2019届二轮复习第2招莫愁前路无知己三角天下谁不识学案（江苏专用）

2019届二轮复习第2招莫愁前路无知己三角天下谁不识学案（江苏专用）

莫愁前路无知己，三角天下谁不识 中科院张景中院士指出：“在中学数学课程中，三角函数的内容至关重要。三角函数不仅是连接几何与代数的一座桥梁，还是沟通初等数学与高等数学的一条通道。向量、坐标等许多重要的数学知识与三角有关，并且大量的实际问题的解决要用到三角知识。”由此可见三角函数在数学中的地位，这也正是高考把其作为热门考点的原因。在高考数学中，命题更注重知识的整体性和综合性，而三角函数也是最容易与三角形、向量等结合，特别是题型中巧妙的三角应用，更是能达到事半功倍的效果。‎ 一、 向量中的三角函数 三角在高考中也经常与向量连接，原因其一在于本身向量的数量积涉及夹角问题，其二则是利用三角的运算去解决向量的计算。可以说，三角与向量的结合，会让题目变的更综合性，更要延展性。‎ 问题 1 已知向量，，且共线，其中.‎ （1） 求的值；‎ （2） 若求的值.‎ 分析：本题考查向量一些性质及三角函数的运算，是一道非常典型的综合题，将向量关系转化为三角关系，继而进行求解分析.‎ （1） 由，得.‎ ‎，‎ ‎.‎ （2） 由（1）可得，又，‎ ‎ 由得 ‎ 即 ‎ 从而 ‎ .‎ 问题2 在中，角所对的边分别为，已知，‎ 向量，且.‎ （1） 求的值；‎ （2） 当取最小值时，求三角形的面积.‎ 分析：本题是向量与解三角形的结合，主要考查向量的基本性质，正弦、余弦定理，同时结合函数最值问题进行基本不等式的运用，难度较常规题大.‎ （1） 因为，所以.‎ 由正弦定理可知，，‎ 由余弦定理可知，，‎ （2） 由余弦定理可知，.‎ 当且仅当时，等号成立，即的最小值为.‎ 因为，此时，‎ ‎ .‎ 问题 3 如图，在中，，，，则的值为 .‎ 分析：本题主要是考查向量与解三角形的应用，难度不大，关键在于找到相关量及其所对应的三角关系，继而解题.‎ 解法1 由余弦定理可知；‎ ‎ .‎ ‎ 根据可得.‎ ‎ 在中，由余弦定理得，‎ ‎ 在中，由余弦定理得 ‎ 得,在中，.‎ ‎ .‎ 解法2 ‎ ‎ .‎ 一、 实际问题中的三角函数思想 美国芝加哥大学施瓦布教授认为：“学生的学习同科学家的研究在本质上是一致的，即学生应像“科学家”一样，用主人的身份去发现、解决问题，且在探究的过程中获取知识、发展技能、培养能力”。而江苏高考中，涉及到实际问题的三角函数题型，更能体现这种思想方向。‎ 问题4 某地拟在一个形水面上修一条堤坝（在上，‎ 在上），围出一个封闭区域，用以种植水生植物．为美观起见，决定从 上点处分别向点拉条分隔线将所围区域分成个部分（如图），每部 分种植不同的水生植物．已知，设所拉分隔线总长度 为．‎ ‎（1）设，求用表示的函数表达式，并写出定义域；‎ ‎（2）求的最小值．‎ 分析：（1）‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 设 ‎ 在中，，‎ ‎ ‎ 在中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ .‎ （2） 令.‎ ‎ ，‎ 当且仅当，即时取到最大值，‎ ‎ 此时 问题5 如图，某公园有三条观光大道围成直角三角形，其中直角边，斜边．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在大道上嬉戏，所在位 置分别记为点．‎ ‎（1）若甲乙都以每分钟的速度从点出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端 时即停，乙比甲迟分钟出发，当乙出发分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；‎ ‎（2）设，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的倍，且，请将甲 乙之间的距离表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离．‎ 分析：（1）依题意得，，‎ 在△中，， ∴ ， ‎ 在△中，由余弦定理得:，‎ ‎∴ . ‎ 答：甲乙两人之间的距离为m. ‎ ‎（2）由题意得，，‎ 在直角三角形中，， ‎ 在△中，由正弦定理得，即，‎ ‎∴ ，， ‎ 所以当时，有最小值. ‎ 答：甲乙之间的最小距离为. ‎ 四、 函数中的三角换元思想 问题6 如果实数满足，则的最小值为________．‎ 分析：可根据本题所求的代数式去分析，将条件中的用去代换，然后整体求最值，这也是常规方法，但是涉及到圆及椭圆情况的方程形式，我们也可以利用三角代换.如变量适合条件时，则可作三角代换,化为三角问题.‎ 解法一：由可得，可设 代入原式得：原式 ‎ ‎ ‎ 当时，原式最小值为.‎ 解法二：由,可得.‎ 当时，原式得到最小值，此时.‎ 问题7 已知，且，则的最小值为 .‎ 分析：多变量函数的最值问题，通常需要消元，本题关键在于首先在于把看为主元，为变量，利用代换，同时配凑等技巧对代数式进行变形，难度较大，而这道题目，恰恰也可以利用三角代换，从而化难为易，轻松解决.‎ 解法一：由可设，代入原式 ‎ 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当（即），时，以上不等式成立，即 原式最小值为. ‎ 解法二：因为所以 ‎ ，当且仅当时等号成立.又因为，根据不等式性质可得 原式 当且仅当时，等号成立.‎ 所以的最小值为.‎