江苏省镇江市(4校联考)2021届新高考模拟化学试题含解析

江苏省镇江市(4校联考)2021届新高考模拟化学试题含解析

江苏省镇江市 (4 校联考） 2021 届新高考模拟化学试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．在 ABC 中， M 是 BC 的中点， 1AM ，点 P 在 AM上且满足 2AP PM uuuv uuuuv ，则 ( )PA PB PC uuuv uuuv uuuv 等 于（ ） A． 4 9 B． 4 9 C． 4 3 D． 4 3 【答案】 B 【解析】 【分析】 由 M 是 BC 的中点，知 AM 是 BC 边上的中线，又由点 P 在 AM 上且满足 2AP PM uuur uuuur 可得： P 是三角形 ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解． 【详解】 解：∵ M 是 BC 的中点，知 AM 是 BC 边上的中线， 又由点 P 在 AM 上且满足 2AP PM uuur uuuur ∴P 是三角形 ABC 的重心 ∴ PA PB PC uuur uuur uuur 2| |PA AP PA uuur uuur uuur 又∵ AM ＝1 ∴ 2| | 3 PA uuur ∴ 4 9 PA PB PC uuur uuur uuur 故选 B． 【点睛】 判断 P 点是否是三角形的重心有如下几种办法： ①定义： 三条中线的交点． ②性质： 0PA PB PC uuur uuur uuur r 或 2 2 2 AP BP CP uuur uuur uuur 取得最小值③坐标法： P 点坐标是三个顶点坐标的平均数． 2．设数列 na 是等差数列， 1 3 5 6a a a ， 7 6a .则这个数列的前 7 项和等于（ ） A． 12 B．21 C．24 D． 36 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质可得 3a ，由等差数列求和公式可得结果 . 【详解】 因为数列 na 是等差数列， 1 3 5 6a a a ， 所以 33 6a ，即 3 2a ， 又 7 6a ， 所以 7 3 1 7 3 a ad ， 1 3 2 0a a d ， 故 1 7 7 7( ) 21 2 a aS 故选： B 【点睛】 本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题 . 3．已知 x， y R，则 “x y ”是“ 1x y ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 D 【解析】 【分析】 x y ，不能得到 1x y ， 1x y 成立也不能推出 x y ，即可得到答案 . 【详解】 因为 x， y R ， 当 x y 时，不妨取 11, 2 x y ， 2 1x y ， 故 x y 时， 1x y 不成立， 当 1x y 时，不妨取 2, 1x y ，则 x y 不成立， 综上可知， “x y ”是“ 1x y ”的既不充分也不必要条件， 故选： D 【点睛】 本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题 . 4．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主 对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取 30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四 居室满意的人数分别为 A． 240，18 B．200，20 C． 240，20 D．200，18 【答案】 A 【解析】 【分析】 利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【详解】 样本容量为： （150+250+400 ）×30% ＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为： 150240 40% 18. 150 250 400 故选 A． 【点睛】 本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图 的性质的合理运用． 5．已知函数 ( ) xf x e b 的一条切线为 ( 1)y a x ，则 ab 的最小值为（ ） A． 1 2e B． 1 4e C． 1 e D． 2 e 【答案】 A 【解析】 【分析】 求导得到 '( ) xf x e ，根据切线方程得到 lnb a a ，故 2 lnab a a ，设 2 lng x x x ，求导得到函数 在 1 20,e 上单调递减，在 1 2e , 上单调递增，故 1 2 ming x g e ，计算得到答案 . 【详解】 ( ) xf x e b ，则 '( ) xf x e ，取 0xe a ， 0a ，故 0 lnx a ， 0f x a b . 故 (ln 1)a b a a ，故 lnb a a ， 2 lnab a a . 设 2 lng x x x， ' 2 ln 2ln 1g x x x x x x ，取 ' 0g x ，解得 1 2x e . 故函数在 1 20,e 上单调递减，在 1 2e , 上单调递增，故 1 2 min 1 2 g x g e e . 