【数学】2018届一轮复习人教A版（理）6-3等比数列及其前n项和学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）6-3等比数列及其前n项和学案

‎§6.3　等比数列及其前n项和 考纲展示►　‎ ‎1.理解等比数列的概念.‎ ‎2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.‎ ‎4.了解等比数列与指数函数的关系.‎ 考点1　等比数列的判定与证明 ‎1.等比数列的有关概念 ‎(1)定义：‎ 如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的比等于________(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.‎ ‎(2)等比中项：‎ 如果a，G，b成等比数列，那么________叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔________.‎ 答案：(1)2　同一个常数　公比　(2)G　G2＝ab ‎2．等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝________.‎ ‎(2)前n项和公式：Sn＝ 答案：(1)a1qn－1　(2)na1‎ ‎[典题1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.‎ ‎(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式．‎ ‎(1)[证明]　∵an＋Sn＝n，①‎ ‎∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②‎ ‎②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1，‎ ‎∴2an＋1＝an＋1，‎ ‎∴2(an＋1－1)＝an－1，‎ ‎∴＝，∴{an－1}是等比数列．‎ 又a1＋a1＝1，∴a1＝，又cn＝an－1，‎ ‎∴c1＝a1－1＝－.‎ ‎∴{cn}是以－为首项，以为公比的等比数列．‎ ‎(2)[解]　由(1)可知，‎ cn＝·n－1＝－n，‎ ‎∴an＝cn＋1＝1－n.‎ ‎∴当n≥2时，‎ bn＝an－an－1＝1－n－ ‎＝n－1－n＝n.‎ 又b1＝a1＝，代入上式也符合，‎ ‎∴bn＝n.‎ ‎[点石成金]　等比数列的四种常用判定方法 ‎(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．‎ ‎(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．‎ ‎(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．‎ ‎(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则数列{an}是等比数列．‎ ‎[提醒]　(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．‎ ‎(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.‎ ‎(1)设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得 a1＋a2＝S2＝‎4a1＋2.‎ ‎∴a2＝5，∴b1＝a2－‎2a1＝3.‎ 又 ‎ ‎①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，‎ ‎∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．‎ ‎∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，‎ 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．‎ ‎(2)解：由(1)知，bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，‎ ‎∴－＝，‎ 故是首项为，公差为的等差数列．‎ ‎∴＝＋(n－1)·＝，‎ 化简，得an＝(3n－1)·2n－2.‎ 考点2　等比数列的基本运算 ‎(1)[教材习题改编]已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________.‎ 答案：3×2n－3‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，则 ‎ ‎②÷①，得q7＝128，即q＝2，‎ 把q＝2代入①，得a1＝，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1＝×2n－1＝3×2n－3.‎ ‎(2)[教材习题改编]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.‎ 答案： 等比数列的两个非零量：项；公比．‎ ‎(1)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于________．‎ 答案：－24‎ 解析：由等比数列的前三项为x,3x＋3,6x＋6，可得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，‎ 解得x＝－3或x＝－1(此时3x＋3＝0，不合题意，舍去)，则该等比数列的首项为x＝－3，公比q＝＝2，所以第4项为(6x＋6)×q＝－24.‎ ‎(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝__________.‎ 答案：－2‎ 解析：∵S3＋3S2＝0，‎ ‎∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，‎ ‎∴a1(4＋4q＋q2)＝0.‎ ‎∵a1≠0，∴q＝－2.‎ ‎[考情聚焦]　等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 求首项a1，公比q或项数n ‎[典题2]　[2017·浙江绍兴柯桥区高三二模]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足a5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，则此数列的公比为(　　)‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．5‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由a5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3可得a6－a5＝‎2a5，即＝3，故选B.‎ 角度二 求通项或特定项 ‎[典题3]　[2017·广西南宁测试]在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且‎2a1，a3,‎3a2成等差数列，则an＝________.‎ ‎[答案]　2n ‎[解析]　设数列{an}的公比为q，‎ ‎∵‎2a1，a3,‎3a2成等差数列，‎ ‎∴‎2a1＋‎3a2＝‎2a3，‎ 即‎2a1＋‎3a1q＝‎2a1q2，即2q2－3q－2＝0，‎ 解得q＝2或q＝－.‎ ‎∵q>0，∴q＝2.‎ ‎∵a1＝2，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2n.‎ 角度三 求前n项和 ‎[典题4]　(1)已知正项数列{an}为等比数列，且‎5a2是a4与‎3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为(　　)‎ A.　　 B．31 ‎ C.　　 D．以上都不正确 ‎[答案]　B ‎[解析]　设{an}的公比为q，q＞0.‎ 由已知，得a4＋‎3a3＝2×‎5a2，‎ 即a2q2＋‎3a2q＝‎10a2，即q2＋3q－10＝0，‎ 解得q＝2或q＝－5(舍去)，‎ 又a2＝2，则a1＝1，‎ 所以S5＝＝＝31.‎ ‎(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若‎27a3－a6＝0，则＝________.‎ ‎[答案]　28‎ ‎[解析]　由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以‎27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以 ‎＝·＝28.‎ ‎[点石成金]　解决与等比数列有关问题的常用思想方法 ‎(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．‎ ‎(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.‎ 考点3　等比数列的性质 等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am·________(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝________＝________.‎ ‎(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．‎ ‎(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. ‎ 答案：(1)qn－m　(2)ap·aq　a 等比数列的基本公式：通项公式；前n项和公式．‎ ‎(1)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝4，则公比q＝________.