人教版七年级数学上册各章知识点总结及对应章节经典练习+全册教案
人教版七年级数学上册
各章知识点总结及对应章节经典练习+全册教案
七年级上册各章知识点
第一章《有理数》
一、正数与负数
1．正数与负数表示具有相反意义的量。问：收入+10 元与支出-10 元意义相反吗？
2．有理数的概念与分类
①整数和分数统称有理数，能写成两个整数之比的数就是有理数 。判断：有理数可分为正有理数和负
有理数（ ）
②零既不是正数，也不是负数。判断：0是最小的正整数（ ），正整数负整数统称整数（ ），正分数负
分数统称分数（ ）
③有限小数和无限循环小数因都能化成分数，故都是有理数。判断：0 是最小的有理数（ ）
④无限不循环小数因为不能化成两个整数之比，固称为无理数，如π，π/2 等。判断：整数和小数统
称有理数（ ）
二、数轴
1．数轴三要素：原点、正方向、单位长度 （另：数轴是一条有向直线）
2．作用：1）描点：数形结合；2）比较大小：沿着数轴正方向数在逐渐变大；3）直观反映互为相反数的
两个点的位置关系；4）绝对值的几何意义；5）有理数都在数轴上，但数轴上的数并非都是有理数。
3．数轴上点的移动规律：“正加负减”向数轴正方向（或负方向）则对应的数应加（或减）
4．数轴上以数 a和数 b 为端点的线段中点为 a 与 b 和的一半（如何用代数式表示？）
三、相反数
1． 定义：若 a+b=0，则 a 与 b 互为相反数 特例：因为 0+0=0，所以 0 的相反数是 0
2．性质：
①若 a与 b 互为相反数，则 a+b=
②-a不一定表示负数，但一定表示 a 的相反数（仅仅相差一个负号）
③若 a与 b 互为相反数且都不为零，
a
b
④除 0 以外，互为相反数的两个数总是成双成对的分布在原点两侧且到原点的距离相等。
⑤互为相反数的两个数绝对值相等，平方也相等。即： a = a ， 22a a
四、绝对值
1．定义：在数轴上表示数 a点到原点的距离，称为 a 的绝对值。记作 a
2．法则：1）正数的绝对值等于它本身；2）0的绝对值是 0；3）负数的绝对值是它的相反数。
即
0
0
0
a a
a a
a a
0
0
0
a a
a
a a
0
0
a a
a
a a
3.一个数的绝对值越小,说明这个数越接近 0（离原点越近）。绝对值最小的有理数是 0
4.若 0a ，则
a a
a a
，若 0a ，则
a a
a a
5.数轴上数 a与数b 之间的距离 d 满足： d
6.非负数的性质：
2 2 0a b c d ，则 a b c d
五、倒数
1．定义：若 ab=1，则 a 与 b 互为倒数。注意：因为 0乘以任何数都为 0，所以 0 没有倒数。
2．若 a 与 b互为倒数，则 ab=1。
3．因两数相乘同号才能得正，故互为倒数的两数必定同号。所以负数的倒数肯定还是负数。
4．求带分数的倒数要先将其化为假分数，再颠倒分子分母位置（有负号的勿忘负号！）
5．注意：只有当指明 0a 时，
1
a
才能表示a的倒数！
六、有理数的运算
加
0
0 0
,
与 相加：等于没加
同号相加：取相同的符号，绝对值相加
两数相加
无 参与 互为相反数和为
异号相加
取绝对值较大数的符号绝对值大减小
互为相反数优先结合相加
多数相加 分母相同的分数优先结合相加
同号的数优先结合相加
减：减去一个数等于加上这个数的相反数！切一刀就搞定
加减混合运算要求对 , , ,a a a a 型符号化简相当纯熟，你行吗？
乘
与0相乘：马上得0
两数相乘 同号得正
无0参与 绝对值相乘
异号得负
只要有0：马上得0
多数相乘
无0参与：先定符号，奇负偶正；再将绝对值直接相乘作为最终结果的绝对值
除：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数！（两数相除也满足同号得正，异号得负的法则）
乘方
4 3
2 3 32 3
10 10
1
1
1
1 , 1 , 1 , 1 , 1
n
n
n a a
n
n
定义： 个 相乘记做 ，作用：
为偶数
性质：
为奇数
区分：
混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；对于同级运算，一般按从左到右的顺序进行；如果有括号的，
先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
七、有理数的大小比较
1)宏观比较法：正数>0>负数
2)数轴法:在数轴上右边的数总比左边的大.（沿着数轴正方向数在逐渐变大）
3)绝对值法:正数绝对值越大，数就越大；负数绝对值越大；数越小。
4)作差法:与 0作比较.若 a>b,则 a-b>0;若 a=b,则 a-b=0;若 a
24，所以取 x=4.7 或 x=4.8．试一试，结果当
x=4.8 时，方程左边=24=右边，所以方程的解为 x=4.8．第二个方程
的解为 x=2000，困难更大了，可以告诉学生，当我们学习了方程的
解法后，就很容易求出 x的值了．
思考：x=1000 和 x=2000 中哪一个是方程 0.52x-（1-0.52）x=80
的解？
三、巩固练习
课本第 82页练习．
1．设沿跑道跑 x周，可以跑 3000m，根据相等关系──x周共长
3000m．
所以列方程：400x=3000，如果 x=7，则 400x=2800<3000，如果
x=8，则 400x=3200>3000，如果 x=7.5，则 400x=4007.5=3000，所
以沿跑道跑 7 周半，可以跑 3000m．
2．如果设买甲种铅笔 x 枝，那么买乙种铅笔（20-x）枝，买甲
种铅笔用去 0.3x 元，乙种铅笔用去 0.6（20-x）元，相等关系是：
两种铅笔共用了 9 元钱，由此可列方程．
0.3x+0.6（20-x）=9
3．设上底长为 xcm，那么下底长为（x+2）cm，
根据梯形面积公式，可列方程：
5[ ( 2)]
2
x x
=40
四、课堂小结
方程在小学里已初步学过，对于方程中的一些概念，如：方程的
解和解方程等，要进一步弄清楚，今天还学习了一元一次方程的定义，
“一元”是指方程中只有一个未知数，“一次”是指方程中未知数的
指数是一，这样的方程才是一元一次方程．
用估算求方程的解，实际上是检验一个数是否为方程的解，方法
是：把这个数分别代入方程的左、右两边，看是否相等，若方程只有
一边含有未知数，而另一边只有一个数，则只需代入只有未知数的一
边，计算出结果，看其是否和另一边相等．
列方程是本节课重点，掌握列方程解决实际问题方法步骤：
设未知数──用含未知数的式子表示问题中的数量关系．
找出相等关系──列出一元一次方程．
其中找相等关系是关键也是一个难点，这个相等关系要能够表示
应用题全部含义的相等关系，也就是题目中给出的条件应予充分利
用，不能把同一条件重复利用．
五、作业布置
1．课本第 84页至第 85 页习题 3．1 第 1、2、5、6、9题．
2．选用课时作业设计．
课后反思：————————————————————————
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3.2.1 一元一次方程的的讨论（一）
一、背景与意义分析
本节前一节 1.1 已介绍了一元一次方程的意义及等式性质，本节主要
解决如何一元一次方程解法的问题。
一元一次方程是最简单的方程，它的解法是解其它代数方程的基础。
本章从引出方程、一元一次方程的的概念，到讲解一元一次方程的解
法，都是从实际问题导入。在解决实际问题的过程中探讨概念、数量
关系、列方程的方法、解方程的步骤。使本章的学习始终贯彻数学建
模的思想。
本课主要学习“合并”，根据“问题 1”所得的方程，观察其特征，
利用分配律，分析得到“合并”法则，从而得到这类一元一次方程的
解法。
二、学习与导学目标
1．知识积累与疏导：通过“问题 1”，分析等量关系，得到一元一次
方程。认知率达 100%。
2．技能掌握与指导：通过分析一元一次方程特征，掌握“合并”法
则，从而学会该类一元一次方程。利用率 100%。
3．智能提高与训导：在与同学与老师的交流探究过程中，学会合作，
学会向别人清晰表过自己的思维过程。
4．情感修练与开导：积极创设问题情景，初步理解解一元一次方程
的基本思想。投入率 95%。
5．观念确认与引导：通过“解方程”这一数学方法的发现与实际过
程，感受到“问题情境----分析讨论----发现方法----解释应用”模
式，从而更好理解解方法的基本思想。认同率 95%。
三、障碍与生成关注
通过分析较复杂方程，找到化归为简单方程的过程难度较大，为此要
鼓励学生积极思考。
四、学程与导程活动
（一） 创设情景，引入新课
介绍数学阿尔·花拉子米及关于方程的著作《对消与还原》。引入问
题：
“对消与还原”是什么意思？
（二） 分析例题，揭示课题
问题 1 某校三年共购买计算机 140 台，去年购买数学是前年的
2倍，今年购买数学又是去年的 2 倍，前年这个学校购买了多少台计
算机？
基本思想：列方程------解方程
（1）列方程
设未知数：设前年购买计算机 x台。
分析：
第一步：问题中还有哪些量？如何表示？
去年购买计算机__________台；
今年购买计算机__________台。
第二步：问题中有什么样的等量关系？
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140 台
第三步：根据上面分析，列出方程
x+2x+4x=140……………….(1)
上面得到的方程如何解呢？
（三） 观察分析，化简方程
分析：
第一步：观察这个方程与前面所解的一元一次方程有什么不同？
这个方程比上节所学的方程相比，式子比较复杂。所以不能简单求解。
如果上面的方程能转化为比较简单的一元一次方程，那么方程（1）
就是可解的。
如何转化呢？
第二步：观察 x+2x+4x 特征，由分配律可化简
x+2x+4x=(1+2+4)x=7x
这个过程称为“合并”
这样原方程可化为：7x=140
这个方程是一个简单的一元一次方程，是可以解的，所以原方程就可
以解了。
第三步：总结解此类一元一次方程的步骤。
x+2x+4x=140
↓合并
7x=140
↓系数化为 1
x=20
（四） 解答例题，规范书写
例 解方程 3x+2x-8x=7
解：合并，得
-3x=7
两边同除以-3，得
x=-
7
3
（五） 练习巩固，总结讨论
（1）课本 P77 1,2
（2）小结： 简单的一元一次方程一元一次方程 合并 （3）作业
课后反思：_________________________________________________
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3.2.2 一元一次方程的讨论（二）
一背景与意义分析
本课时是人教版七年级上册第二章第二节从古老的代数书说起-----
一元一次方程的的讨论(1)的第二课时,通过本节课的教学,不仅要激
发学生学习数学的兴趣,而且要让学生体会到数学就来源于生活.从
中国古代灿烂的文化,激发学生的爱国热情.
在上一节课,已经重点讨论了解方程中的“合并”。通过本节课的教学，
学进一步解 ax+b=cx+d 型的方程的解法，进一步体会“解方程就是要
使方程不断向 x=a 的形式转化”的化归思想。引导学生联系解方程的
目标体会解法。
二学习与导学目标
知识技能： 1、找相等关系列一元一次方程
2、用移项解一元一次方程
数学思考： 1、学习分析问题找到相等关系并通过列方程解决问题
的方法
2、通过学习移动解一元一次方程，体会到式子变形的转化
作用。
解决问题： 体会解方程中的化归思想，会移项、合并解 ax+b=cx+d
型方程，进一步认识如何用方程解决实际问题。
情感态度： 通过学习“合并”和“移项”，体会古老的代数书中的
“对消” 和“还原”的思想，激发数学学习的热情。
三 障碍与生成关注
重点 1、找相等关系，列一元一次方程
2、用移项，合并等解一元一次方程
难点 找相等关系列方程，正确地移项解一元一次方程四学程与导程
活动
活动 1
复习：通过“合并”解方程
（1）-6x+5.6x=2
（2）
1
3
x-
1
4
x=
1
6
（3）6z-1.5z-2.5z=3
（从学生已有的知识出发，为进一步学习做好知识准备）
活动 2
问题 2 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分 3本，则剩余 20
本，如果每人分 4本，则还缺 25本，这个班有多少学生？
设这个班有 x 名学生 分析题意 找出等量关系，
列出方程：3x+20=4x-15
（通过问题 2，再现列方程解决实际问题的过程）
活动 3
（1）方程 3x+20=4x-25 的两边都有含 x 的项（3x 与 4x）和不含字母
的常数项（20与-25），怎样才能使它向 x=a（常数）的形式转化呢？
同时解释“含 x 的项”和“常数项”
（前后两桌为一组，讨论交流，如何变为 x=a 的形式）
（通过问题 2 提供的方程，学习移项法解方程，体会知识的发展过程）
（2）为了使方程的右边没有含 x的项，等号两边同减 4x为了使左边
没有常数项，等号两边同减 20，整个过程利用了等式的性质 1，通过
观察结果强调“变号”这个特点，从而理解移项的概念。
（3）移项的概念：像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，
叫做移项
（4）用下面的框图表示解这个方程的具体方程
3x+20=4x-25
↓移项
3x-4x=-25-20
↓合并
-x=-45
↓系数化为 1
x=45
活动 4
例题 解方程： （1）-0.48x-6=0.02x
（2）5x+2=7x-8
演示解方程的具体步骤，格式，规范书写
活动 5
练习 P79
活动 6
总结：移项的方法及注意点，体会“对消”和“还原”与“合并”和
“移项”的思想。
（通过对移项的思考及解方程过程的总结，丰富学生的认知结构）
活动 7
作业：P82 2、3、7、9
六练习与拓展过程
1、 已知 k 是整数，关于 x的方程 7x-5=kx+9 有正整数解，求 k的
所有可能值
2、 （古代数学问题）好马每天走 240 里，劣马每天走 150 里，劣
马先走 12天，好马几天可以追上劣马？
课后反思：————————————————————————
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3.2.3 一元一次方程的的讨论(三)
一背景与意义分析
本课在引出了方程一元一次方程等基本概念，以及一元一次方程的解
法，引出例 1，例 2 有关数列的数学问题，题中有三个未知数，它们
是互相联系，通过观察可以 发现它们的排列规律，然后根据数量关
系，设出适当的未知数，列出一元一次方程。以方程为工具分析问题，
解决问题，即建立方程模型是全章的重点。同时，也是难点。而本节
课通过一个同学熟悉的“配比”问题引入，引导学生尝试用算术方法
解决它，然后，再进一步分析，由学生列出含未知数的式子表示有关
的量。根据题中的相等关系，列出方程达到解决问题目的。然后，进
一步引出例 1 等问题。通过师生共同参与，探索，发现，归纳，使学
生认识到用方程这样的工具来解决应用题的优越性，从而激发学生学
习数学的热情。
二学习与导学目标
知识技能： (1)一元一次方程解决实际问题;
(2)会通过合并，移项解一元一次方程;
(3)进一步巩固用一元一次方程解决实际问题的步
骤;
数学思考： ( 1)会将实际问题转化为数学问题，通过列方程
解决问题;
(2)会用不同的方程解决实际问题;
解决问题：通过学生自主探究，师生共同研讨，体验将实际问
题转化
成数学问题，并加以解决。
三障碍与生成关系
重点：会用一元一次方程解决实际问题;
难点：通过寻找规律，将实际问题转化为数学问题，通过列方程解决
问题。
四学程与导程活动
教学流程安排
活动流程图
活动 1
创设问题情境
活动 2
提出例题 1
活动 3
通过希腊数学家丢番图的墓碑上
记载的数学题激发学生学数学的
热情。
活动 4
巩固练习，进一步激发学生学数
学用数学的热情，提高分析解决
问题的能力
活动 5
小结，本节课你学到什么?
