北师大版七年级上册-第07讲-有理数的乘法和除法运算（培优）-教案

北师大版七年级上册-第07讲-有理数的乘法和除法运算（培优）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第07讲---有理数的乘法和除法运算授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握有理数的乘法法则以及运算律；②掌握除法运算法则；③提高学生的计算能力。授课日期及时段同步课堂体系搭建一、知识框架二、知识概念（一）有理数的乘法1、有理数乘法法则1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.2）任何数与0相乘，积仍为0.2、倒数：如果两个有理数的乘积为1，那么其中的一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数.3、乘法运算律1)乘法交换律：ab=ba.12 2)乘法结合律：(ab)c=a(bc)．3)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac.（二）有理数的除法1、有理数的除法法则1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；2）0除以任何一个非0的数都得0。注意：0不能作除数2、除以一个数等于乘这个数的倒数.典例分析考点一：计算与定义新运算例1、（用简便方法计算）【解析】分析：提取，逆运用乘法分配律进行计算即可得解。解：=例2、若“!”是一种数学运算符号，并且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，则5!=______=______，的值=______．【解析】根据运算的定义，可以把写成的形式，然后即可求解．解：5!=5×4×3×2×1=120，==99×100=9900，故答案为：5×4×3×2×1，120，9900．例3、阅读理解：计算×﹣×时，若把与（分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：解：设为A，为B，12 则原式=B（1+A）﹣A（1+B）=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=．请用上面方法计算：①②．【解析】（1）根据题意设（++++）为A，（+++++）为B，原式变形后计算即可求出值；（2）根据题意设（+++++…+）为A，（++++++…+）为B，原式变形后计算即可求出值．解：（1）设（++++）为A，（+++++）为B，原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=；（2）设（+++++…+）为A，（++++++…+）为B，原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=．例4、要使为整数，a只需为（　　）【解析】A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数如果为整数，则（a﹣5）2为4的倍数，可确定a的取值．解：∵为整数，∴（a﹣5）2为4的倍数，∴a﹣5是偶数，则a可取任意奇数．故选A．考点二：倒数例1、若a与b互为倒数，则3﹣5ab=　﹣2　．【解析】分析：根据互为倒数的两个数的积为1，直接求出ab的值，从而得到3﹣5ab的值．解：∵ab=1，∴3﹣5ab=3﹣5×1=﹣2．故答案为﹣2．例2、当a=　　时的倒数仍是．12 【解析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数列出计算即可得解．解：∵的倒数仍是，∴×=1，解得a=1或a=﹣3．故答案为：1或﹣3．例3、a，b是两个有理数，完成下面的填空：（1）如果a﹣b=0，那么a与b的关系是　相同　（2）如果a+b=0，那么a与b的关系是　互为相反数　（3）如果a×b=1，那么a与b的关系是　互为倒数　（4）如果，那么a与b的关系是　相等，均不为0　（5）已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，|m|=2，则式子的值为　1或﹣3　．【解析】分析：（1）（2）（3）根据相反数和倒数的定义求解即可；（4）两数的比值为1，则两数一定相等，又因为是分数，所以分母不等于0；（5）根据题意先求出a+b、cd以及m的值，然后把它们的值分别代入式子即可．解答：（1）相同，故答案为相同；（2）互为相反数，故答案为互为相反数；（3）互为倒数，故答案为互为倒数；（4）相等，均不为0，故答案为相等且均不等于0；（5）∵和b互为相反数，c和d互为倒数，|m|=2，∴a+b=0，cd=1，m=±2，当m=2时，则式子=0﹣1+2=1；当m=﹣2时，则式子=0﹣1﹣2=﹣3；故答案为1或﹣3．