2020-2021成都树德中学高三数学上期中模拟试卷附答案

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2020-2021 成都树德中学高三数学上期中模拟试卷附答案 一、选择题 1．定义在 ,0 0, 上的函数 f x , 如果对于任意给定的等比数列 na , 若 nf a 仍是比数列，则称 f x 为“保等比数列函数” . 现有定义在 ,0 0, 上的如下函数： ① 3f x x ； ② xf x e ； ③ f x x ； ④ lnf x x 则其中是“保等比数列函数”的 f x 的序号为（ ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 2．下列命题正确的是 A．若 a ＞ b, 则 a 2 ＞b2 B．若 a＞b，则 ac ＞bc C．若 a＞b，则 a3＞b3 D．若 a>b，则 1 a ＜ 1 b 3．已知实数 x， y 满足 5 2 18 0 2 0 3 0 x y x y x y ，若直线 1 0kx y 经过该可行域，则实数 k 的最大值是（ ） A．1 B． 3 2 C．2 D．3 4．已知等比数列 { }na 的各项均为正数，且 5 6 4 7 18a a a a ，则 3 1 3 2 3 3 3 10log log log loga a a a （ ） A．10 B．12 C． 31 log 5 D． 32 log 5 5．已知 ,x y 满足 0 4 0 4 x y x y x ，则 3x y 的最小值为（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 6．已知数列 {an} 满足 a1=1，且 1 1 1( ) ( 2 3 3 n n na a n ，且 n∈N* ），则数列 {an}的通项公 式为（ ） A． 3 2 n na n B． 2 3n n na C．an=n+2 D．an=（ n+2）·3n 7．若关于 x 的不等式 2 2 0x ax 在区间 1,5 上有解 , 则 a 的取值范围是（ ） A． 23, 5 B． 23 ,1 5 C． 1, D． 23, 5 8．已知 ABC 中， A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，且 3b ， 3 3c ， 30B ，则 AB 边上的中线的长为 ( ) A． 3 7 2 B． 3 4 C． 3 2 或 3 7 2 D． 3 4 或 3 7 2 9．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度 的看台的某一列的正前方， 从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第一排和最后一排 的距离为 5 6 米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为 秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为 ()（米 / 秒） A． 1 10 B． 3 10 C． 1 2 D． 7 10 10． 在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， 60A ， 4 3a ， 4b ，则 B （ ） A． 30B 或 150B B． 150B C． 30B D． 60B 11．如果等差数列 na 中， 3a + 4a + 5a =12，那么 1a + 2a +⋯+ 7a =（ ） A．14 B．21 C．28 D．35 12． 已知 na 是等比数列， 2 2a ， 5 1 4 a ，则 1 2 2 3 1n na a a a a a （ ） A．16 1 4 n B．16 1 2 n C． 32 1 2 3 n D． 32 1 4 3 n 二、填空题 13．在平面内，已知直线 1 2l lP ，点 A 是 1 2,l l 之间的定点，点 A到 1 2,l l 的距离分别为 和 ，点 是 2l 上的一个动点，若 AC AB ，且 AC 与 1l 交于点 C ，则 ABC面积的最小 值为 ____． 14． 已知 1 20, 0, 2a b a b ， 2a b 的最小值为 _______________. 15． 已知等比数列 { }na 的首项为 2，公比为 2，则 1 1 2 n n a a a a a a a aL _______________． 16． 不等式 2 1 1x x 的解集是 ． 17． 某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品 ,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件 ,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件．已知设备甲每天的租赁 费为 200 元 ,设备乙每天的租赁费为 300 元 ,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件 ,B 类产品 140 件 ,所需租赁费最少为 __________元． 18． 