活动内容和目的
由问题引入例 1，激发学生学习
欲望
对问题分析理解，找出规律，让
学生学会分析问题的方法
教师引导学生回忆总结
教学过程设计
问题与情境
活动 1
一种混凝土中，水泥，
黄沙，石子的配比是
1：2：3，现有混凝土
1000kg，则水泥，黄
沙，石子各有多少 kg?
活动 2
例 1 有列数，按一定
规律排列，1，-3，9，
-27，81，-243，…，
其中某三个相邻数的
和是-1701，这三个数
各是多少?
师生行为
1. 如何寻找规律?
2. 算术方法如何做?
3. 你会列方程解吗?
4. 怎样设未知数?
由学生来解决上述问
题
1. 引导学生通过从
符号和绝对值两
方面观察，这列数
有什么规律?如果
设其中一个数为
a，那么它后面与
前面相邻的数是
_____________
可通过小组讨论的方
式，共同探讨，得出
结论。
设计意图
由学生熟悉的问题入
手，探求一般的规律
教师引导则必不可少
找出这列数的规律，
特别是三数之间的规
律，是本题的难点。
强化规范列方程解应
用题的步骤和书写要
求，培养学生严谨，
细致的学习习惯和分
活动 3
希腊数学家丢番图
2。本题的相等关系是
什么?
如何设未知数，列方
程?
师生共同完成此求解
过程。
解：设这三个相邻数
中的第一个数为 x，
那么第 2 个数就是
-3x，第 3 个数是-3
×(-3x)=9x
由题意，得
x-3x+9x=-1701
合并，得
7x=-1701
系数化为 1，得
x=-243
所以-3x=729
9x=-2187
答：这三个数是：
-243，729，-2187
如果不这样设未知
析解决问题的能力。
树立多种方法解决问
题的创新意识，品尝
成功的喜悦，激发学
生应用数学的热情
通过此题的研究，进
一步激发学生学习数
(公元 3-4 世纪)的墓
碑上记载着：”他生命
的
1
6
是幸福的童年;
再活了他生命的
1
12
，
两颊长起了细细的胡
须;他结婚了，又度过
了一生的
1
7
，再过 5
年他有了儿子，感到
很幸福;可是儿子只
活了他生命的一半;
儿子死后他在极度悲
痛中，度过了 4 年，
也与世长辞了”，丢番
图活了多少年?
活动 4
练习，
1。填空
(1) 有一数列，按
一定规律排成 0，
数，你还有其它的解
法吗?
首先提出算术方法怎
么解，然后共同分析
找出相等关系，即各
年龄段之和等于他去
世的年龄，设出适当
的未知数。然后由学
生完成解答过程。
学生练习，教师巡视
学的热情，体会利用
方程解应用题的优越
性。
引导同学“执果索因”
和“由因导果”的方
法，研究数学问题从
而逐步建立用方程的
方程解决问题的意
识。
2，6，12，29，…，
则 第 8 个 数 为
______，第 n 个数
为_____
(2) 有一数列，按
一定规律排成 1，
-2，3，2，-4，6，
3，-6，9，接下来
的 三 个 数 为
________
2。用 72 厘米的铁丝
做一个长方形，要使
长是宽的 2 倍多 6 厘
米，则这个长方形的
长和宽各是多少厘
米?
3。有若干个小方格，
第 1格 1 粒， 第 2格
2粒，第3格4粒，第
4格 8 粒，如此类推，
从第几格开始的连续
三格中共有 448 粒?
辅导，并作适当的引
导，并通过小组讨论
交流，达到解决问题
的目的。
活动 5
小结
作业
课本习题 2。2 4，5，
6，7
1. 现实生活中的许
多问题用一元一
次方程来解决更
方便
2. 用一元一次方程
解决问题的一般
步骤是：
一审题
二设未知数
三列方程
四解方程
五答
3. 如何寻找规律，逐
步通过渗透让学
生掌握从特例到
一般的分析思想
方法。
课后反思：————————————————————————
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3.2.4 一元一次方程的讨论（四）
教学目标
进一步体会用一元一次方程解决实际问题的基本过程，巩
固通过移项、合并解一元一次方程；学习将实际问题转化
为数学问题，感悟数学建模思想，体会数学的应用价值；
会设未知数，并利用问题中的相等关系列方程，且正确求
解。初步掌握用方程解决实际问题的基本过程；通过学习
使学生更加关注生活，增强用数学的意识，激发学习数学
的热情。
重 点：会用一元一次方程解决实际问题。
难 点：将实际问题转化为数学问题，通过列方程解决问题。
教 程：①展示问题，激发学生学习数学的热情：
全球通 神州行
月租费 50元/月 0
本地通话费 0．40 元/分 0．60 元/分
某人新买一部手机，了解到电信公司有两种移动电话计费方式
（如图）。他正为选择哪一种方式犹豫呢！请帮助他选择。
帮助学生掌握有关信息，明确问题的关键是要知道每月通话的大
约时间。
②用具体小问题作铺垫，逐步深入解决问题。
问题（1）一个月内本地通话 200 分钟和 300 分钟，按两种计费
方式各需交费多少元？
学生完成（板演）：通话 200 分钟 50+0.40×200=130(元)
0.60×200=120(元)
通话 300 分钟 50+0.40×300=170(元)
0.60×300=180(元)
分析所得结果后提出问题(2)。
问题（2）会出现两种移动电话计费方式的收费一样的情况吗？
让学生进一步明确问题即：月累计通话多少分钟时，两种方式收
费一样？并引导学生用方程来解决：
设累计通话分钟，则用“全球通”费用为（50+0.4t）元，用“神
州行”费用为 0.6t 元，则得方程
0.6t=50+0.4t
以下由学生完成。问题（3）选择哪种计费方式费用少？
学生交流讨论，教师适当讲解。
引导学生明确关键是估计月累计通话时间是大于 250 分钟还是
小于 250 分钟。 ③结合以上的问题（2），师生共同小结归纳用一
元一次方程解实际问题的基本过程（P81 结构图）
列方程
解
方
程
检验
④课堂练习 P104 7 （若多数学生独立解决问题有困难，则可
先师生共同探讨）
⑤小结全课 引导学生回忆 ⑴用一元一次方程解实际问题的基
本过程；⑵最佳方案问题。
作业：P83 10、11 （预计要适当，引导学生分析作业题）
课后反思：_________________________________________________
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实际问题
实际问题
答案
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3.3.1 一元一次方程的讨论（2）(一)
一背景与意义分析
本课安排在第二章第三小节，属于《全日制义务教育数学课程标准（实
验稿）》中的“数与代数”领域。
本课在前面列、解一元一次方程的基础上，进一步探讨列方程解方程
的问题，如何根据实际列方程，如何解方程是本课的重点，正确利用
“去括号”变形来解方程是本课的难点，本课是在建立和运用方程这
种数学模型的大背景下进行的。
二学习与导学目标
1． 知识积累与疏导：结合一些实际问题讨论一元一次方程，掌握
“去括号”法则。
2． 技能掌握与指导：能根据实际问题中的等量关系列出方程，感
悟到方程是刻画现实世界的一个有效模型。
3． 智能的提高与训导：通过同学间，学生和老师的合作探讨让学
生逐步学生思维。
4． 情感修炼与开导：俄罗斯古题创设情境，激发学生学习数学的
热情，增强数学教科书的人文色彩。
5． 观念确认与引导：会通过列方程解决实际问题，并会将含有括
号的方程化归成已经熟悉的方程，逐步培养学生的
化归思想。
.三 障碍与生成关系
关注方程与实际问题的联系，感受数学建模思想。
四 学程与导程活动
（一）创设问题情境
活动 1：
展示问题（幻灯片）俄罗斯小说家契诃夫的小说《家庭教师》中，写
了一位教师为一道算术题大伤脑筋。我们来看看这道题。
问题（买布问题）顾客用 540 卢布买了两种布料共 138 俄尺，其中蓝
布料每俄尺 3 卢布，黑布料每俄尺 5 卢布，两种布料各买了多少？
（二）探索解决方法
活动 2：
先让学生读题，然后老师提出，你会用方程解这道题吗？以同桌
同学或前后两桌为一组，讨论交流一下，此题怎样解，老师巡视之后，
若发现学生中有会解的，请同学板演并指出每个式子的意义，若没有，
则作如下提示：
设买了蓝布 x 俄尺，那么买了黑布料_________俄尺，买蓝布料花
了 3x 卢布，买黑布料花了________卢布，根据买两种布共用 540 卢
布，列得方程为______________
活动 3
列出方程后，教师再次提出问题：怎样解这个方程，求出 x值？
学生思考，交流，得出共识，先去括号，然后按已学方程变，化
简成 x=a 的形式。
活动 4
尝试练习：去括号是解方程时常用的变形，分别将式子 2
（x+2y-2）,-3（3x-y+1）,-（4a+3b-5c）去括号，你能从中发现去
括号时符号变化析规律吗？注意其中-（4a+3b-5c）=（-1）•（4a+3b-5c）
（幻灯片）
学生学会合作完成作业，归纳总结去括号法则（幻灯片）
所列方程的具体过程：
3x+5（138-x）=540
↓去括号
3x+690-5x=540
↓移项
3x-5x=540-690
↓合并
-2x=-150
↓系数化为 1
x=75
↓代入
138-x=63
由上可知，买了 75俄尺蓝布料和 63俄尺黑布料
活动 5
巩固去括号法则，解下列方程
（1）4x+3（2x-3）=12-（x+4）
（2）6（
1
2
x-4）+2x=7-（
1
3
x-1）
活动 6
师生小结归纳（幻灯片）
六练习与拓展选题
1、P91/ 1，2
2、P92 /11（选做题）.
课后反思：_________________________________________________
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3.3.2 一元一次方程的的讨论（2）（二）
一、背景与意义分析
本课主要是结合实际问题继续讨论一元一次方程的解法与与运
用。在前几节课，学生已经学会通过移项，合并，去分母来解一元一
次方程。而本节课的主要任务是要在熟练解方程的基础上，利用一元
一次方程来分析问题，并解决实际问题。本课主要设置了两个问题。
问题（1）是行程问题中的航行问题，涉及了顺流、逆流因素。这个
问题中包含了几个基本关系式： 顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
顺流路程=顺流速度×顺流时间
逆流路程=逆流速度×逆流时间
行程问题中，速度、时间和路程这三个物理量及它们之间的关系，
对于分析数量关系很重要，在匀速运动中，路程=速度×时间是基本
关系，因此本题也不例外，而解决该问题的关键是要根据往返路程相
等列出方程。
问题（2）是生产调度问题即如何规划分工使两种产品在数量上成
龙配套的问题。“螺母的数量是螺钉数量的 2 倍”是本题中特有的相
等关系。“每人每天的工作效率×人数=每天的工作量”两者结合，就
能列出方程。
这两个问题在解法上无大区别都要进行去括号的过程。而列方程
中蕴涵的“数学建模思想”和“解方程中蕴涵的”化归思想“是本课
始终渗透的主要数学思想。
二学习与导学目标
1、 知识积累与疏导：
学会利用去括号解一元一次方程，学会根据题意列出一元一次方
程解决实际问题，认知率达 100%.
2、 技能掌握与指导：
能根据具体问题中的数量关系，列出方程，感悟到方程是刻画现
实世界的一个有效模型。利用率达 100%.
3、 智能的提高与训导：
在与同学探讨的过程中，学会能合理清晰地表达自己的思维过程。
互动率达 95%.
