2019-2020学年黑龙江省哈尔滨工大附中七年级（下）期中数学试卷

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨工大附中七年级（下）期中数学试卷

‎2019-2020学年黑龙江省哈尔滨工大附中七年级（下）期中数学试卷（五四学制）‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．（3分）若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集是（　　）‎ A．x≤2 B．x＞1 C．1≤x＜2 D．1＜x≤2‎ ‎3．（3分）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．（3分）如图，△ABC中，D为DC上的一点，且S△ABD＝S△ACD，则AD为△ABC的（　　）‎ A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定 第37页（共37页）‎ ‎5．（3分）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝76°，∠C＝64°，则∠DAE的度数是（　　）‎ A．10° B．12° C．15° D．18°‎ ‎6．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　）‎ A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF ‎7．（3分）如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，BC＝DE，则下列结论中不正确的是（　　）‎ A．△ABC≌△CDE B．E为BC中点 C．AB⊥CD D．CE＝AC ‎8．（3分）如图，△ABC 中，∠A＝60°，点D、E分别为AB、AC上的点，则∠1+∠2＝（　　）‎ 第37页（共37页）‎ A．180° B．200° C．220° D．240°‎ ‎9．（3分）若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（　　）‎ A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形 ‎10．（3分）如图，BE和CE分别为△ABC的内角平分线和外角平分线，BE⊥AC于点H，CF平分∠ACB交BE于点F连接AE．则下列结论正确的个数为（　　）‎ ‎①∠ECF＝90°；②AE＝CE；③∠BFC＝90°+∠BAC；④∠BAC＝2∠BEC；⑤∠AEH＝∠BCF．‎ A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 二、填空题（每小题3分，共30分）‎ ‎11．（3分）如果是二元一次方程3mx﹣2y﹣1＝0的解，则m＝　 　．‎ ‎12．（3分）一元一次不等式2x﹣3＞1的解是　 　．‎ ‎13．（3分）A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，则这艘轮船在静水中的速度是每小时　 　千米．‎ ‎14．（3分）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，那么这些书共有　 　本．‎ ‎15．（3分）如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在BD上，若∠A＝70°，∠ABD＝22°，∠DCE＝25°，则∠BEC＝　 　．‎ 第37页（共37页）‎ ‎16．（3分）如果一个多边形的内角和是1440°，那么这个多边形是　 　边形．‎ ‎17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE＝　 　cm．‎ ‎18．（3分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积为21cm2，AB＝8cm，AC＝6cm，则DE的长为　 　cm．‎ ‎19．（3分）已知△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的高，且∠CAD＝10°，则∠BAC的度数为　 　．‎ ‎20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CH为△ABC斜边上的中线，点F为CH上一点，连接BF并延长交AC于点D，过点A作AE⊥AC，连接CE和DE，若∠ACE＝2∠ABF，CE＝13，CD＝8，则△CDE的面积为　 　．‎ 第37页（共37页）‎ 三、解答题（共60分）（注：在解答题中如果需要用到等腰三角形的性质及判定请证明而不能直接用）‎ ‎21．（8分）解方程组及不等式组：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎22．