七年级数学上册25整式加法和减法新版湘教版

七年级数学上册25整式加法和减法新版湘教版

2.5 整式的加法和减法 1. 判断同内项，进一步掌握合并同内项； 2. 理解去括号法则，并能正确运用去括号法则进行化简多项式 . 动脑筋： 如图，在一块长为 x ，宽为 y 的草地中间，挖了一个面积为 的水池后，剩余草地的面积是多少 ？ 例如，在多项式 x 2 y +3 x +1 - 4 x - 5 x 2 y - 5 中 ， 同类项有 x 2 y 与 - 5 x 2 y ， 3 x 与 - 4 x ， 1 与 - 5. 像多项式 中的项 xy ， ，它们含有的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，称它们为 同类项 . 多项式 x 2 y +3 x +1 - 4 x - 5 x 2 y - 5 中的同类项可以合并吗？ 我想可以 . 因为多项式中的字母表示的是数 ， 所以我们可以运用交换律 、 结合律 、 分配律把多项式中的同类项进行合并 . x 2 y +3 x +1 - 4 x - 5 x 2 y - 5 = x 2 y - 5 x 2 y +3 x - 4 x +1 - 5 （ 交换律 ） = ( 1 - 5 ) x 2 y + ( 3 - 4 ) x + ( - 4 ) （ 分配律 ） = ( x 2 y - 5 x 2 y ) + ( 3 x - 4 x ) + ( 1 - 5 ) （ 结合律 ） = - 4 x 2 y - x - 4 . 把多项式中的同类项合并成一项，叫做 合并同类项 . 例 1 合并同类项： （ 1 ） - 4 x 4 - 5 x 4 + x 4 ； （ 2 ） . 解 （ 1 ） - 4 x 4 - 5 x 4 + x 4 - 4 x 4 - 5 x 4 + x 4 = - 8 x 4 = ( - 4 - 5+1 ) x 4 （ 2 ） 解 合并同类项时，只要把它们的系数相加，字母和字母的指数不变 . 例 2 合并同类项： （ 1 ） - 3 x 2 - 14 x - 5 x 2 + 4 x 2 ； （ 2 ） xy 3 + x 3 y - 2 xy 3 + 5 x 3 y + 9 . 解 （ 1 ） - 3 x 2 - 14 x - 5 x 2 + 4 x 2 找同类项 - 3 x 2 - 14 x = ( - 3 - 5 + 4 ) x 2 - 14 x 将同类项放在一起 = 合并同类项 - 3 x 2 - 14 x = - 4 x 2 - 14 x - 5 x 2 - 5 x 2 + 4 x 2 + 4 x 2 解 （ 2 ） xy 3 + x 3 y - 2 xy 3 +5 x 3 y + 9 找同类项 = ( 1 - 2 ) xy 3 +( 1 + 5 ) x 3 y +9 将同类项放在一起 = 合并同类项 xy 3 + x 3 y - 2 xy 3 + 5 x 3 y + 9 xy 3 + x 3 y - 2 xy 3 + 5 x 3 y + 9 = - xy 3 + 6 x 3 y +9 像例 2 这样 ， 先把同类项在底下画线标出 （ 对于不同的同类项 ， 分别用不同的线 ）， 然后运用加法交换律和结合律 ， 把同类项放在一起，最后合并同类项 . 熟练以后 ， 可以不必把同类项调到一起而直接合并同类项 . （ 1 ） - 3 x 2 - 14 x - 5 x 2 + 4 x 2 ； （ 2 ） xy 3 + x 3 y - 2 xy 3 + 5 x 3 y + 9 . 多项式 x 3 - 4 x 2 + 7 x 2 - 2 x - 5 与多项式 x 3 +3 x 2 - 6 x +4 x - 5 相等吗 ？ 两个式子合并同类项后都等于 x 3 +3 x 2 - 2 x - 5 . 两个多项式分别经过合并同类项后 ， 如果它们的对应项系数都相等，那么称这两个多项式 相等 . 1. 