（x－2）
（2）3（2－3x）－3[3（2x－3）＋3]=5
（3）
34
1323
112
1 xxx
2、（课本 97 页例 2)一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了 2 小时；从乙
码头返回甲码头逆流行驶，用了 2.5 小时．已知水流的速度是 3 千米／小时，求
船在静水中的平均速度．
（二）提出问题、探究新知
问题 1(课本 98 页例 3)：某车间 22 名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均
生产螺钉 1 200 个或螺母 2 000 个，一个螺钉要配两个螺母．为了使每天的产品
刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
解决问题的关键：
1、如果设 x 名工人生产螺钉，则 名工人生产螺母；
5． 为了伸每天的产品刚好配套．应使生产的螺母恰好是螺钉数量的
（三）课堂练习
练习 1：某水利工地派 48 人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土 5 方或运
土 3 方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？
问题 2:要用 20 张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身两个，或者做盒
底盖 3 个．如果一个盒身和两个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这白卡纸
分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？
请设计一种分法．
（想一想：如果一张白卡纸可以适当的套裁出一个盒身和一个盒底盖，
那么，怎样分这些白卡纸，才能既使做出的盒身和盒底盖配套，又能充分地利用
白卡纸？）
练习 2：
1、用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身 16 个或制盒底 43 个一个盒
身与两个盒底配成一套罐头盒．现有 100 张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制
盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分地利用白铁皮？
2、某车间每天能生产甲种零件 120 个，或者乙种零件 100 个．甲、乙两
种零件分别取 3 个、2 个才能配成一套．要在 30 天内生产最多的成套产品，问
怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？
（四）小结
通过以下问题引导学生反思小结：
1、通过这节课的学习，你有什么收获？
2、在解决配套、分配等问题方面你获得了哪些经验？这些问题中的相等
关系有什么特点？
（五）作业设计
1.课本 98-99 页习题 3.3 第 5、6、7 题，
3.3 解一元一次方程（二）
——去括号与去分母(3)
教学目标：
知识与技能：
会把实际问题建成数学模型，会用去分母的方法解一元一次方程．
过程与方法：
通过列方程解决实际问题，让学生逐步建立方程思想；通过去分母解方程，
让学生了解数学中的“化归”思想．
情感、态度、价值观：
让学生了解数学的渊源及辉煌的历史，激发学生的学习热情。
教学重点：实际问题中如何建立等量关系，并根据等量关系列出方程。
教学难点：会用去分母的方法解一元一次方程。
教学过程：
（一）提出问题（课本 99 页问题）
英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物—纸莎草文书．现存世界上最古
老的方程就出现在这部英国考古学家兰德 1858 年找到的纸草书上．经破译，上
面都是一些方程，共 85 个问题．其中有如下一道著名的求未知数的问题：一个
数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是 33，
这个数为几何？
（二）分析问题
如 果 设 这 个 数 为 x ， 那 么 上 述 这 段 文 字 就 可 用 如 下 方 程 表 示 ：
2
3 x+ 1
2 x+ 1
7 x+x=33
和以往不同的是，我们看到，上面这个方程中有些系数是分数，如果能化去
分母，把系数化成整数，那么可以使解方程中的计算更方便一些。
去分母的关键在于：方程两边同时乘以各分母的最小公倍｝.于是，所列方程
变为整系数方程。
如何解这个方程？在学生回答的基础上可以归纳两种方法：
方法一：直接进行合并同类项，进而化为“x=a”的形式.
方法二:先把含 x 的各项系数化为整数.
（三）探讨归纳
解方程： 3 1 3 2 2 322 10 5
x x x
1、 为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？
2、 在去分母的过程中，应该注意哪些易错的问题？
3、 解上述方程的全过程，展示了一元一次方程解法的一般步骤，试归纳、
小结，并了解过程中每一步的主要依据．
（四）范例学习
出示课本 100 页例 4.
采用学生尝试练习,师生互评矫正的方式处理,
解后再次归纳解方程的步骤和去分母的注意事项(避免漏乘).
（五）巩固练习
2 完成课本 101 页练习。
3 解方程：
（1） 2 1 1 24 2
x x
（2） 4 3 - 253 3 2
y y yy
3、（童话数学 100 雁问题）碧空万里，一群大雁在飞翔，迎面又飞来一只小
灰雁，它对群雁说：“你们好，百只雁！你们百雁齐飞，好气派！可怜我是孤雁
独飞．”群雁中一只领头的老雁说：“不对！小朋友，我们远远不足 100 只．将我
们这一群加倍，再加上半群，又加上四分之一群，最后还得请你也凑上，那才一
共是 100 只呢，请问这群大雁有多少只？
3、目前初中数学主要分成代数与几何两大部分，其中代数学的最大特点是
引人了未知数，建立方程，对未知数加以运算．而最早提出这一思想并加以举例
论述的，是古代数学名著《算术》一书，其作者是古希腊后期数学家—“代数学
之父”丢番图．丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实
地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一又过十二分之一，两颊长
胡．再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，
享年仅及其父之半，便进人冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，
他也走完了人生的旅途．”请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？
设丢番图去世时的年龄为 x 岁，由题意可列方程
xxxxx 42
157
1
12
1
6
1
解得：x=84。
（六）课堂小结
1、去分母解一元一次方程时要注意什么？
2、去分母解一元一次方程时，在方程两边同时乘以各分母最小公倍数的目
的是什么？
（七）作业设计
1、 课本第 98-99 页习题 3.3 第 3、8 题
3.3 解一元一次方程（二）
——去括号与去分母(4)
教学目标：
1、会根据实际问题中数量关系列方程解决问题，熟练掌握一元一次方程的
解法．
2、培养学生数学建模能力，分析问题、解决问题的能力．
3、通过开放性问题的设计，培养学生创新能力和挑战自我的意识，增强学
生的学习兴趣。
教学重点：从实际问题中抽象出数学模型。
教学难点：根据题意，分析各类问题中的数量关系，会熟练地列方程解应用题。
教学过程：
（一）复习巩固
1、 解下列方程：
（1） 6
7
3
13 yy
（2） 3
2116
110
4
12 xxx
（3）
5,06.03
15.1 xx
2、讨论交流：按怎样的步骤解方程 26 - 7 2- 2 -3 13 3
x x x 才最简便？由此你能
得到怎样的启发？
（二）探索研究
1、问题（课本 101 页例 5）：
整理一批图书，由一个人做要 40 小时完成．现在计划由一部分人先做 4 小
时，再增加两人和他们一起做 8 小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相
同，具体应安排多少人工作？
解决问题的关键：
二. 把总工作量看作 1；
三. 工作量=人均效率×人数×时间．
2、试一试：
课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制
作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需 4 天，徒弟单独完成需 6
天，”就因校长叫他有其他事情而离开教室．
调皮的小刘说：“让我试一试．”上去添了“两人合作需几天完成？’’
有同学反对：“这太简单了！”但也引起了大家的兴趣，于是各自试了起
来……
请同学们尝试着尽可能多地补全此题，并与同学们一起交流各自的做法．
3、举一反三：
（1 庆祝校运会开幕，七年级(1)班学生接受了制作校旗的任务．原计划
一半同学参加制作，每天制作 40 面．而实际上，在完成了三分之一以后，全班
同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成任务．假设每人的制作效率相同，
问共制作小旗多少面？
（2）小张和父亲预定搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷
爷．在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到
达火车站，便随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前 15
分钟到达火车站．已知公共汽车的平均速度是 40 千米／时，问小张家到火车站
有多远？
（3）将上述两题加以比较，有否相通之处？可否一题多解？
并探究未知数假设的技巧性．
（三）课堂小结
谈谈本节你有何收获？
（四）作业设计
1、第 99 页习题 3.3 第 9、10、11 题
3.4 实际问题与一元一次方程（一）
教学目标：
知识与技能：
1、利用路程、时间、速度之间关系，借助画示意图列一元一次方程解以现
实为背景的应用题；
2、运用画图直观分析、探究发现，充分发挥学生的主体作用，学生在轻松
愉快的气氛中掌握知识。
过程与方法：
结合实际，创造活跃有趣的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获
得成功的体验；培养学生的探索精神，树立学习的信心。
情感、态度、价值观：
培养学生的探索精神，树立学习的信心。
教学重点：通过分析题意，寻找等量关系，列方程。
教学难点：从不同的角度来找等量关系，列方程。
教学过程：
（一）创设情境、提出问题
问题 1：“甲、乙两人，同时出发，相对而行，距离是50km ，甲每小时走3km ，
乙每小时走 2km ，问他俩几小时可以碰到？”
你能回答出上述问题吗？
（二）讨论交流，探究问题
1 组织四人小组活动，观察分析，理解题意，弄清路程、速度、时间之间
的关系；
2 在小组讨论的基础上，全班相互交流。
教师针对学生讨论的情况，进行点评，引导分析，渗透数学建模的思想。
画出示意图：
引导分析：甲乙相遇时，他们共行的路程为 。
本题有哪些相等关系呢？
从路程角度分析：甲行走的路程+乙行走的路程= 。
从时间角度分析：甲行走的时间=乙行走的时间。
如果设：甲、乙相遇他们的时间为 x ，此时相等关系：
甲行走的路程+乙行走的路程= 。
即甲行走的速度×甲行走的 +乙行走的 ×乙行走的时间= 。
则可得方程：50 3 2x x
解：设甲乙相遇时行走了 x 小时，根据题意得：
3 2 50x x ，5 50x ， 10x 。
答：他们 10 小时能相遇。
此时教师再问：如果设甲行走的路程为 x km ，那么相等关系是什么呢？再
让四人小组讨论、交流。
乙
甲
50km
问题 2：接上题：一只小狗每小时走5km，它同甲一起出发，碰到乙时它又
往甲这边走，碰到甲它又往乙这边走，问小狗在甲、乙相遇时，一共走了多少千
米？”
你知道怎样解答的吗？
学生继续分组讨论。由小组派代表发表本组的见解，然后教师点评分析：
4. 画出示意图；（略）
5. 分析：
小狗走的路程=小狗走的速度×小狗走的时间，现在只需求出小狗走的时间，
问题就解决了。
小狗走的时间为多少呢？
显然，小狗往返跑直到甲、乙相遇时才停下来，故小狗跑的时间就是甲、乙
相遇前走的时间，问题由此应迎刃而解。
解：（略）
问题 3：
如果甲、乙、小狗都从一点出发，同向而行，其速度皆不变，乙和小狗先出
发 3 小时，甲再出发追赶乙，当甲追上乙时，小狗跑了多少米？
学生分组讨论。由小组派代表发表本组的见解，然后教师点评分析：
2． 画出示意图；（略）
3． 分析：变换情境后，变成了什么问题？问题的等量关系又是什么？
小狗走的路程=小狗走的速度×小狗走的时间，故关键还是求出时间，而这
个时间就是甲追上乙的时间，可由下列追及问题中的等量关系求得。
甲行走的速度×甲追上乙行走的时间=乙行走的速度×甲追上乙行走的时间
+乙提前行走的速度×乙提前行走的时间。
问题 4：
如果甲、乙、小狗从同一点出发，同向而行，而甲先出发 5 小时，乙才和小
狗一起出发，当小狗追上甲时，甲走了多少米？乙还能追上甲吗？为什么？
学生分组讨论，由小组派代表发表本组的见解。之后教师引导分析：
显然，小狗和甲又形成了追及问题，由问题 4 知，设小狗追赶甲的时间为 x ，
则可得到：5 3 5 3x x 。
此时小狗行走的路程=甲行走的路程=5 7.5 37.5 千米，乙不能追上甲，原
因何在呢？如果乙能追上甲，则肯定有 2 3 5 3x x 。
解得 15x 。
显然时间不能为负。
说明：速度较大者追速度较小者，定能追上，而速度较小者追速度较大者，
肯定不能追上。
（三）课堂小结
谈谈本节你有何收获？
（四）作业设计
课本 107 页习题 3.4 第 6、8 题
3.4 实际问题与一元一次方程（二）
教学目标：
1、使学生能根据商品销售问题中的数量关系找出等量关系，列出方程，掌
握商品盈亏的求法，；
2、培养学生分析问题，解决实际问题的能力；
3、让学生在实际生活问题中，感受到数学的价值。
教学重点：让学生知道商品销售中的盈亏的算法。
教学难点：弄清商品销售中的“进价”“标价”“售价”及“利润”的含义。
教学过程：
（一）引入新课
1、引言
前面我们结合实际问题，讨论了如何分析数量关系，利用相等关系列方程以
及如何解方程。本节开始，我们将进一步探究如何用一元一次方程解决生活中的
一些实际问题。
2、引例
①某商品原来每件零售价是 a 元，现在每件降价10% ，降价后每件零售价
是 ；
②某种品牌的彩电降价3% 以后，每台售价为 a 元，则该品牌彩电每台原价
应为 元；
③某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定价是 ；
④某商场把进价为 1980 元的商品按标价的八折出售，仍获利10% ，则该商
品的标价为 ；
⑤我国政府为解决老百姓看病问题，决定下调药品的价格，某种药品在 1999
年涨价 30%后，2001 降价 70%至 a 元，则这种药品在 1999 年涨价前价格为
元。
（二）提出问题、探究新知
问题：销售中的盈亏（课本 104 页探究 1）
某商店在某一时间以每件 60 元的价格卖两件衣服，其中一件盈利 25%，另
一件亏损 25%，卖这两件衣服总收入是盈利还是亏损？或是不盈不亏？
先引导学生大体估算盈亏情况，再通过准确计算检验学生的判断。
分析：进价、售价和利润之间有什么关系？什么是利润率？
利润=售价－进价；利润率=利润/进价×100%.
