2020七年级数学上册 第三章 从算式到方程 3

2020七年级数学上册 第三章 从算式到方程 3

‎3.1从算式到方程 ‎3.1.2　‎等式的性质 ‎ 情景导入　　置疑导入　　归纳导入　　复习导入　　类比导入　　悬念激趣 情景导入　同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学们说说这个故事．‎ 小时候的曹冲是多么地聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的质量．最常见的方法是用天平测量一个物体的质量．‎ 现在认识一下天平，然后回答下列问题：‎ 图3－1－7‎ 天平有什么作用呢？要让天平平衡应该满足什么条件？‎ 如果天平在平衡的条件下，左盘放着质量为(3x＋4)的物体，右盘放着质量为5x的物体，你知道怎样列式吗？你能求出x是多少吗？‎ ‎[说明与建议] 说明：通过对天平的认识让学生感受等式可以类比天平，利用天平称物的图示可以形象直观地展现等式的性质，还可以直观地展现方程的求解过程，从而激发学生的求知欲．建议：充分发挥学生的主动性，注重训练学生的合作交流意识，通过解决问题，回顾已学过的知识，提醒学生注意与新知识的对比．‎ 置疑导入　上节课我们将几个实际问题转化成了数学模型，即一元一次方程，但只列出了方程，并没有求出方程的解．其实，在小学，我们利用逆运算能够去求形如ax＋b＝c的方程．比如：5x＝3x＋4.对于这样比较复杂的方程：＝＋1，怎么解呢？‎ 要想求出这些复杂的一元一次方程的解，我们必须研究等式的性质．‎ ‎[说明与建议] 说明：让学生感受到自己具有的知识已不能够解决问题，遇到了困难，从而激发学生的求知欲．建议：可让学生尝试解这个复杂的方程，让他们亲身体会此方程的复杂，然后小组讨论，看是否能够找到解决办法．‎ ‎[命题角度1] 等式的基本性质的应用 7‎ 此种题型考查学生对等式的基本性质的理解，能否应用等式的基本性质对方程进行简单化简．‎ 例 把方程x＝1变形为x＝2，其依据是__等式的性质2__．‎ ‎[命题角度2] 利用等式的基本性质解方程 利用等式的基本性质可以把一个等式进行变形，变成ax＝b的形式，然后两边同时除以a即可．‎ 例　[湖州中考] 方程2x－1＝0的解是x＝____．‎ P83练习 利用等式的性质解下列方程并检验：‎ ‎(1)x－5＝6；　 　　(2)0.3x＝45；‎ ‎(3)5x＋4＝0；　　(4)2－x＝3.‎ ‎[答案] (1)x＝11；(2)x＝150；‎ ‎(3)x＝－0.8；(4)x＝－4.‎ P83习题3.1‎ 复习巩固 ‎1．列等式表示：‎ ‎(1)比a大5的数等于8；‎ ‎(2)b的三分之一等于9；‎ ‎(3)x的2倍与10的和等于18；‎ ‎(4)x的三分之一减y的差等于6；‎ ‎(5)比a的3倍大5的数等于a的4倍；‎ ‎(6)比b的一半小7的数等于a与b的和．‎ ‎[答案] (1)a＋5＝8；(2)×b＝9；(3)2x＋10＝18；(4)－y＝6；(5)‎3a＋5＝‎4a；(6)－7＝a＋b.‎ ‎2．列等式表示：‎ ‎(1)加法交换律；‎ ‎(2)乘法交换律；‎ ‎(3)分配律；‎ ‎(4)加法结合律．‎ ‎[答案] (1)a＋b＝b＋a；(2)a×b＝b×a；(3)a(b＋c)＝ab＋ac；(4)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．‎ ‎3．x＝3，x＝0，x＝－2，各是下列哪个方程的解？‎ ‎(1)5x＋7＝7－2x；　(2)6x－8＝8x－4；‎ ‎(3)3x－2＝4＋x.‎ 解：把x＝－3，x＝0，x＝－2分别代入方程5x＋7＝7－2x，6x－8＝8x－4；3x－2＝4＋x的左边和右边，能使左边和右边相等的值便是方程的解：‎ x＝3是方程3x－2＝4＋x的解；‎ 7‎ x＝0是方程5x＋7＝7－2x的解；‎ x＝－2是方程6x－8＝8x－4的解．‎ ‎4．用等式的性质解下列方程：‎ ‎(1)x－4＝29；　　(2)x＋2＝6；‎ ‎(3)3x＋1＝4；　　(4)4x－2＝2.‎ ‎[答案] (1)x＝33；(2)x＝8；(3)x＝1；(4)x＝1.‎ 综合运用 列方程(第5～10题)：‎ ‎5．某校七年级1班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的多3人，这个班有男生多少人？‎ 解：设这个班有男生x人，则女生有人，根据题意，得x＋x＋3＝48.‎ ‎6．