4、 情感修炼与开导：
通过学习更加关注生活，增强用数学的意识，从而激发学习数学
的热情。
5、 观念确认与引导：
会将实际问题转化为数学问题，加强数学建模思想，学会用“去
括号”解一元一次方程，进一步体会化归思想。
三障碍与生成关注
通过“问题情境”，建立“数学模型”难度较大，为此要充分引导
学生关注生活实际，仔细分析题目，促使学生朝“数学模型”方面理
解。
四学程与导学活动
活动 1 知识巩固，引入新课
解下列方程： （1）4x+3(2x-3)=12-(x+4)
（2)6(
1
2
x-4)+2x=7-(
1
3
x-1)
(3)2(10-0.5y)=-(1.5y+2)
(通过学生板演，起到复习巩固的作用，进一步熟悉去括号解方程
的步骤与要点)
下面我们来看两个实际问题
活动 2 师生互动，学习新知
展示问题（1）
一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶用了 2 小时，从乙码头返回甲
码头逆流行驶，用了 2.5 小时，已知水流的速度是 3 千米/时，求船
在静水中的平均速度。
（1）分析问题：
（先由学生读题，教师引导）这是一个行程问题中的航行问题，
小学里关于顺流、逆流问题同学们应该是学习过的，顺流速度、逆流
速度、静水速度和水流速度之间有什么关系？
让学生自由发挥，最后板书如下：
顺流（逆流）速度=静水速度+（-）水流速度
进一步问：本题中蕴含的重要相等关系是什么？学生口答，教师
整理如下：
顺流路程=逆流路程
（2）解决问题：
教师引导学生设未知数，列出方程，解方程，作答。由学生口述，
教师板书出完整的解题过程，并逐步强调各个注意点。
活动 3 展示问题（2）
某车间 22 名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉 1200
个或螺母 2000 个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好
配套，应分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
（学生读题）
1、 引导学生分析题意，找出相等关系
每人每天的工作效率×人数=每天的工作量（产品数量）
螺母的数量=螺钉数量×2
2、 由学生尝试解决问题，即学生完成板演，集体订正。
然后幻灯片打出完整的解题过程，让学生进行比较，明确步骤中
的各个要点。
活动 4 归纳总结，初步应用
1、 师生共同小结归纳得出：
用一元一次方程分析和解决问题实际问题的基本过程。
（用幻灯片打出）
2、 学生练习：书本 P92，7；P91，5
3、 课堂小结：这节课你学习了哪些知识？
4、 布置作业：（1）书本习题 2.2 P91-92 6，10，11
（2）学生用书同步练习
课后反思：_________________________________________________
___________________________________________________________
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3.4.1 从买布问题说起
—一元一次方程的讨论
一、背景与教学任务分析：
本节课教学的主要内容是：一元一次方程的应用——工程问题。
学生在小学里已学过解工程问题，对于“把全部工作量看作 1”
的了解无疑是一个难点，为此，书本在对工程问题的分析中，首先就
“可以把全部工作量看作 1”进行了说明，给出了一个公式“工作量
＝工作效率×人数×工作时间”，限于初一学生的年龄特征，书本不
能对“可以把全部工作量看作 1”给予证明。
工程问题也是很有实际意义的一类应用题，用代数方法解决这类
问题比较方便，这又一次使学生看到代数方法的优越性。通过解决这
类应用题，还可以巩固学生从小学开始学习的分数的意义的认识。
二、学程与导程活动：
实际问题
数学问题
（一元一次方程）
实际问题的答案 数学问题的解
（x=a）
设未知数列方程
解
方
程
1、复习提问：
①一件工作，甲单独做 20小时完成，乙单独做 12小时完成，那
么两人合作 32小时完成，这个结论对吗？能不能只用加法求结果，
除了加法外，还需要用什么运算？
②一件工作，1 人独做 20 小时完成，那么他每小时完成全部工作
量的多少？（
20
1
），4人做每小时完成全部工作量的多少？（ 4
20
1
），
4人做 3小时完成全部工作量的多少？（ 34
20
1
）
③一件工作由m个人用n小时完成，那么人均效率为
mn
1
2、新课讲解
A、阅读书本例 3，分析题意，然后提问：
①这道题已知什么？最终的相等关系是什么？（各阶段的工作量
的和＝总工作量）
②这道题的要求的是什么？在列方程时，可以把全部工作量看作
什么？
③ x人先做 4 小时，完成的工作量是什么？（ 4
40
x
）
增加 2 人后一起做 8 小时，完成的工作量是多少？（ 8
40
2
x
）
④学生自己列出方程，上黑板把解答过程写出来。
B、对本题进行改编，形成一题多用的练习，方法如下：
1°整理一批图书，由 1人做要 40 小时完成，现在计划由 2人先
做 4小时，剩下的部分为了在 8小时内完成，还需增添几人？
2°整理一批图书，先由 2 人工作，后又增添 2 人，又用了 8 小
时完成，问开始的 2 人先用几小时？
C、鼓励学生对书本例 3 进行改编，自编自解。
3、课堂练习：
一项工程，甲单独做 6 人完成，乙单独做 12 天完成，现两人合
作，途中乙因病休息了几天，这样用了 4.5 天才完成任务，乙因病休
息了几天？
4、课堂小结
通过这堂课，我们不仅对分数意义，对于“可以把全部工作量看
作 1”有了更深的认识，而且再次体会到代数方法的优越性。
三、练习拓展
1、P92 8.9.13
2、请根据所给方程 1
5
66
xx
，联系生活实际，编写一道应用题
（要求题目完整，题意清楚，不要求解方程）。
课后反思：————————————————————————
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3.4.2 从买布问题说起
——一元一次方程的应用（2）
学
习
与
导
学
目
标
知识技能
1、进一步学习根据意列方程
2、学习去分母解一元一次方程
3、初步掌握一元一次方程解法的一般步骤
数学思考
1、会通过列方程来解决实际问题
2、会将含有分母的方程化归成已熟悉的方
程，逐步体会化归的方法
3、初步掌握解方程的程序化方法
解决问题
结合从实际问题中得出的方程，学会用“去
分母”解一元一次方程，体会化归思想
情感态度
由埃及古题带来新情境，引入新问题（如
何去分母），使学生们探究欲望和热情再次
得到激发。
重
点
1、学会去分母解一元一次方程
2、初步掌握解一元一次方程的一般步骤
难
点
去分母
学程与导程活动
问题与情境 师生行为 设计意图
[活动一]
展示问题：
伦敦博物馆保存着
一件极其珍贵的文物—
—纸莎草文书。这是古
代埃及人用象形文字写
在一种特殊的草上的著
作，它于公元前 1700 年
左右写成，至今已有三
千七百多年，草片文书
中记载了许多有关数学
的问题，其中有如下一
道著名的求未知数的问
教师展示问
题，让学生思考：
用数学符号
表示，这道题就
是方程
33
7
1
2
1
3
2
xxxx
教师提出问
题：怎样解这个
方程呢？
学生思考、交
流，得出共识：
方程中有些系数
当时的埃及人如
果把问题写成这种形
式，它一定是“最早”
的方程。
教科书从古代埃
及的纸莎草文书说
起，这是能反映古埃
及文明的一件珍贵文
物，其中有关数学的
内容非常丰富，本节
通过纸莎草文书中一
道有关数量的问题，
题。
问题：一个数，它的
三分之二，它的一半，
它的七分之一，它的全
部，加起来总共是 33。
是分数，能否化
去分母，把系数
化成整数呢？
引出带有分母的一元
一次方程，进而讨论
用去分母的方法解这
类方程，这样选材可
以起到介绍悠久的数
学文明的作用。
[活动二]
以解方程
5
32
10
232
2
13
xxx
为例，根据等式的基本
性质 2，为去分母可以在
方程两边同时乘 10（各
分母的最小公倍数），于
是方程左边变为
?)2
2
13(10
x
问题：去了分母，
方程右边变为什么？
教师引导学
生一起解决：
方程左边＝
20)13(5
210
2
1310
x
x
（注意：这
里易犯的错误：
方程左边＝
2)13(5 x ,应提
醒学生去分母时
不能漏乘）
通过“去分母”使
方程的系数都化为整
数，可以使解方程中
减少分数运算，从而
计算更方便。去分母
的依据是等式性质 2，
即“等式两边乘同一
个数，结果仍相等”。
选择方程中各分母的
最小公倍数，既能化
去分母又使所乘的数
最小，因此一般采用
这种方法。
提醒学生：去分母
时，方程两边的每一
项都要乘同一个数，
不要漏乘某项。
方程中写在同一
条分数线上下的部
分，可以被认为是一
项：例如，在方程
5
32
10
232
2
13
xxx
中，可以认为左右两
边各有两项，它们分
别是
5
32,
10
23,2,
2
13
xxx
[活动三]
解这个方程的过
程：
去分母
（方程两
边同乘各
分母的最
教师与同学
一起完成。
去分母后，
应尽可能让学生
完成，并让学生
逐步总结解一元
一次方程的过
程。
将这幅框图与前
面框图进行比较，看
看有什么相同之处不
同之处。
（比前面框图多
了去分母这一步）
通过解题过程的
体验、与前面框图的
比较，丰富学生已有
的解一元一次方程的
5
32
10
232
2
13
xxx
小 公 倍
数）
去括号
移项
合并
系数化为 1
方法，使学生对解方
程的知识更加完整。
)32(2)23(
210)13(5
xx
x
642320515 xxx
205624315 xxx
716 x
16
7
x
[活动四]
1、解埃及古中的方
程：根据等式的基本性
质 2，在方程两边同时乘
42（各分母的最小公倍
数），即
3342
)
7
1
2
1
3
2(42
xxxx
根据分配律，得
13864262128 xxxx
合并，得
138697 x
系数化为 1，得
97
1386
x
2、回顾：
通过解以上两方程，
可以得出：
一元一次方程解法
的一般步骤：
解方程的目标的求
出其中的未知数（例如
x），通过去分母、去括
学生练习，
教师指导。
让学生体验
解方程的完整过
程。
教师与同学
共同回顾具体方
程的解法，引出
一元一次方程解
本题当然也可以
不通过去分母来做，
直接进入合并这一过
程也行。
采取哪些步骤取
决于要解什么形式的
方程，各种步骤都是
在化归思想（使方程
向 ax 形式转化）支
配下有针对性地采用
的。
还要让学生明白：
一元一次方程的解
号、移项、合并、系数
化为 1 等步骤，就可以
使一元一次方程向着
ax 的形式转化。
3、练习：
第 90页（1）（2）题
补充练习：
解下列方程：
1、
3
4
2
3
xx
2、
3
412 yy
法的一般步骤。
同时说明：
解题时，需要采
取灵活、合理的
步骤，不能生搬
硬套、机械模仿。
法，主要依据是等式
的性质和分配律等。
解一元一次方程
的步骤可以看作解方
程的程序，解方程就
是执行这个程序。
[活动五]
1、解决本章引例中
的问题，解方程：
5
70
3
50
xx
解：去分母，得
)70(3)50(5 xx
去括号，得
21032505 xx
移项，得
25021035 xx
合并，得
4602 x
系数化为 1，得
230x
学生练习、巩
固。
让学生再次
体会解一元一次
方程的步骤。
及时巩固所学知
识。
至此，前后呼应，
体现了本章问题解决
的主线。
2、作业：教科书习
題 2.3 第 3 题，学生用
书同步练习。
课后反思：————————————————————————
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3.5.1 再谈实际问题与一元一次方程（一）
一、背景与意义分析：
本节在前面已经讨论过由实际问题建立一元一次方程和解一元
一次方程的一般步骤的基础上，进一步以“探究”的形式讨论如何用
一元一次方程解决实际问题。探究 1 中的问题比前几节的问题更复
杂，它涉及商品经营中的盈利与亏损。随着市场经济的发展，经营活
动越来越被人们重视，因此教材将它安排在探究 1。
二、学习与导学目标：
1、知识积累与疏导：通过现实中的例子体会一元一次方程的实
用价值。认知率 100%。
2、技能掌握与指导：在现实问题中找到等量关系，列出一元一
次方程，感悟到一元一次方程是描述现实世界的一个有效模型。利用
率 100%。
3、智能提高与训导：通过实际问题的探究，初步体会到一元一
次方程与现实生活的联系。互动率 95%。
4、情感修炼与开导：在与他人交流的探究过程中，学会探究学
习、合作学习，合理清晰的表达自己的思维过程。投入率 95%。
5、观念确认与引导：感受实际生活－→建立数学模型－→一元
一次方程，培养建模思想，提高运用一元一次方程分析和解决实际问
题的能力。
（教学目标的分类表述有利于课堂评估，较好的体现了新课程多
元化的目标和价值追求，但在设计教学活动时各教学目标之间是协同
和合为一体的。）
三、障碍与生成关注：
探究问题的情境与实际情况比较接近，有些数量关系比较隐蔽，
在探究过程中正确建立方程会出现困难。
四、学程与导程活动：
（一）复习巩固，埋下伏笔：
在前一节课里，我们共同学习了行程问题以及问题中涉及顺、逆
流因素的题目，这类问题中的基本相等关系有哪些？
V 顺＝V 静＋V 水 V 逆＝V 静－V 水
S＝Vt
根据这些相等关系，结合实际情况，可以列出方程。
在例 2 中，又遇到了生产调度问题，工作问题中的基本相等关系
又是什么呢？
每人每天的工作效率×人数＝每天的工作量
今天，我们又会遇到什么问题呢？
（通过复习，可以把学生的思维拉到预定的轨道上，在特殊的情
境下思考，有利于探究活动的开展。）
（二）创设情境，引入新课：
时间匆匆地从指间划过，不知不觉中，秋天到了，夏天过去了，
在季节的转换中，许多商家借此机会搞许多促销活动，商品经济中商
品的盈亏问题与一元一次方程是否有联系呢？请看题：
某商店在某一时间以每件 60 元的价格卖出两件衣服，其中一件
盈利 25%，另一种亏损 25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或
是不盈不亏？
先大体估算盈亏：
（给学生一定的时间讨论，估算，学生们一定会激烈讨论，这样
能让每一位学生都参与到探究活动中来，体会人人参与，激发学习兴
趣。）
（三）交换估算结果，说明理由：
有的学生说最终卖这两件衣服是盈利的，理由是：商家总是很狡
猾，他们一般不会做亏本的买卖，他们总会打着“亏损”的旗号，但
实际上还是盈利的。
有的学生说不盈不亏，理由是：一件盈利 25%，一件亏损 25%，
两个正好抵消了。
还有少部分学生说亏本，理由是：几个学生猜的，还有学生说是
预习的，看了课本。
要想知道最终正确答案究竟是什么？让我们从理论上进行准确
计算。
（对于预习了的学生要给予表扬，对于估算不正确的，也不能批
评，避免抹杀学生的创造性思维）
（四）深入分析，揭示等量关系：
两件衣服共卖了 120 元，是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服
时花了多少钱，如果进价大于售价就亏损，反之就盈利。
假设一件商品的进价是 40 元，如果卖出后盈利 25%，那么商品
利润是 40×25%元；如果卖出后亏损 25%，那么商品利润是 40×（－
25%）元。
本问题中，设盈利 25%的那件衣服的进价是 x元，它的商品利润
就是 0.25x 元
进价、利润、售价三者之间有什么关系呢？
进价＋利润＝售价
列方程： x＋0.25x＝60
x＝48
类似地，（让学生自己解答）：
设另一价衣服的进价为 y 元，它的商品利润是－0.25y 元
y＋（－0.25y）＝60
y＝80
（探究到这里，并不意味着问题已经解决，有的学生往往忽略了
这一点，认为题目已经做完了，其实我们还要归纳，看看卖两件衣服
总的盈亏情况。）
（五）归纳总结，得出结论。
两件衣服的进价是 x＋y＝48＋80＝128（元），而两件衣服的售价是
60＋60＝120（元），进价大于售价，因此，卖这两件衣服总的盈亏情况
是亏损。
五、练习与拓展选项：
“国庆”期间，文峰大世界搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折
扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按售价的 70%销售）
和九折（按售价的 90%销售），共付款 386 元，这两种商品原销售价
之和为 500 元，问：这两种商品的原销售价分别是多少元？
分析：利用等量关系原销售价之和为 500 元，设立未知数，
利用等量关系甲、乙商品实际购买价之和为 386 元，列方
程：
解：设甲种商品的原销售价为 x元，则乙种商品的原销售价为（500
－x）元，则：
x×70%＋（500－x）×90%＝386
解得： x＝320
500－x＝180
答：甲、乙两种商品的原销售价分别为 320 元、180 元。
六、个别与重点辅导：
实际问题中的数量关系比较隐蔽，在探究过程中正确建立方程是
主要难点，突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，
特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系。
课后反思：————————————————————————
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3.5.2 再探实际问题与一元一次方程（二）
一、背景与意义分析：
本节在前面已经讨论过由实际问题建立一元一次方程和解一元
一次方程的一般步骤的基础上，继探究活动一之后，进一步以探究的
形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题。其中的问题涉及日常生
活中家庭节能用电的问题。伴随经济高速发展而出现的能源紧张问题
日益受到全社会的普遍关注，教材将其安排作探究 2，有相当重要的
现实意义。
二、学习与导学目标：
1、知识积累与疏导：通过现实中的例子体会一元一次方程的实
用价值，认知率 100%。
2、技能掌握与指导：在现实问题中找到等量关系，列出一元一
次方程，领会一元一次方程作为描述现实世界的一个有效模型的作
用。利用率 100%。
3、智能提高与训导：通过实际问题的探究，初步体会到一元一
次方程与现实生活的联系。互动率 95%。
4、情感修炼与开导：在与他人交流的探究过程中，学会探究学
习，合作学习，合理清晰的表达自己的思维过程。投入率 95%。
5、观念确认与引导：感受实际生活——建立数学模型——元一
次方程，培养建模思想，提高运用一元一次方程分析和解决实际问题
的能力。
（教学目标的分类表述有利于课堂评估，较好地体现了新课程多
元化的目标和价值追求，但在设计教学活动时各教学目标之间是协同
和合为一体的。）
三、障碍与生成关注：
探究问题的情境与实际情况比较接近，有些数量关系比较隐蔽，
在探究过程中正确建立方程会出现困难。
四、学程与导程活动：
（一）复习巩固,埋下伏笔:
在前一课中,我们探究了销售中的盈亏问题即进售价格与利润之
间的关系,这类问题中的基本相等关系是怎样的呢?
