北师大版七年级上册-第08讲-有理数的乘方及混合运算 （培优）-教案

北师大版七年级上册-第08讲-有理数的乘方及混合运算 （培优）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第08讲---有理数的乘方及混合运算授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握有理数的乘方；②掌握有理数的混合运算并能灵活运用。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建一、知识梳理（一）有理数的乘方1、一般的，任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作：读作：a的n次方（或a的n次幂）其中a代表相乘的因数,n代表相乘因数的个数，即：（n个a）2、有理数乘方运算方法：13 （二）有理数的混合运算混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算最重要的原则。（三）科学记数法1、一般地，一个大于10的数可以表示成的形式，其中，是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。注意以下几点:（1）科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的。其中一个因数为a（），另一个因数为，n的值等于整数部分的位数减1；（2）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已。小于1的正数也可以用科学记数法表示。例如：；典例分析考点一：定义新运算例1、请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣，…你规定的新运算a⊕b=______（用a，b的一个代数式表示）【解析】1⊕2=2⊕1=3=+，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣=+，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣=+，则a⊕b=+=故答案为：例2、定义运算“@”的运算法则为：x@y=xy﹣1，则（2@3）@4=　　【解析】根据运算法则x@y=xy﹣1，知（2@3）@4=（2×3﹣1）×4﹣1=19．解：（2@3）@4=（2×3﹣1）×4﹣1=19．故答案是19．例3、若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…且公式13 ，则C125+C126=（　　）A．C135B．C136C．C1311D．C127【解析】根据题目信息，表示出C125与C126，然后通分整理计算即可．解：根据题意，有C125=，C126=，∴C125+C126=+===C136．故选B．考点二：计算例1、为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是______．【解析】根据题目信息，设M=1+5+52+53+…+52015，求出5M，然后相减计算即可得解．解：设M=1+5+52+53+…+52015，则5M=5+52+53+54…+52016，两式相减得：4M=52016﹣1，则M=．例2、在数学兴趣小组活动中，小明为了求…+的值，在边长为1的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则…+的值为______（结果用n表示）．【解析】…+=1﹣．故答案为：1﹣．例3、阅读理解：给定次序的n个数a1，a2，…，an，记Sk=a1+a2+…ak，为前k个数的和（1≤k≤n），定义A=（S1+S2+…+Sn）÷n称它们的“凯森和”，如a1=2，a2=3，a3=3，则s1=2，s2=5，s313 =8，凯森和A=（2+5+8）÷3=5，若有99个数a1，a2，…，a99的“凯森和”为100，则添上21后的100个数21，a1，a2，…，a99的凯森和为______．【解析】首先求出s1+s2+s3+…+s99的值，然后再求添上21后的100个数21，a1，a2，…，a99的凯森和．解：∵99个数a1，a2，…，a99的“凯森和”为100，∴（S1+S2+…+S99）÷99=100，∴S1+S2+…+S99=9900，（21+S1+21+S2+21+…+S99+21）÷100=（21×100+S1+S2+…+S99）÷100=（21×100+9900）÷100=21+99=120．故填120．考点三：转换运算例1、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c字母abcdefghijklm序号0123456789101112字母nopqrstuvwxyz序号13141516171819202122232425按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（　　）A．wkdrcB．wkhtcC．eqdjcD．eqhjc【解析】m对应的数字是12，12+10=22，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是w；a对应的数字是0，0+10=10，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k；t对应的数字是19，19+10=29，除以26的余数仍然是3，因此对应的字母是d；…，所以本题译成密文后是wkdrc．