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为 “地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗 产 ”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径 A ， B 两点间的 距离，现在珊瑚群岛上取两点 C ， D ，测得 80CD ， 135ADB ， 15BDC DCA ， 120ACB ，则 A ， B 两点的距离为 ________． 19． 正项等比数列 na 满足 24 18a a ， 6 2 90a a ，则 na 前 5 项和为 ________. 20． 如图在平面四边形 ABCD 中，∠ A＝∠ B＝∠ C＝ 75°，BC＝2，则 AB 的取值范围是 ___________． 三、解答题 21． 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，各项为正的等比数列 nb 的前 n 项和为 nT ， 1 1a ， 1 1b ， 2 2 2a b . （1）若 3 3 5a b ，求 nb 的通项公式； （2）若 3 21T ，求 3S 22． 已知数列 { }na 满足： 1 2 1n na a n ， 1 3a . （1）设数列 { }nb 满足： n nb a n ，求证 : 数列 { }nb 是等比数列； （2）求出数列 { }na 的通项公式和前 n 项和 nS . 23． 设数列 的前 项和为 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 24． C 的内角 ， ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．向量 , 3m a br 与 cos ,sinnr 平行． （Ⅰ ）求 ； （Ⅱ ）若 7a ， 2b 求 C 的面积． 25． 在数列 na 中， nS 为 na 的前 n 项和， 2 2 3 ( )n nS n a n N . （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 1 1 n n n n ab a a ，数列 nb 的前 n 项和为 nT ，证明 1 4nT . 26． 已知函数 f x a b v v ，其中 2cos , 3 2 , cos ,1 ,a x sin x b x x Rvv ． （1）求函数 y f x 的单调递增区间； （2）在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , , , 2, 7a b c f A a ，且 2b c ，求 ABC 的面积． 【参考答案】 *** 试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．C 解析： C 【解析】 【分析】 设等比数列 na 的公比为 q，验证 1n n f a f a 是否为非零常数，由此可得出正确选项 . 【详解】 设等比数列 na 的公比为 q，则 1n n a q a . 对于①中的函数 3 f x x ， 33 1 31 1 2 n n n n n n f a a a q f a a a ，该函数为“保等比数列函 数”； 对于②中的函数 xf x e ， 1 11 n n n n a a an a n f a e e f a e 不是非零常数，该函数不是“保等 比数列函数”； 对于③中的函数 f x x ， 11 1nn n n nn af a a q f a aa ，该函数为“保等比数 列函数”； 对于④中的函数 lnf x x ， 11 ln ln nn n n af a f a a 不是常数，该函数不是“保等比数列函 数” .故选： C. 【点睛】 本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能 力，属于中等题 . 2．C 解析： C 【解析】 对于 A ，若 1a ， 1b ，则 A不成立；对于 B ，若 0c = ，则 B 不成立；对于 C ，若 a b ，则 3 3a b ，则 C 正确；对于 D ， 2a ， 1b ，则 D 不成立 . 故选 C 3．B 解析： B 【解析】 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用直线 2 0kx y 过定点 0,1 ，再利用 k 的几何意 义，只需求出直线 1 0kx y 过点 2,4B 时， k 值即可． 【详解】 直线 2 0kx y 过定点 0,1 ， 作可行域如图所示， ， 由 5 2 18 0 2 0 x y x y ，得 2,4B ． 当定点 0,1 和 B 点连接时，斜率最大，此时 4 1 3 2 0 2 k ， 则 k 的最大值为： 3 2 故选： B． 【点睛】 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 4．A 解析： A 【解析】 【分析】 利用对数运算合并，再利用等比数列 na 的性质求解。 