2018届二轮复习顾全局——函数零点与方程的根课件（江苏专用）

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专题 3 　函数与导数 第 9 练　顾全局 —— 函数零 点 与 方程的根 函数零点问题是高考常考题型，一般以填空题的形式考查，难度为中档 . 其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 1 2 3 解析 答案 2 1 2 3 解析　 当 x >2 时， g ( x ) ＝ x － 1 ， f ( x ) ＝ ( x － 2) 2 ； 当 0 ≤ x ≤ 2 时， g ( x ) ＝ 3 － x ， f ( x ) ＝ 2 － x ； 当 x <0 时， g ( x ) ＝ 3 － x 2 ， f ( x ) ＝ 2 ＋ x . 由于函数 y ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点个数就是方程 f ( x ) － g ( x ) ＝ 0 的根的个数 . 当 x >2 时，方程 f ( x ) － g ( x ) ＝ 0 可化为 x 2 － 5 x ＋ 5 ＝ 0 ， 解析 1 2 3 当 0 ≤ x ≤ 2 时，方程 f ( x ) － g ( x ) ＝ 0 可化为 2 － x ＝ 3 － x ，无解； 当 x <0 时，方程 f ( x ) － g ( x ) ＝ 0 可化为 x 2 ＋ x － 1 ＝ 0 ， 所以函数 y ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点个数为 2. 1 2 3 解析 答案 2 1 2 3 则函数的周期相同， ＝ sin( － 3 x ＋ b ) ＝－ sin(3 x － b ) ＝ sin(3 x － b ＋ π) ， 1 2 3 解析答案 故当 1 ＜ x ＜ 2 时 h ( x ) 单调递减，在同一坐标系 中 画 出 y ＝ | h ( x )| 和 y ＝ 1 的图象如图所示 . 由图象可知 | f ( x ) ＋ g ( x )| ＝ 1 的实根个数为 4. 4 返回 高考 必会题型 题型一　零点个数与零点区间问题 例 1 　 (1) 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) ＝ x 2 － 3 x ，则函数 g ( x ) ＝ f ( x ) － x ＋ 3 的零点的集合 为 ________________. 解析 答案 解析　 令 x <0 ，则－ x >0 ， 所以 f ( － x ) ＝ ( － x ) 2 ＋ 3 x ＝ x 2 ＋ 3 x . 因为 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数， 所以 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，所以 当 x <0 时， f ( x ) ＝－ x 2 － 3 x . 当 x ≥ 0 时， g ( x ) ＝ x 2 － 4 x ＋ 3 ， 令 g ( x ) ＝ 0 ，即 x 2 － 4 x ＋ 3 ＝ 0 ，解得 x ＝ 1 或 x ＝ 3 ； 当 x <0 时， g ( x ) ＝－ x 2 － 4 x ＋ 3 ， 令 g ( x ) ＝ 0 ，即 x 2 ＋ 4 x － 3 ＝ 0 ， ① 若 a ＝ 1 ，则 f ( x ) 的最小值为 _______ ； 解析答案 当 x <1 时， f ( x ) ＝ 2 x － 1 ∈ ( － 1,1) ， 当 x ≥ 1 时， f ( x ) ＝ 4( x 2 － 3 x ＋ 2) － 1 解析答案 点评 ② 若 f ( x ) 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 _____________ _ ____. 解析　 由于 f ( x ) 恰有 2 个零点，分两种情况讨论： 当 f ( x ) ＝ 2 x － a ， x <1 没有零点时， a ≥ 2 或 a ≤ 0. 当 a ≥ 2 时， f ( x ) ＝ 4( x － a )( x － 2 a ) ， x ≥ 1 时，有 2 个零点； 当 a ≤ 0 时， f ( x ) ＝ 4( x － a )( x － 2 a ) ， x ≥ 1 时，无零点 . 因此 a ≥ 2 满足题意 . 当 f ( x ) ＝ 2 x － a ， x <1 有 1 个零点时， 0 < a < 2 . f ( x ) ＝ 4( x － a )( x － 2 a ) ， x ≥ 1 有 1 个零点， 点评 确定函数零点的常用方法 (1) 当方程易求解时，用解方程判定法； (2) 数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解 . 变式训练 1 　 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数，例如 [2.9] ＝ 2 ， [ － 4.1] ＝－ 5. 已知 f ( x ) ＝ x － [ x ] ( x ∈ R ) ， g ( x ) ＝ log 4 ( x － 1) ，则函数 h ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点个数是 ________. 