本题看是否盈利还是亏损的依据是什么？
依据是看卖出两件衣服盈利与亏损谁大。
现在我们来看卖出盈利 25%的这件衣服盈利多少。
设盈利 25%的这件衣服进价是 x 元，可得怎样的方程？
x+0.25x=60 解之，得 x=48
所以这件衣服利润是 60－48=12 元。
再来看亏损 25%的这件衣服亏损多少元。
设亏损 25%的这件衣服进价是 y 元，可得怎样的方程？
y－0.25y=60 解之，得 y=80
所以这件衣服的利润是 60－80=－20 元。
因此，卖这两件衣服亏损了 8 元。
注意：盈利时利润率通常用正数表示，所以亏损时利润率是负数。
例 2 某种商品零售价每件 900 元，为了适应市场的竞争，商店按零售价
的 9 折降价并让利 40 元销售，仍可获利 10%，则这种商品进货每件多少元？
分析：问题中的等量关系是什么？
实际售价－40－进价=利润。
设这种子商品进货每件 x 元，那么实际售价是多少？利润是多少？
实际售价是 900× 9
10
，利润是 10%x。
由此可得方程为
x+10%x=900× 9
10
－40
解之，得
x=700
所以这种商品进货每件 700 元。
（五）巩固练习
由学生自主探索解决。
问题 1：一家商店将某种服装按成本价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，
结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的成本是多少元？
问题 2：我国股市交易中每天、卖一次各交千分之七点五的各种费用，某投
资者以每股 10 元的价格买入上海某股票 1000 股，当该股票涨到 12 元时全部卖
出，该投资者实际盈利为多少？
（六）课堂小结
1.由学生谈谈本节课学到了哪些知识？学后有何感受？
2.商品销售中的基本等量关系有哪些？
利润=售价-进价
利润率=
利
价
润
进 ×100%
打 x 折的售价=原售价×
10
x
3.恰当地运用商品销售问题中的基本等量关系是解决这类问题的关键
（七）作业设计
课本 106－107 页习题 3.4 第 2、3、4 题
3.4 实际问题与一元一次方程（三）
教学目标：
1、学生通过旅游、选灯、用电、水费、用气、电信等问题的方案设计，弄
清各类问题中的等量关系，掌握用方程来解决一些生活中的实际问题的技巧．
2、通过一个开放式的空间，放手让学生去探索，去发现，培养学生分析问
题和用方程去解决实际问题的能力．
3、让学生在生动活泼的问题情境中感受数学的应用价值，产生对数学的兴
趣，养成认真倾听他人发言的习惯，感受与同伴交流的乐趣。
教学重点：把生活中的实际问题抽象出数学问题。
教学难点：引导学生弄清题意，设计出各类问题的最佳方案
教学过程：
（一）创设问题情境
问题：小江一家三口准备国庆节外出旅游．现有两家
旅行社，它们的收费标准分别为：甲旅行社：大人全价，小孩半价；乙旅行
社：不管大人小孩，一律八折．这两家旅行社的基本价一样．你认为应该选择哪
家旅行社较为合算？
由学生完成选择旅行社的方案。
（二）探索与研究
问题：油菜种植的计算（课本 105 页探究 2）
某村去年种植的油菜籽亩产量达 160 千克，含油率 40%，今年改种新选
育的油菜籽后，亩产量提高了 20 千克，含油率提高了 10 个百分点。
（1）今年与去年相比，这个村的油菜种植面积减少了 44 亩，而村榨油
厂用本村所产油菜籽的产油量提高 20%，今年油菜种植面积是多少？
（2）油菜种植成本为 210 元/亩，菜油收购价为 6 元/千克，请比较这个
村去今两年油菜种植成本与将菜油全部售出所获收入。
分析：问题中有基本等量关系：
产油量＝油菜籽亩产量×含油率×种植面积
师生共同探讨完成下列问题：
（1）设今年油菜种植面积为 x 亩，则可列式表示去今两年的产油量（单位：
千克）
去年产油量＝160×40%·（x +44）
今年产油量=（160+20）×（10+40）%·x
根据今年的产油量=去年的产油量（1+20%），可得方程：
（160+20）×（10+40）%•x=160×40%•（x +44）•（1+20%）
解之，得 x=256
所以今年油菜种植面积是 256 亩
（2）去年的油菜种植情况为
油菜种植成本是：210（x +44）=210×300=63000(元).
售油收入是：6×160×40%×300=115200(元).
售油收入与油菜种植成本的差为：115200-63000=52200(元).
今年的油菜种植情况为
油菜种植成本是：210x =210×256=53760(元).
售油收入是：6×180×50% x =6×180×50%×256=138240(元).
售油收入与油菜种植成本的差为：138240-53760=84480(元).
因此，今年比去年种植油菜的成本减少了：
6300－53760=9240(元).
今年比去年售油收入增加了：
138240－115200=23040(元).
通过上面的比较，可以知道今年比去年的成本降低了，收入增加了。
（三）合作交流、探索创新
1、电价问题
据我们调查，我市居民生活用电价格为每天早晨 7 时到晚上 23 时每度 0.47
元，每天 23 时到第二天 7 时每度 0.25 元．请根据你家每月用电情况，设计出用
电的最佳方案．
2、水费问题
我市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超
过 10 吨部分按 0.45 元／吨收费，超过 10 吨而不超过 20 吨部分按 0.8 元／吨收
费，超过 20 吨部分按 0.50 元／吨收费，某月甲户比乙户多交水费 3.75 元，已知
乙户交水费 3.15 元．
问：(1)甲、乙两户该月各用水多少吨？（自来水按整吨收费）
(2)根据你家用水情况，设计出最佳用水方案．
3、用气问题
某市按下列规定收取每月的煤气费：用煤气如果不超过 60 立方米，按每立
方米 o.8 元收费；如果超过 60 立方米，超过部分按每立方米 1．2 元收费．怎样
用气最节约？请设计出方案来．
4、电信支费
随着电信事业的发展，各式各样的电信业务不断推出，请你通过市场调查，
为你家设计出一种通讯方案．
（1)两地间打长途电话所付电费有如下规定：若通话在 3 分钟以内都付 2.4
元．超过 3 分钟以后，每分钟付 1 元．
(2)某移动通讯公司升级了两种通讯业务，“全球通”使用者先缴 50 元月租费，
然后每通话 1 分钟，再付话费 0.4 元，“快捷通”不缴月租费，每通话 1 分钟，
付话费 0.6 元．，
根据上述资料,(1)你认为一个月通话多少分钟，两种移动通讯费用相同？(2)
某人估计一个月内通话 300 分钟，应选择哪种移动通讯或用长途电话合算些？
（四）课堂小结
解决有关百分率的问题必须首先明确与这些百分数有关的基本等量关系如
本例中的产油量=油菜籽亩产量×含油率，还有利息=利率×本金，等等。
（五）作业设计
课本第 106-107 页习题 3.4 第 5、7 题
3.4 实际问题与一元一次方程（四）
教学目标：
知识与技能：
1、通过对实际问题的分析，掌握用方程计算球赛积分一类问题的方法．
2、培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、学生在从事探索性活动的学习过程中，形成良好的学习方式和学习态度，
借助学生身边熟悉的例子认识数学的应的价值。
教学重点：把生活中的实际问题抽象成数学问题
教学难点：弄清题意，分析实际问题中的数量关系，找出解决问题的等量关系。
教学过程：
（一）导入新课
我们都喜欢打篮球，你知道篮球比赛胜一场积多少分，负一场积多少怎样计
算分吗？我们今天就来讨论与球赛积分有关的问题。
（二）例题
出示问题：
某次篮球赛积分榜
队 名 比赛场次 胜 场 负 场 积 分
前 进 14 10 4 24
东 方 14 10 4 24
光 明 14 9 5 23
蓝 天 14 9 5 23
雄 鹰 14 7 7 21
远 大 14 7 7 21
卫 星 14 4 10 18
钢 铁 14 0 14 14
（1）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
分析：要解决这个问题，必须求出胜一场积多少分，负一场积多少分。你能
从积分表中看出负一场积多少分吗？
从最后一行可以看出负一场积 1 分。
你能从表中看出求胜一场积分的等量关系吗？
由第四行可知，胜场得分+负场得分=23
设胜一场得 x 分，则
9x+5×1=23
解之，得 x= 2
用表中的其它行可以验证：负一场积 1 分，胜一场积 2 分。
（1）若某队胜 m 场，那么总积分是：
2m+（14－m）=m+14
（2）设一个队胜了 x 场，则负了（14-x）场。如果这个队的胜场积分等于负
场总积分，则得方程
2x=14－x 解得 x=14
3
你能回答这个问题吗？
某队的胜场总积分不能等于它的负场总积分，因为获胜的场数不能是分数。
注意：用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要注
意方程的解是否符合问题中的实际意义。
拓展：如果删去积分榜的最后一行，你还能知道胜一场得多少分，负一场得
多少分吗？
思考：设胜一场得 x 分,那么负一场得多少分?还可以怎么表示?
由第三行知,负一场得 23 9
5
x ;由第五行知负一场得 21 7
7
x .由此得
23 9
5
x = 21 7
7
x 解之,得 x=2
23 9
5
x = 23 9 2
5
=1.
所以胜一场得 2 分,负一场得 1 分.
