数学文卷·2018届陕西省黄陵中学高三（重点班）下学期开学考试（2018

数学文卷·2018届陕西省黄陵中学高三（重点班）下学期开学考试（2018

高三重点班开学考试数学试题（文）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.已知集合A＝{x|2x－1>1}，B＝{x|x2－2x≤0}，则A∩B＝(　　)‎ A.[1，2) B.[1，2] C.(0，3] D.(1，2]‎ ‎2.在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A(2，1)和B(0，1)，则＝(　　)‎ A.－1－2i B.－1＋2i C.1－2i D.1＋2i ‎3.已知向量a＝(2，－1)，A(－1，x)，B(1，－1)，若a⊥，则实数x的值为(　　)‎ A.－5 B‎.0 C.－1 D.5‎ ‎4.执行如图所示的程序框图，输出的结果为(　　)‎ A.8 B‎.16 C.32 D.64‎ ‎5. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ）‎ A. 8 B. ‎7 C. 6 D. 4‎ ‎6. 已知复数满足，则复数对应的点所在象限是（ ）‎ A. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎7. 如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于两点，若点的坐标分别为和，则的值为（ ）‎ A. B. C. 0 D. ‎ ‎8. 某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.已知函数 的图像向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为（ ）‎ A． -1 B． C. D．-2‎ ‎10.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方体棱台（上、下底面均为矩形额棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上表，下表从之，亦倍小表，上表从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六面一.”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，以此算法，现有上下底面为相似矩形的棱台，相似比为，高为3，且上底面的周长为6，则该棱台的体积的最大值是（ ）‎ A． 14 B． ‎56 C. D．63‎ ‎11.已知点是抛物线准线上的一点，点是的焦点，点在上且满足，当取最小值时，点恰好在以原点为中心，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A．3 B． C. D．‎ ‎12.若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本小题共4题，每小题5分。‎ ‎（13）已知向量，，若∥，则 . ‎ ‎（14）设中，角所对的边分别为，若的面积为，则 ‎ ‎（15）已知等比数列的公比为正数，且，,则 ．‎ ‎（16）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 个．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（12分）‎ 已知数列的前项和.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎18．（12分）‎ P A B C 如图，三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB=2．‎ ‎（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；‎ ‎（2）若，求三棱锥P﹣ABC的体积．‎ ‎ 19．（本小题满分12分）‎ 已知等腰梯形中（如图1），，，为线段的中点，为线段上的点，，现将四边形沿折起（如图2）．‎ ‎⑴求证：平面； ‎ ‎⑵在图2中，若，求直线与平面所成角的正弦值 ‎ ‎ 图2‎ 图1‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，且点在椭圆C上.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设P为椭圆上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆C的另一个交点为B，若PA⊥PB，求实数λ的值.‎ D Q B P x A O y 第20题 ‎21. 已知函数（其中）.(12分)‎ ‎（1）若为的极值点，求的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，解不等式.‎ 考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22. 已知圆锥曲线 (是参数)和定点,、是圆锥曲线的左、右焦点．‎ ‎(1)求经过点且垂直于直线的直线的参数方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．‎ ‎1.D　2.C　3.A　4.C　 5.D 6.D 7.D 8.D 9.C 10.C 11、C 12.A ‎13. 14.30°或 16.23 ‎ ‎17．（12分）‎ 解析：（1）当时，，所以.‎ 当时，.‎ 于是，即.‎ 所以数列是以为首项，公式的等比数列.‎ 所以. .................................................4分 ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 于是，‎ 两式相减，得，‎ 于是. .................................................12分 P A B C O ‎18．（12分）‎ 解析：（1）取AC的中点O，连接BO，PO.‎ 因为ABC是边长为2的正三角形，‎ 所以BO⊥AC，BO=.‎ 因为PA⊥PC，所以PO=.‎ 因为PB=2，所以OP2+OB2=PB2，所以PO⊥OB.‎ 因为AC，OP为相交直线，所以BO⊥平面PAC.‎ 又OB⊂平面ABC，‎ 所以平面PAB⊥平面ABC．.................................................6分 ‎（2）因为PA=PC，PA⊥PC，AC=2，‎ 所以.‎ 由（1）知BO⊥平面PAC.‎ 所以. .................................................12分 ‎19．解析 ‎∴四边形为平行四边形 ‎∴∥‎ 又∵面， 面 ‎∴∥面 ‎ (2)作于，连接，在中，易知，而 ‎∴， ‎ 在中， ，易知 又∵‎ ‎∴‎ 在中， ， ， ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 在中，易知 ‎∴‎ 在中， ‎ ‎∴，即与平面的所成的角的正弦值为.‎ ‎20.解:(1)因为点在椭圆C上，则，------------------------------1分 又椭圆C的离心率为错误！未找到引用源。，可得，即，‎ 所以 ，代入上式，可得，‎ 解得，故.‎ 所以椭圆C的方程为 5分 ‎(2)设P(x0，y0)，则A(-x0，-y0)，Q(x0，-y0).‎ 因为错误！未找到引用源。=λ错误！未找到引用源。,则(0，yD-y0)=λ(0，-2y0)，故yD=(1-2λ)y0.‎ 所以点D的坐标为(x0，(1-2λ)y0). 7分 设B(x1，y1)，‎ ‎ 9分 又 故.------------- ------------11分 又PA⊥PB，且，‎ 所以，即，解得.‎ 所以 12分 ‎21【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：先由极值定义求出，再利用导数研究函数单调性，进而解出不等式 试题解析：因为，‎ 所以， 1分 因为为的极值点,所以由,解得 检验,当时,,当时,,当时,.‎ 所以为的极值点,故． 2分 当时,‎ 不等式 ,‎ 整理得,‎ 即或， 6分 令，,，‎ 当时,；当时,，‎ 所以在单调递减，在单调递增，所以，‎ 即,所以在上单调递增,而；‎ 故；，‎ 所以原不等式的解集为． 12分 考点：函数极值，利用导数解不等式 ‎22.【答案】(1)(为参数).(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)消去参数可得圆锥曲线的普通方程，则焦点坐标为，由斜率公式结合直线垂直的充要条件可得直线的倾斜角是.其参数方程是(为参数).‎ ‎(2)设是直线上任一点，由题意有，整理可得其极坐标方程为.‎ 试题解析：‎ ‎(1)圆锥曲线化为普通方程，所以，则直线的斜率，于是经过点且垂直于直线的直线的斜率，直线的倾斜角是.所以直线的参数方程是(为参数)，‎ 即(为参数).‎ ‎(2)直线的斜率，倾斜角是，设是直线上任一点，‎ 则，即，则.‎ ‎23.【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合不等式的性质零点分段可得不等式的解集为.‎ ‎(2)由绝对值三角不等式的性质可得，结合集合关系可得关于实数a的不等式求解绝对值不等式可得实数的取值范围为......................‎ 试题解析：‎ ‎(1)原不等式等价于或 或，解得或或.‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎(2)，‎ 或，‎ ‎∴实数的取值范围为.‎