解：m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18，它们分别加10除以26所得的余数为22、10、13 3、17、2，所对应的密文为wkdrc．故选：A．例2、我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：（101）2=1×22+0×21+1×20=4+0+1=5，（1011）2=1×23+0×22+1×21+1×20=11．按此方式，将二进制（1001）2换算成十进制数的结果是　　．【解析】首先理解十进制的含义，然后结合有理数运算法则计算出结果原式=1×23+0×22+0×21+1×20=9．故答案为：9考点四：偶次幂的非负性例1、若，则的值是（　　）　A．﹣1B．1C．0D．2012【解析】B例2、已知，求值．【解析】33考点五：有理数的混合运算例1、计算：（1）（2）【解析】（1）-20；（2）23考点六：综合题例1、如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：（1）这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成　　个细胞；（2）这样的一个细胞经过3小时后可分裂成　　个细胞；（3）这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成　　个细胞．13 【解析】（1）16；（2）64；（3）例2、观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…通过观察，用所发现的规律确定215的个位数字是　8　．【解析】首先观察可得规律：2n的个位数字每4次一循环，又由15÷4=3…3，即可求得答案．解：观察可得规律：2n的个位数字每4次一循环，∵15÷4=3…3，∴215的个位数字是8．故答案为：8．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练Ø课堂狙击1、关于﹣（﹣a）2的相反数，有下列说法：①等于a2；②等于（﹣a）2；③值可能为0；④值一定是正数．其中正确的有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】依据相反数和平方的概念及性质进行判断．①∵﹣（﹣a）2=﹣a2，∴它的相反数是a2．显然是正确的．②∵（﹣a）2=a2，∴也是正确的．③当a=0时，a2=0，∴原式的值可能为0，也是正确的．④是错误的，没有考虑0．故有3个是正确的故选C．2、计算：（）A.0B.-54C.-72D.-1813 【解析】A3、下列式子中正确的是（）A.B.C.D.【解析】C4、计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0﹣9和字母A﹣F共16个计数符号，这些记数符号与十进制的数之间的对应关系如下表：例如：十进制中的26=20+6，可用十六进制表示为1A；在十六进制中，E+D=1B等．由上可知，在十六进制中，2×F=（　　）十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415A．30B．1EC．E1D．2F【解析】解题的关键是明白十六进制的每个数对应的十进制的那个数，要进位时是满十六才进位．2×F对应的十进制中的2×15=30=16+14，而14对应的十六进制中的E，∴2×F=1E．故选B．5、计算（﹣2）1999+（﹣2）2000的结果是（　　）A．﹣21999B．21999C．﹣2D．2【解析】首先把（﹣2）2000变为2×21999，（﹣2）1999变为﹣21999，然后提取公因式即可求解．原式=（﹣2）1999+（﹣2）2000=2×21999﹣21999=21999（2﹣1）=21999．故选B．6、我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130000000kg的煤所产生的能量．把130000000kg用科学记数法可表示为（　　）A、13×107kgB、0.13×108kgC、1.3×107kgD、1.3×108kg【解析】D13 7、一种细菌的半径是0.000045米，该数字用科学记数法表示正确的是（　　）A、4.5×105B、45×106C、4.5×10﹣5D、4.5×10﹣4【解析】C8、已知（39+）×（40+）=a+b，若a是整数，1＜b＜2，则a=　1611　．【解析】首先把原式整理，利用整式的乘法计算，进一步根据b的取值范围得出a的数值即可．（39+）×（40+）=1560+27+24+=1611+∵a是整数，1＜b＜2，∴a=1611．故答案为：1611．9、我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值　．【解析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而求解．解：根据题意得：1＜xy﹣12＜3，则13＜xy＜15，因为x、y是整数，则x=±1时，y=±14；当x=±2时，y=±7，当x=±3时，y的值不存在；当x=±4，±5，±6，±8，±9，±10，±11，±12，±13时，y的值不存在；当x=±14时，y=±1；当x=±7时，y=±2．则x+y=1+14=15，或x+y=﹣1﹣14=﹣15，或x+y=2+7=9，或x+y=﹣2﹣7=﹣9．故x+y=±15或±9．故答案是：±15或±9．10、计算：（1）13 （2）（3）【解析】（1）2；（2）－73；（3）-5411、水葫芦是一种水生飘浮植物，有着惊人的繁殖能力．