2020-2021南京市高中必修五数学上期中第一次模拟试卷含答案

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2020-2021 南京市高中必修五数学上期中第一次模拟试卷含答案 一、选择题 1．数列 na 的前 n 项和为 2 1nS n n , 1 N* n n nb a n , 则数列 nb 的前 50 项 和为（ ） A．49 B．50 C．99 D．100 2．如果 1 1 1A B C 的三个内角的余弦值分别等于 2 2 2A B C 的三个内角的正弦值，则 A． 1 1 1A B C 和 2 2 2A B C 都是锐角三角形 B． 1 1 1A B C 和 2 2 2A B C 都是钝角三角形 C． 1 1 1A B C 是钝角三角形， 2 2 2A B C 是锐角三角形 D． 1 1 1A B C 是锐角三角形， 2 2 2A B C 是钝角三角形 3．设 x ， y 满足不等式组 11 0 7 5 0 3 1 0 x y x y x y ，若 Z ax y的最大值为 2 9a ，最小值为 2a ，则实数 a 的取值范围是（ ）. A． ( , 7] B． [ 3,1] C． [1, ) D． [ 7, 3] 4．已知关于 x 的不等式 2 24 3 0 0x ax a a 的解集为 1 2,x x ，则 1 2 1 2 ax x x x 的 最大值是（ ） A． 6 3 B． 2 3 3 C． 4 3 3 D． 4 3 3 5．已知实数 x， y 满足 5 2 18 0 2 0 3 0 x y x y x y ，若直线 1 0kx y 经过该可行域，则实数 k 的最大值是（ ） A．1 B． 3 2 C．2 D．3 6．下列函数中， y 的最小值为 4 的是（ ） A． 4y x x B． 2 2 2( 3) 2 xy x C． 4x xy e e D． 4sin (0 ) sin y x x x 7．设 x，y 满足约束条件 3 3, 1, 0, x y x y y 则 z=x+y 的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8． 3 6 6 3a a a 的最大值为（ ） A． 9 B． 9 2 C． 3 D． 3 2 2 9．在 ABC 中， , ,a b c 分别是角 , ,A B C 的对边 , 若 sin 3 cos 0b A a B , 且 2b ac ， 则 a c b 的值为 ( ) A．2 B． 2 C． 2 2 D．4 10． 等比数列 na 中， 1 1 , 2 8 a q ，则 4a 与 8a 的等比中项是（ ） A．±4 B．4 C． 1 4 D． 1 4 11． ,x y 满足约束条件 3 6 2 0 0 0 x y x y x y , 若目标函数 ( 0, 0)z ax by a b 的最大值为 12，则 2 3 a b 的最小值为 ( ) A． 25 6 B． 25 C． 25 3 D． 5 12．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度 的看台的某一列的正前 方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第一排和最后 一排的距离为 5 6 米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约 为 秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为 ()（米 /秒） A． 1 10 B． 3 10 C． 1 2 D． 7 10 二、填空题 13． 已知数列 1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 3 n L L L ， ， ， ， ， ，则其前 n 项的和等于 ______． 14． 若 a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的 a，b 恒成立的是 (写出所有正 确命题的编号 )．① ab≤1； ② a + b ≤ 2 ； ③a2+b2≥2；④ a3+b3≥ 3; 1 1 2 a b ⑤ . 15． 已知数列 na 满足 1 1a ， 1 3 2n na a ，则数列 na 的通项公式为 ________． 16． 对一切实数 x，不等式 2 | | 1 0x a x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _______ 17． 已知等比数列 na 的首项为 1a ，前 n 项和为 nS ，若数列 12nS a 为等比数列，则 3 2 a a ____. 18． 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为 “地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗 产 ”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径 A ， B 两点间的 距离，现在珊瑚群岛上取两点 C ， D ，测得 80CD ， 135ADB ， 15BDC DCA ， 120ACB ，则 A ， B 两点的距离为 ________． 19． 设 0x＞ ， 0y＞ ， 4x y ，则 1 4 x y 的最小值为 ______． 20． 在锐角 ΔABC 中 , 内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c , 已知 2 4, sin 4 sin 6 sin sina b a A b B a B C , 则 ABCn 的面积取最小值时有 2c __________. 