例4、a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是=﹣1，﹣1的差倒数是=．已知a1=，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2011=______．【解析】根据定义求得a1，a2，a3，a4…的值，观察规律，即可猜想结果．解：a1=﹣12 a2==；a3==4；a4==﹣，因而一下三个一次循环，故a2011=﹣,故答案是：﹣考点三：与绝对值综合例1、ab＜0，a＞0，|a|＞|b|，则a+b（　　）　A．大于0B．小于0C．小于或等于0D．无法确定【解析】分析：首先根据ab＜0，可判断a、b为异号，再根据a＞0，可得b＜0，因为|a|＞|b|，也就是正数的绝对值大，根据有理数的加法法则：绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，可得a+b＞0．解：∵ab＜0，∴a、b为异号，∵a＞0，∴b＜0，∵|a|＞|b|，∴a+b＞0，故选：A．例2、若a≠0，b≠0，则代数式的取值共有（　　）A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】本题可分4种情况分别讨论，解出此时的代数式的值，然后综合得到所求的值．解：由分析知：可分4种情况：①a＞0，b＞0，此时ab＞0所以++=1+1+1=3；②a＞0，b＜0，此时ab＜0所以++=1﹣1﹣1=﹣1；③a＜0，b＜0，此时ab＞0所以++=﹣1﹣1+1=﹣1；④a＜0，b＞0，此时ab＜0所以++=﹣1+1﹣1=﹣1；综合①②③④可知：代数式++的值为3或﹣1．故选A．∴A、a+b是正数，故本选项正确；B、a﹣b=a+（﹣b），是负数，故本选项错误；12 C、ab是负数，故本选项错误；D、是负数，故本选项错误．故选A．实战演练实战演练Ø课堂狙击1、计算：【解析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．解：原式=10+8×﹣2×5=10+2﹣10=2．2、四个整数的积abcd=9，且a≠b≠c≠d，那么a+b+c+d的值为（　　）A.0B.4C.8D.不能确定【解析】将9写成四个互不相等的整数的积的形式，只能是9=-3×3×（-1）×1，从而确定a、b、c、d，求出它们的和．解：∵四个整数的积abcd=9，且a≠b≠c≠d，又∵-3×3×（-1）×1=9，∴a+b+c+d=-3+3+（-1）+1=0．故选A3、①如果a，b，c是有理数且abc≠0，计算代数式的值；②如果有理数a+b+c=0且abc≠0，计算代数式的值【解析】①对a、b、c中正数的个数进行讨论，即可求解；②数a+b+c=0且abc≠0时，a、b、c中至少有1个正数，有1个负数，利用①即可直接写出答案．解：①当a、b、c中没有负数时，都是正数，则原式=1+1+1+1=4；当a、b、c中只有负数时，不妨设a是负数，则原式=﹣1+1+1﹣1=0；当a、b、c中有2个负数时，不妨设a、b是负数，则原式=﹣1﹣1+1+1=0；当a、b、c都是负数时，则原式=﹣1﹣1﹣1﹣1=﹣4，12 总是代数式的值是4或﹣4或0；②当有理数a+b+c=0且abc≠0时，a、b、c中至少有1个正数，有1个负数．则代数式的值是：04、已知：|x|=3，|y|=2，且xy＜0，则x+y的值为等于　±1　．【解析】解：∵|x|=3，|y|=2，∴x=±3，y=±2，∵xy＜0，∴xy符号相反，①x=3，y=﹣2时，x+y=1；②x=﹣3，y=2时，x+y=﹣1．5、已知三个有理数m，n，p满足m+n=0，n＜m，mnp＜0，则mn+np一定是（　　）　A．负数B．零C．正数D．非负数【解析】解：∵m+n=0，∴m，n一定互为相反数；又∵n＜m，mnp＜0，∴n＜0，p＞0，m＞0，∴mn＜0，np＜0，∴mn+np一定是负数．故选A．6、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=3，求的值．【解析】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，∴a+b=0，cd=1，∵|m|=3，∴m=±3，∴当m=3时，原式=0﹣1+3=2；当m=﹣3时，原式=0﹣1﹣3=﹣4．故答案为：2或﹣4．7、3个有理数a、b、c两两不等，则中有______个是负数．【解析】根据题意，a、b、c两两不等，可设a＞b＞c，易得a﹣b＞0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，进而可得，的符号，进而可得答案．解：根据题意，a、b、c两两不等，可设a＞b＞c，易得a﹣b＞0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，则中有2个是负数，故答案为2．