故选： A . 【点睛】 本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力 . 6．已知 ,a R b R，则 “直线 2 1 0ax y 与直线 ( 1) 2 1 0a x ay 垂直 ”是“ 3a ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】 【分析】 由两直线垂直求得则 0a 或 3a ，再根据充要条件的判定方法，即可求解 . 【详解】 由题意， “直线 2 1 0ax y 与直线 ( 1) 2 1 0a x ay 垂直 ” 则 ( 1) 2 ( 2 ) 0a a a ，解得 0a 或 3a ， 所以 “直线 2 1 0ax y 与直线 ( 1) 2 1 0a x ay 垂直 ”是“ 3a ”的必要不充分条件，故选 B. 【点睛】 本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得 a 的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题 . 7．如图所示，已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b 的右焦点为 F ，双曲线 C 的右支上一点 A ，它关于原 点 O的对称点为 B ，满足 120AFB ，且 | | 2 | |BF AF ，则双曲线 C 的离心率是（ ）. A． 3 3 B． 7 2 C． 3 D． 7 【答案】 C 【解析】 【分析】 易得 | | 2AF a ， | | 4BF a ，又 1 ( ) 2 FO FB FA uuur uuur uuur ，平方计算即可得到答案 . 【详解】 设双曲线 C 的左焦点为 E，易得 AEBF 为平行四边形， 所以 | | | | | | | | 2BF AF BF BE a ，又 | | 2| |BF AF ， 故 | | 2AF a ， | | 4BF a ， 1 ( ) 2 FO FB FA uuur uuur uuur ， 所以 2 2 21 (4 16 2 4 ) 4 c a a a a ，即 2 23c a ， 故离心率为 3e . 故选： C. 【点睛】 本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立 , ,a b c 的方程或不等关系，是一道中档题 . 8．“学习强国 ”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内 容，立足全体党员 ?面向全社会的优质平台， 现日益成为老百姓了解国家动态 ?紧跟时代脉搏的热门 APP ? 该款软件主要设有 “阅读文章 ”?“视听学习 ”两个学习模块和 “每日答题 ”?“每周答题 ”?“专项答题 ”?“挑战答 题 ”四个答题模块 ?某人在学习过程中， “阅读文章 ”不能放首位， 四个答题板块中有且仅有三个答题板块相 邻的学习方法有（ ） A． 60 B．192 C．240 D． 432 【答案】 C 【解析】 【分析】 四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法．注意按 “阅读文章 ”分类． 【详解】 四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法，由于 “阅读文章 ”不能放首位，因此不 同的方法数为 3 1 2 3 2 4 2 2 4 3 240A C A A A ． 故选： C． 【点睛】 本题考查排列组合的应用，考查捆绑法和插入法求解排列问题．对相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入 法是解决这类问题的常用方法． 9．在区间 [ 1,1]上随机取一个数 k ，使直线 ( 3)y k x 与圆 2 2 1x y 相交的概率为（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 2 4 D． 2 3 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据直线与圆相交，可求出 k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率 . 【详解】 因为圆心 (0,0) ，半径 1r ，直线与圆相交，所以 2 | 3 | 1 1 kd k ，解得 2 2 4 4 k 所以相交的概率 2 22 2 4 P ,故选 C. 【点睛】 本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题 . 10．如图，已知直线 :l 1 0y k x k 与抛物线 2: 4C y x 相交于 A ，B 两点，且 A、B 两点在抛物 线准线上的投影分别是 M ，N，若 2AM BN ，则 k 的值是（ ） A． 1 3 B． 2 3 C． 2 2 3 D． 2 2 【答案】 C 【解析】 【分析】 直线 1 0y k x k 恒过定点 10P ， ，由此推导出 1 2 OB AF ，由此能求出点 B 的坐标，从而 能求出 k 的值． 