【数学】2020届一轮复习（文）通用版7-3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案

【数学】2020届一轮复习（文）通用版7-3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 一、基础知识批注——理解深一点 ‎1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax＋By＋C＞0‎ 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 直线同侧同号，两侧异号.‎ 不包括边界直线 Ax＋By＋C≥0‎ 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 ‎2．线性规划相关概念 ‎(1)约束条件：由变量x，y组成的一次不等式．‎ ‎(2)线性约束条件：由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组．‎ ‎(3)目标函数：欲求最大值或最小值的函数．线性目标函数：关于x，y的一次解析式．‎ ‎(4)可行解：满足线性约束条件的解．可行域：所有可行解组成的集合．‎ 如果目标函数存在一个最优解，那么最优解通常在可行域的顶点处取得；如果目标函数存在多个最优解，那么最优解一般在可行域的边界上取得.‎ ‎(5)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解.‎ ‎(6)线性规划问题：在线性约束条件下求线 性目标函数的最大值或最小值问题．‎ 二、常用结论汇总——规律多一点 ‎1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域 ‎(1)线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；‎ ‎(2)点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．‎ ‎2．最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．‎ 三、基础小题强化——功底牢一点 ‎(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)‎ ‎(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(　　)‎ ‎(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(　　)‎ ‎(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎(二)选一选 ‎1．不等式组表示的平面区域是(　　)‎ 解析：选C　x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C所示阴影部分．‎ ‎2．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　平面区域如图中阴影部分所示．‎ 解可得A(1,1)，‎ 易得B(0,4)，C，|BC|＝4－＝.‎ ‎∴S△ABC＝××1＝.‎ ‎3．(2018·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为(　　)‎ A．6 B．19‎ C．21 D．45‎ 解析：‎ 选C　作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z＝3x＋5y得y＝－x＋.‎ 设直线l0为y＝－x，平移直线l0，当直线y＝－x＋过点P时，z取得最大值．‎ 联立解得 即P(2,3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21.‎ ‎(三)填一填 ‎4．若点(m,1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是________．‎ 解析：∵点(m,1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，∴2m＋3－5>0，即m>1.‎ 答案：(1，＋∞)‎ ‎5．若实数x，y满足约束条件则x－2y的最大值为________．‎ 解析：画出可行域如图中阴影部分所示，令z＝x－2y，可知z＝x－2y在点A(1,1)处取得最大值－1.‎ 答案：－1‎ 考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 ‎[典例]　(1)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　 B．－1‎ C．0 D．－2‎ ‎(2)不等式组表示的平面区域的面积为________．‎ ‎[解析]　(1)作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，‎ 要使阴影部分为直角三角形，‎ 当k＝0时，此三角形的面积为×3×3＝≠1，所以不成立，‎ 所以k>0，则必有BC⊥AB，‎ 因为x＋y－4＝0的斜率为－1，‎ 所以直线kx－y＝0的斜率为1，即k＝1，故选A.‎ ‎(2) 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.‎ ‎[答案]　(1)A　(2)1‎ ‎[解题技法]‎ ‎1．求平面区域面积的方法 ‎(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；‎ ‎(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．‎ ‎2．根据平面区域确定参数的方法 在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．‎ ‎ [题组训练]‎ ‎1．若M为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过M中的那部分区域的面积为(　　)‎ A．1　　　　 B.　　　　‎ C.　　　　 D. 解析：选D　在直角坐标系中作出区域M如图中阴影部分所示，当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过M中的那部分区域为图中的四边形AODE，所以其面积S＝ S△AOC－S△DEC＝×2×2－×1×＝，故选D.‎ ‎2．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是 ‎(　　)‎ A. B．(0,1]‎ C. D．(0,1]∪ 解析：选D　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．‎ 由得A，‎ 由得B(1,0)．‎ 若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中a的取值范围是00时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则需使直线y＝ax与2x－y＋2＝0平行，此时a＝2.综上，a＝－1或2.‎ ‎9．不等式组所表示的平面区域的面积为________．‎ 解析：如图，平面区域为直角梯形，易得A(0,2)，B(2,2)，C(2,7)，D(0，5)，所以AD＝3，AB＝2，BC＝5.故所求区域的面积为S＝×(3＋5)×2＝8.‎ 答案：8‎ ‎10．(2018·北京高考)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．‎ 解析：由条件得即作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．‎ 设z＝2y－x，即y＝x＋z，‎ 作直线l0：y＝x并向上平移，显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，zmin＝2×2－1＝3.‎ 答案：3‎ ‎11．(2018·南阳模拟)已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是________．‎ 解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为点A(－1,1)，点M(x，y)，所以·＝y－x，令y－x＝m，平移直线y－x＝m，由图可知，当直线经过点D(1,1)时，m取得最小值，且最小值为0，当直线经过点C(0,2)时，m取得最大值，且最大值为2，所以y－x的取值范围是[0,2]，故·的取值范围是[0,2]．‎ 答案：[0,2]‎ ‎12．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．‎ 解析：设生产A产品x件，B产品y件，‎ 由已知可得约束条件为即 目标函数为z＝2 100x＋900y，‎ 由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．‎ 作直线2 100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，当直线经过点M时，z取得最大值，‎ 联立解得M(60,100)．‎ 则zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．‎ 答案：216 000‎ ‎13．变量x，y满足 ‎(1)设z1＝4x－3y，求z1的最大值；‎ ‎(2)设z2＝，求z2的最小值；‎ ‎(3)设z3＝x2＋y2，求z3的取值范围．‎ 解：作出可行域如图中阴影部分所示，易得A，B(1,1)，‎ 联立解得C(5,2)，‎ ‎(1)z1＝4x－3y⇔y＝x－，易知平移直线y＝x至过点C时，z1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.‎ ‎(2)z2＝表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC斜率最小，故z2的最小值为.‎ ‎(3)z3＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB2

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