（三）课堂练习
由学生自主探索解决
问题：一次足球赛 11 轮（即每队均需要需要 11 场）
胜一场记 2 分，平一场记 1 分，负一场记 0 分，北京“国安”队所负的场数
是所胜场数的一半，结果共得 14 分，求“国安”队共平了多少场？
小结与作业
（四）课堂小结：
3. 由表格内容提供给我们解题的重要信息，值得同学们注意；
4. 利用方程不仅能求得实际问题的具体数值，而且还可以进行推理判断；
3、用方程解决实际问题时，要进行检验．
（五）作业设计
课本第 107 页习题 3.4 第 9 题
第三章《一元一次方程》复习（一）
教学目标：
知识与技能：
1.系统复习本章知识
2.通过复习提高学生归纳能力
过程与方法：
教师提问的方式，学生互答，共同回忆，以及讲练结合巩固本章知识。
情感、态度、价值观：
经历复习过程，使学生体会到数学知识的系统性，有着整体美。
教学重点：本章各知识点
教学难点：应用本章知识解决实际问题
教学过程：
（一）基本概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是 1 的方程叫做一元
一次方程。
3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
（二）等式的性质
等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相
等。
（三）解一元一次方程的一般步骤及根据
1、去分母-------------------等式的性质 2
2、去括号-------------------分配律
3、移项---------------------等式的性质 1
4、合并同类项-------------分配律
5、系数化为 1---------------等式的性质 2
6、验根---------------------把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等
（四）解一元一次方程的注意事项
1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；
2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项
切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号；
3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；
4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；
5、系数化为 1 时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符
号；
6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。
（五）列方程解应用题的一般步骤
1、审题
2、设未数
3、找相等关系
4、列方程
5、解方程
6、检验
7、写出答案
（六）应用题的类型（及常用的公式）
行程问题，商品销售问题 等
（七）作业设计
课本 111 页复习题组三第 1~4 题
第三章《一元一次方程》复习（二）
教学目标：
知识与技能：
1.系统复习本章知识
2.通过复习提高学生归纳能力
过程与方法：
教师提问的方式，学生互答，共同回忆，以及讲练结合巩固本章知识。
情感、态度、价值观：
经历复习过程，使学生体会到数学知识的系统性，有着整体美。
教学重点：本章各知识点
教学难点：应用本章知识解决实际问题
教学过程：
（一）本章知识结构
（二）回顾与思考
1、下列式子 是方程； 是一元一次方程.
①x-3; ②x2-1=0;③2x-3=0;④x-2y=3;⑤ 1
x +1=2;⑥ax+1=b(a、b 是常数。).
2、已知 x=-1 是方程 ax-3x=1 的解，解方程:3x+a=1.
解：把 x=-1 代入 ax-3x=1，得
－a＋3=1 ∴a=2
方程 3x+a=1 变为 3x+2=1
∴x=－1/3
3、若 ma=mb,那么下列不等式不一定成立的是[ ]
① ma+1=mb +1 ; ② ma-3=mb-3 ;③ a=b ; ④ 1
2ma
= 1
2mb
.
4、解一元一次方程：
解：去分母，得 6－2(x-2)＝ 1+3x ①
去括号，得 6－2x＋4＝1＋3x ②
移项，得 －2x-3x=1-4-6 ③
合并同类项，得 －5x=-9 ④
系数化为 1，得 x=1.8 ⑤
5、一件工程，甲、乙、丙队单独做各需 10 天、12 天、15 天才能完成，现
在计划开工 7 天完成，乙、丙先合做 3 天，乙队因事离去，由甲队代替，在各队
2 1 31 3 6
x x － ＝
实际问题的解答
实际问题
设未知数，列方程
数学问题的解（x＝a）
检 验
解
方
程
数学问题
工作效率都不变的情况下，能否按计划完成此工程？
①已知哪些已知条件？求什么？
已知甲、乙、丙队单独做各需 10 天、12 天、15 天；乙、丙先合做 3 天，剩
下的由甲队代替乙队完成任务。求合做完成任务的时间。
②包含全部内容的等量关系是什么？
丙乙合做的任务＋甲丙合做的任务＝1
③怎样设未知数？
设甲队做了 x 天或设甲丙合做了 x 天.
④根据等量关系可列怎样的方程？
1 1 1 1 3 12 15 10 15 x
=1 或者 1 1 1 1 3 12 15 10 15 x
（ -3）=1
⑤原方程变为 1 1 1 14 5 6 x
15＋12＋10x＝60
10x＝33 ∴x＝3.3
⑥因为 3.3＋3＝6.3＜7，所以能按计划完成。
⑦答：在各队工作效率不变的情况下，能按计划完成此工程。
（三）例题导引
例 1 解方程：
（1） 1
3
（x-5 ）=3- 2
3 (x-5); (2)
例 2 小刚为书房买灯，现有两种灯可供选购，其中一种是 9W（即 0.009kW）
的节能灯，售价 49 元/盏；另一种是 40W（即 0.04kW）的白炽灯，售价 18 元/
盏。假设两种灯的照明度一样，使用寿命都可以达到 2800h。已知小刚家所在地
的电价是每千瓦时 0.5 元。
（1）当照明时间是多少时，使用两盏灯的费用一样多？
（2）试用特殊值判断：照明时间在什么范围内选用节能灯费用低？
分析：（1）问题中的等量关系是什么？
买节能灯的钱+节能灯的电费=买白炽灯的钱+白炽灯的电费
设照明时间是 x 小时时，使用两盏灯的费用一样多，那么节能灯的电费是多
少？白炽灯的电费是多少？
节能灯的电费是 0.009x·0.5,白炽灯的电费是 0.04x·0.5.
由此可得方程 49+0.009x·0.5=18+0.04x·0.5
解之,得 x=2000
所以当照明时间是 2000 小时时，使用两盏灯的费用一样多.
(2)当 x=1000 时,节能灯的电费是 49+0.009x·0.5=49+0.009×1000×0.5=53.5
白炽灯的电费是 18+0.04x·0.5=18+0.04×1000×0.5=38
所以当照明时间大于 2000 小时时,使用用能灯费用低.
（四）课堂小结
根据复习情况总结
（五）作业设计
课本 111-112 页复习题 3 第 4~8 题
第三章第一阶段复习 3.1－3.2〔1〕
1
2
73 .3
xx
一、双基回顾
1、方程、方程的解和解方程
含有 的 叫做方程；
使方程 相等的 的值叫做方程的解。
的过程叫做解方程。
2、一元一次方程
〔1〕只含有 未知数，并且未知项的次数 的方程叫做一元一次方程。
〔2〕指出下列各式中哪些是一元一次方程？并说明理由。
（1）2x-y=3; (2)x=0; (3)x2-2x+1=0; (4)x+3=2x-1.
3、等式的性质
性质 1 等式两边 同一个数（或 ），结果仍相等。
性质 2 等式两边 同一个数，或 的数，结果仍相等。
〔3 用适当的数字或式子填空，使所得的结果仍是等式，并说明理由。
（1）如果 3x+8=6，那么 3x=6[ ]; (2)如果-5x=25，那么 x=[ ];
(3)如果 2x-3=5,那么 2x=[ ]; (4)如果
4
x =-7,那么 x=[ ]
4、合并同类项解一元一次方程
如果方程中有同类项，可以先合并同类项变成 ax=b(a≠0)的形式,再求解。
二、例题导引
例 1 下列说法中正确的是〔 〕
2， 若 x=y,则 2m
x = 2
y
m ; ②若 x=y,则 mx=my;
③若
m
x = y
m ,则 x=y; ④若 x2=y2,则 x3=y3
例 2 已知方程(m-2)x︱m︱-1+3=m-5 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值。
例 3 已知 x=1/2 是关于 x 的方程 4+x=3-2ax 的解，求 a2+a+1 的值。
例 4 小明去商店买练习本，回来后和同学说，店主告诉我，如果多买一些
就给我 8 折优惠，我就买了 20 本，结果便宜了 1.6 元，你猜原来每本价格是多
少？（请你列出方程,并用等式的性质求解。）
三、练习提高
1、下列各式中，是方程的有〔 〕
①2x+1; ②x=0; ③2x+3＞0；④x－2y=3; ⑤ 1
x -3x=5;⑥x2+x-3=0.
A、3 个 B、4 个 C、5 个 D、6 个
2、下列方程中，解为 1
2
的是〔 〕
A、5（t－1）＋2＝t－2 B、 1
2 x －1=0
C、3y－2=4(y－1) D、3 (z－1) =z－2
3、下列变形不正确的是〔 〕
A、若 2x－1=3，则 2x = 4 B、若 3x = －6，则 x =2
C、若 x+3=2,则 x =－1 D、若－ 1
2 x=3,则 x=－6
4、已 x=y,下列变形中不一定正确的是〔 〕
A、x－2=y－2 B、－2x=－2y
C、ax=ay D、 2m
x = 2
y
m
5、下列各式的合并不正确的是〔 〕
A、－x－x = －2x B、-3x+2x = －x
C、 1
10 x－0.1x = 0 D、0.1x－0.9x = 0.8x
6、若 x2a－1+2=0 是一元一次方程，则 a= .
7、某班学生为希望工程捐款 131 元，比每人平均 2 元还多 35 元。设这个班
的学生有 x 人，根据题意列方程为 .
8、将等式 3a－2b=2a－2b 变形，过程如下：
因为 3a－2b=2a－2b,所以 3a=2a
所以 3=2
是述过程中，第一步的依据是 ，第二步得出错误结论，其原因
是 .
9、解下列方程：
（1）6x－5x=－5 (2)- 1
2 x+ 3
2 x=4
(3) 2
3 y－y=－3+1 (4)2x－7x=19+31
10、某校三年共购买计算机 140 台，去年购买数量是前年的 2 倍，今年购买
数量又是去年的 2 倍，前年这个学校购买了多少台计算机？
设前年购买了计算机 x 台，可以表示出：去年购买计算机 台，今年购买计
算机 台。根据问题中的相等关系：前年购买量＋去年购买量＋今年购买量
＝140 台，列得方程 .
解这个方程。
11、从 30 ㎝长的木条上零截出两段长度相等的木条后，还剩 6 ㎝长的木条，
求截去的每一段木条的长是多少？
12、写出一个一元一次方程，使 x=1 是它的解： .
13、若关于 x 的方程 2 (x－1)－a=0 的解是 3，则 a 的值是〔 〕
A、4 B、－4 C、5 D、－5
14、下列等式的变形错误的是〔 〕
A、若 ac2=bc2,则 a=b B、若 a
c = b
c ,则 a=b
C、若 a2=b2,则︱a︱=︱b︱ D、若 a=b 则 a2=b2
15、代数式 8x－7 与 6－2x 的值互为相反数，那么 x 的值是 .
16、一桶油重 8 千克，油用去一半后边桶重 4.5 千克，设桶中原有油千克，
则下列方程错误的是〔 〕
A、8－x=4.5－0.5x B、x－0.5x=8－4.5
C、0.5x+8－4.5=x D、x－8=0.5x+4.5
第三章第二阶段复习 3.2（2）－3.3
一、双基回顾
1、移项
把等式一边的某一项 移到另一边，叫做移项。
〔1〕把方程 2－2x=3x－1 含未知数的项移到左边，常数项移到右边。
2、去括号
方法：运用乘法分配律。
〔2〕a+2 (b-c-d)= ; a-3 (b+c-d)= .
3、去分母
方程两边同乘以所有分母的 。
〔注意〕①每一项都要乘，不能漏乘；②去掉分数线后，分子要加上括号。
〔3〕解方程 2 1 10 1
5 10 1x x 时，去分母后正确的是〔 〕
A、4x+1-10x+1=1 B、4x+2-10x-1=1
C、4x+2-10x-1=10 D、 4x+2-10x+1=10
4、解一元一次方程的步骤：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 。
〔注意〕具体解方程时，这些步骤要灵活处理，不能死搬硬套。
5、列方程解应用题的基本过程：
（1） ； （2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ； (7) 。
二、例题导引
例 1 解方程：
（1）10y-2(7y-2)=5(4y+3)-2y (2)x- 3
2 [ 2
3 ( 4
x -1)-2]=-2.