把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，获得一等奖的学生有多少人？‎ 解：设获得一等奖的学生有x人，200x＋50(22－x)＝1400.‎ ‎7．今年上半年某镇居民人均可支配收入为5109元，比去年同期增长了8.3%，去年同期这项收入为多少元？‎ 解：设去年同期这项收入为x元，x(1＋8.3%)＝5109.‎ ‎8．一辆汽车已行驶了12 ‎000 km，计划每月再行驶‎800 km，几个月后这辆汽车将行驶20 ‎800 km?‎ 解：设x个月后行驶20 ‎800 km，12 000＋800x＝20 800.‎ ‎9．圆环形状如图所示，它的面积是‎200 cm2，外沿大圆的半径是‎10 cm，内沿小圆的半径是多少？‎ ‎[答案] 设内沿小圆半径是x cm，π×102－π×x2＝200.‎ ‎10．七年级1班全体学生为地震灾区共捐款428元，七年级2班每个学生捐款10元，七年级1班所捐款数比七年级2班少22元．两班学生人数相同，每班有多少学生？‎ 解：设每班有x各学生，根据题意，得 ‎10x＋(10x－22)＝428.‎ 拓广探索 ‎11．一个两位数个位上的数是1，十位上的数是x.把1与x对调，新两位数比原两位数小18，x应是哪个方程的解？你能想出x是几吗？‎ ‎[答案] (10x＋1)－(10＋x)＝18，x＝3.‎ ‎[当堂检测]‎ ‎1. 已知等式a=b，c为任意有理数，则下列等式中，不一定成立的是（　　）‎ A．a-c=b-c B．a+c=b+c C．-ac=-bc D． ‎ 7‎ ‎2下列变形不正确的是（　　）‎ A. 由2x-3=5得：2x= 8 B. 由- x =2.得：x=-3 ‎ C. 由2x =5得：x= D.由 x+5 =3x-2得：7=2x ‎3．将等式：3x = 2x + 15的两边都_________，得到：x= 15, 这是根据____________ 。‎ ‎4. 若关于x的方程：2(x- m)= 3x-1的解是x=3，则m的值是______ . ‎ ‎5. 利用等式的性质解下列方程． （1）y+3=2；       （2）9x=8x-6 ； （3）‎8m=‎4m+1．‎ 参考答案：‎ ‎1. D ‎ ‎2. C ‎ ‎3. 减去 2x 等式的性质一 ‎4. -1 ‎ ‎5.（1）y = -1‎ ‎ (2)x = - 6 ‎ ‎（3）m = ‎ ‎[能力培优]‎ 专题一 对等式性质的考查 ‎1.下列变形符合等式基本性质的是（ ）‎ A．如果2x－y=7，那么y=7－2x B．如果ak=bk，那么a=b　‎ C．如果－2x=5，那么x=5+2 D．如果，那么 ‎2.下列结论中不能由a+b=0得到的是（　　）‎ A．a2=－ab B．|a|=|b| C．a=0，b=0 D．a2=b2‎ ‎3.，． ‎ ‎4.已知‎3a+2b=1,‎3a+2b‎-3c=16，求‎2c+10的值.‎ ‎5.如图是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，那么：‎ ‎（1）求出a与c的关系是什么？‎ ‎（2）当a+b+c+d=32时，求a的值.‎ 7‎ ‎6.a、b、c三个物体的重量如下图所示： 回答下列问题： （1）a、b、c三个物体就单个而言哪个最重？ （2）若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c？‎ 专题二 对方程有关概念的考查 ‎ ‎7.若（m－2）x+3=0是关于x的一元一次方程，则m .‎ ‎8.若关于的一元一次方程的解是，则 . ‎ ‎9.如果关于x的方程（m+3）x－︱m︱+3=0的根为0，那么m的值为 .‎ ‎10.设a、b、c、d为有理数，现规定一种新的运算：=ad－bc,若 =－7，求x的值.‎ ‎11．解方程：3x－3＝2x－3,小李同学是这样解得：‎ 方程两边都加3得：3x＝2x,‎ 方程两边都除以x得：3＝2，‎ ‎∴此方程无解.‎ 小李同学的解题过程是否正确？如果正确，指出每一步的理由；如果不正确，错在哪里，并改正.‎ 知识要点：‎ ‎1.含有未知数的等式叫方程.‎ ‎2.只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.‎ ‎3.解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解.‎ ‎4.等式的性质：‎ 等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.