解析 答案 2 解析　 函数 h ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点个数可转化为函数 f ( x ) 与 g ( x ) 图象的交点个数， 与函数 g ( x ) ＝ log 4 ( x － 1) 的大致图象如图 ， 由 图可知两函数图象的交点个数为 2 ， 即 函数 h ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点个数是 2. 题型二　由函数零点求参数范围问题 例 2 　 若关于 x 的方程 2 2 x ＋ 2 x a ＋ a ＋ 1 ＝ 0 有实根，求实数 a 的取值范围 . 点评 解析答案 解　 方法一　 ( 换元法 ) 设 t ＝ 2 x ( t ＞ 0) ，则原方程可变为 t 2 ＋ at ＋ a ＋ 1 ＝ 0 ， (*) 原方程有实根，即方程 (*) 有正根 . 令 f ( t ) ＝ t 2 ＋ at ＋ a ＋ 1. ① 若方程 (*) 有两个正实根 t 1 ， t 2 ， 点评 解析答案 ② 若方程 (*) 有一个正实根和一个负实根 ( 负实根不合题意，舍去 ) ， 则 f (0) ＝ a ＋ 1 ＜ 0 ，解得 a ＜－ 1 ； ③ 若方程 (*) 有一个正实根和一个零根， 点评 解析答案 方法二　 ( 分离变量法 ) 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1) 利用零点存在性定理构建不等式求解 . (2) 分离参数后转化为求函数的值域 ( 最值 ) 问题求解 . (3) 转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解 . 点评 解析 答案 ( － 1,0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) 返回 解析　 依题意，得 a ≠ 0 ，令 f ( x ) ＝ 0 ，得 lg x ＝ 0 ，即 x ＝ 1 . 由 f [ f ( x ) ] ＝ 0 ，得 f ( x ) ＝ 1. 当 x ＞ 0 时 ， 函数 y ＝ lg x 的图象与直线 y ＝ 1 有且只有一个交点， 若 a ＞ 0 ，结论成立； 得－ 1 ＜ a ＜ 0 ， 则实数 a 的取值范围为 ( － 1,0) ∪ (0 ，＋ ∞ ). 返回 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 当 x ∈ [ － 1,0] 时，－ x ∈ [0,1] ， 所以 f ( － x ) ＝ x 2 ， 因为 f ( x ) 为偶函数，所以 f ( x ) ＝ x 2 . 又 f ( x － 1) ＝ f ( x ＋ 1) ， 所以 f ( x ＋ 2) ＝ f (( x ＋ 1) ＋ 1) ＝ f (( x ＋ 1) － 1) ＝ f ( x ) ， 故 f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数 . 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 2. 函数 f ( x ) ＝ 2sin π x － x ＋ 1 的零点个数为 ________. 解析　 ∵ 2sin π x － x ＋ 1 ＝ 0 ， ∴ 2sin π x ＝ x － 1 ，图象如图所示 ， 由 图象看出 y ＝ 2sin π x 与 y ＝ x － 1 有 5 个交点， ∴ f ( x ) ＝ 2sin π x － x ＋ 1 的零点个数为 5. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 当 x ≤ 0 时， x ＋ f ( x ) ＝ m ，即 x ＋ 1 ＝ m ，解得 m ≤ 1 ； 即实数 m 的取值范围是 ( － ∞ ， 1] ∪ [2 ，＋ ∞ ). ( － ∞ ， 1] ∪ [2 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 满足对任意 x ∈ R ，有 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) － f (1) ，且当 x ∈ [2,3] 时， f ( x ) ＝－ 2 x 2 ＋ 12 x － 18 ，若函数 y ＝ f ( x ) － log a ( x ＋ 1) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上恰有三个零点，则 a 的取值范围是 ____ _ ______. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 因为 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) － f (1) ，所以 f (1) ＝ f ( － 1) － f (1) ， 又因为 f ( x ) 是偶函数，所以 f (1) ＝ 0 ， 所以函数 f ( x ) 是以 2 为周期的偶函数 . 函数 y ＝ f ( x ) － log a ( x ＋ 1) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上恰有三个零点可化为函数 y ＝ f ( x ) 与 y ＝ log a ( x ＋ 1) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上有三个不同的交点 . 