例 2 解方程：
例 3 某校一、二两班共有 95 人，体育锻炼的平均达标率（达到标准的百
分率）是 60％，如果一班达标率是 40％，二班达标率是 78％，求一、二两班的
人数各是多少？
例 4 国外营养学家做了一项研究，甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除
正常进餐外每人还增加六百毫升牛奶。一年后发现，乙组同学平均身高的增长
值比甲组同学平均身高的增长值多 2.01 ㎝，甲组同学平均身高的增长值比乙组
同学平均身高的增长值的 3
4
少 0.34 ㎝，求甲、乙两组同学平均身高的增长值。
三、练习提高
1、将方程 4x+1=3x-2 进行移项变形，正确的是〔 〕
A、4x－3x=2－1 B、4x+3x=1－2
C、4x－3x=－2－1 D、4x+3x=－2－1
2、已知 y1=2x+1,y2=3-x,当 x= 时，y1=y2.
3、将下列各式中的括号去掉：
（1）a+(b-c)= ; (2)a-(b-c)= ;
4 3 252 3 6
x x xx （1） 0.2 1 31.50.3 2.5
x x （2）
(3)2(x+2y-2)= ; (4)-3(3a-2b+2)= .
4、方程去分母后，所得的方程是〔 〕
A、2x－x+1=1 B、2x－x+1=8 C、2x－x－1=1 D、2x－x－1=8
5、如果式子 - 3
2
x 与 2
3
x 的值相等，则 x= .
6、小明买了 80 分与 2 元的邮票共 16 枚，花了 18 元 8 角，若设他买了 80
分邮票 x 枚，可列方程为 .
7、解下列方程：
（1）5（x+2）=2 (2x+7) （2.）3（x－2）=x－(7－8x)
3 1 3(3)1 4 4
x x 3 2 5 7(4) 24 3
y y
8、某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为 6 元/辆，小型汽车的停
车费为 4 元/辆，现在停车场有 50 辆中、小型汽车，这些共缴纳停车费 230 元，
问中、小型汽车各有多少辆？
9、某工厂原计划每天烧煤 a 吨，实际每天少烧 b 吨，则 m 吨煤可多烧的天
数为〔 〕
A、 m
a
－ m
b B、 m
a-b C、 m
a
－ m
a-b D、 m
a-b
－ m
a
10、在公式 l=t0(1+at)中，已知 l、t0、a，则 t＝ .
11、关于 x 的方程 6x=16-ax 与方程 5 (x+2)=2 (2x+7 )有相同的解，则 a 的值
为 .
12、甲队人数是乙队人数的两倍，若设乙队有 x 人，则甲队有 人，
若从甲队 调 12 人到乙队 ，则甲、乙两队 的人数就一样多， 则可列方程
为 .
13、解方程：
（1）2（x－2）－3(4x－1)=9(1－x) (2)30%(x－1)=20%(x+1)+0.2
(3) 1
2 (x－3)- 1
3 (2x+1)=5 1 222 5
y yy （4）
0.17 0.2(5) 10.7 0.03
x x (6)2[ 4
3 x－( 2
3 x- 1
2 )]= 3
4 x
14、在社会实践活动中，某校甲、乙、丙 3 位同学一同调查了高峰时段北京
的二环路、三环路、四环路的车流量（第小时通过观测点的汽车辆数），3 位同
学汇报高峰时段的车流量如下：
甲同学说：“二环路车流量为每小时 10000 辆。”
乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多 2000 辆。”
丙同学说：“三环路车流量的 3 倍与四环路车流量的差是二环路车流量的 2
倍。”
请你根据他们提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多
少？
15、小明在解答数学题：“某同学乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流
而上到丙地，共用了 3 小时，若水流速度为 2 千米/小时，船在静水中的速度为
8 千米/小时，已知甲、丙两地相距 2 千米，求甲、乙两地间的距离”时，得到
的答案是 12.5 千米，而小红得到的答案却是 10 千米，请你判断他们谁对谁错，
并指出错误的原因，给出正确的答案。
第三章第三阶段复习 3.4
一、双基回顾
1、列方程解应用题的步骤
（1）审：明确已知什么，求什么及基本关系。
（2）找：找能表示题目全部含义的相等关系。
（3）设：设未知数。可直接设，也可间接设，要尽量使列出的方程简单。
（4）列：根据等量关系列方程。
（5）解：解方程
（6）验：检验方程的解和解是否符合实际问题。
(7)答：怎么问怎么答。
2、分析数量关系的方法
（1）译式法：把题目中关键性的数量关系语句译成含有未知数的代数式。
（2）列表法：用一类量作为“行”，一类量作为“列”制成表格，把已知量和
未知量（用所设字母表示）“对号入座”。
（3）图解法：用图形表示题目中的数量关系，例如行程问题中的线段图。
3、设未知数的方法
（1）直接设未知数：题目求什么就设什么。
（2）间接设未知数：设的未知数不是题目直接求的量。
（3）设辅助未知数：所设未知数仅作为题目中量与量之间关系的桥梁，它
在解方程的过程中会自然消去。
二、例题导引
例 1 某人骑自行车以每小时 10 千米的速度从甲地到乙地，返回时因事绕
道而行，比去时多走 8 千米的路，虽然行车的速度增加到每小时 12 千米，但比
去时还是多用了 10 分钟，求甲、乙两地的距离。
例 2 张叔叔用若干元人民币购买了一种年利率为 10％的一年期债券，到期
后他取出本金的一半用作购物，剩下的一半及所得的利息又全部买了这种一年期
的债券（利率不变），到期后得本息和 1320 元，问张叔叔当初购买这种债券花了
多少钱？
例 3 某市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过 60 立方米，按
每立方米 0.8 元收费，如果超过 60 立方米，超过部分按每立方米 1.2 元收费。
已知 11 份某用户的煤气费平均每立方米 0.88 元，那么 11 月份该用户应交煤气
费多少元？
例 4 某学校八年级（1）班组织课外活动，准备举行一次羽毛球比赛，去
商店购买羽毛球拍和羽毛球，每副球拍 25 元，每只球 2 元，甲商店说：“羽毛球
及球拍都打 9 折”优惠，乙商店说：“买一副球拍赠送 2 只羽毛球”优惠。
（1）学校准备花 90 元钱全部用于买 2 副羽毛球及羽毛球若干只，问到哪家
商店购买更合算？
（2）若必须买 2 副羽毛球拍，则应当买多少只羽毛球时到两家商店一样合
算？
三、练习提高
1、用 40 ㎝长的铁丝围成一个长方形，已知长是宽的 3 倍，则围成的长方形
的面积为 ㎝ 2.
2、要锻造一个直径为 12 ㎝，高为 10 ㎝的圆柱形零件，需要直径为 16 ㎝的
圆柱形钢条 ㎝.
3、甲、乙、丙三辆卡车所运货物的吨数比是 6：7：4.5，已知甲车比丙车多
运 12 吨货物，则三辆卡车共运货物 吨.
4、某商品提价 10％后，欲恢复原价，则应降价〔 〕
A、10％ B、9％ C、 100
11 ％ D、 100
9 ％
6、一个两位数，数字之和为 11，如果原数加 45 得到的数和原数的两个数
字交换位置后恰好相等，问原数是多少？
7、某城市现有人口 42 万人，计划一年后城镇人口增加 0.8％，农村人口增
加 1.1％，这样全市人口得增加 1％，求这个城市现有城镇人口和农村人口分别
是多少人？
8、张先生于 1999 年 3 月 8 日买入 1999 年发行的 5 年期国库券 1000 元，回
家后他在存单的背面记下了当国库券于 2004 年 3 月 8 日到期后他可获得的利息
数为 390 元。若张先生计算无误的话，则该种国库券的年利率是多少？（利息
＝本金×存期×年利率，国库券无利息税。）
9、有一个商店把某件商品按进价加 20％作为定价，可是总卖不出去；后来
老板按定价减价 20％以 96 元出售，很快就卖掉了，则这次买卖的盈亏情况为
〔 〕
A、赚 6 元 B、不亏不赚 C、亏 4 元 D、亏 24 元
10、一张试卷只有 25 道选择题，做对一道得 4 分，不做或做错一题倒扣 1
分，某学生做了全部试题，共得 70 分，他做对了的题数是〔 〕
A、17 B、18 C、19 D、20
12、某市出租车的收费标准是：起步价 5 元（行驶距离不超过 3 千米，都需
付 5 元车费），超过 3 千米，每增加 1 千米，加收 1.2 元。某人乘出租车到达目
的地后共支付车费 11 元，那么此人坐车行驶的路程最多是多少？
13、某商品售价为每件 900 元，为了参与市场竞争，商店按售价的 9 折再让
利 40 元销售，此时仍可获得 10％，此商品的进价是每件多少元？
14、一队学生去校外进行军事野营训练，他们以 5 千米/时的速度行进，走
了 18 分钟的时候，学校将一个紧急通知传给队长。通讯员立即从学校出发，骑
自行车以 14 千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少时间可以追上学生队
伍？
15、“五·一”期间，某校由 4 位教师和若干位学生组成的旅游团，拟到国
家 4A 级旅游风景区－闽西豸山旅游，甲旅行社的收费标准是：如果买 4 张全票，
则其余的人按七折优惠；乙旅行社的收费标准是：5 人以上（含 5 人）可购团体
票，旅游团体票按原价的八折优惠，这两家旅行社的全票价格均为每人 300 元。
（1）若有 10 位学生参加该旅游团，问选择哪家旅行社更省钱？（2）参加该旅
游团的学生人数是多少时，两家旅行社收费一样？
16、星期天，数学教师提着篮子（篮子重 0.5 斤）去集市买 10 斤鸡蛋，当
张老师往篮子里拾称好的鸡蛋时，发觉比过去买 10 斤鸡蛋的个数少很多，于是
她将鸡蛋装进篮子再让摊主一起称，共称得 10.55 斤，即刻她要求摊主退 1 斤鸡
蛋的钱，她是怎样知道摊主少称了大约一斤鸡蛋呢（精确到 1 斤）？请你将分析
过程写出来。
第四章 几何图形初步
4.1 几何图形
4.1.1 立体图形与平面图形
一、教学目标
1、知识与技能
（1）初步了解立体图形和平面图形的概念.
（2）能从具体物体中抽象出长方体、正方体、球、圆锥、棱锥、棱柱等
立体图形；能举出类似长方体、正方体、球、圆锥、棱锥、棱柱的物体实体.
2、过程与方法
（1）过程：在探索实物与立体图形关系的活动过程中，对具体图形进行
概括，发展几何直觉.
（2）方法：能从具体事物中抽象出几何图形，并用几何图形描述一些现
实中的物体.
3、情感、态度、价值观：形成主动探究的意识，丰富学生数学活动的成功体验，激发
学生对几何图形的好奇心，发展学生的审美情趣.
二、教学重点、难点:
教学重点：常见几何体的识别
教学难点：从实物中抽象几何图形.
三、教学过程
1.创设情境，导入新课.
让我们一起来看看北京奥运会奥运村模型图．（出示章前图）
展示丰富多彩的图形世界.
2 直观感知，识别图形
（1）对于各种各样的物体,数学中关注是它们的形状、大小和位置.
（2）展示一个长方体教具，让学生分别从整体和局部抽象出几何图形.观察
长方体教具的外形，从整体上看，它的形状是长方体，看不同的
侧面，得到的是正方形或长方形，只看棱、顶点等局部，得到的
是线段、点.
（3）观察其他的实物教具（或图片）让学生从中抽象出圆柱，球，圆等图
形.
（4）引导学生得出几何图形、立体图形、平面图形的概念.
我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.比如长方体，长方
形 ，圆柱，线段，点，三角形，四边形等.几何图形是数学研究的主要对象之一.
