2018高考数学（文理通用版）一轮综合过关规范限时检测：第10章-计数原理概率随机变量及其分布(理)
第十章 综合过关规范限时检测(理)
(时间：120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2016·辽宁大边二模)有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法种数为( B )
A．A·A B．C·C
C．C－C·C D．A－A·A
[解析] 由题意，得到选法种数为C·C，故选B．
2．(2017·辽宁省锦州市高三质量检测(二)数学试题)把A、B、C、D四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具， 且A、B两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有( B )
A．36种 B．30种 C．24种 D．18种
[解析] 由题意A、B两件玩具不能分给同一个人，因此分法为C(C－1)A＝3×5×2＝30.
[点拨] 求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法．
3．(2017·河北省保定三中上学期1月月考数学试题)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( D )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
[解析] 由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x2的系数为C＋a·C＝5，由此解得a的值．
解：已知(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋ax)(1＋Cx＋Cx2＋Cx3＋Cx4＋Cx5) 展开式中x2的系数为C＋a·C＝5，解得a＝－1，故选D．
[点拨] 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
4．(2016·湖北黄冈模拟)设a＝∫20(3x2－2x)dx，则二项式(ax2－)6展开式中的第4项为( A )
A．－1 280x3 B．－1 280 C．240 D．－240
[解析] 由微积分基本定理知a＝4，(4x2－)6展开式中的第4项为T3＋1＝C(4x2)3(－)3＝－1
280x3.故选A．
5．(2016·重庆巴蜀中学模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( D )
A． B． C． D．
[解析] 方法一：(直接法)所取3个球中至少有1个白球的取法有两种情况：2红1白有C·C＝6种取法；1红2白有C·C＝3种取法．而从5个球中任取3个球的取法共有C＝10种，所以所求概率为.
方法二：(间接法)至少有1个白球的对立事件为所取3个球中没有白球，即只有3个红球共1种取法，所求概率为1－＝.故选D．
6．(2016·广东汕头二模)已知随机变量X服从正态分布N(5,4)，且P(X>k)＝P(X
k)＝P(X3)＝0.023，则P(－3≤ξ≤3)＝( C )
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
[解析] 因为P(ξ>3)＝0.023，所以P(ξ<－3)＝0.023，所以P(－3≤ξ≤3)＝1－2P(ξ>3)＝1－2×0.023＝0.954.故选C．
[易错提示] 由随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，可知正态密度曲线关于y轴对称
11．(2016·辽宁大连第23中学模拟)设ξ是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝，则n与p的值分别为( B )
A．60， B．60， C．50， D．50，
[解析] 由ξ～B(n，p)，得E(ξ)＝np＝15，D(ξ)＝np(1－p)＝，∴p＝，n＝60.
12．(2017·海南省嘉积中学教学质量监测(二)理科数)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝其中A的各位数中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为.记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望E(ξ)＝( C )
A． B． C． D．
[解析] ξ＝1时，P1＝C()4()0＝，
ξ＝2时，P2＝C()3·＝，
ξ＝3时，P3＝C·()2·()2＝，
ξ＝4时，P4＝C()·()3＝，
ξ＝5时，P5＝C()4＝，
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．(2017·江苏省连云港市东海二中期中数学试题)将编号为1、2、3、4、5的五名同学全部安排到A、B、C、D四个班级上课，每个班级至少安排一名同学，其中1号同学不能安排到A班，那么不同的安排方案共有_72__种.
[解析] 根据题意，首先分析1号，易得1号可以放B、C、D班，有A种方法，再分两种情况讨论其他4名同学，由分类计数原理计算可得答案．
解：1号同学不能安排到A班，则1号可以放在B、C、D班，有A种方法，
另外四个同学有2种情况，
①四人中，有1个人与1号共同分配一个班，即A、B、C、D每班一人，即在三个班级全排列A，
②四人中，没有人与1号共同参加一个班，这四人都被分配到1号没有分配的3个班，
则这四人中两个班1人，另一个班2人，可以从4人中选2个为一组，与另2人对应2个班，进行全排列，
有CA种情况，
另外三个同学有A＋CA＝72种安排方法，
∴不同的分配方案有A(A＋CA)＝24，
故答案为72.
14．某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为、、，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．记ξ为该生取得A等级的课程数，其分布列如下表所示，则数学期望E(ξ)的值为 .