三、解答题 21． 已知数列 na 是等差数列， 1 1 10 3 8, 160, 37n na a a a a a . （1）求数列 na 的通项公式； （2）若从数列 na 中依次取出第 2 项，第 4 项，第 8 项， L ，第 2n 项，按原来的顺序组 成一个新数列，求 1 2n nS b b bL . 22．设函数 1( ) | ( 0)f x x x a a a （1）证明： ( ) 2f x ； （2）若 (3) 5f ，求 a 的取值范围． 23． 已知数列 { }na 满足： 1 2 1n na a n ， 1 3a . （1）设数列 { }nb 满足： n nb a n ，求证 : 数列 { }nb 是等比数列； （2）求出数列 { }na 的通项公式和前 n 项和 nS . 24． 已知 na 是递增的等差数列， 2a ， 4a 是方程 的根 . （1）求 na 的通项公式； （2）求数列 2 n n a 的前 n 项和 . 25． ABCV 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．已知 cos cosa C c A a ． （1）求证： A B ； （2）若 6 A ， ABCV 的面积为 3 ，求 ABCV 的周长． 26． 在 △ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c ，且 4cos 5 A ． （1）求 2sin cos2 2 B C A 的值； （2）若 2b ， ABC 的面积 3S ，求 a 的值． 【参考答案】 *** 试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．A 解析： A 【解析】 试题分析：当 1n 时， 1 1 3a S ；当 2n 时， 22 1 1 1 1 1 2n n na S S n n n n n ,把 1n 代入上式可得 1 2 3a .综上可得 3, 1 { 2 , 2n n a n n .所以 3, 1 { 2 , 1 2 , n n b n n n n n 为奇数且 为偶数 .数列 nb 的前 50 项 和为 50 3 2 3 5 7 49 2 2 4 6 50S L L 24 3 49 25 2 50 3 2 2 49 2 2 .故 A 正确 . 考点： 1 求数列的通项公式 ;2 数列求和问题 . 2．D 解析： D 【解析】 【分析】 【详解】 1 1 1A B C 的三个内角的余弦值均大于 0，则 1 1 1A B C 是锐角三角形，若 2 2 2A B C 是锐角三角 形，由 ，得 2 1 2 1 2 1 2 { 2 2 A A B B C C ，那么， 2 2 2 2 A B C ，矛 盾，所以 2 2 2A B C 是钝角三角形，故选 D. 3．B 解析： B 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值 . 【详解】 作出不等式组 11 0 7 5 0 3 1 0 x y x y x y 对应的平面区域（如图阴影部分）， 目标函数 z ax y的几何意义表示直线的纵截距，即 y ax z ， （1）当 0a 时，直线 z ax y 的斜率为正，要使得 z 的最大值、最小值分别在 ,C A 处 取得， 则直线 z ax y 的斜率不大于直线 3 1 0x y 的斜率， 即 3a ， 3 0a . （2）当 0a 时，直线 z ax y 的斜率为负，易知最小值在 A处取得， 要使得 z 的最大值在 C 处取得，则直线 z ax y 的斜率不小于直线 11 0x y 的斜率 1a ， 0 1a . （3）当 0a 时，显然满足题意 . 综上： 3 1a, . 故选： B. 【点睛】 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解 决此类问题的基本方法 ，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键 . 4．D 解析： D 【解析】 ：不等式 x2-4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（ x1，x2）， 根据韦达定理，可得： 2 1 2 3x x a ，x1+x2=4a， 那么： 1 2 1 2 ax x x x =4a+ 1 3a ． ∵a＜0， ∴-（4a+ 1 3a ）≥2 14 3 a a = 4 3 3 ，即 4a+ 1 3a ≤- 4 3 3 故 1 2 1 2 ax x x x 的最大值为 4 3 3 ． 故选 D． 点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示 内接正方形的边长 . 在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等 . ①一 正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为 定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值 . 5．B 解析： B 【解析】 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用直线 2 0kx y 过定点 0,1 ，再利用 k 的几何意 义，只需求出直线 1 0kx y 过点 2,4B 时， k 值即可． 【详解】 直线 2 0kx y 过定点 0,1 ， 作可行域如图所示， ， 由 5 2 18 0 2 0 x y x y ，得 2,4B ． 当定点 0,1 和 B 点连接时，斜率最大，此时 4 1 3 2 0 2 k ， 则 k 的最大值为： 3 2 故选： B． 