有些几何体的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形.如长方体，
立方体等.
有些几何图形和各部分都在同一平面内，它们是平面图形.如线段，角，
长方形，圆等.
3. 实践探究.
(1) 引导学生观察帐篷,,金字塔的图片,从面抽象出棱柱,棱锥.
(2)你能说说圆柱与棱柱,圆锥与棱锥的区别吗?
(3)你能再举一些圆柱、棱柱、圆锥、棱锥的实例吗？
(4）下图中实物的形状对应哪些立体图形?把相应的实物与图形用线连起来
4.小结
这节课你有什么收获?
5.作业设计
课本第 121 页习题 4.1 第 1、2 题；
4.1.1 立体图形与平面图形（二）
一、教学目标
知识与技能
1．能识别简单几何体的三种视图.
2．会画简单立体图形及其它们的简单组合的三种视图.
3．进一步认识立体图形与平面图形之间的关系.
4．引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的数学问题.
5.过程与方法
在从不同方向看立体图形的活动过程中，体验立体图形与平面图形之间的
相互转化，从而建立空间观念，发展几何直觉.
6.情感、态度、价值观
1）．通过活动，形成学生主动探究的意识，丰富学生数学活动的成功经验，
激发学生对几何图形的好奇心和对学习的自信心.
2）．从实物出发，让学生感受到图形世界的无处不在，提高学生学习数学的
热情.
二、重点与难点
重点：
1.在观察的过程中初步体会从不同方向观察同一物体可能看到不同的结果.
2.能识别简单物体的三视图，会画简单立体图形及其它们组合的三种视图.
难点：
1.在面和体的转换中丰富几何直觉和数学活动经验，发展空间观念
2.能识别简单物体的三视图，会画简单立体图形及其它们组合的三种视图.
三、教学过程
1.创设情景，引入新课
（1）请 欣 赏 漫 画 并 思
考 ：为什么 会出现争执？
（2） “横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在此
山中.”这是宋代诗人苏轼的著名诗句（《题西林壁》）.你能说出“横看成岭
侧成峰”中蕴含的数学道理吗？
2.新课学习
（1）不同角度看直棱柱、圆柱、圆锥、球
让学生分别从正面、左面、右面，上面等各个角度观察：正方体木块，长方
体木块，三棱镜，六角扳手，易拉罐，排球,圆锥，由浅入深，体会从不同方向
看直棱柱、圆柱、圆锥、球等立体图形得到的平面图形，难点是在体会曲面的透
视图，让学生交流、体验，集体作出小结.（可以给出三个视图的名称）
（2）猜一猜，看一看
Ⅰ.左看右看上看下看一个物体都是圆?(猜一物体)
Ⅱ.什么物体左看右看上看下看都是正方形？若是长方形呢？(各猜一物体)
Ⅲ.桌上放着一个圆锥和圆柱，请说出下面三幅图是分别从哪个方向看到的.
(3) 分别从不同方向观察以下实物(茶叶盒、魔方、书、乒乓球等)，你看到
了什么图形?
你能一一画下来吗7(画出示意图即可)
（4）（从不同角度看简单的组合图形，由少数组合逐步加多）如下图，画出
下列几何体分别从正面、左面，上面看，得到的平面图形.（学生独立思考、合
作交流，最后从模型上得到验证）
3.实践与探究
（1）
上图是一个由9个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这
个图形，各能得到什么图形？
(2)再试一试，画出它的三视图．
(3)怎样画得又快又准?
（4）用6个相同的小方块搭成一个几何体,它的俯视图如图所示.则一共有几
种不同形状的搭法(你可以用实物模型动手试一试)?
4.参考练习
（⒈）图，桌上放着一个球和一个圆柱，下面 a、b、c、d、e 这五幅图分别
是从什么方向看到的？
（⒉）一个正方体中，截去一个小正方体的立体图如图所示，从左面观察这
个图形，得到的平面图形是 （ ）
（3）一个由 8 个正方体组成的立体图形，从正面和上面观察这个图形时，
得到的平面图形如图所示，那么从左面观察这个图形时，得到的平面图形可能是
（ ）
（4）如图分别是某立体图形三视图，请根据图说出立体图形的名称
⑴正视图
俯视图
左视图
⑵正视图
俯视图
右视图
5.小结
(1)你对本节内容有哪些认识?
(2)你有什么收获?有什么感想?有什么困惑?
6.作业设计
课本第118页练习1 ，课本第121页习题4.1第3、4题
4.1.1 立体图形与平面图形（三）
一、教学目标
知识与技能
⒈了解直棱柱、圆锥等简单立体图形的侧面展开图。
⒉能根据展开图初步判断和制作立体模型。
⒊进一步认识立体图形与平面图形之间的关系。
⒋通过描述展开图，发展学生运用几何语言表述问题的能力。
过程与方法
⒈在平面图形和立体图形互相转化的过程中，初步建立空间观念，发展几何
直觉。
⒉通过动手观察、操作、类比、推断等数学活动，积累数学活动经验，感受
数学思考过程的条理性，发展形象思维。
⒊通过展开与折叠的活动，体会数学的应用价值。
情感、态度、价值观
⒈通过学生之间的交流活动，培养主动与他人合作交流的意识。
⒉通过探讨现实生活中的实物制作，提高学生学习热情。
● 蚊子
壁虎 ●
蚊子
●
●
壁虎
二、重点与难点
重点：直棱柱的展开图。
难点：根据展开图判断和制作立体模型。
三、教学过程
1.创设情境，导入课题
小壁虎的难题：
如图：一只圆桶的下方有一只壁虎，上方有一只蚊子，壁虎要想尽快吃
到蚊子，应该走哪条路径？
学生各抒己见，提出路线方案。
教师总结：
若在平面上，壁虎只要沿直线爬过去就可以了。而在圆桶上，直线不太
好找，那么把圆柱侧面展开，就可找出答案。
如图所示：
圆柱侧面展开后是矩形，壁虎只要沿图中直线爬向蚊子即可。若蚊子和壁
虎在其他几何体上，如棱锥，正方体…… 它们展开后是什么图形呢？今天我们
就来讨论它们的展开图。
2、新课探究：
（1）正方体的表面展开图
教师先演示正方体的展开过程，提醒沿着棱展开，且展开图必须是一个完整
的图形。然后让学生拿出学具正方体纸盒（或是课前准备好的正方体纸盒，或现
成的正方体包装盒）进行动手操作，得到正方体展开图。
.教师再拿出如下图所示的两个纸片，提问：能否经过折叠围成一个正方体？
若不能，如何改变其形状就能围成一个正方体？（要求学生仔细观察，思考，讨
论，并动手操作验证猜想）
（2）其他直棱柱的表面展开图
学生从其他直棱柱中任选一种，得到它的展开图，相互交流。教师指导总结。
（特别是圆柱体展开时，体会怎样展开会得到侧面是一个长方形）
（3） 让学生分组研究观察三棱锥的展开图。
归纳：从刚才的实践过程中，大家可能已经感受到，同一个几何体，按不同
的方式展开，得到的展开图也不同。
（4）你能想象出下面的平面图形可以折叠成什么多面体？动手做做看。
提问：通过实践，说说以上平面图形叠成什么多面体？
上面的图〈1〉及图〈3〉可以折叠成正三棱锥，所以它们都是正三棱锥的表面展
开图。图〈2〉不可以折叠成正三棱锥，所以它不是正三棱锥的表面展开图。
归纳：一些平面图形也可以围成立体图形。
（5）提问：是所有的立体图形都能展开成平面图形吗？
老师引导得出：是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以
展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
3.小结
（1）一些立体图形是由平面图形围成的立体图形，沿着它们的一些棱将它
剪开，可以把多面体展开成一个平面图形．体现了立体图形与平面图形之间的相
互联系。
（2）对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理。
4.作业设计
（1）课本第 122 页习题 4.1 第 5 题
（2）课本第 123 页习题 4.1 第 11、12、14 题
4.1.2 点、线、面、体
一、教学目标：
知识技能：
1、进一步认识点、线、面、体的概念.
2、理解点、线、面、体之间的关系.
过程与方法
通过学习点、线、面、体之间的关系，进一步发展学生抽象概括能力和形象
思维的能力.
情感、态度、价值观
通过联系现实世界中各种常见的几何体及情景，让学生认识数学与现实生活
的密切联系.
二、教学重、难点
重点：点、线、面、体之间的关系.
难点：体会点动成线、线动成面、面动成体
三、教学过程：
1.问题情境
[问题 1]
（1）举出一些你所熟悉的立体图形.
（2）① 你知道这些体是由什么围成的吗？它们有什么不同吗？
②面与面相交的地方形成了什么？它们有什么不同呢？
③线与线相交之处又得到了什么？
（3）举出生活实际中分别给体、面、线、点的形象的例子
学生先独立观察、思考，然后再讨论、交流得出以下结论：
（1）体是由面围成的.面有两种，平面和曲面.
（2）面与面相交的地方形成了线，线有直的也有曲的.
（3）线与线相交的地方是点.
教师对以上结论加以总结、完善．得出点、线、面、体之间的关系.即“体
由面组成，面与面相交成线，线与线相交成点”.
教师鼓励学生联想身边熟悉的情景，尽可能多的举出例子，并把课前准备的
挂图和物品等展示出来和学生交流.
[问题 2]（学生动手操作、思考并回答问题）
（1）①笔尖可以看作是一个点，这个点在纸上运动时，形成了什么？
② 通过上述运动你得出了什么结论？
③ 你能举出生活中的一些实例进一步说明这一结论吗？
教师在学生回答问题的基础上总结得到“点动成线”的结论.
学生在组内讨论、交流的基础上，举出更多实例.如：蚂蚁搬家；在一望无
际的沙滩上；一个孤独的旅行者留下的一排长长的足迹… …
（2）①汽车雨刷可以看作是一条线，它在档风玻璃上运动时有什么现象？
②通过对上面现象的分析你得出了什么结论？
③你能举出生活中的一些实例进一步说明这一结论吗？
①教师让学生拿笔或直尺当雨刷在纸上演示，启发学生类比上一个问题.并
鼓励学生用自己的语言说出发现的结论.
②学生通过仔细观察图片，动手实践，回答问题.得出“线动成面”的结论.
③学生经讨论、交流后举例.如：夜晚街头闪烁的霓虹灯、利用竹条编织的
凉席，用扫帚扫地、用刷子刷油、钟表盘上分针时针的运动… …
（3）①长方形纸片绕它的一边旋转，形成了什么图形？
②通过对上面现象的分析你得出了什么结论？
③你能再举出一些例子进一步说明这一结论吗？
④你能找出它们之间的对应关系吗？
教师演示旋转过程，让学生通过观察，大胆猜测，想象.
学生在观察、猜测、想象之后独立思考得出结论，再通过动手实践加以验证；
最后进行小组讨论、交流，回答问题.得出“面动成体”的结论.
学生经小组交流，举出例子.如把三角尺绕其一边旋转形成几何体、一摞壹
元硬币……
[问题 3]
（1）为什么在中国地图上，北京只是一个点，而在北京市地图上北京几乎
占了整个版面？
学生先独立思考后讨论、交流．回答问题，同学们之间可以相互补充、纠正.
（2）观察下面的图片，你有什么发现？构成几何图形的基本元素是什么？
学生观察图片.表述观点.
教师参与学生的交流活动，总结出几何图形都是由点、线、面、体组成的，
点是构成图形的基本元素.
2.小结.
本节是从实际物体中抽象出几何图形、立体图形、平面图形，又进一步抽象
出体、面、线、点等基本元素，研究了它们之间的关系之后，又由这些基本元素
得到丰富多彩的图形世界.
3.布置作业.