进价+利润=售价
根据此相等关系,结合实际情况,可以列出方程。
若进价大于售价就亏损,反之就盈利。
(通过复习,可以把学生的思维拉到预定的轨道上,在特殊的情境
下思考,有利于探究活动的开展)
（二）创设情境,引入新课:
现在很多家庭的照明用灯都越来越多的采用了一种名为节能灯
的新灯具,它造型新颖,照明效果也不错,那么它是否真的比传统的白
炽灯节电呢,下面我们不妨来利用一元一次方程的方法尝试解答这个
问题,请看题：
小明想在两种灯中选购一种.其中一种是 11 瓦(即 0.011 千瓦)
的节能灯,售价 60元;另一种是 60瓦(即 0.06 千瓦)的白炽灯,售价 3
元.两种灯的照明效果一样,使用寿命也相同(3000小时以上).节能灯
售价高,但是较省电;白炽灯售价低,但是用电多.如果电费是 0.5 元
/(千瓦时),选哪种灯可以节省费用(灯的售价加电费)
先大体估算一下两者相同照明时间内的用电量差异
(给学生一定的时间讨论,估算,学生们一定会激烈讨论,这样能
让每一位学生都参与到探究活动中来,体会人人参与,激发学习兴
趣.)
（三）交换估算结果,说明理由:
有的学生说使用节能灯节省费用,因为节能灯顾名思义就是节约
能源,既然市场出现了种产品,那它一定比传统白炽灯节能,否则不会
有那么多人使用它.
有的学生说白炽灯节省费用,因为比较谁更节省费用,不仅看电
费,还包括灯的售价,节能灯虽好,但价格昂贵,是白炽灯的 20 倍,如
此悬殊的价格足以抵消掉节能灯节电的优势.
还有的学生说两者费用或许相差不多,使用时间长了之后节能灯
原本的价格劣势会被省电节能的优势弥补,而白炽灯低廉的价格也使
它在总体费用的成本上占优。
要想知道正确答案为何，让蜗牛从理论上进行准确计算。
(对于大胆估算的学生要给予表扬,重要的并非答案正确与否,学
生在探究式学习中领略到的自主学习,积极思维的快乐是最值得教师
关注与呵护的.)
（四）深入分析，揭示等量关系：
这两种灯，看哪个更省费用，首先看在多长的使用时间之内，时
间越长节能灯的节能效果越明显，反之，白炽灯成本的优势会令费用
较低。
问题中费用的等量关系为：
费用=灯的售价+电费
电费合 0.5 元/千瓦时
因此电费=0.5×灯的功率（千瓦）×照明时间（时）
（1）列式如下
选定一种灯之后，灯的售价和功率（千瓦），电费直接与照明
时间相关
若设照明时间为 t小时，则用节能灯的费用（元）是
60+0.5×0.011t；
用白炽灯的费用（元）是：
3+0.5×0.06t
由此已能发现照明时间与费用间的关系。
（2）赋值试探
如果 t=2000，那么节能灯的费用（元）是
60+0.5×0.011×2000=71
用白炽灯的费用（元）则是
3+0.5×0.06×2500=63
如果 t=2500，那么节能灯的费用（元）是
60+0.5×0.011×2500=73.75
用白炽灯则费用(元)为
3+0.5×0.06×2500=78
从这两组运算后得出的数值可以看出为省钱而选择哪种灯与
照明时间长短有关
（3）明多少时间用两种灯的费用相等呢（精确到 1个小时）？
列方程，并求出问题的答案。（引导学生探究解答）
设照明 t小时用两种灯的费用相等
60+0.5×0.011t=3+0.5×0.06t
t～2327(小时)
（探究到这里，通过师生共同总结和自我评价,以培养学生归纳,
整理,表达能力,培养良好学习习惯,进一步强化学习效果）
（五）归纳总结,得出结论
当照明时间少于 2327 小时,用白炽灯省钱,而且时间越少省钱越
多,当照明时间多于 2327 小时而不超过 3000 小时,用节能灯省钱,而
且时间越长省钱越多.因此,用白炽灯 500 小时,节能灯 3000 小时,是
最省钱的办法.
六、练习与拓展选项:
书本 P95
课后反思：————————————————————————
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3.5.3 再谈实际问题与一元一次方程（三）
一、背景与意义分析：
本节在前面已经讨论过由实际问题建立一元一次方程和解一元
一次方程的一般步骤的基础上，继探究活动 2 之后，进一步以探究的
形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题。其中的问题涉及体育竞
技比赛中的积分排位问题，教材将其安排作探究 3，有鲜明的实际意
义。
二、学习与导学目标：
1、知识积累与疏导：通过现实中的例子体会一元一次方程的实
用价值，认知率 100%。
2、技能掌握与指导：在现实问题中找到等量关系，列出一元一
次方程，领会一元一次方程作为描述现实世界的一个有效模型的作
用。利用率 100%。
3、智能提高与训导：通过实际问题的探究，初步体会到一元一
次方程与现实生活的联系。互动率 95%。
4、情感修炼与开导：在与他人交流的探究过程中，学会探究学
习，合作学习，合理清晰的表达自己的思维过程。投入率 95%。
5、观念确认与引导：感受实际生活——建立数学模型——元一
次方程，培养建模思想，提高运用一元一次方程分析和解决实际问题
的能力。
（教学目标的分类表述有利于课堂评估，较好地体现了新课程多
元化的目标和价值追求，但在设计教学活动时各教学目标之间是协同
和合为一体的。）
三、障碍与生成关注：
探究问题的情境涉及竞技体育积分的现实问题，有些数量关系比
较隐蔽，在探究过程中正确建立方程会出现困难。
四、学程与导程活动：
（一）复习巩固,埋下伏笔:
在前一课中,我们探究了销售中的盈亏问题即进售价格与利润之
间的关系,这类问题中的基本相等关系是怎样的呢?
进价+利润=售价
根据此相等关系,结合实际情况,可以列出方程。
若进价大于售价就亏损,反之就盈利。
(通过复习,可以把学生的思维拉到预定的轨道上,在特殊的情境
下思考,有利于探究活动的开展)
四、学程与导程活动：
(一)复习巩固,埋下伏笔:
在前一课中,我们探究了日常生活中节能灯与白炽灯谁更节省费
用的问题,这类问题中的基本相等关系是怎样的呢?
电费=灯的售价+电费
根据此相等关系,结合实际情况,可以列出方程..
(通过复习,可以把学生的思维拉到预定的轨道上,在特殊的情境
下思考,有利于探究活动的开展)
（二）创设情境,引入新课:
男生都喜欢看 NBA,激烈的对抗中比分交替上升,最终由积分显示
牌上的各队积分进行排位.下面我们来看一个2000赛季国内篮球甲A
联赛常规赛的最终积分榜
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
八一双鹿 22 18 4 40
上海东方 22 18 4 40
北京首钢 22 14 8 36
记录恒和 22 14 8 36
辽宁盼盼 22 12 10 34
广东宏远 22 12 10 34
前卫奥神 22 11 11 33
江苏南钢 22 10 12 32
山东润洁 22 10 12 32
浙江万马 22 7 15 29
双星济军 22 6 16 28
沈部雄师 22 0 22 22
（1）列式表示积分与胜,负场数之间的数量关系;
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗?
(给学生一定的时间讨论,估算,学生们一定会激烈讨论,这样能
让每一位学生都参与到探究活动中来,体会人人参与,激发学习兴
趣.)
（三）分析列出等量关系:
观察积分榜,从最下面一行可看出,负一场积一分
设胜一场积X分的话,从表中其他任何一行可以列方程,求出X的
值.例如,从第一行得出方程:
18X+1×4=40
由此得出
X=2
用表中其他行可以验证,得出结论:负一场积1分,胜一场积2分.
(1) 如果一个队胜 M 场,则负(22—M)场,胜场积分为 2M,负场积分
为 22—M,总积分为
2M+(22—M)=M+22
(2) 设一个队胜了 X 场,则负了(22—X)场,如果这个队的胜场总积
分等于负场总积分,则有方程
2X—(22—X)=0
计算得
X=22/3
解决实际问题时,考虑得逞结果是否合乎实际,X(胜场)的值必须
是整数,所以 X=22/3 不符合实际.由此可以判定没有哪个队伍的胜场
总积分等于负场总积分.
（四）归纳总结
这个问题中的(2)是个判断题,要正确作出判断,需要进行定量分
析,这里运用了一元一次方程作为工具,分析过程渗透了反证法的思
想,即先假使某队的胜场总积分等于负场总积分,由此列出方程,解得
答案.教学中引导学生求得结果后,提醒注意方程解应为整数.
该问题还说明(1)利用方程不仅能计算未知数的值,而且可以进
一步进行推理
(2)对于解决实际问题,检验解出的结果是否合乎
实际意义是必要的.