【点睛】 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 6．C 解析： C 【解析】 【分析】 由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可 . 【详解】 选项 A 错误， xQ 可能为负数，没有最小值； 选项 B 错误，化简可得 2 2 12 2 2 y x x ， 由基本不等式可得取等号的条件为 2 2 12 2 x x ，即 2 1x ， 显然没有实数满足 2 1x ； 选项 D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为 sin 2x ， 但由三角函数的值域可知 sin 1x ； 选项 C 正确，由基本不等式可得当 2xe ， 即 ln 2x 时， 4x xy e e 取最小值 4 ，故选 C. 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题 .利用基本不等式求最值时，一定要正确理 解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是， 其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等 号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能 否同时成立） . 7．D 解析： D 【解析】 如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数 z x y 经过 (3,0)A 时 z 取得最大值，故 max 3 0 3z ，故选 D． 点睛 : 本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应 的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是 求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图 形确定目标函数的最值取法或值域范围． 8．B 解析： B 【解析】 【分析】 根据 3 6 9a a 是常数，可利用用均值不等式来求最大值 . 【详解】 因为 6 3a ， 所以 3 0, 6 0a a 由均值不等式可得： 3 6 9(3 )( 6) 2 2 a aa a 当且仅当 3 6a a ，即 3 2 a 时，等号成立， 故选 B. 【点睛】 本题主要考查了均值不等式，属于中档题 . 9．A 解析： A 【解析】 【分析】 由正弦定理，化简求得 sin 3 cos 0B B ，解得 3 B ，再由余弦定理，求得 224b a c ，即可求解，得到答案． 【详解】 在 ABC 中，因为 sin 3 cos 0b A a B , 且 2b ac ， 由正弦定理得 sin sin 3sin cos 0B A A B ， 因为 (0, )A ，则 sin 0A ， 所以 sin 3 cos 0B B ，即 tan 3B ，解得 3 B ， 由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 2 22 cos ( ) 3 ( ) 3b a c ac B a c ac a c ac a c b ， 即 224b a c ，解得 2a c b ，故选 A． 【点睛】 本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三 角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边 的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运 用余弦定理求解 . 10．A 解析： A 【解析】 【分析】 利用等比数列 na 的性质可得 2 6 4 8a a a＝ ，即可得出． 【详解】 设 4a 与 8a 的等比中项是 x ． 由等比数列 na 的性质可得 2 6 4 8a a a＝ ， 6x a ． ∴ 4a 与 8a 的等比中项 5 6 1 2 4 8 x a ． 故选 A ． 【点睛】 本题考查了等比中项的求法，属于基础题． 11．A 解析： A 【解析】 【分析】 先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数 ( 0, 0)z ax by a b 何时取最大 值，进而找到 a b， 之间的关系式 2 3 6,a b 然后可得 2 3 1 2 3( )(2 3 ) 6 a b a b a b ，化 简变形用基本不等式即可求解。 【详解】 不等式组表示的平面区域如图，由 3 6 0 2 0 x y x y 得点 B 坐标为 B（4,6）.由图可知当直线 z ax by 经过点 B（ 4,6）时， Z 取最大值。因为目标函数 ( 0, 0)z ax by a b 的最大值为 12，所以 4 6 12,a b 即 2 3 6,a b 所以 2 3 1 2 3 1 6 6 1 6 6 25( )(2 3 ) (13 ) (13 2 ) 6 6 6 6 a b a ba b a b a b b a b a 。 当且仅当 6 6 2 3 6 a b b a a b 即 6 5 a b 时，上式取“ =”号。 所以当 6 5 a b 时， 2 3 a b 取最小值 25 6 。 故选 A 。 【点睛】 利用基本不等式 2a b ab 可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。当 a b， 都取正值时，（ 1）若和 a b取定值，则积 ab 有最大值；（ 2）若积 ab 取定值时， 则和 a b有最小值。 12．