【详解】 设抛物线 2: 4C y x 的准线为 : 1l x ， 直线 1 0y k x k 恒过定点 10P ， ， 如图过 A、B 分别作 AM l 于 M ， BN l 于 N， 由 2AM BN ，则 2FA FB ， 点 B 为 AP 的中点、连接 OB ，则 1 2 OB AF ， ∴ OB BF ，点 B 的横坐标为 1 2 ， ∴点 B 的坐标为 1 , 2 2 B ，把 1 , 2 2 B 代入直线 1 0y k x k ， 解得 2 2 3 k ， 故选： C． 【点睛】 本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合 理运用，属于中档题 . 11． 5 21 mx x 的展开式中 5x 的系数是 -10，则实数 m ( ) A． 2 B．1 C．-1 D． -2 【答案】 C 【解析】 【分析】 利用通项公式找到 5x 的系数，令其等于 -10 即可 . 【详解】 二项式展开式的通项为 1 5 5 5 22 2 2 1 5 5( ) ( ) rr r r r r rT C x mx m C x ，令 5 5 5 2 2 r ，得 3r ， 则 3 3 5 5 4 5 10T m C x x ，所以 3 3 5 10m C ，解得 1m . 故选： C 【点睛】 本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题 . 12．在直角 ABC 中， 2 C ， 4AB ， 2AC ，若 3 2 AD AB ，则 CD CB uuur uuur （ ） A． 18 B． 6 3 C． 18 D． 6 3 【答案】 C 【解析】 【分析】 在直角三角形 ABC 中，求得 1 2 ACcos CAB AB ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结 合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值． 【详解】 在直角 ABC 中， 2 C ， 4AB ， 2AC ，， 1 2 ACcos CAB AB ， 若 3 2 AD AB uuuv uuuv ，则 2 CD CB AD AC AB AC AD AB AD AC AC AB AC uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv （ ）（ ） 2 23 3 2 2 AB AB AC AC AB AC uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv 3 5 116 4 2 4 18 2 2 2 ． 故选 C. 【点睛】 本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于 中档题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．定义在 R 上的函数 f x 满足： ①对任意的 ,x y R ，都有 f x y f x f y ；②当 0x 时， 0f x ，则函数 f x 的解析式可以是 ______________. 【答案】 f x x （或 2f x x ，答案不唯一） 【解析】 【分析】 由 f x y f x f y 可得 f x 是奇函数，再由 0x 时， 0f x 可得到满足条件的奇函数非 常多，属于开放性试题 . 【详解】 在 f x y f x f y 中，令 0x y ，得 (0) 0f ；令 0x ， 则 0 yf y f y ff ，故 f x 是奇函数，由 0x 时， 0f x ， 知 f x x 或 2f x x等，答案不唯一 . 故答案为： f x x （或 2f x x ，答案不唯一） . 【点睛】 本题考查抽象函数的性质，涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大 . 14．已知 2 2 2, 1 ( ) 5, 1 3 log , 3 x x f x x x x x ，则 (4)f f 的值为 ______. 【答案】 1 【解析】 【分析】 先求 4f ，再根据 4f 的范围求出 4f f 即可 . 【详解】 由题可知 24 log 4 2f ， 故 24 2 2 5 1f f f . 故答案为： 1. 【点睛】 本题考查分段函数函数值的求解，涉及对数的运算，属基础题 . 15．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 1， 2，3，4，5 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作 为其赌金； 随后放回该卡片， 再随机摸取两张， 将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金． 若 随机变量 ξ1 和 ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金， 则 D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝ _____． 【答案】 2 0.2 【解析】 【分析】 分别求出随机变量 ξ1 和 ξ2 的分布列，根据期望和方差公式计算得解 . 【详解】 设 a，b∈ {1，2，1，4，5}，则 p（ξ1＝a） 1 5 ，其 ξ1分布列为： ξ1 1 2 1 4 5 P 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 E（ ξ1） 1 5 （1+2+1+4+5 ）＝ 1． D（ ξ1） 1 5 [（1﹣1） 2+（2﹣ 1） 2+（1﹣1） 2+（4﹣1） 2+（5﹣ 1） 2]＝2． ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分别为： 1.4，2.3， 4.2，5.6， P（ ξ2＝ 1.4） 2 5 4 2 5e ，P（ξ2＝2.3） 2 5 3 3 10e ，P（ξ2＝4.2） 2 5 2 2 10e ，P（ ξ2＝ 5.6） 2 5 1 1 10e ， 可得分布列． ξ2 1.4 2.3 4.2 5.6 P 2 5 3 10 2 10 1 10 E（ ξ2）＝ 1.4 2 5 2.3 3 10 4.2 2 10 5.6 1 10 2.3． ∴E（ξ1）﹣ E（ξ2）＝ 0.2． 故答案为： 2，0.2． 【点睛】 此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差 . 16．若函数 ( ) sin 2 3cos2f x x x 的图像向左平移 8 个单位得到函数 ( )g x 的图像 .则 ( )g x 在区间 3,8 8 上的最小值为 ________. 【答案】 3 【解析】 【分析】 注意平移是针对自变量 x，所以 ( ) ( ) 8 g x f x 2sin(2 ) 12 x ，再利用整体换元法求值域（最值）即 可 . 【详解】 由已知， ( ) sin 2 3 cos2 2sin(2 ) 3 f x x x x ， ( ) ( ) 8 g x f x 2sin[2( ) ] 2sin(2 ) 8 3 12 x x ，又 3, 8 8 x ，故 22 [ , ] 12 3 3 x ， 2sin(2 ) [ 3,2] 12 x ，所以 ( )g x 的最小值为 3 . 故答案为： 3 . 【点睛】 本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础 题 . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．在 ABCV 中， A 、 B 、 C 的对应边分别为 a 、 b 、 c ，已知 2a ， 2 3c ， 1cos 2 C . （ 1）求 A ； （ 2）设 M 为 BC 中点，求 AM的长 . 【答案】（1） 30o；（2） 7 . 【解析】 【分析】 （ 1）直接根据特殊角的三角函数值求出 C ，结合正弦定理求出 A ； （ 2）结合第一问的结论以及余弦定理即可求解． 【详解】 解：（ 1）∵ 1cos 2 C ，且 0 C ，∴ 120C ，由正弦定理 sin sin c a A A 2 2 3 sin sin120A ，∴ 1sin 2 A ， ∵ 120C ∴ A锐角，∴ 30A （ 2）∵ 30A ， 120C ∴ 30B ∴ 2b a ∴在 AMCV 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cosAM AC CM AC CM C 11 4 2 2 1 2 7 ∴ 7AM 【点睛】 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用． 18．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C： 2 4 4 0y x ，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 3 （ R）. （ 1）求抛物线 C 的极坐标方程； （ 2）若抛物线 C 与直线 l 交于 A，B 两点，求 AB 的值 . 【答案】（1） 2 2sin 4 cos 4 0 （2） 16 3 AB 【解析】 【分析】 (1)利用极坐标和直角坐标的互化公式 cosx ， siny ,即可求得结果 . (2) 由 的几何意义得 , 1 2AB . 将 3 代入抛物线 C 的方程 ,利用韦达定理 1 2 8 3 ， 1 2 16 3 ，即可求得结果 . 【详解】 （ 1）因为 cosx ， siny ， 代入 2 4 4 0y x 得 2 2sin 4 cos 4 0 ， 所以抛物线 C 的极坐标方程为 2 2sin 4 cos 4 0 . （ 2）将 3 代入抛物线 C 的方程得 23 2 4 0 4 ， 所以 1 2 8 3 ， 1 2 16 3 ， 2 2 1 2 1 2 1 2 64 64 2564 9 3 9 所以 1 2 16 3 ， 由 的几何意义得， 16 3 AB . 【点睛】 本题考查直角坐标和极坐标的转化 ,考查极坐标方程的综合应用 ,考查了学生综合分析 ,转化与划归 ,数学运 算的能力 ,难度一般 . 19．如图，在三棱柱 ADE BCF- 中，ABCD 是边长为 2 的菱形，且 60BAD ，CDEF 是矩形， 1ED ， 且平面 CDEF 平面 ABCD ， P 点在线段 BC 上移动（ P 不与 C 重合）， H 是 AE 的中点 . （ 1）当四面体 EDPC 的外接球的表面积为 5π时，证明： / /HB .平面 EDP （ 2）当四面体 EDPC 的体积最大时，求平面 HDP 与平面 EPC 所成锐二面角的余弦值 . 【答案】（1）证明见解析（ 2） 7 8 【解析】 【分析】 （ 1）由题意，先求得 P 为 BC 的中点，再证明平面 / /HMB 平面 EDP ，进而可得结论； （ 2）由题意，当点 P 位于点 B 时，四面体 EDPC 的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运 算即可 . 