（6分）正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：‎ ‎①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；‎ ‎②连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下边的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在下面的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．‎ ‎23．（8分）某校学生会向全校1900名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1和图2，请根据相关信息，解答系列问题：‎ 第37页（共37页）‎ ‎（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　 　人，图1中m的值是　 　．‎ ‎（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；‎ ‎（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．‎ ‎24．（8分）如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上截取BF＝AC，延长CE至点G使CG＝AB，连接AF，AG．‎ ‎（1）如图1，求证：AG＝AF；‎ ‎（2）如图2，若BD恰好平分∠ABC，过点G作GH⊥AC交CA的延长线于点H，请直接写出图中所有的全等三角形并用全等符号连接．‎ ‎25．（10分）“双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌A、B两款羽绒服来销售，若购买3件A，4件B需支付2400元，若购买2件A，2件B，则需支付1400元．‎ ‎（1）求A、B两款羽绒服在网上的售价分别是多少元？‎ ‎（2）若个体户从淘宝网上购买A、B 第37页（共37页）‎ 两款羽绒服各10件，均按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？‎ ‎26．（10分）如图，在△ABC中，点E和点F在边BC上，连接AE，AF，使得∠EAC＝∠ECA，∠BAE＝2∠CAF．‎ ‎（1）如图1，求证：∠BAF＝∠BFA；‎ ‎（2）如图2，在过点C且与AE平行的射线上取一点D，连接DE，若∠AED＝∠B，求证：BE＝CD；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，当AE⊥BC时，连接AD，过点A作AG⊥AE且AG＝CD，连接CG．过点E作EH⊥AD于点H，EH交CG于点Q，若EQ＝16，QH＝9，求CE的长．‎ ‎27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B（a，0），点C（0，b）分别在x轴，y轴上，其中a，b是二元一次方程5a﹣3b＝8的解，且a为不等式≤+1的最大整数解．‎ 第37页（共37页）‎ ‎（1）证明：OB＝OC；‎ ‎（2）如图1，连接AB，过点A作AD⊥AB交y轴于点D，在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，取CE的中点F，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，连接CG，OA．当点A在第一象限内运动（AD不经过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；‎ ‎（3）如图2，连接BC，点A为BC边的中点，点M是OC上一点，连接AM，过点A作AN⊥AM交OB于点N，连接BM，若∠OBM＝2∠CAM，BM﹣BN＝2，求点M的坐标．（此问用勾股定理不给分）‎ 第37页（共37页）‎ ‎2019-2020学年黑龙江省哈尔滨工大附中七年级（下）期中数学试卷（五四学制）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据未知数的个数对A进行判断；根据一元一次方程组对B进行判断；根据未知数的次数对C、D进行判断．‎ ‎【解答】解：A、有三个未知数，所以A选项不正确；‎ B、由两个一元一次方程所组成的方程组，所以B选项正确；‎ C、有一个二元二次方程，所以C选项不正确；‎ D、有一个二元二次方程，所以D选项不正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了二元二次方程组：由两个一元一次方程所组成的方程组称为一元一次方程组．‎ ‎2．（3分）若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集是（　　）‎ A．x≤2 B．x＞1 C．1≤x＜2 D．1＜x≤2‎ ‎【分析】根据数轴表示出解集即可．‎ ‎【解答】解：根据题意得：不等式组的解集为1＜x≤2．‎ 第37页（共37页）‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．‎ ‎3．（3分）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据三角形的高的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由三角形的高的定义可知，如果线段BD是△ABC的高，那么BD⊥AC，垂足是点D．