据报道，现已造成某些流域河道堵塞，水质污染等严重后果、据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用．若在适宜条件下，　1株水葫芦每5天就能新繁殖1株　（不考虑植株死亡、被打捞等其它因素）．（1）假设江面上现有1株水葫芦，填写下表：第几天51015…50…5n总株数24……（2）假定某流域内水葫芦维持在约33万株以内对净化水质有益．若现有10株水葫芦，请你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有33万株？此后就必须开始定期打捞处理水葫芦．（要求写出必要的尝试、估算过程！）【解析】（1）8,1024（2）当n=15时，，故5n=75（天）Ø课后反击1、计算：的结果是（）A.-21B.35C.-35D.-29【解析】D2、表示的意义是（）A.6个-5相乘的积B.-5乘以6的积C.5个-6相乘的积D.6个-5相加的和【解析】A3、国家统计局发布的2009年一季度国民经济运行情况显示：一季度国内生产总值（GDP）65745亿元，同比增长6.1%，增速比上年同期回落4.5个百分点，根据以上信息，得出如下结论：①2008年第一季度国内生产总值（GDP）为：65745×（1+6.1%）亿元；②2008年第一季度国内生产总值（GDP）亿元；③2008年第一季度比2007年同期国内生产总值增长10.6%；④2007年第一季度的国内生产总值为65745÷（1+6.1%）÷（1+6.1%+4.5%）亿元．13 其中正确的结论是（　　）A．①②③B．①③④C．②③④D．②③【解析】2008年第一季度国内生产总值（GDP）=2009年第一季度国内生产总值（GDP）÷（1+6.1%）；回落4.5个百分点就是2008﹣2009的增速比2007﹣2008的增速减少4.5个百分点．解：根据题意得，2008年比2009年的少，所以正确的有：②2008年第一季度国内生产总值（GDP）亿元；③2008年第一季度比2007年同期国内生产总值增长10.6%；④要计算2007年的第一季度国内生产总值，应先计算出2008年第一季度的国内生产总值，然后再除以2007﹣2008年的增长率，就可以得到2007年的第一季度的生产总值，即2007年第一季度的国内生产总值为65745÷（1+6.1%）÷（1+6.1%+4.5%）亿元．故选C．4、某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（　　）　A．31B．33C．35D．37【解析】B5、如图，一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成（　　）　A．17段B．32段C．33段D．34段【解析】C6、2011年8月12日，第26届世界大学生夏季运动会将在深圳开幕．本届大运会的开幕式举办场地和主要分会场深圳湾体育中心总建筑面积达256520m2．数据256520m2用科学记数法（保留三个有效数字）表示为（　　）A、2.565×105m2B、0.257×106m2C、2.57×105m2D、25.7×104m2【解析】C7、国家卫生和计划生育委员会公布H7N9禽流感病毒直径约为0.0000001m，则病毒直径0.0000001m用科学记数法表示为（　　）（保留两位有效数字）。13 A、0.10×10﹣6mB、1×10﹣7mC、1.0×10﹣7mD、0.1×10﹣6m【解析】C8、下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2002个数应是（　　）　A．B.C．D．以上答案不对【解析】C9、若，则的值为（　　）　A．﹣4B．﹣1C．0D．4【解析】B10、某程序如图，当输入x=5时，输出的值为　﹣10　【解析】把x=5的值代入程序中计算，即可得到结果解：把x=5代入程序中得：﹣（52﹣5）÷2=﹣20÷2=﹣10．故答案为：﹣10．11、图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，…，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第六行有　　个苹果、第十行有　　个．（可用乘方形式表示）【解析】12、喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第　　次后可拉出128根面条．【解析】713、计算：（1）13 （2）【解析】（1）-90；（2）直击中考1、【2008•张家界】如果实数a，b满足，那么等于（　　）　A．1B．﹣1C．﹣3D．3【解析】B2、【2009•莱芜】计算7的正整数次幂：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801…归纳各计算结果中的个位数字规律，可得的个位数字为　　．【解析】73、【2008•崇文区一模】观察下列等式：31﹣1=2，32﹣1=8，33﹣1=26，34﹣1=80，35﹣1=242，…．通过观察，用你所发现的规律确定32008﹣1的个位数字是　　．【解析】04、【2013•牡丹江】定义一种新的运算a﹠b=ab，如2﹠3=23=8，那么请试求（3﹠2）﹠2=　　．【解析】8。S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、有理数乘方表示的意义；2、有理数混合运算的运算法则；3、负数的奇次幂和偶次幂。13 名师点拨有理数的乘方和有理数的混合运算属于基础知识点，在进行运算时，要注意底数的正负性和指数的奇偶性，这方面较为容易出错，在计算乘、除、乘方时可以选择优先确定结果的正负性，再进行计算。学霸经验Ø本节课我学到了Ø我需要努力的地方是13