五、练习与拓展选项:
书本 P97
课后反思：————————————————————————
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3.5.4 再谈实际问题与一元一次方程（四）
一、背景与意义分析
本课是《义务教育课程标准实验教科书》（人教版）数学七年级
上册第二章中的内容。
在前面三堂课学习的基础上，本课将进一步讨论如何用一元一次
方程解决实际生活中的问题，进一步体现一元一次方程与实际的密切
联系，进一步帮助学生建构数学建模思想，培养学生运用一元一次方
程分析和解决实际问题的能力。
由于本课问题的背景和表达都比较贴近实际，其中有些数量关系
比较隐蔽，所以本课教学应注重在生活情境中引导学生探究、理解、
操作，从而学会应用数学思想和方法，解决实际问题。
二、学习与导学目标
1、知识积累与疏导：通过现实生活中的例子，体会到方程知识
就在我们的生活中，培养学生应用方程知识，解决实际问题的能力。
认知率达到 100%
2、技能掌握与指导：弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，
特别是找出可以作为列方程依据的相等关系。利用率 100%
3、智能的提高与训导：通过师生对话，与同学合作，共同探究，
提高自主学习的能力，合作学习的能力，科学探究的能力。互动率达
95%
4、情感修炼与开导：积极创设问题情景，使学生更加关注生活，
增强用数学的意识，激发学生学习数学的热情。投入率达 95%
5、观念确认与引导：数学来源于生活，生活中处处有数学，学
习数学就是为了解决生活中的问题，从而促进学生学习方式的改变。
认同率达 95%
（教学目标的分立表述，有利于教者全面理清本课教学思路，有
利于课堂教学评估，有利于生成新的教学资源，较好的体现新课程多
元化的目标和价值追求，体现“用教材教”，真正把教材作为实现教
学目标的载体，达到培养学生掌握数学工具的能力和提高学生人文素
养的目的。但是在实际教学中，必须整体把握各教学目标，使其协同
和合为一体。）
三、障碍与生成关注
学生的生活经验并不是十分丰富的，要引导学生从已有的生活经
验出发，让学生亲身经历将实际问题转化为数学问题。
四、学程与导程活动
（一）创设情景
同学们去过南通华东轻纺城吗？那儿琳琅满目的服装，一定会使
你怦然心动。如果你想买一件称心如意、价廉物美的衣服，一定得和
个体老板讨价还价，否则，你会掉进价格的陷阱。那么你觉得该怎样
讨价还价，才比较合适呢？
（这是教师设置的教学场景，当学生看到自己所学的知识与“现
实世界”息息相关时，学习通常会更主动。）
例：据了解，个体服装销售只要高出进价的 20%便可盈利，但老
板们常以高出进价的 50%至 100%标价，假如你准备买一件标价为 200
元的服装，应在什么范围内还价？
（这里教学问题场已形成，激发了学生学习愿望，使学生感受到
问题是“现实的、有意义的、富有挑战性的”，让学生在不知不觉中
走进自己的“最近发展区”，愉快地参与教学活动。）
师生共同逐句分析，并提问：
如果设服装的进价为 x 元，那么你能分别计算出按 50%报价时的
进价及按 100%标价时的进价吗？
你能再按相应的进价计算出相应的可盈利价格吗？学生讨论后，
请学生回答。
（这是教学问题场与教学情境场的叠加。教者以学生为主体，设
计了两个层次教学活动，将学生逐步引入自主、积极、主动的学习状
态中。）
（二）动手实践
你会解决这个实际问题吗？不妨试一试。教师巡视后，请两位同
学上黑板板演。
解：设服装的进价为 x 元
若标价是按高出进价的 50%标的价，则有：
（1＋50%）x＝200
解得 x＝
3
400
于是（1＋20%）·x＝ 160
3
400
5
6
若标价是按高出进价的 100%标的价，则有：
（1＋100%）x＝200
解得 x＝100
于是（1＋20%）·x＝120
答：应在 120 元～160 元的范围内还价。
（通过层层设问和学生动手实践，优化了教学情境场，激发学生
的学习兴趣，并通过交流讨论，培养学生合作意识和探究意识，在反
复理解体会中，将感受内化，逐步建立个体意境场。）
（三）类比分析
以下两题以同桌或前后两桌同学为一组，讨论交流，然后代表发
言。
1、商店对某种商品作调价，按原价的 8 折出售，此时商品的利
润率是 10%，此商品进价为 1600 元，商品的原价是多少？
（1）由公式：商品利润＝商品售价－商品进价
商品利润
和公式： ＝商品的利润率，得：
商品进价
商品售价－商品进价＝商品进价×商品的利润率；
（2）按原价的 8 折出售，即按原价的 80%出售。
2、某服装商贩同时售出两套服装，每套均售 168 元，以进价计
算，其中一套赢利 20%，另一套亏本 20%，则这次出售中，商贩的赢
利情况如何？
两套服装总售价为 336 元，商贩是盈还是亏，要看他进货时花了
多少钱，总进价大于总售价是亏损，反之就赢利。
（通过巩固所学的知识，进一步让学生感受到生活中处处有数
学，品尝到学习的愉快，增强了学习的信心，有利于帮助学生建立个
体意向场。）
（四）总结提高
1、 师生共同小结归纳
（1）问题中涉及到售价、进价、商品利润等问题，这些量之间
存在如下的关系：
商品利润＝商品售价－商品进价
商品利润
＝商品的利润率
商品进价
（2）列方程解应用题时，不要死背题型，要学会分析，找出等
量关系，掌握分析的方法。
2、作业：
课本①P98,4
②P104,7
③根据生活经历，自编一道类似的应用题，并加以解答。
六、练习与拓展选题
有些商家为了既能吸引顾客，又能赚钱，往往采取先提价后打折
的办法进行销售，如果某种商品先报价 20%，再打八五折，问商家这
种做法实际售价与原售价相比是降低了还是提高了？降低或提高百
分之几？
课后反思：_________________________________________________
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3.6.1 一元一次方程的数学活动 1
一、背景与意义分析
本课是《义务教育课程标准实验教科书》（人教版）数学七年级
上册第二章一元一次方程内容的最后部分之一。
通过前一阶段“再探实际问题与一元一次方程”的学习，学生基
本掌握了销售中的盈亏、用哪种灯节省以及球赛积分表问题。在现实
生活中还会有由于各方面的原因，需要选择解决问题的最佳方案，例
如顾客在购买某种商品时有几种打折的方法，顾客如何选择最佳的优
惠方法；在各种工程的招标中，如何选择最佳的投标方案，用较少的
投资取得最佳的效益等等，这些问题有的可以应用一元一次方程的知
识加以解决。因此，本课既是对前一阶段学习的巩固，又是新的应用
和引伸，同时本课作为“数学活动”，这就为数学拓展了空间，可引
导学生到生活中实际了解有关数学问题，尝试应用数学知识解决问
题，从而使学生在学习中兴趣盎然，获得真知，培养求异思维和创新
的精神。
数学来源于生活，数学教学应走进生活，生活也应走进数学，数
学与生活的结合，便会使问题变得具体、生动，学生就会产生亲近感、
探究欲，从而诱发内在知识潜能，主动动手、动口、动脑。因此，在
教学中，我们应自觉地把生活作为课堂，让数学回归生活，服务生活。
二、学习与导学目标
1、知识积累与疏导：通过现实生活中的例子，体会到方程知识
就在我们的生活中，培养学生应用方程知识解决实际问题的能力。认
知率达到 100%。
2、技能掌握与指导：在分析题意的基础上列出有关表达式，知
道其中有关字母的取值范围会产生不同的结果，有助于认识变化的量
对数量关系有影响，也为今后学习函数写下伏笔。利用率 100%。
3、智能的提高与训导：通过师生对话，与同学合作，共同探究，
提高自主学习的能力，合作学习的能力，科学探究的能力。互动率达
95%。
4、情感修炼与开导：积极创设问题情景，使学生更加关注生活，
增强用数学的意识，激发学生学习数学的热情。投入率达 95%。
5、观念确认与引导：数学来源于生活，生活中处处有数学，学
习数学就是为了解决生活中的问题，从而促进学生学习方式的改变。
认同率达 95%。
（教学目标的分立表述，有利于教者全面考虑本课教学思路，有
利于课堂教学评估，有利于生成新的教学资源，较好的体现新课程多
元化的目标和价值追求，达到培养学生人文素养的目的，在进行数学
活动时，教者应着眼于教学目标的整体性，但是各教学目标之间是协
同和合为一体的。）
三、障碍与生成关注
学生的生活经验并不是十分丰富的，要引导学生从已有的生活经
验出发，让学生亲身经历将实际问题转化为数学问题。
四、学程与导程活动
（一）创设情景
同学们喜欢上网吗？在网上我们可以聊天、看电影、了解新闻事
件、收发电子邮件……，你知道上网的收费方式吗？你选择哪种上网
收费方式比较合算？
（这是教师设置的教学场景，当学生看到自己所学的知识，与“现
实世界”息息相关时，学习通常会更主动。）
例 1：某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：
（A）记时制：2.8 元/时
（B）包月制：60元/月
此外，每一种上网方式都加收通信费 1.2 元/时。
1、如果某用户一个月上网20小时，选用哪种上网方式比较合算？
（教学应以问题为起点，归宿于问题的解决。此处，鲜明地提出
问题，构建了数学问题场，而问题又是“现实的、有意的、富有挑战
性的”，学生在不知不觉中走进自己的“最近发展区”，愉快地参与问
题的探究，从而激发了学生探究愿望。）
让学生计算后回答。
设用户上网的时间为 t小时，则（A）种方式的费用为 2.8t+1.2t
＝4t（元）；（B）种方式的费用为 60＋1.2t（元）
当 t＝20 时，4t＝80，,60＋1.2t＝84，因为 80＜84，所以选择
（A）种方式比较合算。
2、如果用户有 120 元用于上网（一个月），选用哪种方式比较合
算？
（这是教学问题场与教学情景场的叠加。教者设置了两个层次将
学生步步带入教学状态中。首先是教学问题场，引导学生充分理解题
意，捕捉题意信息，在问题讨论中，充分发挥学生学习主体性和创造
性，其次教学情景场的想象使教学的情感、目标得到落实。）
（二）动手实践
你会解决这个问题吗？不妨试一试。教师巡视后，请两位同学上
黑板板演，教师讲评时，让学生指出每个式子的意义。
如果用户选择（A）方案，则 4t＝120，解得 t＝30
如果用户选择（B）方案，则 60＋1.2t＝120，解得 t＝50，因为
30＜50，所以用户选择（B）种方案比较合算。
（通过层层设问和学生动手实践，优化了教学情境场，激发学生
的学习兴趣，并通过小组合作交流，培养学生合作意识和探究意识，
在反复理解体会中将感受内化，逐步建立个体意境场。）
（三）展开讨论
请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式。
以同桌或前后两桌的同学为一组，讨论交流，然后请代表发言。
当两种方式费用相同时，那么 4t＝60＋1.2t，解得 t＝
7
150
，所
以上网时间 t＝
7
150
小时。两种方式一样合算；当上网时间 t＜
7
150
小
时，选用（A）种方式比较合算；当上网时间 t＞
7
150
小时，选用（B）
种方式合算。
这里利用方程等知识解决了最佳上网收费方案问题，根据上网时
间的不同，选择经济、合理的方式。
（体现学习方法：传授“授人以渔”并注意培养学生学习——反
思——学习的良好习惯，不断强化个体意境场。）
（四）巩固提高
同学们都有上商店购物的经历，也一定体验到商店搞的促销活
动，下面一起讨论某商店的一次促销活动：
例 2：（课本 P100 活动 1）中的⑴、⑵题），一种笔记本售价为 2.3
元/本，如果买 100 本以上（不含 100 本），售价为 2.2 元/本。列式
表示买 n 本笔记本所需钱数（注意对 n的大小要有所考虑）。
请同学们讨论下面问题：
①按照这种售价规定，会不会出现多买比少买反而付钱少的情
况？
②如果需要 100 本笔记本，怎样买能省钱？
学生分组讨论，代表回答，师生共同总结。
1、活动 1的意图是让学生在分析题意的基础上列出有关表示式，
体会其中字母 n 的取值范围会影响用什么式子。
2、讨论题⑴的答案是“会”。这也可以通过具体数为例说明，例
如买 101 本付 222.2 元，买 100 本却付 230 元。讨论时可启发学生用
特例考虑，这种思维方法很重要。讨论题⑵的答案为付 222.2 元买
101 本，这除能满足需要外还余一本，并且比买 100 本省钱。现实生
活中可能会发现类似的例子，实际上这种促销规定不十分合理，可以
让学生考虑如何改进促销规定，使它既能促销又较合理。
（通过巩固所学过的知识，进一步让学生感受到生活中处处有数
学，品尝到学习的愉快，增强了学习的信心，有利于帮助学生建立个
体意向场。）
（五）总结拓展
1、师生共同小结归纳
（1）方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具，本课主
要利用一元一次方程解决最优方案的选择等实际问题。
（2）用方程解决实际问题时不仅要注意解方程是否正确，还要
检验方程的解是否符合问题的实际意义。
（通过师生互动，共同总结和自我评估，培养学生归纳、整理、
表达能力，培养良好的学习习惯，进一步强化了个体意向场。）
2、作业：（1）课本 P104 第 7题
（2）根据生活经历，自编一道类似的应用题，并加以
解答。
六、练习与拓展选题
某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需 8元（包
括空白光盘费）；若学校自刻，除租用刻录机需 120 元外，每张还需
成本 4 元（包括空白光盘费）。问刻录这批电脑光盘到电脑公司刻录
费用省还是自刻费用省？请说明理由。
答案：当这批光盘多于 30 张时，自刻费用省；当这批光盘少于
30张时，到电脑公司刻录费用省。当这批光盘为 30张时，到电脑公
司刻录与自刻录费用一样。
课后反思：————————————————————————
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3.6.2 一元一次方程数学活动（2）
一、背景与意义分析：