B 解析： B 【解析】 试题分析： 如下图： 由已知，在 ABC 中， 105 , 45 , 5 6ABC ACB BCo o ,从而可得： 30BAC o 由正弦定理，得： 5 6 sin 45 sin 30 AB o o ， 10 3AB , 那么在 Rt ADB 中， 60ABD o , 3sin 60 10 3 15 2 AD AB o ， 即旗杆高度为 15米，由 315 50 10 ，知：升旗手升旗的速度应为 3 10 （米 /秒） . 故选 B． 考点：解三角形在实际问题中的应用． 二、填空题 13．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化 简利用裂项相消的求和方法即可求出前 n 项和【详解】由题意可知此数列分母 为以 1 为首项以 1 为公差的等差数列的前 n 项和由公式可得：所以数列通项 解析： 2 1 n n 【解析】 【分析】 由题意可知此数列为 1 nS ，将 nS 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消 的求和方法即可求出前 n 项和 . 【详解】 由题意可知此数列分母为以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列的前 n 项和， 由公式可得： 1 2n n n S ，所以数列通项： 1 2 1 12 1 1nS n n n n ， 求和得： 1 22 1 1 1 n n n . 【点睛】 本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂 项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数 . 14．①③⑤ 【解析】【分析】【详解】对于 ① ：因为所以所以故 ① 项正确 ；对于 ② ：左边平方可得：所以故 ② 项错误；而利用特殊值代入 ② 中式子也 可得出 ② 错误的结论；对于 ③ ：因为由 ① 知所以故 ③ 项正确；对于 ④ ：故 ④ 项错误 解析： ①③⑤ 【解析】 【分析】 【详解】 对于①：因为 ， ，所以 ，所以 ，故①项正确； 对于②：左边平方可得： ，所以 ，故② 项错误； 而利用特殊值 ， 代入②中式子，也可得出②错误的结论； 对于③：因为 ，由①知 ，所以 ， 故③项正确； 对于④： 3 3 2 2( )a b a b a ab b 22 ( ) 3a b ab 8 6 8 6ab 2 , 故 ④项错误； 对于⑤ 1 a + 1 a = a b ab = 2 ab ≥2，故⑤项正确； 故本题正确答案为：①③⑤. 15．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而 故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关 系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题 解析： 12 3 1n 【解析】 【分析】 待定系数得到 1 3n na a ，得到 【详解】 因为 na 满足 1 3 2n na a ， 所以 1 3n na a ， 即 1 3 2n na a ，得到 1 ， 所以 1 1 3 1n na a ， 而 1 1 2a ， 故 1na 是以 2 为首项， 3 为公比的等比数列， 所以 11 2 3n na ， 故 12 3 1n na . 故答案为： 12 3 1n . 【点睛】 本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题 . 16．－2+）【解析】【分析】根据题意分 x=0 与 x≠0两种情况讨论 ①x=0 时易 得原不等式恒成立 ②x≠0时原式可变形为 a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得 a 的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两 解析： [－2，+ ） 【解析】 【分析】 根据题意，分 x=0 与 x≠0 两种情况讨论，① x=0 时，易得原不等式恒成立，② x≠0 时，原 式可变形为 a≥ - （|x|+ 1 x ），由基本不等式的性质，易得 a 的范围，综合两种情况可得 答案 . 【详解】 根据题意，分两种情况讨论；① x=0 时，原式为 1≥0，恒成立，则 a∈R；②x≠0 时，原式 可化为 a|x| ≥ - （x2+1），即 a≥- （|x|+ 1 x ）, 又由 |x|+ 1 x ≥2，则 - （|x|+ 1 x ） ≤-2； 要使不等式 x2+a|x|+1 ≥0 恒成立，需有 a≥-2 即可； 综上可得， a 的取值范围是 [-2 ，+∞）； 故答案为 [-2 ，+∞）． 【点睛】 本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题 的关键，属于中档题． 17．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即 可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得 解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了 解析： 1 2 【解析】 【分析】 设等比数列 na 的公比为 q，由数列 12nS a 为等比数列，得出 2 2 1 1 1 3 12 2 2S a S a S a ，求出 q的值，即可得出 3 2 a a 的值 . 【详解】 设等比数列 na 的公比为 q， 由于数列 12nS a 为等比数列， 2 2 1 1 1 3 12 2 2S a S a S a ， 整理得 2 2 1 1 3 2 1a a a a a a ，即 2 21 1q q q ，化简得 22 0q q ， 0qQ ，解得 1 2 q ，因此， 3 2 1 2 a q a . 