‎ 答案：2‎ 解析：由a4＝a1q3，得4＝q3，解得q＝2.‎ ‎(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.‎ 答案： 解析：易知公比q不为1，由等比数列求和公式得＝，即1＋q4＝，所以q4＝ ‎，得q＝或q＝－(舍去).‎ 应用等比数列的前n项和公式的两个注意点：公比应分q＝1与q≠1讨论；注意利用性质．‎ ‎(1)设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝‎3a3，则此数列的公比q＝________.‎ 答案：1或－ 解析： 当q＝1时，S3＝‎3a1＝‎3a3，符合题意；当q≠1时，＝‎3a1q2，‎ ‎∵a1≠0，所以1－q3＝3q2(1－q)，‎ ‎∴2q3－3q2＋1＝0，‎ 即(q－1)2(2q＋1)＝0，‎ 解得q＝－.‎ 综上所述，q＝1或q＝－.‎ ‎(2)在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项的和S15＝________.‎ 答案：11‎ 解析：由题意知a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…成等比数列，其公比q＝＝－2，首项为a1＋a2＋a3＝1，因此该数列的前5项和就是数列{an}的前15项的和，故S15＝＝11.‎ ‎[典题5]　(1)[2017·广东广州综合测试]已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋‎2a3)＋a‎3a9＝(　　)‎ A．10　 B．20 ‎ C．100　　 D．200‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　a7(a1＋‎2a3)＋a‎3a9＝a‎7a1＋‎2a7a3＋a‎3a9＝a＋‎2a4a6＋a＝(a4＋a6)2＝102＝100.‎ ‎(2)[2017·吉林长春调研]在正项等比数列{an}中，已知a‎1a2a3＝4，a‎4a5a6＝12，an－1anan ‎＋1＝324，则n＝________.‎ ‎[答案]　14‎ ‎[解析]　设数列{an}的公比为q，‎ 由a‎1a2a3＝4＝aq3与a‎4a5a6＝12＝aq12，可得 q9＝3，又an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，‎ 因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，即n＝14.‎ ‎[点石成金]　等比数列常见性质的应用 等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.‎ ‎1.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝(　　)‎ A．2　　 B. ‎ C.　　 D．1或2‎ 答案：B 解析：设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，S4＝3k，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎2．[2017·甘肃兰州诊断]数列{an}的首项为a1＝1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10b11＝2 015，则a21＝________.‎ 答案：2 015‎ 解析：由bn＝，且a1＝1，得 b1＝＝a2，‎ b2＝，a3＝a2b2＝b1b2，‎ b3＝，a4＝a3b3＝b1b2b3，…，‎ an＝b1b2…bn－1，‎ ‎∴a21＝b1b2…b20.‎ ‎∵数列{bn}为等比数列，‎ ‎∴a21＝(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝(b10b11)10‎ ‎＝(2 015)10＝2 015.‎ ‎[方法技巧]　1.判断数列为等比数列的方法 ‎(1)定义法：＝q(q是不等于0的常数，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列；也可用＝q(q是不等于0的常数，n∈N*，n≥2)⇔数列{an}是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同．‎ ‎(2)等比中项法：a＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．‎ ‎2．常用结论 ‎(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．‎ ‎(2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.‎ ‎[易错防范]　1.特别注意当q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．‎ ‎2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.‎ ‎3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．‎ ‎4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2015·新课标全国卷Ⅱ]已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)‎ A．21　　　　　　　 B．42　　　　　　　　　　 ‎ C．63　　　　　　　 D．84‎ 答案：B 解析：设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.‎ ‎2．[2016·新课标全国卷Ⅰ]设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a‎1a2…an的最大值为________．‎ 答案：64‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∴⇒ ‎ 解得 ‎ ‎∴a‎1a2…an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4)‎ ‎＝ ＝，‎ 当n＝3或4时，取到最小值－6，‎ 此时取到最大值26，所以a‎1a2…an的最大值为64.‎ ‎3．[2015·新课标全国卷Ⅰ]在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.‎ 答案：6‎ 解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.‎ ‎4．[2015·安徽卷]已知数列是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a‎2a3＝8，则数列的前n项和等于________．‎ 答案：2n－1‎ 解析：设等比数列的公比为q，‎ 则有解得或 又{an}为递增数列，‎ ‎∴∴Sn＝＝2n－1.‎ ‎5．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若S5＝，求λ.‎ 解：(1)由题意，得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.‎ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，‎ 即an＋1(λ－1)＝λan，‎ 由a1≠0，λ≠0，得an≠0，所以＝.‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ 从而得通项公式an＝n－1.‎ ‎(2)由(1)，得Sn＝1－n.‎ 由S5＝，得1－5＝，‎ 即5＝，解得λ＝－1.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 分类讨论思想在等比数列中的应用 ‎[典例]　已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：Sn＋≤(n∈N*)．‎ ‎[审题视角]‎ ‎(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；‎ ‎(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明．‎ ‎(1)[解析]　设等比数列{an}的公比为q，‎ 因为－2S2，S3,4S4成等差数列，‎ 所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，‎ 可得‎2a4＝－a3，于是q＝＝－.‎ 又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为 an＝×n－1＝(－1)n－1·.‎ ‎(2)[证明]　由(1)知，Sn＝1－n，‎ Sn＋＝1－n＋ ‎＝ 当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，‎ 所以Sn＋≤S1＋＝；‎ 当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，‎ 所以Sn＋≤S2＋＝.‎ 故对于n∈N*，有Sn＋≤.‎ 方法点睛 ‎1．分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：‎ ‎(1)已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况讨论．‎ ‎(2)等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论．‎ ‎(3)项数的奇、偶数讨论．‎ ‎(4)等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．‎ ‎2．数列与函数联系密切，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别．‎