课后收集能反映点、线、面、体之间关系的资料、图片及实物模型.
4.2 直线、射线、线段（一）
教学目标
知识与技能
1、在现实情境中理解线段、直线、射线等简单的平面图形。
2、理解两点确定一条直线的事实。
3、掌握直线、射线、线段的表示方法。
4、理解直线、射线、线段的联系和区别
过程与方法
1、通过学习直线、射线、线段的表示方法，使学生建立初步的符号感。
2、通过对直线、射线、线段性质的研究，体会它所在解决实际问题中的作
用，并能用它们解释生活中的一些现象。
3、运用对比法、归纳法总结差异。
情感、态度、价值观
通过对直线、射线、线段的性质的探究，使学生初步认识到数学与现实生活
的密切联系，感受数学的严谨性以及数学结论的确性。
教学重难点
重点：线段、射线与直线的概念及表示方法，两点确定一条直线的性质。
难点：直线性质的发现，理解及应用及不同几何语言的相互转化。
教学过程：
一、复习引入：
（1）点、线、面、体是构成几何图形的元素。从运动的观点来看，可以说
是点动成线，线动成面，面动成体。因此对几何图形的学习我们也可以按点、线、
面、体的顺序展开。
（2）点是用来表示物体的位置的。点无大小之分。如何表一个点呢？
图形语言 文字语言
二、探究新知：
（1）在以前的学习中我们学过哪些线？
直线、射线、线段
（2）生活中有哪些关于直线、射线、线段的形象，试举例说明？
（3）请分别画出一条直线、射线、线段？学生画图，教师在黑板上示范，
给出规范的表示方法.
（教师关注：学生是否注意到用两个大写字母表示射线时，端点的字母写在
前面）
（4）如何表示一条直线、射线、线段？
图形语言 文字语言
（教师关注：学生是否注意到直线、射线、线段都有两种表示方法.）
三、讨论交流：
（1）你能结合自已所画图形寻找出直线、射线、线段的特征吗？你能发现
它们之间的区别与联系吗？
直线、射线、线段的联系与区别:
端点个数 延伸方向
直线 无 向两方无限延伸
射线 一个 向一方无限延伸
线段 两个 不向任何一方延伸
（2）已知线段 AB，你能由线段 AB 得到直线 AB 和射线 AB 吗？
（3）从一条直线上如何得到射线和线段？
归纳：线段和射线都是直线的一部分
4、动手做一做：
（1）过一点可画出多少条直线？
让学生动手画，结合图形描述点和直线的位置关系
（2）过两点可画出多少条直线？
（3）在墙上过定一个板条，你认为至少要几颗钉子？
引导学生得出直线的性质定理：
过两点有且只有一条直线。（两点确定一条直线）
（4）在日常生活和生产中常常用到这个基本事实。如建筑工人在砌墙时，
经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉直一条直的参照线。你能举出类
似的例子吗？
引申：过三点可以画出几条直线？
引导学生按三个点的相互位置分类讨论。
5、课堂练习：
按下列语句分别画也相应的图：
（1）直线 EF 经过点 C；
（2）点 A 在直线 m 外；
（3）经过点 O 的三条线段 a、b、c；
（4）线段 AB、CD 相交于点 B.
6、小结：
这节课我们学习了哪些知识？（结合具体的图形，突出图形语言和文字语言
的转化）
思考：1.一条直线上有三个点，它们能组成多少条线段？四个点呢？试想有
n 个点，则能组成多少条线段？
2.一条直线把平面分成 2 部分，2 条直线最多把平面分成 4 部分，那么 3
条直线把平面最多分成几个部分？4 条呢？n 条呢？
7、作业设计
课本 129 页习题 4.2 第 2、3、4 题。
A B
A
A
B
B
4.2 直线、射线、线段（二）
教学目标
知识与技能
1．会画一条线段等于已知线段.
2．结合图形认识线段间的数量关系，学会比较线段的大小.
3．利用丰富的活动情景，让学生体验到两点之间线段最短的性质，并能初
步应用.
4．知道两点之间的距离和线段中点的含义.
过程与方法
通过学习线段大小比较，学习线段中点、三等分点、四等分点等定义，使学
生建立初步的符号感.
通过对两点之间线段最短的性质的研究，体会它们在解决实际问题中的作
用，并能用它们解释生活中的一些现象.
情感态度价值观
培养学生合作交流的意识和探索精神，感受数学的严谨性以用数学结论的确
定性.
教学重点：线段大小的比较，线段的性质
教学难点：线段中点、三等分点、四等分点的表示方法及应用.
教学过程：
一、引入
二、画一条线段等于已知线段
如何画一条线段等于已知线段？
教师对学生的回答进行归纳总结.指出画一条线段等于已知线段有两种方
法：
（1）如图，作射线 AC，在射线 AC 上截取 AB=a.（教师边说边示范尺规作图）
a
A B C
（2）先量出线段 a 的长度，再画一条等于这个长度的线段.
三、比较线段的大小
（1）怎样比较两位同字的身高？
学生分组活动，讨论、实践、交流.教师参与活动，倾听学生的交流，指
导学生完成任务，从而共同总结出两种方法：度量法、叠合法.
（2）怎样比较两条线段的大小？
学生独立思考和讨论的基础上，请学生把自已的方法进行演示、说明。
教师对学生的回答进行规纳总结.指出比较两条线段的大小有两种方法.
①度量法：用刻度尺分别测量出它们的长度来比较；
②叠合法：把其中一条线段移到另一条线段上作比较.在此基础上教师给
出线段大小的数量表示方法.
（3）完成教科书第 123 页练习.
学生独立完成，教师加以指导.
四、等分线段
1.让学生将一条绳子对折，使绳子的端点重合，你能说说你的感受吗？
学生分组活动、讨论、交流，教师深入小组参与活动，倾听学生交流.
2.线段中点的表示方法.
M
A
B
（1）结合图形，引导学生理解给出线段中点的三种表示方法（由形到数）
AM=BM； AM=BM= AB2
1 ； AB=2AM=2BM．
（2）结合图形若给出相应数量关系也可得到的中点.（由数到形）
3.什么是线段的三等分点？四等分点？
教师边画图，边给出表示方法.
线段的中点只有一个，三等分点有两个，四等分点有三个...
五、两点的距离
问题:（1）教科书第 130 页思考中的问题.
教师引导小组交流后得出结论“两点的所有连线中，线段最短”简单说成：
“两点之间，线段最短”.
（2）你能举出这条性质在生活中的一些应用吗？
（3）什么是两点的距离？
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.
注意：两点的距离不是线段，而是线段的长度.
六、课堂小结
学完这节课你有哪些收获？
学生自已总结，不全面的由其它学生补充完整
七、作业设计
课本 129-130 页习题 4.2 第 5、7、8、9、10 题．
4.2 直线、射线、线段 （三）练习课
教学目标：
1.复习巩固直线、射线、线段的概念.
2.加强图形语言和文字语言的相互转化.
3.会运用线段中点的知识解决有关的实际问题
教学重点：
线段、射线与直线的概念，两点确定一条直线的性质；
线段大小的比较，线段的性质。
教学难点：理解及应用及不同几何语言的相互转化。
教学过程：
活动 1.如图：已知点 A、B、C、D，根据下列语句画图
（1）画直线 AB，AD
（2）画射线 AC，CB
（3）连结 CD，BD
活动 2 如图 1-1，A，B，C，D 为直线 l 上的四个点．
问：（1）图中以 C 为端点的射线有几条？把它们分别表示出来；
（2）图中共有几条射线？能够用所给出的字母表示的有几条？把它们分别
表示出来.
（3）图中共有几条线段？把它们分别表示出来.
活动 3 画图说明以下问题:
(1)过三点可以画一条直线吗?
(2)有 A、B、C 三点,过其中每两个点画直线,可以画几条直线?
(3)三条直线两两相交,一共有几个交点?
活动 4.按下列语句画出图形:
(1)直线 EF 经过点 D,点 C 在不在直线 EF 上;
(2)线段 AB、CD 相交于点 B.
(3)P 是直线 a 外一点,过点 P 有一条线段 b 与直线 a 不相交.
(4) P 是直线 a 外一点,过点 P 有一条直线 b 与直线 a 不相交.
4.两条不同的直线,要么有一个公共点,要么没有公共点,不能有两个公共点.
这是为什么?画图说明.
活动 5 .如图，点 C 在线段 AB 上，M 是 AC 中点，N 是 CB 中点
(1)AC = 2cm，BC = 3cm，求 MN 的长？
(2)AM = 1cm，BC = 3cm，求 AB 的长？
(3)AB = 5cm，MC = 1cm，则 NB 的长？
探究：
（1）如图，点 C 为线段 AB 上任一点，M 是 AC 中点，N 是 CB 中点，且
cmAC BC a ，你能猜想 MN 的长度吗？写出你的结论，请说明理由，并用一
句简洁的话来描述你发现的结论.
（2）若C 在线段 AB 的延长线上，且满足 cmAC BC b ，M 是 AC 中
点，N 是 CB 中点，你能猜想 MN 的长度吗？写出你的结论，并说明理由.
参考练习：
一、填空：
1.一条直线有 个端点，一条射线有 个端点，一条线段有
个端点.
2.如图 A、B、C 分别是直线上的三点，要有两个大写字母表
示这条直线，可以分别表示为
3.如图，E、F是线段BD上两点，图中共有 条
线段，它们分别是
4.如图,点 A 在直线 m 上,也可以说直线 m 经过点 A.点 B、C 在直线外,也可以
说________________.
二、选择题：
1.下列结论中正确的是（ ）
A.经过两点只能画一条线 B.射线比直线短
C.线段有两个端点 D.射线的端点不包括在射线内
2.下列结论中不正确的是（ ）
A.直线 AB 和直线 BA 表示同一条直线
B.射线 AB 和射线 BA 表示同一条射线
C.线段 AB 和线段 BA 表示同一条线段
D.直线可以表示为直线 a
3.如图，PQ 为直线，MN 为线段，OH 为射线，则图中两线段相交的是（ ）
4.如图，直线 AC 和 BD 相交于点 O，下面语句正确的是（ ）
A.射线 OA 与射线 OC 是同一条射线
B.射线 OA 与射线 OB 是同一条射线
C.射线 BO 与射线 BD 是同一条射线
D.射线 BD 与射线 OD 是同一条射线 1．
A
B
C
m ·
·
5．如图，下列结论中不正确的是（ ）
B
A
O
A．直线 AB 与直线 BA 是同一条直线 B．射线 OA 与射线 OB 是同一条
射线
C．射线 OA 与射线 AB 是同一条射线 D．线段 AB 与线段 BA 是同一条
线段
三、计算题：
1.已知线段 AB，延长 AB 到 C，使 AB = 3BC，D 是 AC 中点，DC = 2cm，求 AB
的长
2.把线段 AB 延长到 C，使 BC = 2AB，再延长 BA 到 D，使 AD = 3AB，求 DC
与 AB 的关系，DC 与 BC，BD 与 AB，BD 与 BC 的关系.
3.有一个底面半径为 5cm 的圆柱形储油器,油中浸有铁球,若从中捞出质量为
546πg 的铁球,问液面下降多少?(1 3cm 的铁的质量为 7.8g)
(1)数轴上 A,B 两点所表示的数分别是－5，1，那么线段 AB 的长是 个
单位长度，线段 AB 的中点所表示的数是
(2)已知线段 AC 和 BC 在一条直线上，如果 AC =5.6 cm,BC=2.4 cm,求线段 AC
和 BC 的中点之间的距离．
4.3.1 角（一）
教学目标
1.角的定义和相关概念，用运动的观点理解角、直角、平角、周角，掌握角
的表示方法；
2.能进行度与度分秒之间的转化，能够作一个角等于已知角．
3.使学生在学习知识的过程中体会研究几何图形的方法和步骤．
教学重点：角的概念及表示方法.