‎ 四个选项中，只有D选项中BD⊥AC．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．理解定义是关键．‎ ‎4．（3分）如图，△ABC中，D为DC上的一点，且S△ABD＝S△ACD，则AD为△ABC的（　　）‎ 第37页（共37页）‎ A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定 ‎【分析】直接根据三角形的面积公式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵S△ABD＝S△ACD且△ABD与△ADC同高，‎ ‎∴BD＝CD，即AD为△ABC的中线．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键．‎ ‎5．（3分）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝76°，∠C＝64°，则∠DAE的度数是（　　）‎ A．10° B．12° C．15° D．18°‎ ‎【分析】根据∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD，求出∠EAC，∠CAD即可．‎ ‎【解答】解：∵AE平分∠BAC，‎ ‎∴∠CAE＝∠CAB＝×76°＝38°，‎ ‎∵AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣64°＝26°，‎ ‎∴∠DAE＝∠EAC﹣∠ACD＝38°﹣26°＝12°，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ 第37页（共37页）‎ ‎6．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　）‎ A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF ‎【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB＝DE，BC＝EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B＝∠E即可．‎ ‎【解答】解：A、根据AB＝DE，BC＝EF和∠BCA＝∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；‎ B、∵在△ABC和△DEF中 ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；‎ C、∵BC∥EF，‎ ‎∴∠F＝∠BCA，根据AB＝DE，BC＝EF和∠F＝∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；‎ D、根据AB＝DE，BC＝EF和∠A＝∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．‎ ‎7．（3分）如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，BC＝DE，则下列结论中不正确的是（　　）‎ 第37页（共37页）‎ A．△ABC≌△CDE B．E为BC中点 C．AB⊥CD D．CE＝AC ‎【分析】首先证明△ABC≌△CDE，推出CE＝AC，∠D＝∠B，由∠D+∠DCE＝90°，推出∠B+∠DCE＝90°，推出CD⊥AB，即可一一判断．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC和Rt△CDE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△CDE，‎ ‎∴CE＝AC，∠D＝∠B，‎ ‎∵∠D+∠DCE＝90°，‎ ‎∴∠B+∠DCE＝90°，‎ ‎∴CD⊥AB，‎ 故A、C、D正确，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．‎ ‎8．（3分）如图，△ABC 中，∠A＝60°，点D、E分别为AB、AC上的点，则∠1+∠2＝（　　）‎ 第37页（共37页）‎ A．180° B．200° C．220° D．240°‎ ‎【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据多边形内角和定理求出即可．‎ ‎【解答】解：∵∠A＝60°，‎ ‎∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝120°，‎ ‎∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C＝360°﹣120°＝240°，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了三角形内角和定理和多边形内角和定理，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°．‎ ‎9．