故答案为： 1 2 . 【点睛】 本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属 于中等题 . 18．【解析】【分析】 △ACD 中求出 AC△ABD 中求出 BC△ABC 中利用余弦 定理可得结果【详解】解：由已知 △ACD 中 ∠ACD ＝15°∠ADC ＝ 150°∴∠DAC=15°由正弦定理得 △BCD 中 ∠BDC＝15 解析： 80 5 【解析】 【分析】 △ACD 中求出 AC，△ABD 中求出 BC，△ ABC 中利用余弦定理可得结果 . 【详解】 解：由已知，△ ACD 中，∠ ACD ＝15°，∠ ADC ＝150°， ∴∠ DAC=15 °由正弦定理得 80sin150 40 40 6 2 sin15 6 2 4 AC o o ， △BCD 中，∠ BDC ＝15°，∠ BCD ＝135°， ∴∠DBC=30°， 由正弦定理， CD BC sin CBD sin BDC ， 所以 BC 80 sin15 160 15 40 6 21 2 CD sin BDC sin sin CBD ； △ABC 中，由余弦定理， AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BC?cos∠ACB＝ 0 8 11600 8 4 3 160 2 1600 6 2 24 3 6 2 1600 16 1600 4 1600 20 解得： AB 80 5 ， 则两目标 A，B 间的距离为 80 5 ． 故答案为 80 5 ． 【点睛】 本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化 思想，是中档题． 19．【解析】【分析】变形之后用基本不等式：求解即可【详解】原式可变形 为：当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基 础题在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等 解析： 9 4 【解析】 【分析】 变形 1 4 1 41 4 4 4 x y y x x y x y 之后用基本不等式：求解即可 . 【详解】 原式可变形为： 1 4 1 4 1 91 4 5 4 4 4 4 4 x y y x x y x y 当且仅当 4 3 x ， 8 3 y 时取等． 故答案为： 9 4 【点睛】 本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意 “拆、拼、凑 ”等技巧，使其满足基本不等式中 “正 ”(即条件要求中字母为正数 )、“定 ”(不等 式的另一边必须为定值 )、“等”(等号取得的条件 )的条件才能应用，否则会出现错误 . 20．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当 a=2b=2时 取得等号当 a=2b=1S取得最小值易得 (C 为锐角 )则则 解析： 45 5 3 【解析】 由正弦定理及 sin 4 sin 6 sin sina A b B a B C , 得 2 24 6 sina b ab C , 又 1 sin 2 S ab C ,即 2 24 12a b S , 由于 2 4a b ,即有 22 24 2 4 16 4a b a b ab ab , 即有 4 16 12ab S, 由 2 24 2 2 a bab ,即有 16 12 8S ,解得 2 3 S , 当且仅当 a= 2b=2 时 ,取得等号 , 当 a=2,b=1,S取得最小值 2 3 , 易得 2sin 3 C (C 为锐角 ),则 5cos 3 C , 则 2 2 2 42 cos 5 5 3 c a b ab C . 三、解答题 21． （1） 3 2na n ；（ 2） 6 2 2 6n nT n 【解析】 【分析】 （1）先由条件可以判断出数列是递增数列，再由等差数列的性质： m n p qm n p q a a a a 可以求得 1 10,a a ，然后根据等差数列通项公式即可求 解. (2)由（ 1）可得数列 nb 的通项公式，然后利用分组求和即可求解 . 【详解】 （1）等差数列 na 中， 1 1 10 3 8, 37n na a a a a a ， 1 10 1 10 160 37 a a a a 解得 1 10 5 32 a a 32 5 3 10 1 d ， 5 1 3 3 2na n n . （2）由（ 1）知， 1 2 3 2 2b a ， 2 4 3 4 2b a ，⋯ 2 3 2 2n n nb a ， 1 2 3 2 2 3 4 2 3 2 2n n nS b b bL L 12 23 2 4 2 2 3 2 1 2 n n n nL 13 2 6 2n n 6 2 2 6n n . 【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式、性质、等比数列的求和公式、利用“分组求和法”求 数列前 n 项和，属于中档题 . 利用“分组求和法”求数列前 n 项和常见类型有两种：一是通 项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通 项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后 再相加减；解题中需要熟练掌握公式和性质，对计算能力要求较高 . 22．（1）详见解析；（ 2） 1 5 5 21( , ) 2 2 ． 