【详解】 因为 3 1 3 2 3 3 3 10log log log loga a a aL = 3 1 2 3 10log a a a aL = 5 3 1 10log a a , 又 4 7 5 6 1 10a a a a a a ，由 4 7 5 6 18a a a a 得 1 10 9a a ，所以 3 1 3 2 3 3 3 10log log log loga a a aL = 5 3log 9 =10，故选 A 。 【点睛】 本题考查了对数运算及利用等比数列 na 的性质，利用等比数列的性质：当 ,( , , , )m n p q m n p q N 时， m n p qa a a a ， 特别地 2 ,( , , )m n k m n k N 时， 2 m n ka a a ，套用性质得解，运算较大。 5．A 解析： A 【解析】 【分析】 作出可行域，变形目标函数并平移直线 3y x ，结合图象，可得最值． 【详解】 作出 x、 y 满足 0 4 0 4 x y x y x 所对应的可行域（如图 ABCV ）， 变形目标函数可得 3y x z ，平移直线 3y x 可知， 当直线经过点 (2, 2)A 时，截距 z 取得最大值， 此时目标函数 z 取得最小值 3 2 2 4 . 故选： A. 【点睛】 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题． 6．B 解析： B 【解析】 试题分析：由题可知，将 1 1 1( ) ( 2 3 3 n n na a n ，两边同时除以 ，得出 ，运用累加法，解得 ，整理得 2 3n n na ； 考点：累加法求数列通项公式 7．A 解析： A 【解析】 【分析】 利用分离常数法得出不等式 2a x x 在 15x ， 上成立，根据函数 2f x x x 在 15x ， 上的单调性，求出 a 的取值范围 【详解】 关于 x 的不等式 2 2 0x ax 在区间 1,5 上有解 22ax x 在 15x ， 上有解 即 2a x x 在 15x ， 上成立， 设函数数 2f x x x ， 15x ， 2 2 1 0f x x 恒成立 f x 在 15x ， 上是单调减函数 且 f x 的值域为 23 1 5 ， 要 2a x x 在 15x ， 上有解，则 23 5 a 即 a 的取值范围是 23 , 5 故选 A 【点睛】 本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离 含参量，然后求出结果，属于基础题． 8．C 解析： C 【解析】 【分析】 由已知利用余弦定理可得 2 9 18 0a a ，解得 a 值，由已知可求中线 1 2 BD c ，在 BCDV 中，由余弦定理即可计算 AB 边上中线的长． 【详解】 解： 3, 3 3, 30b c B oQ ， 由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B ，可得 2 39 27 2 3 3 2 a a ， 整理可得： 2 9 18 0a a ， 解得 6a 或 3． Q 如图， CD 为 AB 边上的中线，则 1 3 3 2 2 BD c ， 在 BCDV 中，由余弦定理 2 2 2 2 cosCD a BD a BD B ，可得： 2 2 23 3 3 3 36 ( ) 2 6 2 2 2 CD ，或 2 2 23 3 3 3 33 ( ) 2 3 2 2 2 CD ， 解得 AB 边上的中线 3 2 CD 或 3 7 2 ． 故选 C． 【点睛】 本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题． 9．B 解析： B 【解析】 试题分析： 如下图： 由已知，在 ABC 中， 105 , 45 , 5 6ABC ACB BCo o ,从而可得： 30BAC o 由正弦定理，得： 5 6 sin 45 sin 30 AB o o ， 10 3AB , 那么在 Rt ADB 中， 60ABD o , 3sin 60 10 3 15 2 AD AB o ， 即旗杆高度为 15米，由 315 50 10 ，知：升旗手升旗的速度应为 3 10 （米 /秒） . 故选 B． 考点：解三角形在实际问题中的应用． 10．C 解析： C 【解析】 【分析】 将已知代入正弦定理可得 1sin 2 B ，根据 a b ，由三角形中大边对大角可得： 60B ，即可求得 30B . 【详解】 解： 60AQ ， 4 3a ， 4b 由正弦定理得： sin 4 sin 60 1sin 24 3 b AB a a bQ 60B 30B 故选 C. 【点睛】 本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力 . 11．C 解析： C 【解析】 试题分析：等差数列 na 中， 3 4 5 4 412 3 12 4a a a a a ，则 1 7 4 1 2 7 4 7 7 2 7 28 2 2 a a a a a a aL 考点：等差数列的前 n 项和 12．D 解析： D 【解析】 【分析】 先求出 31( ) 2 n na ，再求出 2 5 1 1( ) 2 n n na a ，即得解 . 【详解】 由题得 35 2 1 1, 8 2 a q q a . 所以 2 2 3 2 1 12 ( ) ( ) 2 2 n n n na a q ， 所以 3 2 2 5 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 2 2 2 n n n n na a . 