高一数学必修5课件-1正弦定理
1.1.1 正弦定理
一、正弦定理：
二、可以用正弦定理解决的三角问题：
2
sin sin sin
a b c R
A B C
①知两角及一边，求其它的边和角
②知三角形任意两边及其中一边的对角，求
其它的边和角
回顾
例2、在△ABC中，b= ，c=1，B=60o，解这个三角形.3
sin 1 sin 60 1 sin
sin sin 23
b c c BC
B C b
解：
,
30 , 90
b c B C C
C A
故 为锐角
故
2 2 2a b c
正弦定理可解决的第二类问题：
知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它的边和角
可先求另一边的对角，再确定剩下的边和角
20 , 28 , 40 ,
( 1 1 )
ABC a cm b cm A
cm
例3、在 中，已知 解三角形。
角度精确到 ，边长精确到
.8999.0
20
40sin28sinsin
a
AbB解：根据正弦定理，
116,64,1800 BBB 或所以因为
64 180 ( ) 180 (40 64 ) 76 ,
sin 20sin 76 30( ).
sin sin 40
B C A B
a Cc cm
A
（1）当 时，
116 180 ( ) 180 (40 116 ) 24 ,
sin 20sin 24 13( ).
sin sin 40
B C A B
a Cc cm
A
（2）当 时，
练习：若ΔABC满足下列条件，求角B
（1） b＝20，A＝60°，a＝ ;
（2） b＝20，A＝60°，a＝ ;
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
20 3
10 3
30o
90o
无解
思考：若ΔABC中 b＝20，A＝60°,当a为何值
角B有1解、2解、无解
设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形
可能出现以下情况：
1.若A是锐角
（1）若a < bsinA，则此时无解；
（2）若a = bsinA，则此时恰有一解，即角B为直角；
（3）若bsinA< a
b，则此时只有一解，即角B需取锐角；
（2）若a≤b，则此时无解.
a
BA
C
b
A B
C
a
b
02 45: , , , ,
, ___________
ABC a x b A
x
思考 在 中 若这个三角形有
两解 则 的取值范围是 2 , 2
练习：求分别满足下列条件的三角形的解的个数
（1）a=8，b=16，A=30o;
（2）a=2，b=4，A=60o;
（3）a=30，b=25，A=150o;
（4）b=5，c=3，B=48o;
（5）b=18，c=20，B=60o;
一解
无解
一解
一解
判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数
的基本步骤：
（1）判断已知角A的类型；（钝、直、锐）
（2）判断已知两边a、b的大小关系；
（3）判断a与bsinA的大小关系.
二解
例4、在正弦定理中，设
证明k=2R（R为△ABC的外接圆的半径）
sin sin sin
a b c k
A B C
A
B
Cb
O
证明：若△ABC为直角三角形
如图，C=90o，c=2R
2 2
sin sin 90o
c Rk R
C
若△ABC不是直角三角形
D
A
B C
bO
如图，作直径AD，连结CD，则AD=2R
∠ACD=90o，B=D
AD =2
sin sin sin ACD
b bk R
B D
2k R
正弦定理的推论：
sin sin sin
a b c
A B C
=2R (R为△ABC外接圆半径）
2 sin , 2 sin , 2 sina R A b R B c R C
sin ,sin ,sin
2 2 2
a b cA B C
R R R
sin : sin : sin : :A B C a b c
（边换角）
（角换边）
2
2
sin tan
sin tan
A A
B B
2
2
sin sin cos
sin cos sin
A A B
B A B
解：由正弦定理，得
2
2
tan3 ABC , ABC
tan
a A
b B
例 、在 中，若 试判断 的形状
sin 0 sin 0,A B ，
sin cos sin cos sin2 sin2A A B B A B ，即
0 , 0 + =
2
AB k A B A B ，∴ ，则 或
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2 2 2 2 2 2 ( )A k B A k B k Z 或
针对性练习
1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且
b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
2、已知△ABC中，B=30o，C=120o，则a:b:c=
等腰直角三角形
1:1: 3
变式训练
ABC A B C
a b c, AB AC= BA BC=1 c= 2.
在 中，角 、 、 的对边分别
为 、 、 若 ，
1
2 6
ABC
AB AC ABC
（）判断 的形状；
（）若 ，求 的面积
答案：等腰三角形
3
2
小结：
一、正弦定理：
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题：
（1）知两角及一边，求其它的边和角；
（2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
2
sin sin sin
a b c R
A B C
其中，R是△ABC的外接圆的半径
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形
∵正弦函数y=sinx在 上是增函数
∴
故由正弦定理可得a≥b≥c
（2）若△ABC是钝角三角形，则∠A为钝角
∴p-∠A< ，且p-∠A=∠B+∠C>∠B≥∠C
∴
即
∴由正弦定理可得a>b≥c
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
sin sin sinA B C
[0, ]
2
2
sin( ) sin sinA B C
sin sin sinA B C
三、小结：正弦定理，两种应用
已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解
或一解（见图示）
C
CC C
A B AAA BB
b a
bbb a a aa
1B2B
a=bsinA
一解
bsinA
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