2020届二轮复习选修-课件（45张）（全国通用）

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1. 伸缩变换 _____________ 其中点 P(x,y) 对应到点 P′(x′,y′). 2. 极坐标系与点的极坐标 在如图所示的极坐标系中 , 点 O 是 _____, 射线 Ox 是 _____, θ 为 _____( 通常取逆时针方向 ),ρ 为 _____( 表示极点 O 与点 M 的距离 ), 点 M 的极坐标是 _________. 极点 极轴 极角 极径 M(ρ,θ) 3. 直角坐标与极坐标的互化 设 M 是平面内的任意一点 , 它的直角坐标、极坐标分别为 (x,y) 和 (ρ,θ). 则 　 x=_________, y=_________, ρcos θ ρsin θ ρ 2 =_____, tan θ=__________. x 2 +y 2 【 常用结论 】 1. 明辨变换前后两个坐标 伸缩变换公式 中 , (1) 点 (x,y) 为变换前的坐标 , 在原曲线上 , 适合原曲线方程 . (2) 点 (x′,y′) 为变换后的坐标 , 在变换后的曲线上 , 适合变换后的曲线方程 . 2. 极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1) 公式代入 : 直角坐标方程化为极坐标方程公式 x=ρcos θ 及 y=ρsin θ, 直接代入并化简 . (2) 整体代换 : 通过对极坐标方程的两边同乘以 ρ 等变形 , 构造 ρsin θ,ρcos θ,ρ 2 的形式后整体代入 . 3. 常见曲线的极坐标方程 (1) 几个特殊位置的直线的极坐标方程 ①如图 , 直线过极点 , 且极轴到此直线的角为 α:θ=α 和 θ=π+α(ρ∈R); ② 如图 , 直线过点 M(a,0) 且垂直于极轴 :ρcos θ= a ; ③ 如图 , 直线过 M 且平行于极轴 :ρsin θ=b (0<θ<π). (2) 几种特殊位置圆的极坐标方程 ①如图① , 圆心在极点 , 半径为 r:ρ=r(0≤θ<2π); 图① ② 如图② , 圆心为 M(r,0), 半径为 r: ρ=2rcos θ ; 图② ③ 如图③ , 圆心为 M , 半径为 r:ρ=2rsin θ(0≤θ <π). 图③ 考点一　伸缩变换 【 题组练透 】 1. 在同一平面直角坐标系中 , 已知伸缩变换 φ (1) 求点 A 经过 φ 变换所得的点 A′ 的坐标 . (2) 点 B 经过 φ 变换得到点 B′ , 求点 B 的坐标 . 【 解析 】 (1) 设 A′(x′,y′), 由伸缩变换 φ 得到 φ 于是 x′=3× =1,y′= ×(-2)=-1, 所以点 A 经过 φ 变换所得的点 A′ 的坐标为 A′(1,-1). (2) 设 B(x,y) 由伸缩变换 φ 得到 于是 x= ×(-3)=-1,y=2× =1, 所以点 B 经过 φ 变换得到点 B′ , 点 B 的坐标为 B(-1,1). 2. 已知圆 E 2 :x 2 +y 2 =2, 将圆 E 2 按伸缩变换 : 后得到曲线 E 1 , 求 E 1 的方程 . 【 解析 】 按伸缩变换 得 : (x′) 2 +( y′) 2 =2, 则 E 1 的方程为 +y 2 =1. 【 规律方法 】 伸缩变换后方程的求法 平面上的曲线 y=f(x), 变换 φ : 变换后的 方程求法 : 将 代入 y=f(x) 得 , 整理之后得到 y′=h(x′) 即为所求变换之 后的方程 . 提醒 : 应用伸缩变换时 , 要分清变换前的点的坐标 (x,y) 与变换后的点的坐标 (x′,y′). 考点二　极坐标与直角坐标的互化 【 典例 】 (2018· 哈尔滨模拟 ) 在平面直角坐标系 xOy 中 , 以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ 2 -4ρcos θ+3=0,θ∈[0,2π). (1) 求 C 1 的直角坐标方程 . (2) 曲线 C 2 是过极点 , 倾斜角为 的直线 , 求曲线 C 1 和 C 2 交点的极坐标 . 世纪金榜导学号 【 解析 】 (1) 将 代入 ρ 2 -4ρcos θ+3=0 中 , 化简得 (x-2) 2 +y 2 =1. (2) 由题设可知 C 2 是过坐标原点 , 倾斜角为 的直线 , 因此 C 2 的极坐标方程为 θ= 或 θ= ,ρ>0, 将 θ= 代入 C 1 得 :ρ 2 -2 ρ+3=0, 解得 ρ= , 将 θ= 代入 C 1 得 ρ=- 不合题意 , 故 C 1 和 C 2 公共点的极坐标为 . 【 误区警示 】 本例容易出现利用直角坐标方程求交点致使解题复杂 , 利用极坐标方程求交点更为方便 . 