（3分）若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（　　）‎ A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形 ‎【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，由此可得到答案．‎ ‎【解答】解：设这个多边形是n边形．‎ 依题意，得n﹣3＝10，‎ ‎∴n＝13．‎ 故这个多边形是13边形．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．‎ ‎10．（3分）如图，BE和CE分别为△ABC的内角平分线和外角平分线，BE⊥AC于点H，CF平分∠ACB交BE于点F连接AE．则下列结论正确的个数为（　　）‎ ‎①∠ECF＝90°；②AE＝CE；③∠BFC＝90°+∠BAC；④∠BAC＝2∠BEC；⑤∠AEH＝∠BCF．‎ 第37页（共37页）‎ A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 ‎【分析】①正确．根据角平分线的定义以及平角的性质即可解决问题．‎ ‎②正确．证明BE垂直平分线段AC即可．‎ ‎③正确．利用角平分线的定义以及三角形内角和定理即可解决问题．‎ ‎④正确．利用参数构建方程组解决问题即可．‎ ‎⑤正确．利用等角的余角相等证明即可．‎ ‎【解答】解：∵CF平分∠ACB，CE平分∠ACD，‎ ‎∴∠ACF＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，‎ ‎∴∠ECF＝∠ACF+∠ACE＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，故①正确，‎ ‎∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，‎ ‎∴∠ABE＝∠CBE，∠BHA＝∠BHC＝90°，‎ ‎∴∠BAH+∠ABE＝90°，∠ACB+∠EBC＝90°，‎ ‎∴∠BAC＝∠BCA，‎ ‎∴AB＝BC，‎ ‎∵BE⊥AC，‎ ‎∴AH＝CH，‎ ‎∴EA＝EC，故②正确，‎ 第37页（共37页）‎ ‎∵∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，故③正确，‎ 设∠ACE＝∠ECD＝x，∠ABE＝∠EBC＝y，‎ 则有，可得∠BAC＝2∠BEC，故④正确，‎ ‎∵EA＝EC，BE⊥AC，‎ ‎∴∠AEB＝∠BEC，‎ ‎∵∠FCH+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BEC＝90°，‎ ‎∴∠FCH＝∠BEC＝∠AEB，‎ ‎∵∠ACF＝∠BCF，‎ ‎∴∠AEH＝∠BCF，故⑤正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ 二、填空题（每小题3分，共30分）‎ ‎11．（3分）如果是二元一次方程3mx﹣2y﹣1＝0的解，则m＝　　．‎ ‎【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值．‎ ‎【解答】解：把代入方程得：3m﹣5＝0，‎ 第37页（共37页）‎ 解得：m＝，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．‎ ‎12．（3分）一元一次不等式2x﹣3＞1的解是　x＞2　．‎ ‎【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．‎ ‎【解答】解：移项，得：2x＞1+3，‎ 合并同类项，得：2x＞4，‎ 系数化为1，得：x＞2，‎ 故答案为：x＞2．‎ ‎【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．‎ ‎13．（3分）A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，则这艘轮船在静水中的速度是每小时　17　千米．‎ ‎【分析】设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时，y千米/小时，由于A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，由此即可方程组解决问题．‎ ‎【解答】解：设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时，y千米/小时，‎ 依题意得，‎ 解得：，‎ 答：这艘船在静水中的速度为17千米/小时，‎ 故答案为：17．‎ 第37页（共37页）‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．‎ ‎14．（3分）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，那么这些书共有　26　本．‎ ‎【分析】设共有x名学生，根据每人分3本，那么余8本，可得图书共有（3x+8）本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，可得出不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：设共有x名学生，则图书共有（3x+8）本，‎ 由题意得：，‎ 解得：5＜x≤6.5，‎ ‎∵x为非负整数，‎ ‎∴x＝6．