山东省烟台市2020届高三4月模拟考试（一模）数学

山东省烟台市2020届高三4月模拟考试（一模）数学

绝密★启用前 ‎2020年高考诊断性测试 数 学 注意事项：‎ ‎1.本试题满分150分，考试时间为120分钟．‎ ‎2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．‎ ‎3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答 题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。‎ ‎1.已知集合，，则 A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数满足（为虚数单位），则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.设，则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.数列：，，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列的每一项除以所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前项和为 A. B. C. D.‎ ‎5.设为平行四边形，，，．若点满足 ‎，，则 A. B. C. D.‎ ‎6.右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小 ‎ 木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下 后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落 过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎·13·‎ ‎7.设为直线上的动点，为圆的两条切线，为切点，则四边形面积的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎8.已知函数，实数满足不等式，则下列不等关系成立的是 A. B. C. D.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令,防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.右侧的图表展示了‎2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是 ‎ A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大 B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数 C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于 ‎ D.19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和 ‎10.已知是双曲线上任一点，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，设直线的斜率分别为，若恒成立，且实数的最大值为，则下列说法正确的是 A.双曲线的方程为 B.双曲线的离心率为 C.函数的图象恒过的一个焦点 D.直线与有两个交点 ‎11.如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上任一点，则下列说法正确 ‎·13·‎ 的是 A.平面内存在直线与平行 ‎ B.平面截正方体所得截面面积为 C.直线和所成角可能为 D.直线和所成角可能为 ‎12.关于函数，，下列说法正确的是 A.当时，在处的切线方程为 B.当时，存在唯一极小值点且 C.对任意，在上均存在零点 D.存在，在上有且只有一个零点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.已知，则 ‎14.的展开式中项的系数是（用数字作答）‎ ‎15.已知点在半径为的球面上，满足，，若是球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为 ‎16.已知为抛物线的焦点，点，为抛物线上任意一点，的最小值为，则抛物线方程为 ，若线段的垂直平分线交抛物线于两点，则四边形的面积为 .（本题第一空2分，第二空3分）‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（10分）‎ 已知的内角所对的边分别为，.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，边上的高为，求.‎ ‎18.（12分）‎ 已知等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，， ，，，是否存在正整数，使得数列的前项和，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.‎ ‎·13·‎ 从①，②，③这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答.‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.‎ ‎19.（12分）‎ 如图，三棱锥中，点,分别是,的中点，点是的重心.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若平面平面,,,‎ ‎，,求平面与 平面所成的锐二面角的余弦值. ‎ ‎20.（12分）‎ 推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：‎ 得分 ‎[30,40)‎ ‎[40,50)‎ ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70, 80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100]‎ 男性人数 ‎40‎ ‎90‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎110‎ ‎60‎ ‎30‎ 女性人数 ‎20‎ ‎50‎ ‎80‎ ‎110‎ ‎100‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于分的概率；‎ 不太了解 比较了解 男性 女性 ‎（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”‎ ‎ （得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60‎ ‎ 分）两类，完成列联表，并判断是否有的 ‎ 把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别” ‎ 有关?