‎ 等式性质2：等式两边乘以同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等.‎ 温馨提示：‎ ‎1.与方程有关的注意事项：‎ ‎（1）方程有两个要素，一是含有未知数，二是方程是一个等式，二者缺一不可；‎ ‎（2）方程中的未知数可以是x，也可以是其它字母；‎ ‎（3）方程中所含的未知数不一定是一个，含有两个或两个以上未知数的等式也叫做方程．‎ ‎2.与等式性质有关的注意事项：‎ ‎（1）等式性质1中的“同一个”是指等式两边所加（或减）的数（或式子）必须相同．也就是说若等式两边加（或减）的不是同一个数（或式子），则得到的式子就不是等式了．‎ ‎（2）等式性质2包括两种情况：一是等式两边乘以同一个数，结果仍然相等；二是等式两边同时除以一个不为0的数，结果仍相等．‎ ‎3.形如ax+b=0（a≠0，a，b为常数）的方程叫做一元一次方程，这里的a≠0，a，b为常数缺一不可.‎ 方法技巧：‎ ‎1.已知一个代数式的值求另一个代数式的值时常常采用整体思想求解.‎ 7‎ ‎2.判断等式变形是否正确的方法是，找到由前一个等式如何得到后一个等式，看在变形过程中是否利用了等式的基本性质 答案:‎ ‎1.D 解析：如果2x－y=7，那么y=2x－7，故A选项错；如果ak=bk，当k=0时，a≠b也成立，故B选项错；如果－2x=5，那么，故C错；如果，那么，故D正确.‎ ‎2.C 解析：因为a+b=0，所以a=－b.两边同乘以a，得 a2=－ab，故A正确；因为a=－b，所以|a|=|b|，故B正确；因为a=－b，所以a2=b2，故D正确.‎ ‎3.－4 解析：因为，所以‎2a+2b=2.所以a+b=1.所以 ‎4.解：将‎3a+2b=1代入‎3a+2b‎-3c=16得1‎-3c=16. 1－16=‎3c.所以－15=‎3c.所以c=－5.‎ 所以‎2c=2×（-5）=-10.所以‎2c+10=-10+10=0.‎ ‎5.解：（1）由图可以看出，c=a+5； （2）把b=a+1，c=a+5，d=a+6带入a+b+c+d=32，‎ 得：a+a+1+a+5+a+6=32.‎ 所以‎4a+12=32.所以‎4a=20.所以a=5.‎ 答：当a+b+c+d=32时，a=5. ‎ ‎7.≠2 解析：由题意得m－2≠0，所以m≠2.‎ ‎8.3 解析：将x=2代入得－k（2－1）+3=0.－k+3=0.解得k=3.‎ ‎9.3 解析：由题意得－︱m︱+3=0.所以－︱m︱=－3.解得m=±3.当m=-3时，m+3=0，所以舍去.故m=3.‎ ‎10.解析:根据=ad－bc得 =3×7-2x=-7，即：21-2x=-7.‎ 等式的两边同减去21，得：-2x=-28.等式的两边同除以-2，得:x=14.‎ ‎11.解析：小李的解答有错误，错在第二步，因为此时不能确定x的值是否为0，当x＝0时，方程的两边同时除以x,不符合等式的性质2.‎ 应改为：方程两边都减去2x，得3x－2x＝0,解得x＝0.‎ 7‎ ‎ ‎ 一元一次方程问题的新面孔 不少同学能够较迅速准确地解一元一次方程，但若将一元一次方程融于其它知识之中，以新面孔出现时，却感到非常棘手．现举例予以说明，希望对同学们有所帮助．‎ 一、将一元一次方程融于代数式相等关系之中 例1 当= 时，代数式（2＋4）与代数式（5－12）的值相等．‎ 析解：由题意，得（2＋4）=（5－12）．解得=3．‎ 二、将一元一次方程融于新的运算之中 例2 、、、为有理数，现规定一种新的运算： =，那么当 =18时，= ．‎ 析解：根据新的运算规则，得10－4（1－）．解得=3．‎ 三、将一元一次方程融于同类项定义之中 例3 若2与－是同类项，试求的值．‎ 析解：根据同类项的定义，得2－1=5，7－2=3．解得=3，=2．故=－=1．‎ 四、将一元一次方程融于一元一次方程的定义之中 例4 已知：3－4=0是一元一次方程，试求的值及方程的解．析解：由一元一次方程的定义，得10－3=1．解得=3，此时方程变形为3－12=0，解得=4．故=3，=4．‎ 五、将一元一次方程融于方程解的定义之中 例5 已知关于的方程2－=＋4的解为6，试求－4的值．‎ 析解：根据方程解的定义，把=6代入方程2－=＋4中，得2－6=＋4，解得=6．故－4=－4×6=12．‎ 六、将一元一次方程融于特殊方程之中 例6 若、满足4＋=0，试求＋的值．‎ 析解：由非负数的性质，得－2=0，3＋6=0．解得=2，=－2．故＋=＋=0．‎ 7‎