‎ ‎∴这些书共有：3×6+8＝26（本）．‎ 故答案为：26．‎ ‎【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出不等式组即可求解．‎ ‎15．（3分）如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在BD上，若∠A＝70°，∠ABD＝22°，∠DCE＝25°，则∠BEC＝　117°　．‎ ‎【分析】两次利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式进行计算即可得解．‎ 第37页（共37页）‎ ‎【解答】解：在△ABD中，∠A＝70°，∠ABD＝22°，‎ ‎∴∠CDE＝∠A+∠ABD＝70°+22°＝92°，‎ ‎∴∠BEC＝∠DCE+∠CDE＝25°+92°＝117°．‎ 故答案为：117°．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，两次利用性质是解题的关键．‎ ‎16．（3分）如果一个多边形的内角和是1440°，那么这个多边形是　十　边形．‎ ‎【分析】利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°即可解决问题．‎ ‎【解答】解：设它的边数为n，根据题意，得 ‎（n﹣2）•180°＝1440°，‎ 所以n＝10．‎ 所以这是一个十边形．‎ ‎【点评】本题需仔细分析题意，利用多边形的内角和公式结合方程即可解决问题．‎ ‎17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE＝　5　cm．‎ ‎【分析】由余角的性质可证∠CAD＝∠BCE，即可证明△CDA≌△BEC，可得CD＝BE，CE＝AD，根据DE＝CE﹣CD，即可解题．‎ ‎【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，‎ ‎∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，‎ 第37页（共37页）‎ ‎∴∠CAD＝∠BCE，‎ 在△CDA和△BEC中，‎ ‎，‎ ‎∴△CDA≌△BEC（AAS），‎ ‎∴CD＝BE，CE＝AD，‎ ‎∵DE＝CE﹣CD，‎ ‎∴DE＝AD﹣BE，‎ ‎∵AD＝8cm，BE＝3cm，‎ ‎∴DE＝5cm，‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CDA≌△BEC是解题的关键．‎ ‎18．（3分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积为21cm2，AB＝8cm，AC＝6cm，则DE的长为　3　cm．‎ ‎【分析】先根据角平分线的性质得到DE＝DF，再利用三角形面积公式得到×AB×DE+×DF×AC＝21，所以×8×DE+×DE×6＝21，然后解关于DE的方程即可．‎ ‎【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，‎ ‎∴DE＝DF，‎ 第37页（共37页）‎ ‎∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，‎ ‎∴×AB×DE+×DF×AC＝21，‎ 即×8×DE+×DE×6＝21，‎ ‎∴DE＝3（cm）．‎ 故答案为3．‎ ‎【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．‎ ‎19．（3分）已知△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的高，且∠CAD＝10°，则∠BAC的度数为　40°或60°　．‎ ‎【分析】在Rt△ABD中，∠B与∠BAD互余，而∠CAD＝50°，故有∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD或∠BAC＝∠BAD+∠CAD，依此即可求解．‎ ‎【解答】解：如图，当∠C是钝角三角形时，‎ ‎∵∠D＝90°，∠B＝40°，‎ ‎∴∠BAD＝50°，‎ ‎∵∠CAD＝10°，‎ ‎∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝50°﹣10°＝40°．‎ 或如图，当∠C是锐角时，‎ 第37页（共37页）‎ ‎∵∠ADB＝90°，∠B＝40°，‎ ‎∴∠BAD＝50°，‎ ‎∵∠CAD＝10°，‎ ‎∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝50°+10°＝60°．‎ 故答案为：40°或60°．‎ ‎【点评】此题考查三角形的内角和，直角三角形两个锐角互余的性质，把问题转化为两个角的差解决问题．‎ ‎20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CH为△ABC斜边上的中线，点F为CH上一点，连接BF并延长交AC于点D，过点A作AE⊥AC，连接CE和DE，若∠ACE＝2∠ABF，CE＝13，CD＝8，则△CDE的面积为　20　．