【精品】人教版 七年级下册数学 8

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1 【教学目标】 知识技能:①了解三元一次方程组的含义。 ②学会解三元一次方程组。 过程方法:①通过观察、猜想、类比等活动，提高学生的观察能力，发展学生类比学习的能力。 ②经过三元一次方程组的解法学习，让学生体会化归思想。 情感态度价值观:①通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神 ②在数学活动中获得成功，提高学生的学习兴趣。 【教法指导】 本节课是人教版九年制义务教育七年级下册第八章《二元一次方程组》的最后一个课时，本节课是在 学生学习了二元一次方程组及其解法的基础上，让学生通过类比方法学习三元一次方程组，设计的实际问 题的未知数越来越多，数量关系也越来越复杂，解法步骤也相应的更加，更强调了化未知为已知的思想。 由浅入深，循序渐进，引导学生观察、猜测，逐步培养学生的观察推理能力.为以后多元次的方程学习奠定 的基础。 【教学过程】 ☆导入新课☆ 我们在前几节课学习了二元一次方程组，你还记得这些内容吗？什么是二元一次方程组？解二元一次 方程组有哪几种方法 ？它们的实质是什么？ ☆探究新知☆ 我们来看看下面这个题目 小明有 12 张面额分别为 1 元、2 元、5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍.求 1 元、2 元、5 元纸币各多少张？ 请同学们找一找题目中有几个未知数？含有几个相等关系？ 答：这个问题中包含 3 个未知数，1 元、2 元、5 元纸币各多少张；3 个相等关系（如下） 1 元纸币张数＋2 元纸币张数＋5 元纸币张数＝12 张 1 元纸币的张数＝2 元纸币的张数的 4 倍 1 元的金额＋2 元的金额＋5 元的金额＝22 元 2 你能根据上面的等式列出方程组吗？ 答 ： 设 1 元 、 2 元 、 5 元 的 纸 币 分 别 为 x 张 、 y 张 、 z 张 ， 根 据 题 意 可 以 得 到 下 面 三 个 方 程 : x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y. 你能说出上面三个方程有什么特点吗？你能给它们命名吗？ 答：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，我们称为三元一次方程。 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把三个方程用大括号合在一起，写成       yx zyx zyx 4 2252 12 对比二元一次方程组的定义，你能给上面的方程组命名吗？并指出它们的异同点？ 答：三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程。 它们的区别在于：三元一次方程组中含有三个未知数，并且一共有三个方程组成；而二元一次方程组中含 有二个未知数，并且一共有二个方程组成.相同之处是：每个方程中含未知数的项的次数都是 1 的整式方程. 如何解上面的三元一次方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法呢？ 答：       yx zyx zyx 4 2252 12 把方程③分别代入①②，得      22524 124 zyy zyy 解这个方程组, 得      2 2 z y 把 y=2，z=2 代入③，得 x=8. 因此, 三元一次方程组的解为       2 2 8 z y x ① ② ③ 3 这种称为代入法 除了代入法，能不能用加减消元法来解答呢？ 答：       yx zyx zyx 4 2252 12 ①×5-②, 得 4x+3y=38 ④ ③与④组成方程组, 得      3834 4 yx yx 解这个方程组, 得      2 8 y x 把 x=8,y=2 代入①, 得 z=2. 因此，三元一次方程组的解为       2 2 8 z y x . 通过上面的学习，你能归纳出解三元一次方程组的基本思路吗？ 答：解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次 方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程，这与解二元一次方程组的思路是一样的。 思考：如何选择简捷的方法来解三元一次方程组呢？ 答：解题前要认真观察各方程的系数特点，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个 元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解． ☆尝试应用☆ 在等式 y＝ax2＋bx＋c 中，当 x＝1 时，y＝－2；当 x＝－1 时，y＝20；当 3 2x  与 1 3x  时，y 的值相等， 则 a＝________，b＝________，c＝________． 