所以 1 1 1 4 n n n n a a a a ，所以数列 1{ }n na a 是一个等比数列 . 所以 1 2 2 3 1n na a a a a a 18[1 ( ) ]4 11 4 n = 32 1 4 3 n . 故选： D 【点睛】 本题主要考查等比数列通项的求法和前 n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平 . 二、填空题 13．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且 仅当即时等号成立所以面积的最小值为 6 解析： 6 【解析】 【分析】 【详解】 如图所示， 设 BF x ，由题意知 3, 2AE AF ABF 与 CAE 相似，所以 AB BF CA AE ,所以 3AC AB x ,所以 21 1 3 2 2ABCS AB AC AB x 21 3 6 3(4 ) 6 2 2 xx x x ，当且仅当 6 3 2 x x ，即 2x 时，等号成立，所以 CAE 面积的最小值为 6. 14．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且 仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生 对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换 解析： 9 2 【解析】 【分析】 先化简 1 1 1 22 ( 2 ) 2 ( 2 ) ( ) 2 2 a b a b a b a b ，再利用基本不等式求最小值 . 【详解】 由题得 1 1 1 2 1 2 22 ( 2 ) 2 ( 2 ) ( ) (5 ) 2 2 2 a ba b a b a b a b b a 1 2 2 9(5 2 ) 2 2 a b b a . 当且仅当 2 2 1 2 2 3 22 2 a ba b a b 即 时取等 . 故答案为： 9 2 【点睛】 本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力 .解 题的关键是常量代换 . 15．【解析】【分析】根据等比数列通项公式求出计算即可得解【详解】由题 故答案为： 4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用涉及等比数列求和关键 在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式准确进行指数幂的运算化简 解析： 【解析】 【分析】 根据等比数列通项公式，求出 1 211 2 1 2 2 21 2 n n nna a a aL ，计算 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 n n n n n n a a a a a a aa a a a a a a a a L L L 即可得解 . 【详解】 由题 2 n na ， 1 211 2 1 2 2 21 2 n n nna a a aL 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 n n n n n n a a a a a a aa a a a a a a a a L L L 21 1 22 2 4n na a a aL . 故答案为： 4 【点睛】 此题考查等比数列通项公式的应用，涉及等比数列求和，关键在于熟练掌握等比数列的通 项公式和求和公式，准确进行指数幂的运算化简 . 16．【解析】【分析】【详解】由条件可得 解析： |0 2x x 【解析】 【分析】 【详解】 由条件可得 17．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产 天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产 AB两类产品的情况为下表所示 : 产品设备 A 类产品（件）（≥ 50） B 类产品（件）（≥ 140 解析： 2300 【解析】 【分析】 【详解】 设甲种设备需要生产 天 , 乙种设备需要生产 天 , 该公司所需租赁费为 元 ,则 200 300z x y ，甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示 : 产品 设备 A 类产品 （件） （≥50） B 类产品 （件） （ ≥140） 租赁费（元） 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为 5 6 50 {10 20 140 0, 0 x y x y x y 即 : 6 10 5{ 2 14 0, 0 x y x y x y , 作出不等式表示的平面区域 , 当 200 300z x y 对应的直线过两直线 6 10{ 5 2 14 x y x y 的交点（ 4,5）时，目标函数 200 300z x y 取得最低为 2300 元． 18．【解析】【分析】△ ACD中求出 AC△ABD中求出 BC△ABC中利用余弦定理 可得结果【详解】解：由已知△ ACD中∠ ACD＝15°∠ADC＝150°∴∠ DAC=15° 由正弦定理得△ BCD中∠ BDC＝ 15 解析： 80 5 【解析】 【分析】 △ACD 中求出 AC，△ABD 中求出 BC，△ ABC 中利用余弦定理可得结果 . 