2017-2018学年吉林省辽源市田家炳高级中学高二6月月考数学（理）试题（解析版）
2017-2018学年吉林省辽源市田家炳高级中学高二6月月考
数学（理科）
一、 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若复数z＝2i＋，其中i是虚数单位，则复数z的模为( )
A. B. C. D．2
2.( )
A. B. C．π D．2π
3．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1、2、3、4，其中c是常数，则P则值为( )
A． B． C． D．
4．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76 C．123 D．199
5．设(5x－)n的展开式中各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为( )
A．－150 B．150 C．300 D．－300
6．(2015·福建南安市高二期中)将标号为A、B、C、D、E、F的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A、B的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
7．摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有( )
A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种
8．如图，阴影部分的面积是( )
A．2 B．2－ C. D.
9．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2] B. C．[－2,3] D.
10．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是( )
A．b＜－1或b＞2 B．b≤－2或b≥2 C．－1＜b＜2 D．－1≤b≤2
11．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有相异的三个交点，则a的取值范围是( )
A．－2＜a＜2 B．－2≤a＜2 C．a＜－2或a＞2 D．a＜－2或a≥2
12.(2015·成都模拟)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则( )
A．3f(1)
f(3) C．3f(1)＝f(3) D．f(1)＝f(3)
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分）
13．已知直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2，3)，则b的值为_______．
14．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为_______．
15．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________．
16．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若对任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的最小值是________．
三、 解答题（本大题共6小题，共70
分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．
(1)求ξ的分布列；
(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．
18．已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．
(1)求复数z.
(2)若w＝，求复数w的模|w|.
19． 在(－)n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
20．已知函数f(x)＝x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得极小值－.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)≤m2＋m＋在[－4,3]上恒成立，求实数m的取值范围．
21．设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.
22．设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
田家炳高中2017-2018学年度上学期期中考试试卷
高二数学（理科）
一、 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若复数z＝2i＋，其中i是虚数单位，则复数z的模为( )
A. B. C. D．2
解析：由题意，得z＝2i＋＝2i＋＝1＋i，复数z的模|z|＝＝.
答案：B
2.dx等于( )
A. B. C．π D．2π
解析：令y＝，则(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，因而dx表示圆(x－1)2＋y2＝1在x轴上方x∈[0,1]的面积，即圆面积的，即dx＝.
答案：A
3．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1、2、3、4，其中c是常数，则P则值为( )
A． B． C． D．
[答案] D
[解析] ＋＋＋
＝c
＝c＝1.∴c＝.
∴P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝＝.
4．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76 C．123 D．199
解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
答案：C
5．设(5x－)n的展开式中各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为( )
A．－150 B．150 C．300 D．－300
[答案] B
[解析]令x＝1，得M＝4n，又N＝2n，故4n－2n＝240.解得n＝4.展开式中的通项为Tr＋1＝C(5x)4－r(－)r＝(－1)r54－rCx4－ r，令4－r＝1得r＝2，∴当r＝2时，展开式中x的系数为C52＝150.故选B．
6．(2015·福建南安市高二期中)将标号为A、B、C、D、E、F的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A、B的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
[答案] B
[解析] 由题意，不同的放法共有CC＝3×＝18种．
7．摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有( )
A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种
[答案] B
[解析] 2位老师作为一个整体与5名学生排队，相当于6个元素排在6个位置，且老师不排两端，先安排老师，有4A＝8种排法，5名学生排在剩下的5个位置，有A＝120种，由分步乘法计数原理得4A×A＝960种排法．
[点评] 因为两位老师相邻，故可作为一个元素，因此可先将5名同学排好，在5名学生形成的4个空位中选1个，将两位老师排上，共有A·(4A)种不同排法．
8．如图，阴影部分的面积是( )
A．2 B．2－ C. D.
解析：阴影部分的面积S＝ (3－x2－2x)dx
＝＝.
答案：C
9．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2] B. C．[－2,3] D.
解析：由题图可知d＝0.不妨取a＝1，
∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，
∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，
∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，
∴b＝－1.5，c＝－18.
∴y＝x2－x－6，y′＝2x－.
当x＞时，y′＞0，
∴y＝x2－x－6的单调递增区间为.故选D.
答案：D
10．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是( )
A．b＜－1或b＞2 B．b≤－2或b≥2 C．－1＜b＜2 D．－1≤b≤2
解析：y′＝x2＋2bx＋(b＋2)．由于函数在R上单调递增，
∴x2＋2bx＋(b＋2)≥0在R上恒成立，
即Δ＝(2b)2－4(b＋2)≤0，解得－1≤b≤2.