‎ ‎【分析】作辅助线，构建全等三角形，设∠ABF＝α，则∠ACE＝2a，根据三角形内角和定理得：∠OAD＝∠CBG，证明△CAK≌△CGD（ASA），得CK＝CD，∠CKA＝∠CDG，表示各角可得∠EAK＝∠EKA，得AE＝5，根据三角形面积公式可得结论．‎ ‎【解答】解：如图，延长BD交CE于G点，过A作AK⊥BG交CE于K，交GD于O，‎ 第37页（共37页）‎ 设∠ABF＝α，则∠ACE＝2a，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，‎ ‎∴∠ABC＝45°，‎ ‎∴∠CBG＝45°﹣α，∠BCG＝90°+2α，‎ ‎∴∠CGB＝180°﹣（45°﹣α）﹣（90°+2α）＝45°﹣a，‎ ‎∴∠CBG＝∠CGB，‎ ‎∴CG＝CB＝AC，‎ 在Rt△ADO和Rt△BDC中，‎ ‎∵∠AOD＝∠DCB＝90°，∠ODA＝∠BDC，‎ ‎∴∠OAD＝∠CBG，‎ 在△CAK和△CGD中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△CAK≌△CGD（ASA），‎ ‎∴CK＝CD，∠CKA＝∠CDG＝∠DCB+∠CBD＝90°+（45°﹣α）＝135°﹣α，‎ ‎∴∠EKA＝180°﹣∠CKA＝180°﹣（135°﹣α）＝45°+α，‎ ‎∵∠EAK＝∠EAC﹣∠KAC＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α＝∠EKA，‎ ‎∴AE＝EK＝CE﹣CK＝CE﹣CD＝13﹣8＝5，‎ ‎∴S△CDE＝＝＝20，‎ 第37页（共37页）‎ 故答案为：20．‎ ‎【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解決可题．‎ 三、解答题（共60分）（注：在解答题中如果需要用到等腰三角形的性质及判定请证明而不能直接用）‎ ‎21．（8分）解方程组及不等式组：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【分析】（1）利用加减消元法求解可得；‎ ‎（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：（1），‎ ‎①×3﹣②，得：2x＝8，‎ 解得x＝4，‎ 将x＝4代入①，得：8+y＝5，‎ 解得y＝﹣3，‎ 则方程组的解为；‎ ‎（2）解不等式2x﹣1＞x+1，得：x＞2，‎ 解不等式x+8＜4x﹣1，得：x＞3，‎ 则不等式组的解集为x＞3．‎ 第37页（共37页）‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎22．（6分）正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：‎ ‎①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；‎ ‎②连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下边的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在下面的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．‎ ‎【分析】本题中得出直角三角形的方法如图：‎ 如果设AE＝x，BE＝4﹣x，如果∠FEG＝90°，△AFE∽△GBE，‎ AF•BG＝AE•BE＝x（4﹣x），‎ 当x＝1时，AF•BG＝3，AF＝1，BG＝3或AF＝3，BG＝1，‎ 当x＝2时，AF•BG＝4，AF＝1，BG＝4或AF＝2，BG＝2或AF＝4，BG＝1，‎ 当x＝3时，AF•BG＝3，AF＝1，BG＝3或AF＝3，BG＝1（同x＝1时），‎ 由此可画出另两种图形．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ 第37页（共37页）‎ ‎．‎ ‎【点评】本题中借助了勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识来得出有可能的直角三角形的情况，要学会对已学知识点的运用．‎ ‎23．（8分）某校学生会向全校1900名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1和图2，请根据相关信息，解答系列问题：‎ ‎（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　50　人，图1中m的值是　32　．‎ ‎（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；‎ ‎（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．‎ ‎【分析】（1）根据统计图可以分别求得本次接受随机抽样调查的学生人数和图1中m的值；‎ ‎（2）根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；‎ ‎（3）根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．