本节的教学活动是一元一次方程的最后一小节，是对现实问题与
一元一次方程的关系有一定的了解的情况下进行的，但活动 2 的问题
与前面又有所不同。它的内容选自新闻报道中的统计数据，虽然“增
长约 3%”，“增幅提高约 1 个百分点”这样的说法是常见的。但对于
学生们来说，这些语句还比较生疏，尤其是第二种说法。让学生结合
统计报告中的内容，运用一元一次方程求出某些数据，一方面可以锻
炼运用方程解决实际问题的能力，另一方面让学生感觉到数学与国民
经济的发展密不可分。
二、学习与导学目标：
1、知识积累与疏导：关注新闻报道中隐含的数学问题，体会到
数学无处不在，认知率达 100%。
2、技能掌握与指导：在新闻报道中的数学问题里找到等量关系，
列出一元一次方程、感悟到数学的无穷魅力，利用率达 100%。
3、智能提高与训导：根据收集的数据编题，并用一元一次方程
解它们，互动率 95%。
4、情感修炼与开导：在寻找数据和编题的过程中体会数学活动
的乐趣，提高自己分析、解决问题的能力，投入率 95%。
5、观念确认与引导：关注生活、生产中隐含的数学问题→建立
数学模型→运用数学知识自编题目，开拓视野，锻炼自己的能力。
（教学目标的分类表述有利于课堂评估，较好的体现了新课程多
元化的目标和价值追求，但在设计教学活动时各教学目标之间是协同
和合为一体的。）
三、障碍与生成关注：
让学生收集数据，分析其中的等量关系，编成问题，并用方程解
它们，这类活动有较大的开放性，在教学活动中要注意培养学生的创
新思维。
四、学程与导程活动
（一）利用多媒体，引入新课：
用投影仪显示出新闻内容，在显示时适当加点背景音乐。
据 2002 年初的统计资料报告，2001 年我国农民人均收入约 2320
元，比上一年增长约 3%，增幅提高约 1个百分点。
根据显示内容，你感觉有哪些与我们学过的数学知识有关系？
（多媒体的利用，有利于增强题目的新闻性、社会性。问题的范
围较大，没有具体针对哪两句话，这样可以给学生自由发挥的空间，
一定的背景音乐可以让学生们心情愉快一点。）
（二）合作学习，挖出隐含问题：
大部分学生能够理解“增长约 3%”，但对于“增幅提高约 1 个百
分点”不太理解，给一点时间让他们互相讨论，共同查阅资料，经过
讨论，归纳得出：
2000 年我国农民人均收入×（1＋3%）＝2001 年我国农民人均收
入
增幅提高约 1 个百分点即：2001 年比 2000 年增长约 3%
2000 年比 1999 年增长的百分数比 3%
少 1 个百分点，即：3%－1%
1999 年我国农民人均收入×（1＋2%）＝2000 年我国农民人均收
入
（学生讨论要把握好，少部分学生可能会不讨论课堂上的问题，
而是玩耍，教师可以在学生中间给予适当的解释，防止学生因讨论不
出来而失去学习的热情。）
（三）根据等量关系，列方程：
试用一元一次方程解决以下问题：
2000 年我国农民人均收入约是多少？1999 年呢？（精确到 1 元）
解：设 2000 年我国农民人均收入 x元
（1＋3%）x＝2320
解得：x≈2252
设 1999 年我国人圴收入 y 元
［1＋（3%－1%）］y＝2252
y≈2208
答：2000 年我国农民人均收入约 2252 元，1999 年约 2208
元。
（四）收集数据，学会应用
把事先借的报刊、图书拿出来，再收集一些数据，分析其中的等
量关系，编成问题，看看能不能用一元一次方程解决这些问题。
数据 1：从 1989 年至 2001 年，虽然国有企业的户数减少了，但
国有及国有控股工业企业完成的工业增加值在不断增长，到 2001 年
底已经升到 14652 亿元，比上一年增长 11.67%，比全国各行业的增
加值年均增长高出 2.37 个百分点。
你能算出 2000 年国有控股工业企业的工业总产值吗？还能算出
全国其它行业的工业产值的增长百分比吗？经调查，2001 年全国其
它行业的工业产值是 18895 亿元，你能计算出 2000 年的总产值吗？
解：设 2000 年国有控股工业企业的工业总产值为 x 亿元
（1＋11.67%）x＝14652
x≈13121
设 2000 年全国其它行业的工业总产值为 y 亿元
［1+（11.67－2.37）%］y＝18895
y≈17287
答：（略）
（学生收集的数据会多种多样，编的题目也会五花八门，课堂上
要多拿出几份学生编的题目在投影仪上显示，尊重学生的劳动，激发
学生的学习热情。）
（五）归纳总结，谈谈体会：
让学生畅所欲言，谈谈收集数据、编题过程中的感受，启发学生
之间要合作学习、主动探究、互相帮助、共同进步。
六、练习与拓展选题：
某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来降低了 6.4%，使得
利润率增加了 8 个百分点，求经销这种商品原来的利润率
解：设经销这种商品原来的利润率为 x%
商品进价为 a元
a（1－6.4%）（1＋x%+8%）=a（1＋x%）
93.6%×（100＋x＋8%）＝（100＋x）%
93.6＋0.936x＋0.936×8＝100＋x
0.064x＝0.088
x＝1.375
答：这种商品原来的利润率为 1.375%
（这道题目需要多设一问，把商品进价当作常量，或者不设商品
进价为 a 元，而把它当作单位 1。对学生来讲，这道题的难度可能不
在“增加了 8 个百分点”上，而是商品的进价没有给出，会让人有一
种无从下手的感觉。教学时考虑因材施教，对基础不好的同学可不作
要求。）
识的例子是数不胜数，因此，学好数学，应用数学，我们任重而
道远。
课后反思：————————————————————————
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4.1.1 认识几何图形
教学内容
课本第 116～120 页．
1．知识与技能
（1）能从现实物体中抽象得出几何图形，正确区分立体图形与
平面图形；
（2）能把一些立体图形的问题，转化为平面图形进行研究和处
理，探索平面图形与立体图形之间的关系．
2．过程与方法
（1）经历探索平面图形与立体图形之间的关系，发展空间观念，
培养提高观察、分析、抽象、概括的能力，培养动手操作能力．
（2）经历问题解决的过程，提高解决问题的能力．
3．情感态度与价值观
（1）积极参与教学活动过程，形成自觉、认真的学习态度，
培养敢于面对学习困难的精神，感受几何图形的美感；
（2）倡导自主学习和小组合作精神，在独立思考的基础上，
能从小组交流中获益，并对学习过程进行正确评价，体会合作学习的
重要性．
重、难点与关键
1．重点：从现实物体中抽象出几何图形，把立体图形转化为平
面图形是重点．
2．难点：立体图形与平面图形之间的转化是难点．
3．关键：从现实情境出发，通过动手操作进行实验，结合小组
交流学习是关键．
教具准备
长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等几何体模型，墨水瓶包装盒
（每个学生都准备一个），及多媒体教学设备和课本图 4．1-5 的教学
幻灯片．
教学过程
一、引入新课
1．打开电视，播放一个城市的现代化建筑，学生认真观看．
2．提出问题：
在同学们所观看的电视片中，有哪些是我们熟悉的几何图形？
二、新授
1．学生在回顾刚才所看的电视片后，充分发表自己的意见，
并通过小组交流，补充自己的意见，积累小组活动经验．
2．指定一名学生回答问题，并能正确说出这些几何图形的名称．
学生回答：有圆柱、长方体、正方体等等．
教师活动：纠正学生所说几何图形名称中的错误，并出示相应的
几何体模型让学生观察它们的特征．
3．立体图形的概念．
（1）长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形．
（2）学生活动：看课本图 4．1-3 后学生思考：这些物体给我们
什么样的立体图形的形象？（棱柱和棱锥）
（3）用幻灯机放映课本 4．1-4 的幻灯片（或用教学挂图）．
（4）提出问题：在这个幻灯片中，包含哪些简单的平面图形？
（5）探索解决问题的方法．
①学生进行小组交流，教师对各小组进行指导，通过交流，得出
问题的答案．
②学生回答：包含的平面图形有长方形、圆、正方形、多边形和
三角形等．
4．平面图形的概念．
长方形、正方形、三角形、圆等都是我们十分熟悉的平面图形．
注：对立体图形和平面图形的概念，不要求给出完整的定义，只
要求学生能够正确区分立体图形和平面图形．
5．立体图形和平面图形的转化．
（1）从不同方向看：出示课本图 4．1-7（1）中所示工件模型，
让学生从不同方向看．
（2）提出问题．
从正面看，从左面看，从上面看，你们会得出什么样的平面图形？
能把看到的平面图形画出来吗？
（3）探索解决问题的方法．
①学生活动：让学生从不同方向看工件模型，独立画出得到的各
种平面图形．
②进行小组交流，评价各自获得的结论，得出正确结论．
③指定三名学生，板书画出的图形．
6．思考并动手操作．
（1）学生活动：在小组中独立完成课本第 119 页的探究课题，
然后进行小组交流，评价．
（2）教师活动：教师对学生完成的探究课题给出适当、正确的
评价，并对学生给予鼓励，激发学生的探索热情．
7．操作试验．
（1）学生活动：让学生把准备好的墨水瓶包装盒裁剪并展开，
并在小组中进行交流，得出一个长方体它的平面展开图具有的一个特
征：多样性．许多立体图形都能展开成平面图形．
（2）学生活动：观察展开图，看看它的展开图由哪些平面图形
组成？再把展开的纸板复原为包装，体会立体图形与平面图形的关
系．
三、课堂小结
1．本节课认识了一些常见的立体图形和平面图形．
2．一个立体图形从不同方向看，可以是一个平面图形；可以把
立体图形进行适当的裁剪，把它展开成平面图形，或者把一个平面图
形复原成立体图形，即立体图形与平面图形可以互相转换．
注：小结可采取师生互动的方式进行，由学生归纳，教师进行评
价、补充．
四、作业布置
1．课本第 123 页至第 124 页习题 4．1 第 1～6 题．
2．选用课时作业设计．
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4.1.2 点、线、面、体
【教学目标】
1、通过丰富的实例，学生进一步认识点、线、面、体的几何特征，
感受它们之间的关系。
2、培养学生操作、观察、分析、猜测和概括等能力，同时渗透转化、
化归、变换的思想。
3、养成学生积极主动的学习态度和自主学习的方式。
【重点难点】
重点：认识点、线、面、体的几何特征，感受它们之间的关系。
难点：在实际背景中体会点的含义。
【教学准备】圆柱、圆锥、正方体、长方体、球、棱柱、棱锥模型
【教学过程】
一、 创设情境
多媒体演示西湖风光，垂柳、波澜不起的湖面、音乐喷泉、雨天、
亭子……随着镜头的切换，学生在欣赏美丽风景的同时，教师引导学
生注意观察：垂柳像什么？平静的湖面像什么？湖中的小船像什么？
随着音乐起伏的喷泉又像什么？在岸边的亭子中我们寻找到了哪些
几何图形？从中感受生活中的点、线、面、体．
设计意图：从西湖风光引入新课，引导学生观察生活中的美妙画
面，不仅能激发学生的学习兴趣，而且让学生对点、线、面、体有了
初步的形象认识，感知知识来源于生活．如“点”是没有大小的，学
生难以真正理解，可以借助湖中的小船、地图上用点表示城市的位里
这些生活实例，让学生体会到“点”的含义．
二、讨论（动态研究）
课件演示：灿烂的星空，有流星划过天际；汽车雨刷；长方形
绕它的一边快速转动；问：这些图形给我们什么样的印象？
观察、讨论．让学生共同体会“点动成线、线动成面、面动成
体，’．
让学生举出更多的“点动成线、线动成面、面动成体”的例子。
小组合作学习，学生利用学具完成教科书第 114 页练习（动手
转一转）
设计意图：教师利用多媒体动态演示，让学生主动参与学习活
动，观察感受，经历体验图形的变化过程，通过合作学习，感悟知识
的生成、变化、发展，激发学生的联想与再创造能力。学生自己动手
实践操作，加深学生印象，化解难度。
三、讨论（静态研究）
教师展示图片（建筑或生活的实物等），让学生找找生活中的平面、
曲面、直线、点等。
让学生找出生活中更多的包含平面、曲面、直线、曲线、点的例
子。
四、 探索
1、课本 112 页观察，并回答它的问题。
引导学生观察后得出结论：面与面相交得到线，线与线相交得到
点。
2、113 页练习（提供实物，议一议，动手摸一摸），思考以下问题：
这些立体图形是由几个面围成的，它们都是平的吗？圆锥的侧面
与底面相交成几条线，是直线还是曲线？正方体有几个顶点？经过每
个顶点有几条边？
让学生自己体会并小组讨论得出点、线、面、体之间的关系。
五、 作业
1、“当你远远地去观察霓虹灯组成的图案时，图案中的每个霓虹
灯就是一个点；在交通图上，点用来表示每个地方；电视屏幕上
的画面也是由一个个小点组成；运用点可以组成数字和字母，这
正是点阵式打印机的原理．”说
说你对上述这段叙述的理解和体会．
2、阅读教科书第 119 页的实验与探究，并思考有关问题．
课后反思：————————————————————————
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4.2.1 直线、射线、线段（1）
【教学目标】
1、进一步认识直线、射线、线段的联系和区别，逐步掌握它们的表
示方法；
2、结合实例，了解两点确定一条直线的性质，并能初步应用；
3、会画一条线段等于已知线段．
4、能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形．在图形
的基础上发
展数学语言．
5、初步体验图形是有效描述现实世界的重要手段，并能初步应用空
间与图形
的知识解释生活中的现象以及解决简单的实际问题，体会研究几何图
形的意义．
【重点难点】
重点：认识直线、射线、线段的区别与联系．学会正确表示直线、射
线、线段，逐步使学生懂得几何语句的意义并能建立几何语句与图形
之间的联。
难点：：能够把几何图形与语句表示、符号书写很好的联系起来。
【教学准备】
打好小洞的 10cm 长，1cm 宽的硬纸条和装有揿扣，边长为 15cm 的正
方形纸板。
二、 创设情境
1、观察教科书 121 页图 3.2 一 1.