作函数 y ＝ f ( x ) 与 y ＝ log a ( x ＋ 1) 的图象如下图 . 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 画出函数 f ( x ) 的图象如图所示 . 观察图象可知，若方程 f ( x ) － a ＝ 0 有三个不同的实数根 ， 则 函数 y ＝ f ( x ) 的图象与直线 y ＝ a 有三个不同的交点 ， 此时 需满足 0 ＜ a ＜ 1. (0,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 当 x ＞ 0 时， f ( x ) ＝ 2 x － 1. 令 f ( x ) ＝ 0 ，解得 x ＝ ； 当 x ≤ 0 时， f ( x ) ＝ e x ＋ a ， 此时 函数 f ( x ) ＝ e x ＋ a 在 ( － ∞ ， 0] 上有且仅有一个零点 ， 等价 转化为方程 e x ＝－ a 在 ( － ∞ ， 0] 上有且仅有一个实根 ， 而 函数 y ＝ e x 在 ( － ∞ ， 0] 上的值域为 (0,1] ， 所以 0 ＜－ a ≤ 1 ，解得－ 1 ≤ a ＜ 0. [ － 1,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 如图，由于函数 g ( x ) ＝ f ( x ) － m 有 3 个零点 ， 结合 图象得： 0 ＜ m ＜ 1 ，即 m ∈ (0,1). (0,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 画出函数 f ( x ) 的图象如图 . 要使函数 g ( x ) ＝ f ( x ) － k 有两个不同零点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 9.(2015· 湖南 ) 若函数 f ( x ) ＝ |2 x － 2| － b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是 ________. 解析　 由 f ( x ) ＝ |2 x － 2| － b ＝ 0 得 |2 x － 2| ＝ b . 在同一平面直角坐标系中画出 y ＝ |2 x － 2| 与 y ＝ b 的图象，如图所示 . 则当 0< b <2 时，两函数图象有两个交点 ， 从而 函数 f ( x ) ＝ |2 x － 2| － b 有两个零点 . (0,2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (1) 作出函数 f ( x ) 的图象； 解　 如图所示 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 故 f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数，而在 (1 ，＋ ∞ ) 上是增函数 . 由 0 ＜ a ＜ b 且 f ( a ) ＝ f ( b ) ，得 0 ＜ a ＜ 1 ＜ b ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (3) 若方程 f ( x ) ＝ m 有两个不相等的正根，求 m 的取值范围 . 解 由函数 f ( x ) 的图象可知，当 0 ＜ m ＜ 1 时， 方程 f ( x ) ＝ m 有两个不相等的正根 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 12. 已知函数 f ( x ) ＝ e x ＋ ax － a ( a ∈ R 且 a ≠ 0). (1) 若函数 f ( x ) 在 x ＝ 0 处取得极值，求实数 a 的值，并求此时 f ( x ) 在 [ － 2,1] 上的最大值； 解　 函数的定义域为 R ， f ′ ( x ) ＝ e x ＋ a ， 由函数 f ( x ) 在 x ＝ 0 处取得极值 ，则 f ′ (0) ＝ 1 ＋ a ＝ 0 ，解得 a ＝－ 1 ， 即有 f ( x ) ＝ e x － x ＋ 1 ， f ′ ( x ) ＝ e x － 1. 当 x ＜ 0 时，有 f ′ ( x ) ＜ 0 ， f ( x ) 单调递减， 当 x ＞ 0 时，有 f ′ ( x ) ＞ 0 ， f ( x ) 单调递增 . 则在 x ＝ 0 处 f ( x ) 取得极小值，也为最小值，值为 2. 又 f ( － 2) ＝ e － 2 ＋ 3 ， f (1) ＝ e ， f ( － 2) ＞ f (1) ，即 有最大值 e － 2 ＋ 3. 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若函数 f ( x ) 不存在零点，求实数 a 的取值范围 . 解　 函数 f ( x ) 不存在零点， 即为 e x ＋ ax － a ＝ 0 无实数解 . 当 x ＝ 1 时， e ＋ 0 ＝ 0 显然不成立，即有 a ∈ R 且 a ≠ 0. 当 x ＞ 2 时， g ′ ( x ) ＞ 0 ， g ( x ) 单调递增， 当 x ＜ 1 或 1 ＜ x ＜ 2 时， g ′ ( x ) ＜ 0 ， g ( x ) 单调递减 . 即在 x ＝ 2 处 g ( x ) 取得极小值 e 2 ，当 x ＜ 1 时， g ( x ) ＜ 0 ， 则 有 0 ＜－ a ＜ e 2 ，解得 － e 2 ＜ a ＜ 0 ， 则 实数 a 的取值范围为 ( － e 2, 0).