‎ ‎【解答】解：（1）由统计图可得，‎ 本次接受随机抽样调查的学生人数为：4÷8%＝50，‎ 第37页（共37页）‎ m%＝1﹣8%﹣16%﹣20%﹣24%＝32%，‎ 故答案为：50，32；‎ ‎（2）本次调查获取的样本数据的平均数是：＝16（元），‎ 本次调查获取的样本数据的众数是：10元，‎ 本次调查获取的样本数据的中位数是：15元；‎ ‎（3）该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为：1900×＝608，‎ 即该校本次活动捐款金额为10元的学生有608人．‎ ‎【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．‎ ‎24．（8分）如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上截取BF＝AC，延长CE至点G使CG＝AB，连接AF，AG．‎ ‎（1）如图1，求证：AG＝AF；‎ ‎（2）如图2，若BD恰好平分∠ABC，过点G作GH⊥AC交CA的延长线于点H，请直接写出图中所有的全等三角形并用全等符号连接．‎ ‎【分析】（1）根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；‎ ‎（2）根据全等三角形的判定解答即可．‎ 第37页（共37页）‎ ‎【解答】证明：（1）∵BD、CE分别是AC、AB两条边上的高，‎ ‎∴∠AEC＝∠ADB＝90°，‎ ‎∴∠ABD+∠BAD＝∠ACE+∠CAE＝90°，‎ ‎∴∠ABD＝∠ACG，‎ 在△AGC与△FAB中，，‎ ‎∴△AGC≌△FAB（SAS），‎ ‎∴AG＝AF；‎ ‎（2）图中全等三角形有△AGC≌△FAB，由得出△CGH≌△BAD，‎ 由得出Rt△AGH≌Rt△AFD．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，正确的识别图形是解题的关键．‎ ‎25．（10分）“双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌A、B两款羽绒服来销售，若购买3件A，4件B需支付2400元，若购买2件A，2件B，则需支付1400元．‎ ‎（1）求A、B两款羽绒服在网上的售价分别是多少元？‎ ‎（2）若个体户从淘宝网上购买A、B两款羽绒服各10件，均按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？‎ ‎【分析】（1）设设A款a元，B款b元，根据题意列方程组求解；‎ ‎（2）设让利的羽绒服有x件，总获利不低于3800元，列不等式，求出最大整数解．‎ ‎【解答】解：（1）设A款a元，B款b元，‎ 第37页（共37页）‎ 可得：，‎ ‎ 解得：，‎ 答：A款400元，B款300元．‎ ‎（2）设让利的羽绒服有x件，则已售出的有（20﹣x）件 ‎600 （20﹣x）+600×60% x﹣400×10﹣300×10≥3800，‎ 解得x≤5，‎ 答：最多让利5件．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．‎ ‎26．（10分）如图，在△ABC中，点E和点F在边BC上，连接AE，AF，使得∠EAC＝∠ECA，∠BAE＝2∠CAF．‎ ‎（1）如图1，求证：∠BAF＝∠BFA；‎ ‎（2）如图2，在过点C且与AE平行的射线上取一点D，连接DE，若∠AED＝∠B，求证：BE＝CD；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，当AE⊥BC时，连接AD，过点A作AG⊥AE且AG＝CD，连接CG．过点E作EH⊥AD于点H，EH交CG于点Q，若EQ＝16，QH＝9，求CE的长．‎ 第37页（共37页）‎ ‎【分析】（1）设∠CAF＝x，则∠BAE＝2x，设∠EAC＝∠C＝y．证明∠BAF＝x+y，∠BFA＝x+y即可解决问题．‎ ‎（2）证明△AEB≌△ECD（ASA）可得结论．‎ ‎（3）如图3中，延长CD交GA的延长线于M，延长EH交AM于J．证明四边形AECM是正方形，再证明△GQJ≌△CQE（AAS），推出EQ＝QJ＝16，EJ＝32，证明△EAH∽△EJA，可得＝，由此求出AE即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1中，设∠CAF＝x，则∠BAE＝2x，设∠EAC＝∠C＝y．‎ ‎∵∠BAF＝∠BAE+∠EAF，∠EAF＝y﹣x，∠BAE＝2x，‎ ‎∴∠BAF＝x+y，‎ ‎∵∠BFA＝∠C+∠CAF＝x+y，‎ ‎∴∠BAF＝∠BFA．‎ ‎（2）证明：如图2中，‎ 第37页（共37页）‎ ‎∵AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠B，‎ ‎∴∠BAE＝∠DEC，‎ ‎∵AE∥CD，‎ ‎∴∠AEB＝∠ECD，‎ ‎∵∠EAC＝∠ECA，‎ ‎∴AE＝EC，‎ ‎∴△AEB≌△ECD（ASA），‎ ‎∴BE＝CD．