【解析】 试题分析：本题第（ 1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出 min( ) 2f x ，从而得出结 论；对第（ 2）问，由 0a 去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出 a 的取值 范围 . 试题解析：（ 1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知： min( )f x 1 2a a ，当且仅当 1a 时，取等号，所以 ( ) 2f x . （2）因为 (3) 5f ，所以 1 3 3 5a a 1 3 3 5a a 13 2a a 1 12 3 2a a a ，解得： 1 5 5 21 2 2 a . 【易错点】在应用均值不等式时 ,注意等号成立的条件 :一正二定三相等 . 考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、 求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键 . 23． ⑴见证明；⑵ 1 1 2 2 2 n n n 【解析】 【分析】 （1）由递推公式计算可得 1 2n n b b ，且 1 1 1 2b a ，据此可得数列 nb 是等比数列 . （2）由（ 1）可得 2n nb ，则 2n na n ，分组求和可得 1 1 2 2 2 n n n n S . 【详解】 （1） 11 1 2 1 1 2 2n n nn n n n n a n a n n a nb b a n a n a n ， 又 1 1 1 3 1 2b a nb 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， （2）由（ 1）得 2n nb ， 2n na n ， 1 2 1 22 1 2 2 ... 2 2 2 ... 2 1 2 3 ...n n nS n n 12 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 n nn n n n . 【点睛】 数列求和的方法技巧： (1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 24． （1） 1 1 2na n ;（2） 1 42 2n n nS . 【解析】 【分析】 （1）方程 的两根为 2,3 ，由题意得 2 33, 2a a ，在利用等差数列的通项 公式即可得出；（ 2）利用 “错位相减法 ”、等比数列的前 n 项和公式即可求出． 【详解】 方程 x2－5x＋6＝0 的两根为 2，3. 由题意得 a2＝2，a4＝3. 设数列 {a n} 的公差为 d，则 a4－a2＝2d，故 d＝ 1 2 ，从而得 a1＝ 3 2 . 所以 {a n} 的通项公式为 an＝ 1 2 n＋1. （2）设 2 n n a 的前 n 项和为 Sn， 由（ 1）知 2 n n a ＝ 1 2 2 n n ， 则 Sn＝ 2 3 2 ＋ 3 4 2 ＋⋯＋ 1 2n n ＋ 1 2 2n n ， 1 2 Sn＝ 3 3 2 ＋ 4 4 2 ＋⋯＋ 1 1 2n n ＋ 2 2 2 n n ， 两式相减得 1 2 Sn＝ 3 4 ＋ 3 1 1 1 2 2n － 2 2 2n n ＝ 3 4 ＋ 1 1 11 4 2 n － 2 2 2n n ， 所以 Sn＝2－ 1 4 2 n n . 考点：等差数列的性质；数列的求和． 【方法点晴】 本题主要考查了等差数列的通项公式、 “错位相减法 ”、等比数列的前 n 项和公式、一元二 次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程 的两根为 2,3 ，由题意得 2 33, 2a a ，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重 考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题． 25． （1）见解析（ 2） 4 2 3 【解析】 【分析】 （1）用余弦定理将条件 cos cosa C c A a 化为 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c b c aa c a ab bc ， 然后化简即可 （2）由 6 A 得 2 3 C ，由 ABCV 的面积为 3 和 a b 可推出 2a b ，然后用余 弦定理求出 c 即可 . 【详解】 （1）因为 cos cosa C c A a 由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c b c aa c a ab bc ， 整理得 22 2b ab， 所以 a b ， 所以 A B ． （2）因为 6 A ，由（ 1）知 2( ) 3 C A B ， 又 ABCV 的面积为 3 ， 所以 1 sin 3 2 ab C ． 又 a b， 所以 21 3 3 2 2 a ， 所以 2a b ． 由余弦定理，得 2 2 2 12 cos 1 4 2 2 2 12 2 c a b ab C ， 所以 2 3c ， 所以 ABCV 的周长为 4 2 3 ． 【点睛】 本题考查的是正余弦定理及三角形的面积公式，较为典型 . 26． （Ⅰ） 59 50 （Ⅱ） a = 13 【解析】 【分析】 【详解】 2 2 2 2 21 1 3 1sin cos2 cos 1 2sin cos 1 2sin cos 2sin 2 2 2 2 2 2 B C AA A A A A A 3sin 5 A , 4cos 5 A 2 23 1 3 1 4 9 59sin cos2 cos 2sin 2 2 2 2 2 2 5 525 0 B C A A A （2） 1 33 sin , 2,sin 2 5 bc A b A