四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三下学期第四学月考试数学（理）试题

四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三下学期第四学月考试数学（理）试题

‎2020年春四川省宜宾叙州区第二中学高三第四学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设全集，集合，，则集合 A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面上，复数的对应点所在象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是 ‎ A．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平 B．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨 C．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨 D．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格 ‎4．设等比数列的前项和为，若，，则 A．14 B．18 C．36 D．60‎ ‎5．函数的图象大致是 A．B．C．D．‎ ‎6．‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若，，，则、、的大小关系为 A． B． C． D．‎ ‎8．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的 成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是 A．甲和丁 B．乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丙 ‎9．斜率为的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则 A．12 B．8 C．10 D．6‎ ‎10．平行四边形中，，，点在边上，则的最大值为 A． B． C．0 D．2‎ ‎11．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，与双曲线的右支交于点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是 A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数有两个零点，且，则下列结论错误的是 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．调查某地若干户家庭的年收入（单位：万元）和年饮食支出（单位：万元），调查显示年收入与年饮食支出具有线性相关关系，并由调查数据得到对的回归直线方程：.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加______万元.‎ ‎14．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围为________.‎ ‎15．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，AB＝AC＝2，PA＝2，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为____________.‎ ‎16．已知是椭圆（）和双曲线（）的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最小值为____．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过度的部分按元/度收费，超过度但不超过度的部分按元/度收费，超过度的部分按元/度收费．‎ ‎（I）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这户居民中，今年1月份用电费用不超过元的占，求，的值；‎ ‎（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若以这户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点代替，记为该居民用户1月份的用电费用，求的分布列和数学期望.‎ ‎18．（12分）‎ 在锐角中，角所对的边分别是.已知. ‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求周长的取值范围.‎ ‎19．（12分）已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求点与平面成角的正弦值.‎ ‎20．（12分）已知函数.‎ ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II）证明：如果函数有极大值，则极大值小于.‎ ‎21．（12分）已知点，点P为平面上的动点，过点P作直线l：的垂线，垂足为Q，且．‎ ‎（I）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（II）设点P的轨迹C与x轴交于点M，点A，B是轨迹C上异于点M的不同的两点，且满足，求的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（I）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）设点，直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）解不等式；‎ ‎（II）若，对，使成立，求实数取值范围．‎ ‎2020年春四川省宜宾叙州区第二中学高三第四学月考试 理科数学参考答案 ‎1-5:CCDAB 6-10:ADBAD 11-12:DB ‎13．0.254 14． 15．20π. 16．.‎ ‎17．（1）当时，；‎ 当当时，；‎ 当当时，，‎ 所以与之间的函数解析式为.‎ ‎（2）由（1）可知，当时，，则，结合频率分布直方图可知 ‎，∴，‎ ‎（3）由题意可知可取50，150，250，350，450，550，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 故的概率分布列为 ‎25‎ ‎75‎ ‎140‎ ‎220‎ ‎310‎ ‎410‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.05‎ 所以随机变量的数学期望 ‎18．（Ⅰ）因为，则，‎ 由正弦定理知： ，所以，得 ‎（Ⅱ）∵， ，又为锐角三角形，则得，‎ 由正弦定理知： ，则， ，所以， ，‎ 化简得： ， 则 ‎19．（Ⅰ）在直角梯形中，，，所以，又易得，‎ 所以，所以.‎ 因为平面，，所以平面，所以.‎ 又平面，平面，，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，.‎ 因为平面，平面，所以，‎ 又，平面，平面，‎ 所以平面，又平面，所以，‎ 又，所以.‎ 设为点到平面的距离，则 ，‎ 又，从而，即点到平面的距离为.‎ 所以：‎ ‎20．（1）的定义域是，，‎ 当时，恒成立，在上单调递增；‎ 当，，恒成立，在上单调递增；‎ 当时，，方程有两根，，，‎ 由，得，‎ 所以在上单调递减，在，上单调递增.‎ ‎（2）证明：由（1）知，如果函数有极大值，则，‎ 且为极大值，，即，‎ ‎， ，‎ ‎，，， ，‎ 令，则 在上单调递增，在上单调递减，,即，得证.‎ ‎21．Ⅰ因为，设,则,‎ 所以,,,,因为 ‎, ‎ 所以,整理得,所以点P的轨迹C的方程为 Ⅱ根据题意知,设MA：,‎ 联立,解得,所以点,设AB：,‎ 联立,消去x得,设,,则,因为,所以,则,所以,‎ 设,则,‎ 令,对称轴为,所以y在上单调递增,‎ 所以当时,y取最小值,即取最小值,所以最小值为,则最小值为,所以取值范围是 ‎22．（1）由直线参数方程消去可得普通方程为：曲线极坐标方程可化为：则曲线的直角坐标方程为：，即 ‎（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：‎ 设两点对应的参数分别为：，则，‎ ‎23．（1）解：不等式等价于或或，又无解，‎ 所以或，故不等式的解集为 ‎（2）由f(x)= =，可知当x=时，f(x)最小，无最大值，求得，设A＝{y|y＝f（x）}，B＝{y|y＝g（x）}，则A={y|y},‎ 又=，即B＝{y| y}，由题意知A⊆B，所以，所以.‎