答案：D
11．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有相异的三个交点，则a的取值范围是( )
A．－2＜a＜2 B．－2≤a＜2 C．a＜－2或a＞2 D．a＜－2或a≥2
解析：可求得y＝x3－3x在x＝－1时取极大值2，
在x＝1时，取极小值－2，则y＝x3－3x的图象如图所示．
∴y＝a与y＝x3－3x的图象有相异的三个公共点时，－2＜a＜2.
答案：A
12.(2015·成都模拟)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则( )
A．3f(1)f(3) C．3f(1)＝f(3) D．f(1)＝f(3)
解析：选B 由于f(x)>xf′(x)，′＝<0恒成立，因此在R上单调递减，∴<，即3f(1)>f(3)，故答案为B.
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分）
13．已知直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2，3)，则b的值为( )
A．－3 B．9 C．－15 D．－7
解析：选C 将点(2，3)分别代入曲线y＝x3＋ax＋1和直线y＝kx＋b，得a＝－3，2k＋b＝3.又k＝y′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9，∴b＝3－2k＝3－18＝－15.
14．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )
A．－10 B．－71 C．－15 D．－22
解析：f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
答案：B
A. B．－1 C．0 D．－
15．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________．
解析：∵x∈(0,1]，f(x)≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝
.当0＜x＜时，g′(x)＞0；当＜x≤1时，g′(x)＜0，∴g(x)在(0,1]上有极大值g＝4，它也是最大值，故a≥4.
答案：a≥4
16．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若对任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的最小值是________．
解析：由于f′(x)＝1＋>0，所以函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以当x∈[0，1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.根据题意可知存在x∈[1，2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋在[1，2]上能成立．令h(x)＝＋，则要使a≥h(x)在[1，2]上能成立，只需使a≥h(x)min，又易知函数h(x)＝＋在[1，2]上单调递减(可利用导数判断)，所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.
三、 解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．
(1)求ξ的分布列；
(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．
解：P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2.
(1)ξ可能取的值为0,1,2.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
(2)由(1)，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.
18．已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．
(1)求复数z.
(2)若w＝，求复数w的模|w|.
解析：(1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i.
因为(1＋3i)·z为纯虚数，
所以3－3b＝0，且9＋b≠0，
所以b＝1，所以z＝3＋i.
(2)w＝＝＝＝－i，
所以|w|＝＝.
19．在(－)n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[解析] (1)Tr＋1＝C·()n－r·(－)r
＝C·(x)n－r·(－·x－)r
＝(－)r·C·x.
∵第6项为常数项，
∴r＝5时有＝0，∴n＝10.
(2)令＝2，得r＝2，
∴所求的系数为C(－)2＝.
(3)根据通项公式，由题意得：
令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，
即r＝＝5－k.
∵0≤r≤10，∴0≤5－k≤10，∴－3≤k≤3，
又∵k应为偶数，∴k可取2,0，－2，
∴r＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．
它们分别为C·(－)2·x2，C(－)5，
C·(－)8·x－2.
即x2，－和.
20．已知函数f(x)＝x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得极小值－.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)≤m2＋m＋在[－4,3]上恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝x2＋a，由f′(2)＝0，得a＝－4；
再由f(2)＝－，得b＝4.
所以f(x)＝x3－4x＋4，f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝x2－4＞0，得x＞2或x＜－2.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．
(2)因为f(－4)＝－，f(－2)＝，f(2)＝－，
f(3)＝1，所以函数f(x)在[－4,3]上的最大值为.
要使f(x)≤m2＋m＋在[－4,3]上恒成立，
只需m2＋m＋≥，解得m≥2或m≤－3.
所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．[]
21．设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.
解析：(1)f′(x)＝1＋2ax＋.
由已知得得
解得a＝－1，b＝3.
(2)证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，
则g′(x)＝－1－2x＋＝－.
令g′(x)＝0得x＝1或x＝－(舍去)．
当0＜x＜1时， g′(x)＞0，当x＞1时，g′(x)＜0.
∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴g(x)max＝g(1)＝0，∴f(x)－(2x－2)≤0.
∴f(x)≤2x－2.
22．(本小题满分12分)
设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解析：(1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，
在(－1,0)上单调递减．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，
即f(x)≥0.
若a＞1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)＜0，即
f(x)＜0.
综上，得a的取值范围为(－∞，1]．