教学难点：角的准确度量及度、分、秒的换算.
教学过程
（一）情景导入
1.、观赏画面（找挂图）和实物，请在画面中的共同点――――角.
（二）探求新知：
1、请举出生活中角的实例.
2、归纳、总结角的概念：角由两条具有公共端点的
射线组成，两条射线的公共端点叫这个角的顶点，这两条
射线叫做角的边.
提醒：平时画角时，只能将边画成两条线段，即用角
的一部分来研究角．
3、小学曾接触到角，我们已经有了初步的认识，那么角是如何来表示的？
角的大小用什么表示呢？用什么工具去度量呢？它的单位是什么呢？
4、结合图形讲解角的表示方法（四种方法）
O
B
A
1
O
B
A
a
O
B
A
（1）用三个大写字母：表示角的顶点的字母写在中间∠AOB；
（2）用数字：∠1，∠2；
（3）用希腊字母：∠α，∠β；
（4）用一个大写字母：表示角的顶点的字母∠O．
5. 钟表上的时针与分针是如何构成角的？从中你能得到什么启发？
学生活动设计：观测钟表，发现角是由线旋转而成的，从而可以从运动的观
点定义角．
角的第二定义：
角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.
O
B
A
说明角的始边、终边、角的内部、角的外部、直角、平角、周角等概念，进
而得到两种特殊的角：平角和周角．
平角：当射线 OB 绕 O 点旋转，当终止位置 OA 与起始位置 OB 在一条直线
上时，形成平角；
周角：当射线 OB 绕 O 点旋转，当终止位置 OA 与起始位置 OB 重合时，形
成周角．
终边
始边
O
B
A
O
B
（A）
平角 周角
6、角的度量
（1）我们常用量角器度量一个角的度数，度、分、秒是常用的角的度量单
位，把一个周角分成 360 份，一份就是 1°，把 1°分成 60 份，一份就是 1′，
把 1′分成 60 份，一份就是 1″，以度分秒为单位的角的度量制就是角度制，从
角度制不难发现，角的度数在进行运算时，是 60 进制的．
（2）填空：
1 周角= 0 1 平角= 0
10= ′ 1′= ″
（三）实践与应用
例 1 如右图：在∠AOB 的内部有两条射线 OC，OD，
请问图中有几个角？（小于平角的角）
例 2 如图：用另一种方法来表示角：
（1）∠а表示为 （2）∠FCG 表示
为
（3）∠r 表示为 （4）∠1 表示为
（5）∠BDE 表示为
例 3 （1）把 3.620 化为度、分、秒.（2）把 50023′45″化成度.
例 4 一天 24 小时中，时钟的时针和分针共组成多少次平角？多少次周角？
（四）小结与收获
1.角的两种定义、
2.四种表示方法；
3.度分秒的转化、角度制
（五）作业设计
课本第 139 页习题 4.3 第 7 题。
4.3.1 角（二）
教学目标
知识技能：
（1）会正确使用量角器测量一个角的度数.
（2）会用一副三角板，画出 150、300、450、600、750、900、1050、1200、……
等特殊角.
（3）会用量角器画一个角等于已知角.
（4）掌握角的和、差、倍、分的计算.
过程与方法：
（1）通过实际操作，培养学生的动手和计算能力.
（2）讨论、研究、探索、归纳法
情感、态度、价值观：
培养学生的求知欲和学习数学的积极性.
教学重难点
重点：画一个角等于已知角和角的计算.
难点：角的和、差、倍、分的计算
教学过程
（一）师生共同探求，解决如下问题
1、量角器的使用方法.（测量一个已知的度数；画出个已知其度数的角）
2、用一副三角板画特殊角.
3、画一个角等于已知角.
4、如问进行角度的有关运算.
（二）例题讲解
例 1 计算
（1）1800 -（78036′- 25027′）
（2）18015′×6
（3）13010′÷4
例 2
（1）若时针由 2 点 30 分起到 2 点 55 分，问时针、分针各转过多少度数？
（2）钟表上 2 时 15 分，时针与分针所成角小于 900 的角的度数是多少？
例 3 已知∠M，如图，画∠AOB，使∠AOB 的度数等于∠M 的度数.
例 4 如图∠1：∠2：∠3=1：2：3，∠4=600，试
求∠1、∠2、∠3 的度数.
（三）课堂活动，强化训练
填空题：
1、计算并填空：
（1）23045′+ 24026′=
（2）55012′- 16037′=
（3）5024′× 3=
（4）25030′÷3=
2、已知∠а=27055′45″，那么 3∠а= .
1/3∠а= .
3、由 2 点整到 3 点 30 分，时钟的时针转了 度.
选择题：
1、如果∠а=2∠β，∠r=2∠а，则正确的是（ ）
A、∠β=∠r B、∠β=1/4∠r
C、∠β=4∠r D、∠r=1/4∠β
2、若∠1=75024′，∠2=75.30，∠3=75012′，则（ ）
A、∠1=∠2 B、∠2=∠3
C、∠1=∠3 D、以上都不对
3、8 点 30 分，这一时刻，时针与分针的度数是（ ）
A、700 B、750 C、800 D、250
解答题：
1、在 1 点和 2 点之间,时钟的时针与分针在什么时刻成 900 角
2、用一副三角板画图，画一个角使这个角等于 1350
3.三个角的和为 140 度，第二个角为第一个角的 3 倍，第一个角比第一，第
二个角的和还大 20 度，求这三个角的度数.
（四）拓展应用
任意画一个三角形，用量角器量出三个角的大小，并求出这三个角的和；
多画几个试试，看看它的结果怎样？你有什么猜想？
（五）小结：
师生共同归纳本节课所学的内容
角的和、差、倍、分的计算方法
（六）作业设计
1.课本第 139 页习题 4.3 第 1、2、3 题。
4.3.2 角的比较和运算（一）
教学目标
知识与技能
会用两种方法比较两角的大小，知道两角的和、差的意义，了解角平分线的
意义，并能用肯定语言表示.
过程与方法
观察、操作、合作交际，画图、比较、归纳
情感、态度、价值观
能通过角的比较等体验数、符号和图形是描述现实世界的重要手段
教学重难点
重点：角的大小的比较方法
难点：角的平分线的表示方法及其应用
教学过程：
一、情景导入
我们前面已经学习了怎样比较两条线段的长短，那么，我们怎样比较两个角
的大小呢？
二、探求新知：
1.与线段的比较类似，我们也有两种方法来比较角的大小，一种方法为度量
法：可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小，另一种方法为叠合法：
即把他们叠合在一起比较大小.
（1）叠合法比较两角大小时，顶点必须重合，一边必须重合，另一边落在
其余一边的同旁.
教师通过活动演示三种情况：
∠DEF=∠ABC，∠DEF＜∠ABC，∠DEF＞∠ABC，如图所示．
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
演示：移动∠DEF，使其顶点 E 与∠ABC 的顶点 B 重合，一边 ED 和 BA 重合，
出现以下三种情况，如图所示：
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
∠DEF=∠ABC ∠DEF＜∠ABC ∠DEF＞∠ABC
学生活动
观察教师演示后，同桌也可以利用两副三角板演示以上过程，帮助理解比较
两角的大小，回答教师提出的问题．
①EF 与 BC 重合，∠DEF 等于∠ABC，记作∠DEF=∠ABC．
②EF 落在∠ABC 的内部，∠DEF 小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC．
③EF 落在∠ABC 的外部，∠DEF 大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC．
强调角的大小只与开口大小有关，与边的长短无关，以及角的符号与小于号、
大于号书写时的区别．
(2)测量法(测量前教师可提问使用量角器应注意的问题．即三点：对中；重
合；读数)
角大度数大，角小度数小．
学生活动：请同学们同桌分别画两个角，然后交换用量角器测量其度数，比
较它们的大小．
2.如图所示：
同学们能在上图中找到几个角？它们这间有何关系呢？
我们可以容易看出，
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC，
而∠AOB 是∠AOC 与∠BOC 的差，记作∠AOB=∠AOC-∠BOC，
类似我们还有：∠AOC-∠AOB=∠BOC
3. 如图所示，
如果∠AOB=∠BOC，则∠AOC= ∠AOB +∠BOC=2∠AOB =2∠BOC，
即∠AOB=∠BOC= 1
2
∠AOC
如这种从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两角的射线，叫做这个角
的平分线，类似地还有角的三等分线等.
2
1
C
O
B
A
通过对角平分线的理解，可以得到如下数量关系：
若 OC 平分∠AOB，则（1）∠1＝∠2；
（2）∠1＝∠2＝
2
1 ∠AOB；
（3）∠AOB＝2∠1＝2∠2．
反之结合上图如果角之间满足上面的数量关系也可说明 OC 是∠AOB 的平分
线.
4. 如何作一个角的平分线？你能想到什么方法？
方法 1 度量法；
方法 2 折纸法――对折角始角的两边重合，折痕就是角平分线．
三、例题讲解
例 1 如图：∠AOB 是哪两个角的和？∠DOC 是哪两个角的和？若∠AOB=∠
COD，则还有哪两个角相等？
例 2 如图： AOB 是一条直线，∠AOC=900，∠DOE=900，
写出∠AOD、∠COD、∠AOC、∠AOB、∠BOD 中某些角
之间的两个等量关系.
例 3 已知：一条射线 OA，若从点 O 再引两条射线 OB、OC，使∠AOB=600，
∠BOC=200，
求∠AOC 的度数？
例 4 如图：已知 O 为直线 AB 上一点，∠AOC 的平分线 OM，∠BOC 的平分
线为 ON，求∠MON 的度数？
例 5 如图所示，OM 为∠AOB 的平分线，射线 OC 在∠BOM 内，ON 为∠BOC
的平分线，
已知∠AOC=800，求∠MON？
四、小结：
这节课你学到了什么？
师生共同归纳本节课所学的内容．
通过学习，我们知道了角的比较方法有两种：度量法和叠合法，并且通
过自己的动手实验，学会了用三角尺画出一些特殊的角和用折纸方法折出一
个角的平分线，同时明白了一个道理：到想真正掌握知识，就必须在学习过
程中注意观察，勤于操作，积极思考，主动交流，善于总结．
五、作业设计
1.课本第 139 页习题 4.3 第 2、3、4、5、6 题。
2.第 140-141 页习题 4.3 第 10、11、15 题。
4.3.3 角的比较和运算（二）
—— 余角和补角
教学目标
1.了解余角和补角的定义和性质，并能熟练应用
2.掌握图形语言和文字语言的转化,
3.通过联系实际，让学生在数学活动中发展合作交流的意识，培养数形结合
的思想
教学重点：互余、互补等概念和性质
教学难点：理解互余、互补等概念并熟练应用
教学过程：
一、情景导入
1.用量角器量出图中的两个角的度数，并求出这两个角的和.
2.说出一副三角尺中各个角的度数.
一幅三角板中，每一块都有一个角是 900，且另外两角为 300、600 和 450，
450 那么它们两者之间作何关系呢？
二、探求新知
1.我们可以看出，在一幅三角板中，除了一个 900，我们都有 300+600=900，
而 450+450=900。
因此我们规定如果两个有的和等于 900（直角），我们就说这两个角互为余角，
即其中一个角是另一个角的余角.
如:300、600 是互为余角(简称互余),300 是 600 的余角,600 也是 300 的余角。
类似地如果两个角的和等于 1800（平角），就说这两个角互为补角（简称互
补），其中的一个角是另一个角的补角.
2.互为补角和互为余角的角主要反映角的数量关系,而不是角的位置关系.
