北师大版七年级上册-第13讲-多边形和圆的初步认识（培优）-教案

北师大版七年级上册-第13讲-多边形和圆的初步认识（培优）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第13讲---多边形和圆的初步认识授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①认识多边形、正多边形、圆和扇形；②掌握多边形的相关概念，并会求多边形对角线的条数；③掌握圆弧、圆心角、扇形的概念；④会求扇形的圆心角度数和扇形的面积。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建一、知识框架二、知识概念（一）多边形（1）多边形的定义：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。组成多边形的各条线段叫做多边形的边，相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点，相邻两条边所组成的角叫做多边形的内角。在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段，这样的线段叫做多边形的对角线。（2）n边形的内角和为(n-2)×180º。正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。12 （二）圆（1）圆:平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一端点形成的图形叫做圆，固定的端点叫做这个圆的圆心，这条线段称为半径。（2）圆上任意两点A、B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”。一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形；顶点在圆心的角叫做圆心角，，如右图，阴影部分就是扇形AOB，∠AOB就是圆中的一个圆心角。一个圆内，分成的扇形的圆心角的度数之和等于圆周角360度。每一个扇形圆心角的度数等于（3）弧长公式=圆的周长╳扇形的面积=圆的面积╳典例分析考点一：多边形例1、对角线相等的正多边形是（　　）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正方形或正五边形网版权所有【解析】根据正多边形的性质，可得答案．解：正方形的对角线相等，正五边形的对角线相等，故选：D．例2、观察图中的图形，并阅读图形下面的相关文字：三角形的对角线有0条，四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条．通过分析上面的材料，请你说说十边形的对角线有多少条？你能总结出n边形的对角线有多少条吗？【解析】根据对角线的概念，即连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．则从n边形的一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，n个顶点共有条对角线．解：十边形的对角线有=5×7=35（条），n边形的对角线有条．12 例3、提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当AP=AD时（如图②）：∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP=S△ABD．∵PD=AD﹣AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP=S△CDA．∴S△PBC=S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP=S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA=S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）=S△DBC+S△ABC．（2）当AP=AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（3）当AP=AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：　　；（4）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；问题解决：当AP=AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：　　．【解析】（2）仿照（1）的方法，只需把换为；（3）注意由（1）（2）得到一定的规律；（4）综合（1）（2）（3）得到面积和线段比值之间的一般关系；（5）利用（4），得到更普遍的规律．解：（2）∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP=S△ABD．又∵PD=AD﹣AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，12 ∴S△CDP=S△CDA．∴S△PBC=S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP=S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA=S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）=S△DBC+S△ABC．∴S△PBC=S△DBC+S△ABC（3）S△PBC=S△DBC+S△ABC；（4）S△PBC=S△DBC+S△ABC；∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP=S△ABD．又∵PD=AD﹣AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP=S△CDA∴S△PBC=S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP=S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA=S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）=S△DBC+S△ABC．∴S△PBC=S△DBC+S△ABC问题解决：S△PBC=S△DBC+S△ABC．考点二：圆、圆弧、圆心角例1、将一个圆分成1：2：3三部分，每一部分的圆心角的度数分别是　，，　．12 例2、如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是（　　）A．40°B．60°C．80°D．120°【解析】解：∵∠AOE=60°，∴∠BOE=180°﹣∠AOE=120°，∴的度数是120°，∵C、D是上的三等分点，∴弧CD与弧ED的度数都是40度，∴∠COE=80°例3、已知圆弧所在圆的半径是6，圆弧的度数为90°，则弧长为　　．【解析】由于圆弧的度数为90°，可知半径为6cm的圆弧的弧长为其所在圆的计算出圆的周长即可得出该弧的长．解：弧长为=×2π×6=3π．故答案为：3π．例4、如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（　　）A．a=bB．a＜bC．a＞bD．不能确定【解析】根据图形，得两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，则根据圆周长公式，得二人所走的路程相等．解：设小明走的半圆的半径是R．则小明所走的路程是：πR．设小红所走的两个半圆的半径分别是：r1与r2，则r1+r2=R．小红所走的路程是：πr1+πr2=π（r1+r2）=πR．因而a=b．故选A．考点三：扇形的面积等相关计算例1、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（　　）A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2D．150πcm2菁优网版权所有【解析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为25cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．解：∵AB=25，BD=15，∴AD=10，∴S贴纸=2×（﹣）=2×175π=350πcm2，故选B．12 例2、如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为（　　）A．B．C．D．【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有【分析】利用扇形的面积公式分别求出两个扇形的面积，再用较大面积减去较小的面积即可．【解答】解：﹣=，故选B．例3、如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（　　）A．πB．πC．πD．2π所有【解析】将下面阴影部分进行对称平移，根据半圆的面积公式列式计算即可求解．解：π×12×=π×1×=π．答：图中阴影部分的面积为π．