【详解】 （ 1）证明：当四面体 EDPC 的外接球的表面积为 5π时. 则其外接球的半径为 5 2 . 因为 ABCD 时边长为 2 的菱形， CDEF 是矩形 . 1ED ，且平面 CDEF 平面 ABCD . 则 ED ABCD平面 ， 5EC . 则 EC 为四面体 EDPC 外接球的直径 . 所以 90EPC ，即 CB EP . 由题意， CB ED ， EP ED EI ，所以 CB DP . 因为 60BAD BCD ，所以 P 为 BC 的中点 . 记 AD 的中点为 M ，连接 MH ， MB . 则 MB DPP ， MH DEP ， DE DP D ，所以平面 / /HMB 平面 EDP . 因为 HB 平面 HMB ，所以 / /HB 平面 EDP . （ 2）由题意， ED 平面 ABCD ，则三棱锥 E DPC 的高不变 . 当四面体 EDPC 的体积最大时， DPC△ 的面积最大 . 所以当点 P 位于点 B 时，四面体 EDPC 的体积最大 . 以点 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz . 则 0,0,0D ， 0,0,1E ， 3,1,0B ， 3 1 1, ,2 2 2H ， 0,2,0C . 所以 3,1,0DB uuur ， 3 1 1, , 2 2 2 DH uuuur ， 0,2, 1EC uuur ， 3,1, 1EB uuur . 设平面 HDB 的法向量为 1 1 1, ,m x y z ur . 则 1 1 1 1 1 3 0, 3 1 1 0, 2 2 2 DB m x y DH m x y z uuuv v uuuuv v 令 1 1x ，得 1, 3, 2 3 uur m . 设平面 EBC 的一个法向量为 2 2 2, ,n x y z r . 则 2 2 2 2 2 2 0, 3 0, EC n y z EB n x y z uuuv v uuuv v 令 2 3y ，得 3,3,6n r . 设平面 HDP 与平面 EPC 所成锐二面角是 ，则 7cos 8 uur r uur r m n m n . 所以当四面体 EDPC 的体积最大时，平面 HDP 与平面 EPC 所成锐二面角的余弦值为 7 8 . 【点睛】 本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的 平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题． 20．如图为某大江的一段支流， 岸线 1l 与 2l 近似满足 1l ∥ 2l ，宽度为 7km．圆 O 为江中的一个半径为 2km 的小岛，小镇 A 位于岸线 1l 上，且满足岸线 1l OA ， 3OA km．现计划建造一条自小镇 A经小岛 O 至 对岸 2l 的水上通道 ABC（图中粗线部分折线段， B 在 A 右侧），为保护小岛， BC 段设计成与圆 O 相切．设 0 2 ABC ． （ 1）试将通道 ABC 的长 L 表示成 的函数，并指出定义域； （ 2）若建造通道的费用是每公里 100 万元，则建造此通道最少需要多少万元？ 【答案】（1） 9 3cos( ) sin L ，定义域是 0 , 2 ．（2） 6 2 百万 【解析】 【分析】 （ 1）以 A 为原点，直线 1l 为 x 轴建立如图所示的直角坐标系，设 ( 0)AB a a ，利用直线与圆相切得到 2 3cos sin a ，再代入 L AB BC 这一关系中，即可得答案； （ 2）利用导数求函数的最小值，即可得答案； 【详解】 以 A为原点，直线 1l 为 x 轴建立如图所示的直角坐标系． 设 ( 0)AB a a ，则 ( ,0)B a ， (0,3)O ， 2 : 7l y ． 因为 0 2 ABC ， 所以直线 BC 的方程为 tan ( )y x a ， 即 tan tan 0x y a ， 因为圆 O 与 BC 相切，所以 2 | 3 tan | 2 1 tan a ， 即 3cos sin 2 cos cos a ，从而得 2 3cos sin a ， 在直线 BC 的方程中，令 7y ，得 7 7cos tan sinCx a a ， 所以 2 1 7cos 71 tan cos sin sinB CBC x x ， 所以 7 9 3cos sin sin L AB BC a 当 0a 时， 2cos 3 ，设锐角 0满足 0 2cos 3 ，则 0 2 ， 所以 L 关于 的函数是 9 3cos( ) sin L ，定义域是 0, 2 ． （ 2）要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即 L 最小． 2 02 2 3sin (9 3cos )cos 3 9cos( ) sin sin 2 L 令 ( ) 0L ，得 1cos 3 ，设锐角 1，满足 1 1 2cos 3 3 ，得 1 0 , 2 ． 列表： 0 1, 1 1, 2 ( )L 0 ( )L 减 极小值 增 所以 1 时， 1 min 1 19 39 3cos 3[ ( )] 6 2 sin 2 2 3 L ，所以建造此通道的最少费用至少为 6 2 百万 元． 【点睛】 本题考查三角函数模型的实际应用、利用导数求函数的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想， 考查逻辑推理能力、运算求解能力 . 