ξ
0
1
2
3
P
a
b
[解析] a＝××＋××＋××＝，b＝1－－－a＝，
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
[点拨] 本题是独立事件的概率问题，分的情况较多，概率容易计算错误，为了避免出错，算出概率以后，利用概率和为1的性质进行验证．
15．将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”，B为“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)＝ ，P(B|A)＝ .
[解析] P(A)＝＝，
P(B)＝1－＝，
P(AB)＝＝，
P(A|B)＝＝＝，
P(B|A)＝＝＝.
16．某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为_10__.
[解析] 由题意知，P(ξ＞110)＝＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)安排5名歌手的演出顺序时.
(1)要求某名歌手不第一个出场，有多少种不同的排法？
(2)要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，有多少种不同的排法？
[答案] (1)96 (2)78
[解析] (1)CA＝96种．
(2)方法一：A－2A＋A＝78种．
方法二：分两步完成任务：
第一步：先排两名特殊歌手有4＋3＋3＋3＝13种；
第二步：排另外三人有A＝6种，故排法种数共有：13×6＝78种．
18．(本小题满分12分)(2016·湖北武汉模拟)已知(＋2x)n.
(1)若展开式中第5项，第6顶与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
[解析] (1)由题意，得C＋C＝2C，所以n2－21n＋98＝0.
解得n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4，T5，
所以T4的系数为C·()4·23＝，
T5的系数为C·()3·24＝70.
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，
所以T8的系数为C·()7·27＝3 432.
(2)因为C＋C＋C＝79，所以n2＋n－156＝0.
解得n＝12或n＝－13(舍去)．
设Tk＋1项的系数最大，
因为(＋2x)12＝()12(1＋4x)12，
所以
所以9.4≤k≤10.4，所以k＝10.
所以展开式中系数最大的项为T11，
T11＝C·()2·210·x10＝16 896x10.
19．(本小题满分12分)(2017·江苏省淮安市新马高中数学一模数学试题)已知一口袋中共有4只白球和2只红球
(1)从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；
(2)从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．
[解析] (1)根据题意可得：X的可能取值为4、5、6，再分别求出其复数的概率，即可得到X的分布列，进而得到其数学期望．
(2)设“6次取球后恰好被停止”为事件A，后面两次一定是白球，前面4次可以出现白球，只要保证出现的白球不连续出现2次并且与后面的白球也不连续即可．
解：(1)根据题意可得：X的可能取值为4、5、6.
所以P(X＝4)＝＝
P(X＝5)＝＝
P(X＝6)＝＝
属于X的分布列为：
P
4
5
6
X
属于X的数学期望为：E(X)＝4×＋5×＋6×＝
(2)设“6次取球后恰好被停止”为事件A
则P(A)＝[()3＋××＋C()2×]×××＝.
∴6次取球后恰好被停止的概率为.
20．(本小题满分12分)(2016·沧州七校联考)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100).
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
[答案] (1)0.954 4 (2)1 365
[解析] ∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内的取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365人．
21．(本小题满分12分)人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：
幸福感指数
[0,2)
[2,4)
[4,6)
[6,8)
[8,10]
男居民人数
10
20
220
125
125
女居民人数
10
10
180
175
125
(1)在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；
(2)若居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人都感到幸福)的对数，求X的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率)．
[答案] (1)6.46 (2)E(X)＝1.2
[解析] (1)频率分布直方图如图所示．所求的平均值为0.01×2×1＋0.015×2×3＋0.2×2×5＋0.15×2×7＋0.125×2×9＝6.46.
(2)男居民幸福的概率为＝0.5，
女居民幸福的概率为＝0.6，故一对夫妻都幸福的概率为0.5×0.6＝0.3.
因此X的可能取值为0,1,2,3,4，且X～B(4,0.3)，
于是P(X＝k)＝C×0.3k(1－0.3)4－k(k＝0,1,2,3,4)，X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.240 1
0.411 6
0.264 6
0.075 6
0.008 1
∴E(X)＝np＝4×0.3＝1.2.
22．(本小题满分12分)(2016·江西五校联考)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)
几何题
代数题
总计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
总计
30
20
50
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
附表及公式
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2＝
[解析] (1)由表中数据得K2的观测值k＝＝≈5.556>5. 024，
所以有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．
(2)设甲、乙解答一道几何题所用的时间分别为x，y分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)．
设事件A为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为x>y.
P(A)＝＝，即乙比甲先解答
完的概率为.
(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有C＝28种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有C＝15种；恰有一人被抽到有C·C＝12种；
两人都被抽到有C＝1种．
∴X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝，
P(x＝1)＝＝，P(X＝2)＝.
X的分布列为
X
0
1
2
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
