高一数学必修5课件-2等比数列的前n项和

高一数学必修5课件-2等比数列的前n项和

等差数列 等比数列 定义 通项公式 性质 Sn 1 ( 1)na a n d   1 1 -n na a q 1n na a d   1n n a q a   ( )n ma a n m d   n m n ma a q  *( , , , )m n r s m n r s N    m n r sa a a a   m n r sa a a a 1( ) 2 n n n a a S   1 ( 1) 2n n nS na d   国王赏麦的故事 2 3 631 2 2 2 2     一、创设情景 由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的 2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是 传说在古代印度，国王要奖赏国际象棋的发明者,发明者说： “请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗 麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒， 依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数 的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。 国王觉得并不难，就欣然同意了他的要求。你认为国王有能力满 足发明者的要求吗？ 2 3 631, 2, 2 , 2 , , 2 于是发明者要求的麦粒总数就是 2 3 62 631 2 2 2 2 2      问题：求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和 62 63 64 1 2 4 8 2 2S        两边同乘公比2，得 63 64 642 2 4 8 16 2 2S        将上面两式列在一起，进行比较 63 64 1 2 4 8 2S       63 642 4 8 2 2    642S  ① ② ② － ①，得 64 64 2 1S   说明：264－1超过了1 .84×1019，假定千粒麦子的质 量为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。所以 国王是不可能同意发明者的要求。 思考1：等比数列{an}中，q=2，a2+a3+a4+a5+a6 =100， 则a1+a2+a3+a4+a5=_________； 50 探究：已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 如何确定等比数列的前n项和Sn？ 思考2：记S5=a1+a2+a3+a4+a5，能用a1和a6表示S5吗？ 5 1 2 3 4 5 5 2 3 4 5 6 2 S a a a a a S a a a a a            5 5 5 6 12S S S a a     5 1( 1)a q  nqS  2 2 1 1 1 1 1 1 (2)n n na q a q a q a q a q         1 1(1) (2) 1 ,nnq S a a q    得  1 1 1 1 n n a q q S q      由此得 时， 1 2 3n nS a a a a     设等比数列 1 2 3, , , , ,na a a a  它的前n项和是 2 2 1 1 1 1 1 1 (1)n n nS a a q a q a q a q       即 11 nq S na 显然，当 时， (1) q ，得 等比数列的前n项和 错位相减法 1、使用公式求和时，需注意对 q=1 和 q≠1 的情 况加以讨论； 2、推导公式的方法：错位相减法。 注意：   1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 n n na q S a q q q       二、基础知识讲解 1、等比数列的前n项和公式 1 1 na a q q    例1、求下列等比数列前n项的和： 1 1[1 ( ) ] 12 2 1 ( )1 21 2 n n nS        1 1 11 2 2 ,a q （） 依 意： 题解 知 三、例题分析 2 3 41 1 1 11 , , , , ; 2 , , , , ( 0) 2 4 8 16 a a a a a （） （ ）  例1、求下列等比数列前n项的和： 2 3 41 1 1 11 , , , , ; 2 , , , , ( 0) 2 4 8 16 a a a a a （） （ ）  12 1,a q a （ ）由题意可知解： 三、例题分析 (1 ) 1 n n a aS a      1 (1 )1 1 1 n n n a aa S a a S na n          当 时， 当 时， 例1、求下列等比数列前n项的和： 2 3 41 1 1 11 , , , , ; 2 , , , , ( 0) 2 4 8 16 a a a a a （） （ ）  三、例题分析 2( - 1) ( - 2) ( - )na a a n 随堂练习:求和：  (1 )0 2 (1 ) (1 )1 2 2 (1 ) (1 )1 0 1 2 n n n n n na S n n n na S n a a n na a S a                   当 时， 当 时， 当 且 时， 例2、在等比数列{an}中 三、例题分析 1 3 4 6 5 4 5(3) 10 4 a a a a S a   ， ，求 和 1 3 3(2) 2 14a S q a ， ，求 和 1 9 8 11 27, , 243 a a S （） 求 例2、在等比数列{an}中 1 9 8 11 27, , 243 a a S （） 求 三、例题分析 8 8 9 1 11 27 243 a a q q  （）由 可得解： 1 3 q   8 8 127[1 ( ) ]1 16403 13 811 ( ) 3 q S          当 时， 8 8 127[1 ( ) ]1 32803 13 811 3 q S      当 时， 例2、在等比数列{an}中 三、例题分析 3 21 3 1 2 1 -2 (1 ) 1 - 6 0 a qS a q q q q q        （ ） （ ）： 由 可得解 3 2q  解得 或 2 3 1 2 3 1 3 2 9 18 2 2 4 8 q a a q q a a q            当 时， 当 时， 1 3 3(2) 2 14a S q a ， ，求 和 例2、在等比数列{an}中 三、例题分析 2 1 3 1 3 5 4 6 1 10 3 5 4 a a a aq a a a q aq            （： ）由题意可得解 1 1 2 8 q a      解得 5 5 3 1 4 1 5 18 [1 ( ) ](1 ) 3121, 11 21 2 a qa a q S q           1 3 4 6 5 4 5(3) 10 4 a a a a S a   ， ，求 和 2 1 3 2 1 1 10 51 4 a q a q q        （ ） 即 （ ） 例2、在等比数列{an}中 三、例题分析 1 3 4 6 5 4 5(3) 10 4 a a a a S a   ， ，求 和 1 3 3(2) 2 14a S q a ， ，求 和 1 9 8 11 27, , 243 a a S （） 求 归纳要熟记公式： 1 1 n na a q  1(1 ) 1 n n a qS q     1 1 1 n n a a q S q q    或 知三求二1 n na q n a s、 、 、 、 方程思想 例3. 若某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的 销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大 约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？ 解：依题意，可建立一个等比数列{an}来表示每年的 销售量，其中a1=5000，q=1+10%=1. 1，Sn=30000 5000(1 1.1 ) 30000 1 1.1 n    1.1 1.6.n 即 两边取对数，得 6.1lg1.1lg n lg 1 .6 0 .2 0 5 ( ) lg 1 .1 0 .0 4 1 n    年 答：约5年可以使总销售量量达到30000台。 三、例题分析 2、在等比数列中，根据下列各题中的条件，求出 相应的量： 1(1) 3 2 6 na q n S   ， ， ， 1 1 1(2) 8 2 2n na q a S   ， ， ， 1 4 4(3) 1 216a a q S    ， ，则 ，-6 185 189 31 2 随堂练习 等比数列求和公式： 推导方法： 1 11 1 ( 1) ( 1) 1 1 n n n na q S a a qa a q q q q        错位相减法 五、课时小结 P61 A组 第1、4（2）题 六、作业 1 1 1 12 1 ,2 ,3 ,4 , 2 4 8 16 n、数列 的前 项和是 ( 1) 11 2 2n n n   4 1 3 n 2 3 { } 2 1 { } { } n n n n n n n n a n S b b a b n T     、若等比数列 的前 项和 ，数列 的通项公式为 ，则 的前 项和 1 3 99 100 11 { } 3 60 { } 100 _______ n n a q a a a a S       、若等比数列 的公比 ，且 ，则 的前 项和 80 课堂练习