高中数学 2_4_2第2课时课时同步练习 新人教A版选修2-1

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高中数学 2_4_2第2课时课时同步练习 新人教A版选修2-1

第2章 ‎2.4.2‎ 第2课时 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线(  )‎ A.有且仅有一条        B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 ‎ 解析: 由定义|AB|=5+2=7,‎ ‎∵|AB|min=4,∴这样的直线有且仅有两条.‎ 答案: B ‎2.在同一坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致为(  )‎ 解析: 方法一:将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为 +=1,y2=-x.因为a>b>0,所以>>0.‎ 所以椭圆的焦点在y轴上;抛物线的焦点在x轴上,且开口向左.故选D.‎ 方法二:方程ax+by2=0中,将y换成-y,其结果不变,‎ 即ax+by2=0的图形关于x轴对称,排除B、C,‎ 又椭圆的焦点在y轴上,排除A.故选D.‎ 答案: D ‎3.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=(  )‎ A. B. C. D. 解析: 过A、B作抛物线准线l的垂线,垂足分别为A1、B1,‎ 由抛物线定义可知,AA1=AF,BB1=BF,‎ 又∵2|BF|=|AF|,‎ ‎∴|AA1|=2|BB1|,即B为AC的中点.‎ 从而yA=2yB,联立方程组 ‎⇒消去x得y2-y+16=0,‎ ‎∴⇒,消去yB得k=.故选B.‎ 答案: B ‎4.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(  )‎ A.2 B.3‎ C. D. 解析: ∵直线l2:x=-1恰为抛物线y2=4x准线,‎ ‎∴P到l2的距离d2=|PF|(F(1,0)为抛物线焦点),‎ 所以P到l1、l2距离之和最小值为F到l1距离 =2,故选A.‎ 答案: A 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切,则a=________.‎ 解析: 由,得ax2-x+1=0,‎ Δ=1-‎4a=0,得a=.‎ 答案:  ‎6.直线y=x+b交抛物线y=x2于A、B两点,O为抛物线的顶点,且OA⊥OB,则b的值为________.‎ 解析: 由,得x2-2x-2b=0,‎ Δ=(-2)2+8b>0,‎ 设直线与抛物线的两交点为A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由根与系数的关系,得x1+x2=2,x1x2=-2b,‎ 于是y1y2=(x1x2)2=b2,‎ 由OA⊥OB知x1x2+y1y2=0,‎ 故b2-2b=0,解得b=2或b=0(不合题意,舍去).‎ b=2适合Δ>0.‎ 答案: 2‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎7.设过抛物线y2=2px的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点,若弦AB的中垂线恰好过点Q(5,0),求抛物线的方程.‎ 解析: 弦AB中点为M,MQ为AB的中垂线,‎ AB的斜率为1,则lMQ:y=-x+5.‎ 设lAB:y=x-.‎ 联立方程组 得x2-3px+=0,‎ ‎∴x1+x2=3p.①‎ 联立方程组,‎ 得2x=5+,则x1+x2=5+②‎ 联立①②,解得p=2,‎ ‎∴抛物线方程为y2=4x.‎ ‎8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).‎ ‎(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;‎ ‎(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.‎ 解析: (1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,‎ ‎∴p=2,‎ 故所求的抛物线方程为y2=4x,‎ 其准线方程为x=-1;‎ ‎(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t,‎ 由得y2+2y-2t=0,‎ 因为直线l与抛物线C有公共点,‎ 所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.‎ 另一方面,由直线OA与直线l的距离等于可得=,‎ ‎∴t=±1,‎ 由于-1∉,1∈,‎ 所以符合题意的直线l存在,其方程为y=-2x+1.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9.(10分)已知抛物线C1:y2=4px(p>0),焦点为F2,其准线与x轴交于点F1;椭圆C2:分别以F1、F2为左、右焦点,其离心率e=;且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M.‎ ‎(1)当p=1时,求椭圆C2的标准方程;‎ ‎(2)在(1)的条件下,若直线l经过椭圆C2的右焦点F2,且与抛物线C1相交于A,B两点,若弦长|AB|等于△MF‎1F2的周长,求直线l的方程.‎ 解析: (1)+=1;‎ ‎(2)①若直线l的斜率不存在,‎ 则l:x=1,且A(1,2),B(1,-2),‎ ‎∴|AB|=4‎ 又∵△MF‎1F2的周长等于|MF1|+|MF2|+|F‎1F2|‎ ‎=‎2a+‎2c=6≠|AB|.‎ ‎∴直线l的斜率必存在.‎ ‎②设直线l的斜率为k,则l:y=k(x-1),‎ 由,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,‎ ‎∵直线l与抛物线C1有两个交点A,B,‎ ‎∴Δ=[-(2k2+4)]2-4k4=16k2+16>0,且k≠0‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则可得x1+x2=,x1x2=1‎ 于是|AB|=|x1-x2|‎ ‎= ‎= ‎==,‎ ‎∵△MF‎1F2的周长等于|MF1|+|MF2|+|F‎1F2|=‎2a+‎2c=6,‎ ‎∴由=6,解得k=±.‎ 故所求直线l的方程y=±(x-1).‎
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