请将下面的同类项用线连接起来： 2 x 3 xy 2 - 5 x - 7 xy 2 3 x - 4 x 3 - 7 xy 2 练习 2. 合并同类项： （ 1 ） 6 x 5 - x 5 + 9 x 5 ； （ 2 ） - xy - 4 xy - 7 xy ； （ 3 ） 8 x 4 y - 6 x 4 y +15 xy +9 - 2 x 4 y . 解 （ 1 ） 6 x 5 - x 5 + 9 x 5 = 5 x 5 +9 x 2 = 14 x 5 （ 2 ） - xy - 4 xy - 7 xy = - 5 xy - 7 xy = - 12 xy （ 3 ） 8 x 4 y - 6 x 4 y +15 xy +9 - 2 x 4 y = 8 x 4 y - 6 x 4 y - 2 x 4 y +15 xy +9 = 15 xy +9 3. 下列两个多项式是否相等 ？ x 3 - 5 x 2 + 3 x 2 - 7 x + 2 ， x 3 - 2 x 2 + 5 x - 12 x +2 . 答： x 3 - 5 x 2 + 3 x 2 - 7 x + 2 = x 3 - 2 x 2 - 7 x +2 ， x 3 - 2 x 2 + 5 x - 12 x +2 = x 3 - 2 x 2 - 7 x +2 . 所以两个多项式相等 . 动脑筋： 根据加法结合律，去掉下面式子中的括号，填空： a + （ b + c ） = ____________ ； a + （ b - c ） = ____________ . 由上面的式子你发现了什么 ？ a + b + c a + b - c 括号前是 “ +” 号 ， 运用加法结合律把括号去掉 ， 原括号里各项的符号都不变 . 一般地，有下列去括号法则： 结论 a + b 与 - a - b 的相反数分别是多少 ？ 根据加法结合律和交换律得 ( a + b )+( - a - b ) =0 ， 因此， a + b 与 - a - b 互为相反数 . 同样地 ， 我们有 a - b 与 - a + b 也互为相反数 . a – ( b - c ) = a + ( - b + c ) = ； a – ( - b - c ) = a + ( b + c ) = . 由上面的式子有什么变化规律 ？ a - b + c a + b + c 括号前是 “ - ” 号 ， 把括号和它前面的 “ - ” 号去掉 ， 原括号里各项的符号都要改变 . 一般地，有下列去括号法则： - b - c 我要去 掉括号 我的符号 全变了！ b + c 结论 我们可以利用合并同类项和去括号法则进行整式的加减运算 . 例 3 计算： （ 1 ） ( 5 x - 1 ) + ( x - 1 ) ； （ 2 ） ( 2 x + 1 ) - ( 4 - 2 x ). 解 （ 1 ） ( 5 x - 1 ) + ( x - 1 ) 将括号展开得 = 5 x - 1 + x - 1 = 6 x - 2 找同类项，计算结果 ( 5 x - 1 ) + ( x - 1 ) 解 （ 2 ） ( 2 x + 1 ) - ( 4 - 2 x ) 将括号展开得 = 2 x + 1 - 4 + 2 x = 4 x - 3 找同类项，计算结果 ( 2 x+ 1 ) - ( 4 - 2 x ) 1. 判断 （ 正确的画 “ √ ”，错误的画 “ × ” ） （ 1 ） 2 x - ( 3 y - z ) = 2 x - 3 y - z ； （ ） × （ 2 ） - ( 5 x - 3 y ) - ( 2 x - y ) = - 5 x +3 y - 2 x + y ； （ ） √ 练习 2. 计算： （ 1 ） u 2 - v 2 + ( v 2 - w 2 ) ； （ 2 ） ( 4 x - 2 y ) - ( 2 x - y ) ； （ 3 ） - ( x - 3 ) - ( 3 x - 5 ) . 2. 