‎ ‎（3）从参与问卷测试且得分不低于分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取 ‎ 人，连同名男性调查员一起组成个环保宣传队.若从这人中随机抽取人作为队长，且男性队长人数的期望不小于2，求的最小值.‎ 附：. ‎ ‎·13·‎ 临界值表：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎21.（12分）‎ 已知函数.‎ （1） 若在上恒成立，求的取值范围，并证明：对任意的，都 有；‎ ‎（2）设，讨论方程实数根的个数.‎ ‎22.（12分）‎ 已知椭圆过点，且焦距为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设为直线：上一点，为椭圆上一点，以为直径的圆恒过 坐标原点.‎ ‎（i）求的取值范围；‎ ‎（ii）是否存在圆心在原点的定圆恒与直线相切？若存在，求出该定圆的方程;若不存在，说明理由．‎ ‎·13·‎ ‎2020年高考诊断性测试 数学参考答案 一、单项选择题 ‎1. C 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. A 8. C ‎ 二、多项选择题 ‎9. BC 10. AC 11. BC 12. ABD 三、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ，‎ 四、解答题 ‎17．解：（1）因为，由正弦定理得 ‎ 所以, …………………………1分 即 ， …………………………2分 又，所以 所以， …………………………3分 而，‎ 所以，‎ ‎ 所以. …………………………4分 ‎ （2）因为 …………………………5分 ‎ 将，，代入，得. …………………………6分 由余弦定理得，‎ ‎·13·‎ 于是， …………………………8分 即 ，解得或. …………………………10分 ‎18．解：设等比数列的公比为（），则，，‎ 于是， …………………………2分 即，解得，（舍去）. …………………………4分 若选①：则，，‎ 解得， …………………………6分 所以， …………………………8分 ‎， …………………………9分 于是 ……10分 令，解得，因为为正整数，所以的最小值为. ……12分 若选②：则，，解得.‎ 下同①.‎ 若选③：则，，解得. ………………6分 于是， …………………8分 ‎·13·‎ ‎， ……………………9分 于是 ‎， ………………………………………10分 令，得，‎ 注意到为正整数，解得，所以的最小值为. ………………………12分 ‎19．解：（1）证明：延长交于点,点为的中点，‎ 因为分别是棱的中点, ‎ 所以是的中位线，所以， …………………………2分 又，，‎ 所以. ‎ 同理可证. ………………………………………3分 又，，‎ 所以平面， ……………………………………4分 因为，所以. ………………………………5分 ‎（2）连接，因为，是的中点，所以，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面.‎ 以为坐标原点，以向量所在的方向分别作为轴、轴的正方向，以与向量 ‎·13·‎ 垂直的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ………6分 设，则，，， ，‎ ‎，， . ……………………7分 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，‎ 令，得，，于是取 …………………………9分 又平面的一个法向量为 ，‎ 则，即，‎ 令，得，，‎ 于是取 ………………………………………………11分 设平面与平面的所成的角二面角的大小为，‎ 则.‎ 所以平面与平面的所成的锐二面角的余弦值为. ………………12分 ‎20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于分的比率为 ‎， ‎ 故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于分的概率为. …………………2分 ‎·13·‎ 不太了解 比较了解 男性 ‎250‎ ‎330‎ 女性 ‎150‎ ‎270‎ ‎（2）由题意得列联表如下：‎ ‎…………3分 的观测值 …………………5分 因为5.542 ‎ 所以有的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关. ………………6分 ‎（3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性人，女性人. ………………7分 随机变量的所有可能取值为，‎ 其中，,,, ………………9分 所以随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ………………10分,‎ 可得，，‎ ‎，‎ ‎·13·‎ ‎，‎ 解得. …………………………………………12分 ‎21．解：（1）由可得，，‎ 令，则， ………………1分 当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得最大值， ………………3分 要使，只需，‎ 故的取值范围为， ………………4分 显然，当时，有，即不等式在上成立，‎ 令，则有，‎ 所以，‎ 即：； ………………6分 ‎（2）由可得，，即，‎ 令，则， ………………8分 当时，，单增，当时，，单减，‎ 故在处取得最大值， ………………10分 ‎·13·‎ 又当时，，当时，， ………………11分 所以，当时，方程有一个实数解；当时，方程有两个不同的实数解；当时，方程没有实数解. ………………12分 ‎22．解：（1）将点的坐标代入椭圆的方程得 ‎，解得，所以椭圆的方程为． ……3分 ‎（2）设.因为以为直径的圆恒过点，‎ 所以，即. ……………………4分 因为点在椭圆上，所以.‎ ‎（i）将代入椭圆，得，，‎ 于是,. …………5分 因为 当且仅当，即时，取等号.‎ 所以的取值范围为. ……………………………………7分 ‎（ii）存在.定圆的方程为. ‎ 假设存在满足题意的定圆，则点到直线的距离为定值.‎ 因为，所以直线方程为 ‎·13·‎ ‎，‎ 整理可得， ………………………………8分 所以到直线的距离， …………………………9分 由（i）知，，得，，‎ ‎，注意到，知.‎ 所以， …………………10分 又 ‎， ……………………11分 所以，‎ 因此，直线与圆恒相切. …………………………………………12分 ‎·13·‎