2018届二轮复习导数大题部分典型题目学案（全国通用）

2018届二轮复习导数大题部分典型题目学案（全国通用）

高三文科数学导数大题部分典型题型总结 类型1、导数的几何意义及求切线方程 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎1、已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；‎ ‎(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．‎ 类型2、利用导数求函数的单调区间 求函数f(x)的单调区间，也是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集，但单调区间不能脱离函数定义域而单独存在，求单调区间要坚持“定义域优先”的原则．‎ 利用导数求函数的单调区间的两个方法 ‎(1)方法一：①确定函数y＝f(x)的定义域；‎ ‎②求导数y′＝f′(x)；‎ ‎③解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；‎ ‎④解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎(2)方法二：①确定函数y＝f(x)的定义域；‎ ‎②求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；‎ ‎③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；‎ ‎④确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．‎ ‎2、设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数．‎ ‎(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)讨论函数f(x)的单调性．‎ 类型3、求可导函数f(x)的极值、最值 导数与函数单调性的关系 ‎(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；‎ ‎(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0不恒成立)．‎ 由函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少．‎ 求可导函数f(x)的极值、最值要注意的地方 f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．‎ ‎3、已知函数f(x)＝(a>0，r>0)．‎ ‎(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．‎ ‎4、设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6)．‎ ‎(1)确定a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间与极值．‎ 类型4、导数问题的带参数讨论或求参数的取值范围问题[来源:Z|xx|k.Com]‎ 由函数的单调性求参数的取值范围 ‎(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；‎ ‎(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；‎ ‎(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．‎ 与不等式、恒成立问题、存在性问题等等综合 从根本上来说，这类问题常常可以通过构造新的函数来转化为最值问题，本质上还是类型3。因此，对还参问题如何展开讨论，还是抓住最基本的求极、最值步骤，见招拆招。常见的讨论点有导数的零点是否存在还是恒正或恒负、存在的零点大小关系等等。‎ ‎5、设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．‎ ‎①求L的方程；‎ ‎②证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．‎ ‎6、已知函数f(x)＝－－ax(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝时，求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若函数f(x)在[－1，1]上为单调函数，求实数a的取值范围．‎ ‎7、已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a＞0)，若f(x)在[－1，1]上的最小值记为g(a)．‎ ‎(1)求g(a)；[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(2)证明：当x∈[－1，1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.‎ ‎8、设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间与极值；‎ ‎(2)证明：当a＞ln 2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.‎ ‎9、已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．‎ ‎(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；‎ ‎(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点．证明：e－2＜a＜1.‎ 高三文科数学导数大题部分典型题目总结参考答案 ‎1、解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.‎ 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．‎ 即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.‎ 解得a＝3，b＝3.‎ ‎(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)．‎ 当a＝3，b＝－9时，‎ h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，‎ h′(x)＝3x2＋6x－9.‎ 令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.‎ h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的情况如下：‎ x ‎(－∞，－3)‎ ‎－3‎ ‎(－3，1)‎ ‎1‎ ‎(1，2)‎ ‎2‎ h′(x)‎ ‎＋‎ ‎0[来源:学科网ZXXK]‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ h(x)‎ 单调增 ‎28‎ 单调减 ‎－4‎ 单调增 ‎3‎ 由此可知：‎ 当k≤－3时，函数h(x)在区间[k，2]上的最大值为h(－3)＝28；当－3＜k＜2时，函数h(x)在区间[k，2]上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(－∞，－3]．‎ ‎2、解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝＋＝＋，‎ ‎∵a＝0，∴f′(x)＝，‎ 根据导数的几何意义，所求切线的斜率 k＝f′(1)＝.‎ 又∵f(1)＝0，∴所求切线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.‎ ‎(2)f′(x)＝ ‎＝，‎ 当a≥0时，由x＞0知f′(x)＞0，‎ ‎∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 当a＜0时，令g(x)＝ax2＋2(a＋1)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，‎ ‎①当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．‎ ‎②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0.故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．‎ ‎③当Δ＞0，即－＜a＜0时，‎ 令x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝，x2＝，‎ 由x1＝＝＞0，‎ 令f′(x)＞0，则x∈(x1，x2)，‎ 令f′(x)＜0，则x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)，‎ ‎∴f(x)在(x1，x2)上单调递增，在(0，x1)和(x2，＋∞)上单调递减．‎ 综上所述：当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；‎ 当－＜a＜0时，f(x)在(x1，x2)上单调递增，在(0，x1)和(x2，＋∞)上单调递减 ‎(其中x1＝，x2＝；‎ 当a≤－时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．‎ ‎3、解：(1)由题意知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)．‎ f(x)＝＝，‎ f′(x)＝＝，‎ 所以当x＜－r或x＞r时，f′(x)＜0；‎ 当－r＜x＜r时，f′(x)＞0，‎ 因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)的单调递增区间为(－r，r)．‎ ‎(2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减．因此，x＝r是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝＝＝＝100.‎ ‎4、解：(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，‎ 故f′(x)＝2a(x－5)＋.‎ 令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a ‎＝(6－8a)(x－1)，由点(0，6)在切线上，可得6－16a＝8a－6，解得a＝.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x＞0)，‎ f′(x)＝x－5＋＝.‎ 令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.‎ 当0＜x＜2或x＞3时，f′(x)＞0，故f(x)的增区间是(0，2)，(3，＋∞)；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)的减区间是(2，3)．‎ 由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.‎ ‎5、解：①设f(x)＝，则f′(x)＝.所以切线的斜率k＝f′(1)＝1，‎ 所以L的方程为y＝x－1.‎ ‎②证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)＞0(∀x＞0，x≠1)．‎ g(x)满足g(1)＝0，‎ 且g′(x)＝1－f′(x)＝.‎ 当0＜x＜1时，x2－1＜0，ln x＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减；‎ 当x＞1时，x2－1＞0，ln x＞0，所以g′(x)＞0，故g(x)单调递增．‎ 所以g(x)＞g(1)＝0(∀x＞0，x≠1)．‎ 所以除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．‎ ‎6、解：(1)当a＝时，f(x)＝－－x，‎ f′(x)＝[(ex)2－3ex＋2]＝(ex－1)(ex－2)，‎ 令f′(x)＝0，得ex＝1或ex＝2，即x＝0或x＝ln 2；‎ 令f′(x)>0，则x<0或x>ln 2；令f′(x)<0，则00，函数h(t)为单调增函数．‎ 故h(t)在上的极小值点为t＝.‎ 又h(e)＝＋0，‎ 所以g(x)在R上单调递增．‎ 所以当a＞ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)．‎ 而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1.‎ ‎9、解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a.‎ 当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．‎ 当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增．‎ 因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；‎ 当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，‎ 因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；‎ 当＜a＜时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)．‎ 所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．‎ 于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.‎ 综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；‎ 当＜a＜时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；‎ 当a≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.‎ ‎(2)证明：设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．‎ 则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负，故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.‎ 同理，g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.‎ 所以g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．‎ 由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点．‎ 当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点．所以＜a＜.‎ 此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．‎ 因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有 g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.‎ 由f(1)＝0有a＋b＝e－1＜2，有g(0)＝a－e＋2＞0，g(1)＝1－a＞0.‎ 解得e－2＜a＜1.‎ 所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e－2＜a＜1.‎