21．已知动圆 M 经过点 (2,0)N ，且动圆 M 被 y 轴截得的弦长为 4 ，记圆心 M 的轨迹为曲线 C ． （ 1）求曲线 C 的标准方程； （ 2）设点 M 的横坐标为 0x ， A ，B 为圆 M 与曲线 C 的公共点， 若直线 AB 的斜率 1k ，且 0 [0, 4]x ， 求 0x 的值． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】 （ 1）设 ( , )M x y ，则点 M 到 y 轴的距离为 | |x ， 因为圆 M 被 y 轴截得的弦长为 4 ，所以 2 2| | | 4|MN x ， 又 2 2 2 | 2| ( )MN x y ，所以 2 2 2 4| 2| ( )x x y ， 化简可得 2 4y x ，所以曲线 C 的标准方程为 2 4y x ． （ 2）设 2 1 1( , ) 4 yA y ， 2 2 2( , ) 4 yB y ， 因为直线 AB 的斜率 1k ，所以可设直线 AB 的方程为 y x m， 由 y x m及 2 4y x ，消去 x 可得 2 4 4 0y y m ，所以 1 2 4y y ， 1 2 4y y m ， 所以 2 1 2 1 2| 2 ( ) 4 4 2| 1AB y y y y m ． 设线段 AB 的中点为 T ，点 M 的纵坐标为 0y ，则 ,(2 )2T m ， MT AB ， 所以直线 MT 的斜率为 1，所以 0 0 2 1 (2 ) y x m ，所以 0 0 2 0 0 4 4 4m x y yy ， 所以 0 0 2 4 2 1 4| | 3 4 2 yAB m y ． 易得圆心 M 到直线 AB 的距离 0 2 0 0 1 | | 2 2 2 | | 4 d y m yy ， 由圆 M 经过点 (2,0)N ，可得 2 4 202 02 | || | 4 2( 2) 16 2 yAB MN d y ， 所以 2 0 0 0 4 2032( ) 4[ ]3 4 2( 2) 4 16 y yy y ，整理可得 4 2 0 064 320 0y y ， 解得 2 0 32 8 11y 或 2 0 32 8 11y ，所以 0 8 2 11x 或 0 8 2 11x ， 又 0 [0, 4]x ，所以 0 8 2 11x ． 22．已知函数 ( ) | 2 | | 2 |f x x x m ， ( )m R . （ 1）若 4m 时，解不等式 ( ) 6f x ； （ 2）若关于 x 的不等式 ( ) | 2 5|f x x 在 [0, 2]x 上有解，求实数 m 的取值范围 . 【答案】（1） 8| 0 3 x x （ 2） [ 5,3] 【解析】 【分析】 （ 1）零点分段法，分 2x≤ ， 2 2x ， 2x 讨论即可； （ 2）当 [0, 2]x 时，原问题可转化为：存在 [0, 2]x ，使不等式 3 3 3x m x成立，即 min max( 3) (3 3 )x m x . 【详解】 解：（ 1）若 4m 时， | 2 | | 2 4 | 6x x ， 当 2x≤ 时，原不等式可化为 2 2 4 6x x ，解得 8 3 x ，所以 8 2 3 x ， 当 2 2x 时，原不等式可化为 2 2 4 6x x ，解得 0x ，所以 2 0x ， 当 2x 时，原不等式可化为 2 2 4 6x x ，解得 4 3 x ，所以 x ， 综上述：不等式的解集为 8| 0 3 x x ； （ 2）当 [0, 2]x 时，由 ( ) | 2 5|f x x 得 2 | 2 | 5 2x x m x ， 即 | 2 | 3x m x ， 故 3 2 3x x m x得 3 3 3x m x ， 又由题意知： min max( 3) (3 3 )x m x ， 即 5 3m ， 故 m 的范围为 [ 5,3] . 【点睛】 本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立求参数，考查学生的运算能力，是一道容易题 . 23．已知函数 ( ) | 1| | 1| 2f x x x . （ 1）求不等式 ( ) 1f x ⋯ 的解集； （ 2）若关于 x 的不等式 2( ) 2f x a a⋯ 在 R上恒成立，求实数 a 的取值范围 . 【答案】（1） 3{ | 2 x x ? 或 3} 2 x ； （ 2） 1 2a . 【解析】 【分析】 （ 1）利用绝对值的几何意义， 将不等式 ( ) 1f x ⋯ ，转化为不等式 1 2 2 1 x x 或 1 1 0 1 x 或 1 2 2 1 x x 求解 . （ 2）根据 2( )f x a a -2 在 R 上恒成立，由绝对值三角不等式求得 ( )f x 的最小值即可 . 【详解】 （ 1）原不等式等价于 1 2 2 1 x x 或 1 1 0 1 x 或 1 2 2 1 x x ， 解得： 3 2 x 或 3 2 x ， ∴不等式的解集为 3{ | 2 x x ? 或 3} 2 x . （ 2）因为 2( )f x a a -2 在 R 上恒成立， 而 ( ) | 1| | 1| 2 |( 1) ( 1) | 2 0f x x x x x ， 所以 2 2 0a a ，解得 1 2a ， 所以实数 a 的取值范围是 1 2a . 【点睛】 本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题 .