3. 一个角是 35039’，求它的余角和补角？
（独立完成，个别回答，学生点评）
4． 如图：∠1 与∠2 互补，∠3 与∠4 互补，如果∠2=∠3，则∠1 与∠4
相等吗？为什么？
由上例我们可以得出结论： 等角(或同角)的补角相等
类似地，我们还有 等角(或同角)的余角相等
三、实践与应用
例 1 如图：OC 是 AOB 的平分线， DOE 是直角，，
图中互余的角有几对，互补的角有几对？把它们写出来.
例 2 已知一个角的余角比这个角的补角的一半还小 120，求这个角余角和补
角的度数？
(可运用方程知识求解)
例 3 填表后思考，并回答问题：
∠α ∠α的余角 ∠α的补角 ∠α的补角-∠α的余
角
300
60049’
1220
如果 00＜α＜900，那么∠α的余角与补角之间有何关系？
练习：
1.已知一个角的补角是这个角的余角的 3 倍，求这个角。
2.课本第 141 页练习
四、小结
这节课，使我感受最深的是……
这节课，我感到最困难的是……
这节课，我学会了……
这节课，我发现生活中……
这节课，我想我将……
学生自己总结，可在班上或同桌之间交流．
五、作业设计
课本第 144 页习题 4.3 第 7、8 题，第 13 题。
参考练习
1.互补的两个角可以都是 （ ）
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.平角
2.如图，OC 是平角∠AOB 的平分线，OD、OE 分别是∠AOC 和∠BOC 的
平分线，图中和∠COD 互余的角有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.0
D C E
A O B
3.如图，∠AOC=∠BOD=900，∠AOB=620，求∠COD 的度数.
D C B
O A
4.3.3 角的比较和运算（三）
—— 方位角
教学目标：
知识与能力
能正确运用角度表示方向，并能熟练运算和角有关的问题
过程与方法
能通过实际操作，体会方位角在是实际生活中的应用，培养学生的抽象思维.
情感、态度、价值观
能积极参与数学学习活动，培养学生对数学的好奇心和求知欲
教学重难点：
重点：方位角的表示方法
难点：方位角的准确表示
教学过程
一、情景导入
1.海上，缉私艇发现离它 500 海里处停着一艘可疑船只（如图），立即赶往
检查．现请你确定缉私艇的航线，画出示意图．并用语言描述出来.
A·可疑船
B·缉私艇
2.实际生活中，在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到上 述类
似问题，即如何描述一个物体的方位。有一种角经常用于航空、航海，测绘中领
航员常用地图和罗盘进行这种角的测定，这就是方位角，方位角应用比较广泛，
什么是方位角呢？
二、学习新知
方位角其实就是表示方向的角，这种角以正北，正南方向为基准描述物体的
方向，如“北偏东 300”，“南偏西 400”等，方位角不能以正东，正西为基准，
如不能说成“东偏北 600，西偏南 500”等，但有时如北偏东 450 时，我们可以说
成东北方向.
三、实践与应用
例 1 如图：指出图中射线 OA、OB 所表示的方
向.
例 2 若灯塔位于船的北偏东 300，那么船在灯
塔的什么方位？
（要让学生画出相应图形，结合图形来回答）
（换成其它的方位角再回答然后找到规律）
A
B
例 3 如图，货轮 O 在航行过程中发现灯塔 A 在
它的南偏东 600 的方向上，同时在它北偏东 600，南
偏西 100，西北方向上又分别发现了客轮 B，货轮 C
和海岛 D，仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮
B、货轮 C、海岛 D 方向的射线
四、小结
引导学生讨论本节课所学知识以及需要注意的问题
五、作业设计
课本第 144 页习题 4.3 第 9 题，第 12 题。
五、参考练习：
1.请使用量角器、刻度尺画出下列点的位置.
（1）点 A 在点 O 的北偏东 300 的方向上，离点
O 的距离为 3cm.
（2）点 B 在点 O 的南偏西 600 的方向上，离点
O 的距离为 4cm.
（3）点 C 在点 O 的西北方向上，同时在点 B 的
正北方向上.
2. 如图，若已知∠1+∠2=900，∠2+∠3=900，
问∠1 和∠3 是什么关系？为什么？若∠2 和∠4 相
等，则∠1 和∠4 要满足什么关系？为什么？
3.如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOB=∠FOD=900，OB 平分∠COD,图中与∠
DOE 互余的角有哪些？与∠DOE 互补的角有哪些？
教学后记：
A
12
3
4
BC
C
A B
D
EF
O
第四章《图形初步认识》复习（一）
教学目标
知识与技能
1．使学生理解本章的知识结构，并通过本章的知识结构掌握本章全部知识；
2．对线段、射线、直线、角的概念及它们之间的关系有进一步的认识；
过程与方法
经历相关内容的归纳、总结，巩固对图形的直观认识，了解图形的分割和组
合，探索学习空间与图形的方法
情感、态度、价值观
在探索知识之间的相互联系及应用的过程中，体验推理的意义,获取学
习的经验
教学重难点
重点是理解本章的知识结构，掌握本章的全部定理和公理；
难点是理解本章的数学思想方法．
教学过程
一、引导学生画出本章的知识结构框图
二、具体知识点梳理
（一）多姿多彩的图形
立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
1、几何图形
平面图形：三角形、四边形、圆等.
主（正）视图---------从正面看
2、几何体的三视图 侧（左、右）视图-----从左（右）边看
俯视图---------------从上面看
（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.
（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
3、立体图形的平面展开图
（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的.
（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作
立体模型.
4、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.
面：包围着体的是面，分为平面和曲面.
体：几何体也简称体.
（2）点动成线，线动成面，面动成体.
（二）直线、射线、线段
1、基本概念
直线 射线 线段
图形
端 点
个数
无 一个 两个
表 示
法
直线 a
直线 AB
（BA）
射线 AB
线段 a
线段 AB（BA）
作 法
叙述
作 直 线
AB；
作直线a
作射线 AB
作线段 a
作线段 AB
连接 AB
延 长
叙述
不 能 延
长
反向延长射
线 AB
延 长 线 段
AB；
反向延长线
段 BA
2、直线的性质
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
简单地：两点确定一条直线.
3、画一条线段等于已知线段
（1）度量法 （2）用尺规作图法
4、线段的大小比较方法
（1）度量法 （2）叠合法
5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等
定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点.
图形：
A M B
符号：若点 M 是线段 AB 的中点，则 AM=BM= 1
2 AB，AB=2AM=2BM.
6、线段的性质
两点的所有连线中，线段最短.简称：两点之间，线段最短.
7、两点的距离
连接两点的线段长度叫做两点的距离.
8、点与直线的位置关系
（1）点在直线上 （2）点在直线外.
（三）角
1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.
2、角的表示法（四种）：
3、角的度量单位及换算
4、角的分类
5、角的比较方法
（1）度量法 （2）叠合法
6、角的和、差、倍、分及其近似值
7、画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出 15°的倍数的角，在 0～180°之间共能画出 11 个
角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
8、角的平线线
定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平
分线.
图形： 符号：
9、互余、互补
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1 与∠2 互为余角.其中∠1 是∠2 的余角，∠2
是∠1 的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1 与∠2 互为补角.其中∠1 是∠2 的补角，∠2
是∠1 的补角.
（3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等.
10、方向角
（1）正方向
（2）北（南）偏东（西）方向
（3）东（西）北（南）方向
四、练习
1、下列说法中正确的是（ ）
A、延长射线 OP B、延长直线 CD C、延长线段 CD D、反向延长直
线 CD
2、下面是我们制作的正方体的展开图，每个平面内都标注了字母，请
根据要求回答问题：
（1）和A面所对的会是哪一面？
（2）和B面所对的会是哪一面？
（3）面E会和哪些面相交？
3、 两条直线相交有几个交点？
三条直线两两相交有几个交点？
四条直线两两相交有几个交点？
思考:n条直线两两相交有几个交点？
4、 已知平面内有四个点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，最少可
画多少条直线，
最多可画多少条直线？画出图来．
5、已知点C是线段AB的中点，点D是线
段BC的中点，CD=2．5厘米，请你求出线段
AB、AC、AD、BD的长各为多少？
6、已知线段AB=4厘米，延长AB到C，使B C=2AB，取AC的中点P，求PB
的长．
五、作业设计
课本第147-148页复习题4第1~6题
第四章《图形初步认识》复习（二）
教学目标
知识与技能
应用本章知识解决一些实际问题
过程与方法
通过实验、操作，提高对图形的认识能力，探索学习空间与图形的方法
情感、态度、价值观
在解决一些实际问题的过程中，体验推理的意义,获取学习的经验。
教学重难点
重点是理解本章的知识结构，掌握本章的全部定理和公理；
难点是理解本章的数学思想方法．
教学过程
一、例题讲解
例 1 如图 1-1，正方体盒子中，一只蚂蚁从 B 点沿正方体的表面爬到 D1 点，
画出蚂蚁爬行的最短线路
.
图 1
图 2
图 3
分析：正方体是空间图形，解决空间图形的问题，经常是将空间图形转
化为平面图形，这正是转化思想的体现.
解：将正方体展开成平面图形，如图 1-2 所示，因为两点之间线段最短，所
以，在图 1-2 中，BD1 就是所要求的最短线路.
例 2 一个角的补角是它的 3 倍，这个角是多少？
分析：设这个角的度数为 x，则它的补角为 180－x，根据题意，可列出一元
一次方程来求解.
解：设这个角的度数为 x，则有 180－x＝3x.解这个方程，得 x＝45°.所以这
个角是 45°.
例 3 如图 2，点 O 是直线 A 上的一点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB
的平分线，
求∠DOE 的度数.
分析：在解决线段的中点和角的平分线问题时，某个
环节整体处理，能化难为易，轻松求解.
分别求出∠DOC、∠EOC 的度数，再相加得到∠DOE
的度数，是不可能的，可将∠DOE 作为一个整体来考虑.
解：因为 OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线，
所以∠COD＝
2
1 ∠COA，∠COE＝
2
1 ∠COB，
而∠COA＋∠COB＝180°，
所以∠DOE＝
2
1 （∠COA＋∠COB）＝
2
1 ×180°＝90°.
例 4 如图 3-173 所示，回答下列问题。
图 3-173
（1）图中有几条直线？用字母表示出来；
（2）图中有几条射线？用字母表示出来；
（3）图中有几条线段？用字母表示出来。
解：（1）图中有 1 条直线，表示为直线 AD（或直线 AB，AC，BD，BC，CD）；
（2）共有 8 条射线，能用字母表示的有射线 AB，AC，AD，BC，BD，CD，
不能用字母表示的有 2 条，
二、课堂练习
１. 已知平面内有四个点 A、B、C、D，过其中任意两点画直线，最少可画
多少条直线，最多可画多少条直线？画出图来并说明理由．
２．已知点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 BC 的中点，CD=2．5 厘米，
请你求出线段 AB、AC、AD、BD 的长各为多少？
3．已知线段 AB=4 厘米，延长 AB 到 C，使 B C=2AB，取 AC 的中点 P，求 PB
的长．
4．计算下列各题:
（1）23°30′＝____°;13．6°＝____°____′；
（2）52°45′－32°46′＝____°____′；
（3）18．3°+26°34′＝____°____′．
5．由图形填空 :
∠AOC＝______+______ ；
∠AOC－∠AOB ＝_________ ；
∠COD＝ ∠AOD－_______ ；
∠BOC＝ _____－ ∠COD ；
∠AOB+∠COD＝_____－______．
第 5 题 第 6 题
6．如图，A、B、C 在一直线上，已知 １＝53°, 2＝37°．CD 与 CE 垂
直吗？
三、课堂小结
根据复习练习情况小结
四、作业设计
课本第148-149页复习题4第7~12题