故选：B．例4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，O为线段DE中点．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是（　　）A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1=S2D．不确定【解析】根据已知及圆的轴对称性质进行分析．解：根据条件上面的半圆关于OP对称，因而S1，S2直径AC上面的两部分的面积相等，△CDB与△AEB的底CD与AE相等，高相同，因而面积相同，因而S1=S2．故选C．例5、如图，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．【解析】组合图形的面积；长方形、正方形的面积；圆、圆环的面积．菁优网版权所有（1）只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．较大面积的阴影部分是图形1；小阴影部分是图形2；长方形中的不规则白色部分是图形3；（2）图形1+3的面积等于大扇形减去小扇形；而图形2+3的面积等于长方形的面积；所以图形1+3﹣（图形2+3）=图形1﹣图形2的面积=大扇形减去小扇形，再减去长方形．解：π（42﹣22）﹣4×212 =×3.14×12﹣8=9.42﹣8=1.42（平方厘米），答：两个阴影部分的面积差是1.42平方厘米．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练Ø课堂狙击1、每个内角都为120°的多边形为　　边形．【解析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．解：由题意可得：180°•（n﹣2）=120°•n，解得n=6．故多边形是六边形．2、从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　）A．2001B．2005C．2004D．2006【解析】可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解．解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为2003+1=2004．故选C．3、一个多边形的对角线的条数恰好是边数的3倍，则这个多边形的边数为（　　）A．6B．7C．8D．9【解析】排除法，设多边形有n条边，则对角线条数为，依次求出四个答案的对角线的条数，看是否是边长的倍，答案D满足条件，故选D4、在⊙O中，点M把半圆分成2：3两部分，则这两段弧所对的圆心角分别为　　．【解析】根据题意画出图形，由半圆所对的圆心角是180°即可求解．12 解：如图所示，：=2：3，∵半圆所对的圆心角是180°，：=2：3，∴所对的圆心角是：×180°=72°，所对的圆心角是180°﹣72°=108°．故答案为：72°和108°．5、如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（　　）A．B．3πC．D．2π【解析】圆心角之和等于n边形的内角和（n﹣2）×180°，由于半径相同，根据扇形的面积公式S=计算即可求出圆形中的空白面积，再用5个圆形的面积减去圆形中的空白面积可得阴影部分的面积．解：n边形的内角和（n﹣2）×180°，圆形的空白部分的面积之和S==π=π=π．所以图中阴影部分的面积之和为：5πr2﹣π=5π﹣π=π．故选：C．6、如图，4个正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（　　）A．B．C．D．【解析】根据正方形的性质可得出每个扇形的圆心角的度数，从而阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1是扇形，求解即可．解：由观察知三个扇形的半径相等均为1，且左边上下两个扇形的圆心角正好是直角三角形的两个锐角，所以它们的和为90°，右上面扇形圆心角的度数为45°，∴阴影部分的面积应为：S==π．故选A7、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=4，∠B=45º，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部分的面积是（　　）【解析】根据S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD即可得出结论．S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD=×4╳4﹣=8﹣2π12 Ø课后反击1、如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出　　个三角形．【解析】（1）三角形分割成了两个三角形；（2）四边形分割成了三个三角形；（3）以此类推，n边形分割成了（n﹣1）个三角形．2、从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线，则它的边数是（　　）A．6B．7C．8D．9【解析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，列方程求解．解：设多边形有n条边，则n﹣3=6，解得n=9．故选：D．3、把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　）A．16B．17C．18D．19【解析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形．故选A．4、一个多边形从一个顶点出发共引7条对角线，那么这个多边形是为（　　）A．7边形B．8边形C．9边形D．10边形【解析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线进行解答即可．解：设这个多边形边数为n，由题意得：n﹣3=7，得：n=10．故选：D．5、已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．【解析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可求多边形的边数，再根据多边形的周长的定义可求这个多边形的各边长．解：依题意有n﹣3=4，12 解得n=7，设最短边为x，则7x+1+2+3+4+5+6=56，解得x=5．故这个多边形的各边长是5，6，7，8，9，10，11．6、将一个半圆分割成三个扇形，它们的圆心角度数比为1：7：10，那么最大扇形的圆心角的度数为　　．【解析】根据它们的圆心角的度数和为周角，则利用它们所占的百分比计算它们的度数．解：最大扇形的圆心角的度数=180°×=100°．故答案为100°．7、如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，OA=OC=1，∠AOC=90º，则图中阴影部分的面积是（　　）A．B．C．D．+【解析】OA=OB，∠AOC=90º，三角形AOC与三角形BOC属于等底同高，所以S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．解：OA=OB，∠AOC=90º∴S△AOC=S△BOC，∴S阴影部分=S扇形AOC==．故选A．8、如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形的面积为（　　）A．πB．πC．6πD．π【解析】根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′﹣S扇形BCB′求出其值即可．解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=60°．12 ∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，∴AB扫过的图形的面积=×π×36﹣×π×16=π．9、如图，一把折扇展开后是一个扇形，其中圆心角为120°，OB=2，AB=3，则折扇纸面部分的面积为（　　）A．1B．πC．7D．7π网版权所有【解析】贴纸部分的面积等于扇形OAD减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为5cm和2cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．解：∵OB=2，AB=3，∴OA=AB+OB=5，∴两面贴纸部分的面积的面积S=﹣=7π（cm2），故选D．直击中考1、（2016•新疆）一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（　　）A．1cmB．3cmC．6cmD．9cm版权所有【解析】根据扇形的面积公式：S=代入计算即可解决问题．解：设扇形的半径为R，由题意：3π=，解得R=±3，∵R＞0，∴R=3cm，∴这个扇形的半径为3cm．故选B．12 S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、n边形的内角和为(n-2)×180º；2、弧长公式=圆的周长╳；扇形的面积=圆的面积╳名师点拨弧长公式=圆的周长╳；扇形的面积=圆的面积╳学霸经验Ø本节课我学到了Ø我需要努力的地方是12