【详解】 解：由已知，△ ACD 中，∠ ACD ＝15°，∠ ADC ＝150°， ∴∠ DAC=15 °由正弦定理得 80sin150 40 40 6 2 sin15 6 2 4 AC o o ， △BCD 中，∠ BDC ＝15°，∠ BCD ＝135°， ∴∠DBC=30°， 由正弦定理， CD BC sin CBD sin BDC ， 所以 BC 80 sin15 160 15 40 6 21 2 CD sin BDC sin sin CBD ； △ABC 中，由余弦定理， AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BC?cos∠ACB＝ 0 8 11600 8 4 3 160 2 1600 6 2 24 3 6 2 1600 16 1600 4 1600 20 解得： AB 80 5 ， 则两目标 A，B 间的距离为 80 5 ． 故答案为 80 5 ． 【点睛】 本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化 思想，是中档题． 19．93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算先求出首项和公 比然后再运用等比数列前项和公式求出前项和【详解】正项等比数列满足即则 有代入有又因为则故答案为【点睛】本题考查了求等比数列前项和等比数 解析： 93 【解析】 【分析】 运用等比数列通项公式基本量的计算，先求出首项和公比，然后再运用等比数列前 n 项和 公式求出前 5项和 . 【详解】 正项等比数列 na 满足 24 18a a ， 6 2 90a a ， 即 2 4 2 2 2 218, 90a q a a q a 则有 2 2 2 2 21 18, 1 1 90a q a q q 代入有 2 21=5, 4q q 又因为 0q ，则 2 12, 6, 3q a a 5 5 3 1 2 93 1 2 S 故答案为 93 【点睛】 本题考查了求等比数列前 n 项和等比数列通项公式的运用，需要熟记公式，并能灵活运用 公式及等比数列的性质等进行解题，本题较为基础 . 20．（）【解析】如图所示延长 BACD 交于 E 平移 AD 当 A 与 D 重合与 E 点时 AB 最长在 △BCE 中 ∠B=∠C=75°∠E=30°BC=2 由正弦定理可得即解得 =平移 AD 当 D 与 C 重合时 AB 最短此时与 AB 交于 F 在 △B 解析： （ 6 2 ， 6+ 2 ） 【解析】 如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E点时， AB 最长，在 △BCE 中，∠ B=∠C=75°，∠ E=30°，BC=2，由正弦定理可得 sin sin BC BE E C ，即 o o 2 sin 30 sin 75 BE ，解得 BE = 6+ 2 ，平移 AD ，当 D 与 C 重合时， AB最短，此时与 AB 交于 F，在 △BCF中，∠ B=∠BFC=75°，∠ FCB=30°，由正弦定理知， sin sin BF BC FCB BFC ，即 o o 2 sin 30 sin 75 BF ，解得 BF= 6 2 ，所以 AB 的取值范 围为（ 6 2 ， 6+ 2 ）. 考点：正余弦定理；数形结合思想 三、解答题 21． (1) 12n nb , (2) 3 6s 【解析】 【分析】 （1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于 d 与 q 的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可； （2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果 . 【详解】 (1)设 na 的公差为 d， nb 的公比为 q， 由 2 2 2.a b 得 d+q=3，由 3 3 5a b 得 2d+q2=6, 解得 d=1,q=2. 所以 nb 的通项公式为 12n nb ； （2）由 1 31, 21b T 得 q2+q-20=0, 解得 q=-5（舍去）或 q=4， 当 q=4 时， d=-1，则 S3=-6。 【点睛】 该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式与求和公式，等比 数列的通项公式与求和公式，正确理解与运用公式是解题的关键，注意对所求的结果进行 正确的取舍 . 22． ⑴见证明；⑵ 1 1 2 2 2 n n n 【解析】 【分析】 （1）由递推公式计算可得 1 2n n b b ，且 1 1 1 2b a ，据此可得数列 nb 是等比数列 . （2）由（ 1）可得 2n nb ，则 2n na n ，分组求和可得 1 1 2 2 2 n n n n S . 【详解】 （1） 11 1 2 1 1 2 2n n nn n n n n a n a n n a nb b a n a n a n ， 又 1 1 1 3 1 2b a nb 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， （2）由（ 1）得 2n nb ， 2n na n ， 1 2 1 22 1 2 2 ... 