‎ ‎（3）解：如图3中，延长CD交GA的延长线于M，延长EH交AM于J，连接DJ．‎ ‎∵△AEB≌△ECD，‎ ‎∴∠AEB＝∠ECD，BE＝CD，‎ ‎∵AG⊥AE，AE⊥BC，‎ ‎∴∠EAM＝∠AEC＝∠ECM＝90°，‎ ‎∴四边形AECM是矩形，‎ ‎∵EA＝EC，‎ 第37页（共37页）‎ ‎∴四边形AECM是正方形，‎ ‎∴AM＝AE＝CM＝EC，∠EAJ＝∠M＝90°，‎ ‎∵AD⊥EH，‎ ‎∴∠AHE＝90°，‎ ‎∠AEJ+∠EAH＝90°，∠MAD+∠EAH＝90°，‎ ‎∴∠MAD＝∠AEJ，‎ ‎∴△EAJ≌△AMD（ASA），‎ ‎∴AJ＝DM，AD＝EJ，‎ ‎∵AG＝CD，‎ ‎∴GJ＝CM＝EC，‎ ‎∵GM∥EC，‎ ‎∴∠GJQ＝∠QEC，‎ ‎∵∠GQJ＝∠CQE，‎ ‎∴△GQJ≌△CQE（AAS），‎ ‎∴EQ＝QJ＝16，EJ＝32，‎ ‎∴AD＝EJ＝32，‎ ‎∴S四边形AEDJ＝•AD•EJ＝512，‎ ‎∵EH：HJ＝25：7，‎ ‎∴S△ADE＝×S四边形AEDJ＝400，‎ ‎∴S正方形AECM＝400，‎ 第37页（共37页）‎ ‎∴•EC2＝400，‎ ‎∴EC＝20．‎ ‎【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B（a，0），点C（0，b）分别在x轴，y轴上，其中a，b是二元一次方程5a﹣3b＝8的解，且a为不等式≤+1的最大整数解．‎ ‎（1）证明：OB＝OC；‎ ‎（2）如图1，连接AB，过点A作AD⊥AB交y轴于点D，在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，取CE的中点F，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，连接CG，OA．当点A在第一象限内运动（AD不经过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；‎ ‎（3）如图2，连接BC，点A为BC边的中点，点M是OC上一点，连接AM，过点A作AN⊥AM交OB于点N，连接BM，若∠OBM＝2∠CAM，BM﹣BN＝2，求点M的坐标．（此问用勾股定理不给分）‎ 第37页（共37页）‎ ‎【分析】（1）首先确定a，b的值，求出C，B的坐标即可解决问题．‎ ‎（2）连接OG，利用全等三角形的性质证明△ADG是等腰直角三角形即可解决问题．‎ ‎（3）如图2中，连接OA，MN，在BO的延长线上截取BJ，使得BJ＝BM，过点B作BH⊥JM于H．首先证明△ACM≌△AON（ASA），推出AM＝AN，CM＝ON，再证明OJ＝ON＝1即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）由≤+1，‎ 解得a≤4，‎ ‎∵a为不等式≤+1的最大整数解，‎ ‎∴a＝4，‎ ‎∵5a﹣3b＝8，‎ ‎∴b＝4，‎ ‎∴B（4，0），C（0，4），‎ ‎∴OB＝4，OC＝4，‎ ‎∴OB＝OC．‎ ‎（2）如图1中，连接OG．‎ ‎∵EF＝FC，∠EFA＝∠CFG，AF＝FG，‎ 第37页（共37页）‎ ‎∴△EFA≌△CFG（SAS），‎ ‎∴CG＝AE，∠FAE＝∠FGC，‎ ‎∴CG∥AD，‎ ‎∴∠GCO＝∠CDA，‎ ‎∵AB＝AE，‎ ‎∴CG＝AB，‎ ‎∵BA⊥AD，‎ ‎∴∠BAD＝∠BOD＝90°，‎ ‎∴∠ABO+∠ADO＝180°，‎ ‎∵∠ADO+∠ADC＝180°，‎ ‎∴∠ABO∠ADC＝∠GCO，‎ ‎∵OB＝OC，‎ ‎∴△AOB≌△GOC（SAS），‎ ‎∴OA＝OG，∠BOA＝∠GOC，‎ ‎∴∠GOA＝∠COB＝90°，‎ ‎∴∠OAF＝45°，‎ ‎∴∠OAF的值不变．‎ ‎（3）如图2中，连接OA，MN，在BO的延长线上截取BJ，使得BJ＝BM，过点B作BH⊥JM于H．‎ 第37页（共37页）‎ ‎∵OC＝OB，AC＝AB，∠BOC＝90°，‎ ‎∴OA＝AC＝AB，OA⊥AB，‎ ‎∵AM⊥AN，‎ ‎∴∠OCA＝∠MAN＝90°，‎ ‎∴∠CAM＝∠OAN，‎ ‎∵∠ACM＝∠AON＝45°，‎ ‎∴△ACM≌△AON（ASA），‎ ‎∴AM＝AN，CM＝ON，‎ ‎∴∠AMN＝∠ANM＝45°，‎ ‎∵∠OMA＝∠AMN+∠OMN＝∠ACO+∠MAC，∠ACM＝∠AMN＝45°，‎ ‎∴∠OMN＝∠MAC，‎ ‎∵BM＝BJ，BH⊥MJ，‎ ‎∴∠JBH＝∠MBH，‎ ‎∵∠OMB＝2∠MAC，‎ ‎∴∠JBH＝∠OMN，‎ ‎∵∠JBH+∠BJH＝90°，∠BJH+∠JMO＝90°，‎ ‎∴∠JMO＝∠JBH，‎ 第37页（共37页）‎ ‎∴∠JMO＝∠OMN，‎ ‎∵∠OJM+∠JMO＝90°，∠OMN+∠ONM＝90°，‎ ‎∴∠MJO＝∠MNO，‎ ‎∴MJ＝MN，‎ ‎∵MO⊥JN，‎ ‎∴OJ＝ON，‎ ‎∵BM﹣BN＝2，‎ ‎∴JB﹣BN＝JN＝2，‎ ‎∴CM＝ON＝OJ＝1，‎ ‎∴OM＝OC﹣CM＝4﹣1＝3，‎ ‎∴M（0，3）．‎ ‎【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2020/7/21 8:26:46；用户：五峰中学；邮箱：wfzx88@xyh.com；学号：36725791‎ 第37页（共37页）‎