【 规律方法 】 极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1) 直角坐标方程化为极坐标方程 : 将公式 x=ρcos θ 及 y=ρsin θ 直接代入直角坐标方程并化简即可 . (2) 极坐标方程化为直角坐标方程 : 通过变形构造出形如 :ρcos θ,ρsin θ,ρ 2 的形式 , 再应用公式进行代换 . 其中方程的两边同乘以 ( 或同除以 )ρ 、方程两边平方是常用的变形技巧 . 【 对点训练 】 (2018· 长春模拟 ) 在直角坐标系 xOy 中 , 以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 曲线 C 1 :ρ=4cos θ ,C 2 :ρcos θ=3. (1) 求 C 1 与 C 2 交点的极坐标 . (2) 设点 Q 在 C 1 上 , , 求动点的极坐标方程 . 【 解析 】 (1) 因为曲线 C 1 :ρ=4cos θ , C 2 :ρcos θ=3, 联立 解得 cos θ=± , 因为 θ∈ , 所以 θ= , 所以 ρ=2 , 所以 C 1 与 C 2 交点的极坐标为 . (2) 设 P(ρ,θ),Q(ρ 0 ,θ 0 ), 且 ρ 0 =4cos θ 0 ,θ 0 ∈ , 由已知 , 得 所以 ρ=4cos θ. 所以点 P 的极坐标方程为 ρ=10cos θ,θ∈ . 考点三　极坐标方程的应用 【 明考点 · 知考法 】 极坐标方程的应用是高考选考的必考内容 , 以解答题的形式出现 , 考查利用极坐标解决与直线、圆、椭圆等有关的位置关系、弦长、范围问题 , 解题的过程渗透了数学建模的核心素养 . 命题角度 1 　位置关系问题 【 典例 】 (2019· 南京模拟 ) 在极坐标系中 , 直线 ρcos =1 与曲线 ρ=r(r>0) 相切 , 求 r 的值 . 世纪金榜导学号 【 解析 】 直线 ρcos =1 转化为 x- y-2=0, 曲线 ρ=r(r>0) 转化为 x 2 +y 2 =r 2 , 由于直线和圆相切 , 则 圆心到直线的距离 d= =1=r. 【 状元笔记 】 关于位置关系的解题策略 : 位置关系的判断及应用主要涉及直线与圆、圆与圆的位置关系 , 一般采用化为直角坐标方程的方法解决 命题角度 2 　弦长问题 【 典例 】 (2018· 江苏高考 ) 在极坐标系中 , 直线 l 的方 程为 ρsin =2, 曲线 C 的方程为 ρ=4cos θ, 求直 线 l 被曲线 C 截得的弦长 . 世纪金榜导学号 【 解析 】 因为曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ, 所以曲线 C 是圆心为 (2,0), 直径为 4 的圆 . 因为直线 l 的极坐标方程为 ρsin =2, 则直线 l 过 A(4,0), 倾斜角为 , 所以 A 为直线 l 与圆 C 的 一个交点 , 设另一个交点为 B, 则∠ OAB= , 连接 OB, 因为 OA 为直径 , 从而∠ OBA= , 所以 |AB|=4cos =2 , 因此直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 . 【 状元笔记 】 求弦长的两个方法 (1) 将极坐标方程化为直角坐标方程 , 利用直角坐标系中的相关知识求弦长 (2) 利用 ρ,θ 的几何意义 , 在极坐标系中利用图形关系 , 结合余弦定理等知识解题 命题角度 3 　范围问题 【 典例 】 (2019· 烟台模拟 ) 以平面直角坐标系为极 点 ,x 轴正半轴为极轴 , 建立极坐标系 . 已知曲线 C 1 的极 坐标方程为 ρsin , 曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2cos . 世纪金榜导学号 (1) 写出 C 1 ,C 2 的直角坐标方程 . (2) 设 M,N 分别是曲线 C 1 ,C 2 上的两个动点 , 求 |MN| 的最小值 . 【 解析 】 (1) 依题意 ρsin = ρsin θ- ρcos θ= , 所以曲线 C 1 的普通方程为 x-y+2=0, 因为曲线 C 2 的极坐标方程为 :ρ 2 =2ρcos = ρcos θ+ ρsin θ, 所以 x 2 +y 2 - x- y=0, 即 (2) 由 (1) 知圆 C 2 的圆心 , 所以圆心到直线 x-y+ 2=0 的距离 :d= , 又半径 r=1, 所以 |MN| min =d-r= -1. 【 状元笔记 】 解决范围问题的常用思路 (1) 化为直角坐标方程后利用位置关系求范围 (2) 将要求范围的量表示出来 , 利用配方、基本不等式、三角函数的性质等知识求范围