Ø课后反击1、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=3，求的值．12 【解析】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，∴a+b=0，cd=1，∵|m|=3，∴m=±3，∴当m=3时，原式=0﹣1+3=2；当m=﹣3时，原式=0﹣1﹣3=﹣4．故答案为：2或﹣4．2、已知，如图，则下列式子正确的是（　　）　A．ab＞0B．|a|＞|b|C．a+b＜0D．a﹣b＜0【解析】解：根据数轴可知b＜﹣1＜0＜a＜1．∴ab＜0，|a|＜|b|，a+b＜0，a﹣b＞0．故正确的只有C．3、已知a、b、c、d是互不相等的整数，且abcd=6，则a+b+c+d的值等于（　　）　A．﹣1或1B．﹣1或﹣5C．﹣3或1D．不能求出【解析】解：由题意得：这四个数小于等于6，且互不相等．再由乘积为6可得，四个数中必有2和﹣3，或﹣2，3．∴四个数为：1，﹣1，2，﹣3，或1，﹣1，﹣2，3则和为﹣1或1．故选A．4、计算（1）（﹣）×（﹣）×0×（2）（3）（﹣﹣）×（﹣24）（4）﹣32×【解析】解：（1）原式=0；（2）原式=（﹣）×（﹣）×（﹣4）=﹣（××4）=﹣；（3）原式=×（﹣24）﹣×（﹣24）﹣×（﹣24）=﹣20+18+8=6；（4）原式==﹣×（32﹣11﹣21）=0．5、用简便方法计算：（1）（2）．12 【解析】解：（1）﹣1.53×0.75+1.53××1.53=1.53×（﹣0.75+0.5+0.8），=1.53×（1.3﹣0.75）=1.53×0.55=0.8415；（2）=，==﹣2+3=3﹣=﹣．6、已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为2，求﹣2mn+﹣x的值．【解析】解：∵a、b互为相反数，∴a+b=0；∵m、n互为倒数，∴mn=1；∵x的绝对值为2，∴x=±2．①当x=2时，原式=﹣2+0﹣2=﹣4；②当x=﹣2时，原式=﹣2+0+2=0．7、如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）（1）你认为当输入什么数时，其输出结果是0？（2）你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？（3）当小明输入3；；﹣201这三个数时，这三次输出的结果分别是：______．（4）有一次，小明在操作的时候，输出的结果是2，你判断一下，小明可能输入的是什么数？【解析】（1）由此程序可知，当输出0时，因为0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0；（2）由已知输出的各数可找出规律；（3）先判断出3、、﹣201与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可；（4）设输入的数为x，分2＜x＜7、0＜x＜2、当x＜0及x＞7四种情况进行讨论，按输入程序进行解答．解：（1）∵输出数为0，0的相反数及绝对值均为0，当输入5的倍数时也输出0．∴应输入0或5n（n为自然数）；12 （2）由（1）中输出的各数均为非负数可知，输出的数应为非负数；（3）∵3＞2，∴输入3时的程序为：（3﹣5）=﹣2＜0，∴﹣2的相反数是2＞0，2的倒数是，∴当输入3时，输出；当输入时，＜2，∴其相反数是﹣，其绝对值是，∴当输入时，输出；当输入﹣201时，﹣201＜2，∴其相反数是201＞0，其倒数是，∴当输入﹣201时，输出；故答案为：，，；（4）由输出的数为2，设输入的数为x，①当2＜x＜7时，（x﹣5）＜0，其相反数是5﹣x＞0，其倒数是=2，解得x=；②当0＜x＜2时，其相反数是﹣x＜0，其绝对值是x=2，故x=2；③当x＜0时，其相反数为﹣x＞0，其倒数是﹣=2，x=﹣．④当x＞7时，按①的程序可知x=+…2n．总上所述，x的可能值为：，2，﹣…，即x=+…2n．直击中考1、【2012深圳】﹣3的倒数是（　　）　A．3B．﹣3C.D．12 【解析】乘积为1的两个数互为倒数，1÷（-3）=归纳总结重点回顾1、运算过程中应先判断积的符号，几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。2、几个数相乘,有一个因数为0，积就为0。3、怎样求负数的倒数?（1）将分子、分母颠倒位置即可的倒数是(p≠0,q≠0)（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数名师点拨1、注意应用乘法分配律时，需要注意符号的处理，这是学生容易出错的地方；2、乘除运算莫着急；审清题目是第一；3、除法变成乘法后；积的符号先确立；4、计算结果别慌张；考个一百没问题。学霸经验Ø本节课我学到了12 Ø我需要努力的地方是12