2 2 2 ... 2 1 2 3 ...n n nS n n 12 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 n nn n n n . 【点睛】 数列求和的方法技巧： (1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 23． (1) ;(2) . 【解析】 试题分析： (1)由题意结合通项公式与前 n 项和的关系可得 ; (2)结合 (1)中求得的通项公式和所给数列通项公式的特点错位相减可得数列 的前 项和 . (3) 试题解析： (Ⅰ)由 2Sn＝3an－1 ① 2Sn －1＝3an－1－1 ② ②-①得 2an＝3an－3an－1，∴ ＝3， ( ) 又当 n＝ 1 时， 2S1＝3a1－1，即 a1＝1，（符合题意） ∴{ an} 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，∴ an＝3n－1. (Ⅱ)由 (Ⅰ)得： bn＝ ∴Tn＝ ＋ ＋ ＋ ⋯＋ ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ③ Tn＝ ＋ ＋⋯＋ ＋ ，⋯⋯⋯ ④ ③－④得： Tn＝ ＋ ＋ ＋⋯＋ － ＝ － ＝ － ∴Tn＝ － . 24． （Ⅰ） 3 ；（ Ⅱ） 3 3 2 ． 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：（ 1）根据平面向量 //m nr r ，列出方程，在利用正弦定理求出 tan A 的值，即可 求解角 A 的大小；（ 2）由余弦定理，结合基本不等式求出 bc 的最大值，即得 ABC 的面 积的最大值 . 试题解析：（ 1）因为向量 , 3m a br 与 cos ,sinnr 平行， 所以 3 0asinB bcosA－ ＝ ， 由正弦定理得 sinAsinB－ 3 0sinBcosA＝ ， 又 sin 0B ，从而 tanA＝ 3 ，由于 00，所以 c＝3. 故△ABC 的面积为 1 2 bcsinA ＝ 3 3 2 . 考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理 . 25． （1） 3 1n na ； （2）证明见解析； 【解析】 【分析】 （1）首先根据已知得到 1 12 2 1 3n nS n a ，然后两式相减得到 1 3 2n na a ，构造 1na 是公比为 3 的等比数列，求通项公式；（ 2）根据（ 1） 1 1 3 1 1 1( ) (3 1)(3 1) 2 3 1 3 1 n n n n n nb ，再利用裂项相消法求和，证明 1 4nT . 【详解】 （1） 2 2 3n nS n aQ ， 1 12 2( 1) 3n nS n a ， 两式相减得 1 3 2n na a ， 1 1 3( 1)n na a∴ ， 又 1 1 12 2 3 , 2S a a∴ ， 数列 1na 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列， 1 3 , 3 1n n n na a∴ ∴ （2） 1 1 3 1 1 1( ) (3 1)(3 1) 2 3 1 3 1 n n n n n nb 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1........ 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1n n nT∴ 1 1 1 1 1 4 2 3 1 4n 【点睛】 本题重点考查了由递推公式求通项，以及裂项相消法求和，一般数列求和包含 1.公式法， 利用等差和等比数列的前 n 项和公式求解； 2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比 数列的数列求和； 3.裂项相消法求和，适用于能变形为 1na f n f n ， 4.分组转化 法求和，适用于 n n nc a b ； 5.倒序相加法求和 . 26． （1） , 3 6 k k k Z ；（ 2） 7 3 6 . 【解析】 【分析】 （1）利用向量数量积的坐标运算公式、降次公式和辅助角公式，化简 f x 为 sinA x B 的形式，将 x 代入 π π2 π ,2 π2 2 k k 中，解出 x 的范围，由此 求得函数的单调区间 .（2）利用 2f A 求得角 A的大小，利用余弦定理和 2b c列方 程组，解方程组求得 2c 的值，由此求得三角形的面积 . 【详解】 （1） = ， 令 π π π2 π 2 2 π , 2 6 2 k x k 解得 ，k∈Z， 函数 y=f（x）的单调递增区间是 （k∈ Z）． （2）∵ f（A） =2，∴ ，即 ， 又∵ 0＜A＜π，∴ ， ∵ ，由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA=（ b+c） 2﹣3bc=7，① b=2c，② ， 由①②得 ， ∴ ． 【点睛】 本小题主要考查向量的数量积运算，考查三角函数降次公式、辅助角公式，考查利用余弦 定理解三角形 .属于中档题 .