【答案】6 －11 3 解：根据题意，可得方程组 ① ② ③ 4 2 20 9 3 1 1 4 2 9 3 a b c a b c a b c a b c                   由③得 11a＋6b＝0④，②－①得－2b＝22， 解得 b＝－11，将 b＝－11 代入④得 a＝6， 再将 a＝6，b＝－11 代入①得 c＝3． 故原方程组的解为 6, 11, 3. a b c       考点：三元一次方程组 ☆能力提升☆ 解下列方程组 （1） 2 0 3 4 6 x y x y      （2） 3 10 2 6 12 x y z x y z x y z            [来源:学§科§网 Z§X§X§K] 【答案】（1） 6 3 x y     ；（2） 3 4 5 x y z      ． 【解析】 分析：怎样能求出两个方程的解呢？两方程组利用加减消元法求出解即可． 解：（1） x 2y 0 3x 4y 6    ＝ ① ＝ ② ， ②-①×2 得：x=6， 将 x=6 代入①得：y=-3， 则方程组的解为 6 3 x y     ； （2） 3x y z 10 x 2y z 6 x y z 12         ＝ ① ＝ ② ＝ ③ ， ①+②得：4x+y=16④， ②+③得：2x+3y=18⑤， ⑤×2-④得：5y=20，即 y=4， 将 y=4 代入④得：x=3， 5 将 x=3，y=4 代入①得：z=5， 则方程组的解为 3 4 5 x y z      ． 考点：1.解二元一次方程组；2.解三元一次方程组． ☆课堂小结☆ （1）含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫 做三元一次方程组。 （2）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一 次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程，这与解二元一次方程组的思路是一样 的。 （3）如何选择简捷的方法来解三元一次方程组？解题前要认真观察各方程的系数特点，当方程组中某个方 程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程 系数较简单，也可以用代入法求解． ☆课堂提高☆ 1．下列四组数值中，为方程组       23 12 02 zyx zyx zyx 的解是（ ） A、       2 1 0 z y x B、       1 0 1 z y x C、       0 1 0 z y x D、       3 2 1 z y x 【答案】D 考点：解三元一次方程组 2．下列是三元一次方程组的是（ ） A． [来源:Zxxk.Com] 6 B． C． D． 【答案】D 【解析】 A 选项未知数最高次数是 2，所以不是三元一次方程组；B 选项含有未知数式子不是整式，所以不是三元一 次方程组;C 选项未知数的最高次数是 3，所以不是三元一次方程组． 故选 D．[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 考点：三元一次方程组 3．有甲、乙、丙三种货物，若购甲 3 件、乙 7 件、丙 1 件共需 630 元；若购甲 4 件、乙 10 件、丙 1 件共 需 840 元，现购甲、乙、丙各一件共需 元. 【答案】210 【解析】 试题分析：三元一次方程组.根据题意可得 z=2y，则 x+y+z=x+3y=840－630=210 元. 考点：三元一次方程组的应用 4．王老师骑自行车在环城公路上匀速行驶，每隔 6 分钟有一辆环湖大巴从对面向后开过，每隔 30 分钟又 有一辆环湖大巴从后面向前开过，若环湖大巴也是匀速行驶，且不计乘客上、下车的时间，那么起点站每 隔 分钟开出一辆环湖大巴。 【答案】10 考点：三元一次方程组的应用． 5．若甲、乙两数的和为 a，乙、丙两数的和为 b，甲、丙两数的和为 c，则甲、乙、丙三个数的和为________． 【答案】 1 ( )2 a b c  【解析】 设甲、乙、丙三个数分别为 x，y，z． 7 根据题意，可得方程组 , , . x y a y z b x z c         ① ② ③ ①＋②＋③得：2x＋2y＋2z＝a＋b＋c，2（x＋y＋z）＝a＋b＋c， 1 ( )2x y z a b c     ，故甲、乙、丙 三个数的和为 1 ( )2 a b c  考点：三元一次方程组 6.某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得 14405，将前三位数组成的 数与后五位数组成的数相加得 16970，求此人家的电话号码？ 【答案】82616144. 解析：设前 3 位数为 x，第 4 位数为 y，后 4 位数为 z 10 14405 10000 16970 x y z x y z      ＝ ＝ ， ∴1111y-x=285， ∵100≤x≤999，0≤y≤9，1000≤z≤9999， ∴y=1，x=826，z=6144， ∴电话号码是 100000x+10000y+z=82616144．[来源:学科网 ZXXK] 考点： 三元一次方程组 8