计算： （ 1 ） u 2 - v 2 + ( v 2 - w 2 ) ； （ 2 ） ( 4 x - 2 y ) - ( 2 x - y ) ； （ 3 ） - ( x - 3 ) - ( 3 x - 5 ) . 解 （ 1 ） u 2 - v 2 + ( v 2 - w 2 ) = u 2 - v 2 + v 2 - w 2 = u 2 - w 2 ； （ 2 ） ( 4 x - 2 y ) - ( 2 x - y ) = 4 x - 2 y - 2 x + y= 2 x – y ； （ 3 ） - ( x - 3 ) - ( 3 x - 5 ) = - x +3 - 3 x + 5 = - 4 x + 8. 动脑筋： 有两个大小不一样的长方体纸盒 ， 如图所示 ， 已知大纸盒的体积是小纸盒体积的 24 倍 . x y z （ 1 ） 这两个纸盒的体积和为多少 ？ （ 2 ） 大纸盒与小纸盒的体积差为多少 ？ 小纸盒和大纸盒的体积分别为 xyz 和 24 xyz ，故两纸盒的体积和为 xyz +24 xyz =25 xyz . 大纸盒的体积与小纸盒的体积差为 24 xyz - xyz =23 xyz . 例 4 求多项式 3 x 2 + 5 x 与多项式 - 6 x 2 +2 x - 3 的和与差 . 解 根据题意，得 3 x 2 +5 x + ( - 6 x 2 +2 x - 3 ) = 3 x 2 +5 x - 6 x 2 +2 x - 3 = - 3 x 2 +7 x - 3； 3 x 2 +5 x - ( - 6 x 2 +2 x - 3 ) = 3 x 2 +5 x +6 x 2 - 2 x +3 = 9 x 2 +3 x +3 . 例 5 先化简， 再求值. 5 xy - ( 4 x 2 + 2 xy ) - 2 ( 2.5 xy +10 ) ， 其中 x =1， y = - 2. 解 5 xy - ( 4 x 2 +2 xy ) - 2 ( 2.5 xy +10 ) = 5 xy - 4 x 2 - 2 xy - ( 5 xy +20 ) = 5 xy - 4 x 2 - 2 xy - 5 xy - 20 = - 4 x 2 - 2 xy - 20. 当 x =1 ， y = - 2 时 ， - 4 x 2 - 2 xy - 20= - 4×1 2 - 2×1× ( - 2 ) - 20 = - 20 . 1. 当 x = - 3 时，求 7 x 2 - 3 x 2 + ( 5 x 2 - 2 ) 的值. 79 练习 2. 当 x = 时，求 10 x + ( x - 1 ) - ( 3 x +2 ) 的值. - 5 3. 先化简，再求值 . 0.125 3 xy 2 - 4 x 2 - 2 ( 2 xy 2 - 3 x 2 ) - x 2 ， 其中 x =0.5 ， y = - 0.5. 1. 请举出用字母表示数的实例 . 2. 什么叫代数式 ？ 列代数式时 ， 一般怎么规范书写 ？ 如何求代数式的值 ？ 3. 什么叫单项式 、 多项式 ？ 单独一个数或字母是单项 式吗 ？ 单项式的次数 、 多项式的次数分别是如何确定 的 ？ 4. 什么叫同类项 ？ 怎样合并同类项 ？ 5. 举例说明如何进行整式的加减运算 . 小结与复习 用字母表示数 列代数式 整式 整式的加减 代数式 求代数式的值 单项式 多项式 合并同类项 去括号 本章知识结构 1. 单独一个数或字母是单项式 ， 分母中含有字母的代 数式不是整式 . 2. 单项式的次数是所有字母的指数的和 ， 多项式的次 数是多项式中次数最高的项的次数 . 4. 多项式的加减运算关键是正确地去括号、合并同类 项 . 去括号时 ， 特别要注意括号前面如果是 “ - ” 号 ， 则去掉括号后 ， 括号里各项都要改变符号 . 3. 确定单项式的系数时要注意前面的正负号 ， 如 - x 2 y 的 系数是 - 1 ； 确定多项式中每一项的系数时也要注意 它前面的符号 . 注意事项