2、学校总务处为解决下雨天学生雨伞的存放问题，决定在每个
班级教室外钉一根 2 米长的装有挂钩的木条．本校三个年级，每个年
级八个班，问至少需要买几颗钉子？你能帮总务处的师傅算一算吗？
设计意图：创设实际问题情景，引导学生思考，激发学习兴趣。
二、探索实践，自主归纳
（学生按照学习小组，利用打好小洞的 10 cm 长，1 cm 宽的硬
纸条和撒扣进行实践活动）小组之间交流实践成果，相互补充完善，
并解决问题（1）、（2）．得到直线性质：两点确定一条直线．
你画我说
要求学生分别画一条直线、射线、线段，教师给出规范表示方法·
设计意图：学生通过动手实践，观察分析，猜想，合作交流，
体验并感悟到直线的性质．让学生自己归纳性质，在小组交流中完善
表述．（教学中学生用自己的语言描述性质，语言可能不够准确简练、
完整细致，面对这种情况，不必操之过急，要允许学生有一个发展的
时间与空间。）
三、议一议
结合自己所画图形寻找直线、射线、线段的特征，说说它们
之间的区别与联系并交流．思考：怎样由一条线段得到一条射线
或一条直线？
举出生活中一些可以看成直线、射线、线段的例子．
设计意图：在自己动手画好直线、射线和线段的基础上，要求学
生说出它们的区别与联系，目的是使学生进一步认识线段、射线、直
线。
六、 我说你画
完成教科书 122 页练习。使学生逐步懂得几何语句的意义并能建立几
何语句与图形之间的联系。
七、 数学活动
独立探究：画一条线段等于已知线段 a，说说你的想法．小组交
流补充．
教师边说边示范尺规作图并要求学生写好结论．
设计意图：慢慢让学生读清题意并学会按照要求正确画出图形．并
让学生自己说出想法，培养学生独立操作，自主探索的数学实脸学习
八、 布置作业
1、教科书 124 页习题 3.2 第 2、3、4题。选做 126 页习题 3.2 第 10
题。
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4.2.2 直线、射线、线段（2）
【教学目标】
1、结合图形认识线段间的数量关系，学会比较线段的大小；
2、利用丰富的活动情景，让学生体验到两点之间线段最短的性质，
并能初步应用．
3、知道两点之间的距离和线段中点的含义。
【重点难点】
重点：线段大小比较，线段的性质是重点。
难点：线段上点、三等分点、四等分点的表示方法及运用是难点。
【教学准备】
棉线、中国地图等。
【教学过程】
三、 创设情境
1、多媒体演示十字路口：为什么有些人要过马路到对面，但又
没走人行横道呢？
2、讨论第 124 页思考题：
学生分组讨论：从 A 地到 B 地有四条道路，如果要你选择，你走
哪条路？为什么？
在小组活动中，让他们猜一猜，动动手，再说一说．学生交流比
较的方法．
除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？
为什么？
小组交流后得到结论：两点之间，线段最短．
结合图形提示：此时线段 AB的长度就是 A、B两点之间的距离．
3、做一做：
测量北京、天津、上海、重庆四个直辖市之间的距离．
（小组合作完成）
设计意图： 人人都有几何直觉．创设问题情景的目的是引导学
生探究发现，让学生感受两点之间线段最短的事实．
“做一做”解决生活中的数学问题，是为了进一步巩固两点之间
的距离的意义，引导学生主动参与学习过程，从中培养学生动手和合
作交流的能力．
二、数学活动
1、 教师给出任务：比较两位同学的身高。
2、 学生讨论、实践、交流方法，师生总结评价。
设计意图：体会线段比较的意义与方法，培养学生的实践、探究能力，
在发现诸多结论后，注重引导学生归纳、概括。
三、想一想
教师在黑板上任意画两条线段 AB, CD.怎样比较两条线段的长
短？（在学生独立思考和讨论的基础上，请学生把自己的方法进行演
示、说明）
1、用度量的方法比较；
2、放到同一直线上比较．
教师给出表示方法．
九、 试一试
教科书第 123 页练习
十、 折一折
让学生将一条绳子对折，使绳子的端点重合，说说你的感受．
在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，
折痕与线段的交点就是线段的中点．
引导学生看第 123 页书，你能找到线段的中点吗？三等分点？四
等分点？
画一画．教师给出表示方法．
设计意图：在实际背景中感受中点的含义。
十一、 勇攀高峰
尝试完成教科书 125 页习题 3.2 第 9 题。
十二、 布置作业
1、必做题：
教科书 125 页习题 3.2 第 5、7、8 题．
2、备选题：
(1)数轴上 A,B 两点所表示的数分别是－5，1，那么线段 AB的长
是 个单位长度，线段 AB的中点所表示的数是
(2)已知线段 AC和 BC 在一条直线上，如果 AC =5.6 cm,BC=2.4 cm,
求线段 AC 和 BC 的中点之间的距离．
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4.3.1 角的度量（1）
教学内容
课本第 137 页至第 138 页．
教学目标
1．知识与技能
（1）在现实情境中，认识角是一种基本的几何图形，理解角的
概念，学会角的表示方法．
（2）认识角的度量单位度、分、秒，会进行简单的换算和角度
计算．
2．过程与方法
提高学生的识图能力，学会用运动变化的观点看问题．
3．情感态度与价值观
经历在现实情境中认识角的数学活动过程，感受图形世界的丰富
多彩，增强审美意识，激发学生的求知欲．
重、难点与关键
1．重点：会用不同的方法表示一个角，会进行角度的换算是重
点．
2．难点：角的表示、角度的换算是难点．
3．关键：学会观察图形是正确表示一个角的关键．
教具准备
多媒体设备、量角器、时钟、四棱锥．
一、引入新课
1．观察时钟、四棱锥．
2．提出问题：
时钟的时针与分针，棱锥相交的两条棱，都给我们什么样的平面
图形的形象？请把它画出来．
学生活动：进行独立思考、画图，然后观看教师的演示过程．
教师活动：用多媒体演示角的形成过程：一条射线 OA 绕端点 O
旋转到 OB的位置，得到的平面图形──角．
板书：角．
二、新授
1．角的概念．
（1）提出问题：
从上面活动过程中，你能知道角是由什么图形组成的吗？
学生回答：两条射线．
（2）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这
个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．（如下图）
2．角的表示．
学生活动：阅读课本第 137 页有关内容，了解角的表示方法．
教师活动：讲解角的不同表示方法，着重讲解一个顶点有多个角
的表示方法．
请用适当的方法表示下图中的每个角．
学生活动：请一个学生板书练习，其余学生独立练习．
教师活动：巡视学生练习情况，给予评价，对多数同学作出肯定
评价．
学生活动：阅读课本第 138 页思考题，进行小组交流，获得问题
结论．
教师活动：参与学生交流，并用多媒体演示平角、周角的形成过
程，启发引导学生对问题进行探索，并对学生讨论结果进行评价．
答案：分别形成平角、周角．
3．角的度量．
教师活动：指导学生阅读课本 P138 页内容，讲解角的度量方法
及度、分、秒的换算．
板书：1 周角=_____°，1 平角=_____°，1°=____′，1′
=____″．
学生活动：思考并完成上面的填空．
例：把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角（精确到分）？
教师讲解计算过程．
三、巩固练习
1．课本第 139 页练习．
2．计算：（1）48°39′+67°41′；
（2）90°-78°19′40″；
（3）22°30′×8； （4）176°52′÷3．
此：此练习由学生独立完成，在练习过程中充分地进行小组交流
以解决练习过程中的疑难，教师巡视过程中对个别学习困难的学生及
时给以答疑解惑，并请学生板书后再讲评．
3．想一想：时钟在 5 点 15 分时，时钟的时针与分针所成的角是
多少度？
师生互动：观察时钟在 5 点 15 分时，时针与分针所处位置，教
师引导、启发学生先从时针在分针转动到 15 分时，分针转过的角度
与时针转过的角度的关系，并请学生在小组中进行交流，从而得出正
确的答案．
答案：76.5°．
四、课堂小结
师生互动，完成本节课的小结：
1．什么是角？组成角的图形是什么？如何表示一个角？
2．本节课还复习了平面、周角？怎样得到这两种角？
3．角的度量单位是什么？它们是如何换算的？
五、作业布置
1．课本第 144 页习题 4．3第 1、2、3、4 题．
2．选用课时作业设计．
课后反思：————————————————————————
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4.3.2 角的度量（2）
教学内容
课本第 139 页．
教学目标
1．知识与技能
会用量角器测一个角的大小，能借助三角板画出 30°，45°，
60°，90°等特殊角及用量角器画出一个给定度数的角，会用尺规
作图画一个角等于已知角，熟悉并理解画法语言．
2．过程与方法
经历本节课的画一个角等于已知角，测量角的大小数学活动，提
高学生的动手操作能力．
3．情感态度与价值观
经历本节课的数学活动过程，尝试从不同角度寻求解决问题的方
法，体会不同方法间的差异，能够在测量画图等操作活动过程中发挥
主动作用．
重、难点与关键
1．重点：会用量角器测量角的大小，会用尺规画一个角等于已
知角．
2．难点：用尺规画一个角等于已知角．
3．关键：引导学生积极参与画图的数学活动过程，才能熟练掌
握画图步骤．
教具准备
一副三角板、量角器、多媒体设备、投影仪．
教学过程
一、引入新课
1．投影一个五角星的图案，请学生观察图形．（如右图）
2．提出问题：
你知道五角星的五个角是多少度吗？你是怎样知道的？
二、新授
学生活动：在小组中交流测量角的大小方法，可借助三角板估计
角的度数，或用量角器量出角的度数．
教师活动：巡视收集学生测量的方法，并请学生说明不同方法得
出的结论有何不同，对学生的活动过程给予积极评价．
结论：每个角均为 36°．
1．画一个角等于已知角．
（1）提出问题：
你能用量角器画一个角等于 36°吗？能画一个角等于 108°
吗？
学生活动：两个学生板书演示画图过程，其余同学独立完成．
教师活动：巡视并指导学生画图．
（2）提出问题：
你能用三角板画出 30°，45°，60°，90°等特殊角吗？
学生活动：动手画图．
教师活动：指导个别学生画图，评价学生的画图结果．
2．用尺规画一个角等于已知角．
探究：已知∠AOB，画一个角等于这个角．
学生活动：先进行独立思考，阅读课本第 139 页探究内容，动手
画图，小组交流解决疑难，根据教师的演示，进行自我评价．
教师活动：启发引导学生画图，并巡视指导学生画图，然后板书
演示画图过程（画图过程中指导学生阅读课本中的画法），指导学生
进行自我评价：用量角器量∠A′O′B′与∠AOB，看一看度数是否相
等．
三、巩固练习
任意画一个钝角∠AOB，用尺规画一个角等于∠AOB．
师生互动：教师在黑板上画钝角∠AOB，请一个学生板书画图教
师巡视指导其余学生画图．
请同学们用三角板画出（1）15°；（2）75°；（3）105°；（4）
120°；（5）135°的角．
教师活动：在学生活动过程中，教师对学生进行必要的指导，如
15°看成 45°～30°，用两块三角板画出 15°的角．
四、课堂小结
本节课我们通过测量角的度数，复习了角的度量方法，学会了用
不同的工具画角．
提出问题：
请同学们说出你所知道的测量角的大小的仪器．（同学互相补充）
教师活动：打开多媒体播放有关用仪器测量角的活动片子，让学
生认识测量角的仪器．
五、作业布置
1．课本第 145 页至第 146 页习题 4．3 第 6、11、14 题．
2．选用课时作业设计．
课后反思：————————————————————————
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4.3.3 角的比较与运算
教学内容
C
BA
课本第 139 页至第 141 页．
教学目标
1．知识与技能
（1）在现实情境中，运用类比的方法，学会比较两个角的大小，
丰富对角的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系．
（2）通过动手操作，学会借助三角板拼出不同度数的角，认识
角的平分线及角的等分线，会画角的平分线．
2．过程与方法
进一步培养和提高学生的识图能力和动手操作的能力，认识类比
的数学思想方法．
3．情感态度与价值观
能在动手操作画图、拼图的数学活动过程中发挥积极作用，体验
数学活动的成功经验，激发学生的学习热情．
重、难点与关键
1．重点：比较角的大小，认识角的大小关系，分析角的和差关
系，认识角平分线及画角平分线是本节课的重点．
2．难点：认识复杂图形中角的和差关系，比较两个角的大小是
难点．
3．关键：从动手操作过程中，认识角的大小关系，认识角的和
差关系及认识角平分线，也是学好本节课知识的关键．
教具准备
量角器、三角板、圆规、剪刀、透明纸、多媒体设备．
教学过程
一、引入新课
教师活动：在黑板上画出一个三角形．（如右图所示）
1．提出问题：比较图中线段 AB、BC、CD 的长短．
学生活动：回顾线段长短的比较方法．小组交流，得出适当的比
较线段长短的方法．
教师活动：归纳学生的讨论结果，并演示用圆规比较 AB、BC、
CD 三条线段长短的过程，并写出结论：AB>AC>BC．
2．提出问题：
怎样比较图中∠A、∠B、∠C 的大小？
学生活动：小组交流比较方法，得出结论：可用量角器先量出角
的度数，然后比较它们的大小．
教师活动：（1）肯定评价学生提出的方法，并动手测量度数，
比较它们的大小，板书结论：∠C>∠B>∠A．（2）启发引导学生，类
比线段长短的比较方法，也可以把它们叠合在一起比较大小．
二、新授
1．提出问题：
如何用叠合的方法比较角的大小？
学生活动：进行小组交流讨论，动手操作：每个学生都在透明纸
上画一个角，然后剪下这个角，并与小组中其它同学所画的角进行比
较后归纳出比较方法和比较结果，然后观看多媒体演示角的比较过
程．
教师活动：巡视并指导学生进行角的比较活动过程，打开多媒体
演示角的比较过程：把一个角移到另一个角上，顶点与一条边重合；
两个角的另一边都在重合边的同侧．观察这两边的位置关系，就能得
出两个角的大小关系．
注：讲解过程应强调操作过程，让学生掌握角的比较的操作过程．
完成课本第 142 页练习．
注：教师在评价学生完成练习的情况时，应对较好的方法给予肯
定的评价，鼓励学生进行探索．
2．认识角的和差．
学生活动：思考课本第 140 页观察中的问题，小组交流思考的结
论．
教师活动：讲解观察中的问题，给出图中各角之间的和差关系．（如
下图）
∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∠AOB=∠AOC-∠BOC．
提出问题：∠AOC-∠AOB=________．
3．动手操作：用三角板拼出特殊角，完成课本第 140 页探究中
的问题．
学生活动：每个学生都用三角板进行尝试拼出 15°、75°的角，
并讲出其中的理由．
提出问题：
利用一副三角板还能拼出多少度的角？
学生活动：小组交流后说出这些角的度数，各小组之间互相补充．
教师活动：评价学生的结论，对学生的答案进行归纳补充．
4．认识角的平分线．
教师活动：在透明纸上画一个角，沿着顶点对折，使角的两边重
合．
学生活动：观察老师演示过程，并思考下面问题．（如下图）
提出问题：∠AOC 被折痕 OB 分成的两个角有什么关系？
在图中，射线 OB把∠AOC 分成相等的两个角，即∠AOB=∠BOC，
∠AOC 与∠AOC和∠BOC 有什么关系？这个关系怎样用式子来表示？
射线 OB叫做什么？
学生活动：阅读课本第 140 页有关内容，回答上面问题．
教师活动：讲解角平分线定义，板书：角的平分线．
教师活动：指导学生看课本第 141 页图 3．4-5，讲解角的三等
分线．
请学生动手完成课本 P138 探究，加深对角的平分线的认识．
在纸上画一个角，设法画出这个角的平分线．
学生活动：思考并进行小组交流，总结出角平分线的画法并画图．
教师活动：对学生总结出的画法进行评价，并演示画图过程．
（1）借助量角器画图：以已知角顶点为顶点，已知角的一边为
边，在已知线的内部画一个度数等于已知角度数一半的角，则这个角
的另一边就是已知角的平分线．
（2）用折叠方法：把角沿顶点对折，使角的两边重合，沿折痕
在角的内部画一条射线即为已知角的平分线．
三、课堂小结
师生互动，共同总结本节课的学习内容：
1．角的大小比较方法和角的大小关系有哪些？认识了角的哪些
运算．
2．本节课学习了用三角板拼出哪些角？
3．角平分线的定义是什么？
四、作业布置
1．课本第 145 页习题 4．3 复习巩固 5，综合运用 10，拓广探索
15．
2．选用课时作业设计．
课后反思：————————————————————————
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4.3.4 余角和补角
教学目标：
1、知识与技能：
⑴、在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余
角和补角的性质。
⑵、了解方位角，能确定具体物体的方位。
2、过程与方法：
进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，
学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。
3、情感态度与价值观：
体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要
作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小
组交流中获益。
重、难点及关键：
1、重点：认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位是本节课
的重点。
2、难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规
范的语言描述性质是难点。
3、关键：了解推理的意义和推理过程是掌握性质的关键。
教学过程：
一、引入新课：
80
65
46
44
25
10
让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔。
比萨斜塔建于 1173 年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约
二百年才完工。设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基
不均匀和土层松软而倾斜。
二、新课讲解：
1、探究互为余角的定义：
如果两个角的和是 90°(直角)，那么这两个角叫做互为余角，其
中一个角是另一个角的余角。即:∠1 是∠2 的余角或∠2 是∠1 的余
角。
2、练习⑴：
图中给出的各角，那些互为余角？
3、探究互为补角的定义：
如果两个角的和是 180°(平角)，那么这两个角叫做互为补角，
其中一个角是另一个角的补角。即:∠3 是∠4 的补角或∠4 是∠3 的
补角。
4、练习⑵：
（1）图中给出的各角，那些互为补角？
170
120100 150
80
10
30
60
（2）填下列表：
∠a
∠a的余角 ∠a 的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′
x°
结论：同一个锐角的补角比它的余角大 90°。
（3）填空：
①70°的余角是 ，补角是 。
②∠（∠ <90°）的它的余角是 ，它的补角
是 。
重要提醒：ⅰ(如何表示一个角的余角和补角)
锐角∠的余角是（90 °—∠ ）
∠的补角是（180 °—∠ ）
4
3
2
1
ⅱ互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关。
5、讲解例题：
例 1:若一个角的补角等于它的余角 4倍，求这个角的度数。
解： 设这个角是 x °，则它的补角是（ 180°－x°）,余角是
(90°－x°) 。
根据题意得：
（180－x°）= 4 (90－x°)
解之得： x =60
答：这个角的度数是 60 °。
6、练习⑶：
一个角的补角是它的 3 倍,这个角是多少度?
