- 2021-07-02 发布 |
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文档介绍
【数学】2018届一轮复习人教A版 二次函数与幂函数 学案
1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ②顶点式f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ③零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函数的图像和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) 图像 定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) 值域 单调性 在x∈上单调递减; 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增; 在x∈上单调递减 对称性 函数的图像关于x=-对称 2.幂函数 (1)定义形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)幂函数的图像比较 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②幂函数的图像过定点(1,1); ③当α>0时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ④当α<0时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.( × ) (2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.( × ) (3)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ ) (4)函数y=2x是幂函数.( × ) (5)如果幂函数的图像与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ ) (6)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( × ) 1.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则( ) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 答案 A 解析 因为f(0)=f(4)>f(1),所以函数图像应开口向上,即a>0,且其对称轴为x=2,即-=2,所以4a+b=0,故选A. 2.已知函数f(x)=ax2+x+5的图像在x轴上方,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由题意知即得a>. 3.如图所示为二次函数y=ax2+bx+c的图像,则|OA|·|OB|等于( ) A. B.- C.± D.无法确定 答案 B 解析 |OA|·|OB|=|OA·OB|=|x1x2|= =- (∵a<0,c>0). 4.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为________. 答案 [1,2] 解析 如图,由图像可知m的取值范围是[1,2]. 5.已知幂函数y=f(x)的图像过点,则此函数的解析式为________;在区间________上递减. 答案 y=x (0,+∞) 题型一 求二次函数的解析式 例1 已知二次函数f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式. 解 方法一 (利用一般式) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 ∴所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7. 方法二 (利用顶点式) 设f(x)=a(x-m)2+n.∵f(2)=f(-1), ∴抛物线的图像的对称轴为x==. ∴m=.又根据题意函数有最大值8,∴n=8, ∴y=f(x)=a2+8. ∵f(2)=-1, ∴a2+8=-1,解得a=-4, ∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7. 方法三 (利用零点式) 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数的最大值是8,即=8. 解得a=-4, ∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. (1)二次函数的图像过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式是___________________. (2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=________. 答案 (1)f(x)=x2-2x+1 (2)-2x2+4 解析 (1)依题意可设f(x)=a(x-2)2-1, 又其图像过点(0,1), ∴4a-1=1,∴a=. ∴f(x)=(x-2)2-1. ∴f(x)=x2-2x+1. (2)由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y轴对称, ∴b=-2,∴f(x)=-2x2+2a2, 又f(x)的值域为(-∞,4], ∴2a2=4, 故f(x)=-2x2+4. 题型二 二次函数的图像与性质 命题点1 二次函数的单调性 例2 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6], (1)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间. 解 (1)函数f(x)=x2+2ax+3的图像的对称轴为x=-=-a, ∴要使f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6. 故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞). (2)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3 = 其图像如图所示. 又∵x∈[-4,6],∴f(|x|)在区间[-4,-1)和[0,1)上为减函数,在区间[-1,0)和[1,6]上为增函数. 命题点2 二次函数的最值 例3 已知函数f(x)=x2-2x,若x∈[-2,3],则函数f(x)的最大值为________. 答案 8 解析 f(x)=(x-1)2-1,∵-2≤x≤3(如图), ∴[f(x)]max=f(-2)=8. 引申探究 已知函数f(x)=x2-2x,若x∈[-2,a],求f(x)的最小值. 解 ∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴对称轴为直线x=1, ∵x=1不一定在区间[-2,a]内,∴应进行讨论,当-21时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,y取得最小值,即ymin=-1. 综上,当-21时,ymin=-1. 命题点3 二次函数中的恒成立问题 例4 (1)(2015·石家庄模拟)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1查看更多