7、探究补角的性质：
如图∠1 与∠2 互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么
∠2与∠４相等吗？为什么？
教师活动：操作多媒体演示。
学生活动：观察图形的运动，得出结果：∠2=∠４
补角性质：同角或等角的补角相等
教师活动：向学生说明，以上从观察图形得到的结论，还可以从
理论上说明其理由。
∵ ∠1 +∠2=180°， ∠3 +∠4=180°
2
1
4
3
4
3 2
1
E
D
B
A
C
O
∴ ∠2=180°－∠1 ， ∠4=180°－ ∠3
∵ ∠1 =∠3
∴ 180°－∠1 =180°－ ∠3
即：∠2 =∠4
8、探究余角的性质：
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么
∠2与∠４相等吗？为什么？
教师活动：操作多媒体演示。
学生活动：观察图形的运动，得出结果：∠2=∠４
余角性质：同角或等角的余角相等
教师活动：向学生说明，以上从观察图形得到的结论，还可以从
理论上说明其理由。
∵ ∠1 +∠2=90°， ∠3 +∠4=90°
∴ ∠2=90°－∠1 ， ∠4=90°－ ∠3
∵ ∠1 =∠3
∴ 90°－∠1 =90°－ ∠3
即：∠2 =∠4
9、讲解例题：
例2：如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直线上,
O
D
C
B
A
2
1
西北
西南
东南
东北
北
西
南
东
45 30
6068
O
东
南
西
北
且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？
解:∠1=∠3
∵ ∠1+∠2= ∠COD=90°
∠3+∠2= ∠AOB=90°
∴ ∠1=∠3 (等角的余角相等)
10、练习⑷：
如图∠AOB = 90 °,∠COD = 90 °则∠1与∠2 是什么关系？
11、讲解方位角：
（1）认识方位：
正东、正南、正西、正北、东南、
西南、西北、东北。
（2）找方位角：
ⅰ乙地对甲地的方位角 ⅱ甲地对乙地的方位角
12、讲解例题：
例 3:选择题：
(1)A 看 B 的方向是北偏东 21°，那么 B 看 A 的方向（ ）
A:南偏东 69° B:南偏西 69° C:南偏东 21° D:南
偏西 21°
(2)如图，下列说法中错误的是（ ）
A: OC 的方向是北偏东 60°
B: OC 的方向是南偏东 60°
C: OB 的方向是西南方向
A
O
60
南
东
北
西
D: OA 的方向是北偏西 22°
(3)在点 O 北偏西 60°的某处有一点 A，在点 O 南偏西 20°的某
处有一点 B，则∠AOB 的度数是（ ）
A:100° B:70° C:180° D:140°
例 4:如图.货轮 O 在航行过程中,发现灯塔 A 在它南偏东 60°的
方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西 10°,西北(即北偏西45°)方
向上又分别发现了客轮 B,货轮 C 和海岛 D.仿照表示灯塔方位的方法
画出表示客轮 B,货轮 C 和海岛 D方向的射线.
三、课堂小结：
1、本节课学习了余角和补角，并通过简单的推理，得到出了余
角和补角的性质。
2、了解方位角，学会了确定物体运动的方向。
四、课外作业：
1、课本第 114 页：9、11、12 题。
2、学习指要第 78-79 页：训练二和训练三。
课后反思：————————————————————————
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4.4.1 设计制作长方体形状的包装纸盒（一）
教学任务分析
教
学
目
标
知识技
能
利用立体图形的平面展开图制作包装纸盒．
数学思
考
通过问题的解决使学生进一步理解立体图形和相
应平面图形之间的转化关系．
解决问
题
通过包装纸盒的制作，使学生掌握制作长方体纸
盒的一般方法，能够独立制作出相关的包装盒．
情感态
度
在解决问题的过程中，使学生提高对合作意识的
认识，培养合作精神．
重
点
如何把立体图形转化为平面图形，制作包装纸盒．
难
点
如何把立体图形转化为平面图形．
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
提出问题、明确任务
提出活动步骤、分组活
动．
小结与作业
指明活动的主要内容．
在活动的过程，培养学生的合作意识与
合作能力，以及动手能力．
归纳总结、巩固新知．
教学过程设计
一、提出问题，指明活动的主要内容
活动名称：设计制作长方体形状的纸盒．
方法：观察、讨论、动手制作．
材料：厚（硬）纸板、直尺、裁纸刀、剪刀、胶水、彩笔等．
准备：收集一些长方体形状的包装盒，如墨水瓶盒、粉笔盒、饼
干盒、牛奶包装盒、牙膏盒等．
二、提出活动步骤、分组活动
活动步骤：
1．观察、讨论
以 5～6 人为一组，各组确定所要设计制作的包装盒的类别，明
确分工．
（1）观察作为参考物的包装盒，分析其各面、各棱的大小与位
置关系．
（2）拆开盒子，把它铺平，得到表面展开图；观察它的形状，
找出对应长方体各面的相应部分；度量各部分的尺寸，找出其中的相
等关系．
（3）把表面展开图复原为包装盒，观察它是如何折叠并粘到一
起的．
（4）多拆、装几个包装盒，注意它们的共同特征．
（5）经过讨论，确定本组的设计方案．
2．设计制作
（1）先在一张软纸上画出包装盒表面展开图的草图，简单设计
一下，裁纸、折叠，观察效果．如果发生问题，调整原来的设计，知
道达到满意的初步设计．
（2）在硬纸板上，按照初步设计，画好包装盒的表面展开图，
注意要预留出粘合处，并要减去适当的棱角．在表面展开图上进行图
案与文字的美术设计．
（3）裁下表面展开图、折叠并粘好粘合处，得到长方体包装盒
3．交流、比较
各组展示本组的作品，并介绍设计思想和制作过程．
讨论本组的作品，重点探究以下问题：
（1）制成的包装盒是否是长方体？若不是，是哪个地方出项了
问题？如何改正？
（2）从使用性上看，包装盒形状、尺寸是否合理？用料是否节
省？是否需要改进？
（3）包装盒的外观设计是否美观？
（4）对平面图形与立体图形的联系有哪些新认识？
4．评价、小结
评价各组的活动情况，小结活动的主要收获．
三、小结与作业
小结：制作立体图形――先转化为平面图形（平面展开图），再
转化为立体图形（折叠）．
作业：
（1）自己设计制作一个正六棱柱形状（底面是 6 条边相等、6 个
角都相等的六边形，6个侧面都是长方形）的包装盒；
（2）自己设计制作一个圆柱形的包装纸盒．
课后反思：————————————————————————
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4.4.2 设计制作长方形状的包装纸盒（二）
[教学目标]
1．通过对长方体和它的表面的探索，进一步了解直线与直线的平行、
相交、异面的关系，以及直线与平面、平面与平面的平行、垂直的关
系。
2．会设计制作长方体纸盒，并对纸盒进行美术设计。
此外，培养学生观察、实验、分析、判断、归纳和概括的能力，空间
想象力、综合应用知识的能力和语言表达能力、审美能力，渗透空间
图形和平面图形之间的相互联系。相互转化的数学思想，培养学生的
实践意识、创新精神和团队合作的精神，发展学生的个性品质和特长。
[引导性材料]
按“同质”的原则将学生分成若干个小组（分 8～10 组），每组
准备一只长 21厘米、宽 14 厘米、高 7厘米的长方体白纸板盒，一只
墨水瓶，另配有白纸一块，剪纸刀、剪子、胶水、刻度尺、铅笔和彩
笔各一支。
（教师应对学生合理、有效地分组，尽可能做到组间同质、组内
异质。“同质”，就可以保证各组实践操作所花的时间大体一致，也便
于各小组之间进行公平的比较和竞争；“异质”，即组内成员的差异性，
有利于每个成员发挥其个性和特长，有效地展开互助与合作。）
（另外，为了便于学生直观地探索和研究立体图形和平面图形的
关系，顺利地设计制作墨水瓶的包装盒。教师要预先制作几个长方体
纸板盒。制作时，盒子尽量要做大一点，便于学生观察；面与面之间
的连接处都要用胶带封好，不留下制作的痕迹，使各棱在外观上保持
一致，学生沿棱将纸盒剪开时，可随机地得到不同的平面展开图，以
有利于发展学生的求异思维。）
教师在讲台上展示出粉笔盒、玻璃杯、药品、营养品等各种各样
的产品包装盒，问：这些包装盒的形状有什么共同的特点呢？从而提
出本节课的主题：长方体和它的表面。
[知识产生和发展过程的教学设计]
问题 1－1：长方体是一个立体图形，它是由几个面、多少条棱、
多少个顶点组成的呢？
问题 1－2：长方体的 6 个面是平面图形还是立体图形？是什么
形状？长方体中相对的两个面有什么特殊的位置关系？（互相平行）
这两个面的形状有什么关系？（相同）。它们的面积呢？（相等）长
方体中相邻的两个面有什么特殊的位置关系呢？（互相垂直）
问题 1－3：长方体的棱共有 12条，同一方向的棱的大小和位置
有什么特殊的关系呢？（同一方向的棱互相平行，且长度相等）不同
方向的棱呢？（不同方向的校互相垂直或异面，长度不一定相等）。
（学生回答时有可能答不全，教师要根据情况分位置关系和大小
两方面引导学生去观察、比较、思考；另一方面，教师可要求学生根
据学过的定义，找出平行、垂直、异面的棱，找出互相平行、互相垂
直的棱与面、面与面。）
问题 2－1：现在请将每一组的纸制长方体沿棱剪开，展开成一
个完整的平面展开图，需要剪开多少条棱？（由组长负责，人人参与，
分工明确，团结合作，强调用剪刀和剪纸刀时要注意安全，尽量保持
卫生。）
（剪开长方体纸盒，得到平面展开图，应剪开七条棱）问题 2－
－2：如图 2．8—1 所示，将其沿棱剪开，所得的平面展开图是什么
样的？由各小组长到讲台前分别展示所得的图形。（共有如图 2．8－
2～图 2．8－7所示的六种图形）
图 2．8－1
图 2．8－2 图 2．8－3
图 2．8－ 4 图 2．8－5
图 2．8－6 图 2．8－7
（由于每组学生剪开的棱不同，会得到不同的平面展开图形，教师要
对学生的创新活动给予充分的肯定，即使不能全部展示六种情况也没
关系，教师可以继续让学生探索，直到展示出六种情况为止。）
问题 2－3：你能试着从六个平面展开图中发现它们的共同特点吗？
（它是由长方体的表面所组成的。六个表面在同一平面内；边与边之
间互相平行或垂直；原来相对的面成为相隔的面；长方体的长、宽、
高成了其平面展开图中的每个长方形的长和宽。）
（学生可能不能完全讨论出结果，教师可在启发之后，给予完整的结
论。）
问题 3－1：按刚才长方体的平面展开图的大小，在白纸板上制作出
平面图，并折成长方体。
（培养学生观察实验能力，在动手制作的过程中一方面复习知识，另
一方面加强组员之间的团结协作精神，发展学生的个性品质和特长。）
问题 3－2：设计出与教科书中长城牌墨水瓶不同的图案，不仅可用
彩笔在盒上画出包装盒表面的产品广告设计，而且可以用电脑进行创
意。图案以朴实大方设计合理为主。
（培养学生的审美能力，设计制作包装盒也不是件容易的事，一次不
行可重来。当个人想法与大家想法不一致时，可保留自己的想法，个
人服从集体，发挥团结合作的精神。）
问题 4－1：如图 2．8－8 所示，长方体顶点 A 处有一只小蚂蚁，沿
长方体表面爬行到 B 处，小蚂蚁非常聪明，它总是能按照最短的路线
爬行，你能找到这条最短的路线吗？为什么？
问题 4－2：设计出与如果是从顶点 A沿表面转一圈爬到顶点 A′，最
短的路线是什么呢？
图 2．8－8
（这两个问题可根据实际情况，有选择地提出。解决这两个问题的关
键在于将长方体这个立体图形展开成平面展开图，将立体问题转化为
平面问题解决，渗透了空间图形和平面图形之间相互联系、相互转化
的数学思想。）
［练习］
课本第 94页练习第 1、2题。
［小结］
这节课，从研究长方体出发，先把长方体展开成平面图形，再学习制
作长方体纸盒。在这样的实践活动中，我们可以体会到：用数学的眼
光观察事物，常常能引起“探究”问题的兴趣；研究解决问题之前，
要设计方案，并尽量考虑周全；在解决问题过程中，又要根据需要调
整原来的方案；问题得到解决以后，要总结经验，相互交流。同时，
在这样的过程中，大家要学会互相帮助，团结协作，还要发挥自己的
聪明才智和创造能力。通过这节课的学习，大家一定会感到学好数学
是有用的，学习数学就要会用数学知识解决实践中的问题。
课后反思：————————————————————————
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