2019届二轮复习（理）专题66坐标系学案（全国通用）

2019届二轮复习（理）专题66坐标系学案（全国通用）

‎ 1．了解在平面直角坐标系下的伸缩变换。‎ ‎2．理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化。‎ ‎3．能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程。‎ ‎ ‎ 一、平面直角坐标系下的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，‎ 称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．‎ 二、极坐标与直角坐标的互化 ‎ 设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：或(θ与(x，y)所在象限一致)．‎ ‎【特别提醒】‎ ‎(1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．‎ ‎(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．‎ 注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈ )表示同一点的坐标．‎ 三、曲线的极坐标方程 ‎1．圆的极坐标方程 ‎(1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R.‎ ‎(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.‎ ‎(3)圆心在点处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.‎ ‎2．直线的极坐标方程 ‎(1)过点(a,0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a.‎ ‎(2)过点与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a.‎ ‎【特别提醒】‎ ‎(1)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． ]‎ ‎(2)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．‎ 高频考点一　平面直角坐标系中的伸缩变换 ‎【例1】 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的标准方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎ ]‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，‎ 于是所求直线方程为y－1＝，‎ 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，‎ 故所求直线的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎【方法规律】‎ ‎(1)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解.‎ ‎(2)求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入转化.‎ ‎【变式探究】 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ： ‎(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标；‎ ‎(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程.‎ ‎ ‎ ‎(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点.‎ 由伸缩变换φ：得 代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，‎ ‎∴y′＝x′为所求直线l′的方程.‎ 高频考点二　极坐标与直角坐标的互化 ‎【例2】 (2016·北京卷改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；‎ ‎(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离.‎ 解　(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，‎ ‎∴x－y－1＝0，表示一条直线.‎ 由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.‎ ‎∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.‎ 所以C2是圆心为(1，0)，半径r＝1的圆.‎ ‎(2)由(1)知，点(1，0)在直线x－y－1＝0上，‎ 所以直线C1过圆C2的圆心.‎ 因此两交点A，B的连线段是圆C2的直径.‎ 所以两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2. ‎ ‎【方法规律】　(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0).‎ ‎(2)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧. ‎ ‎【变式探究】在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.‎ 高频考点三　直线与圆的极坐标方程的应用 + +k ]‎ ‎【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解　(1)消去t，得C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，‎ ‎∴曲线C1表示以点(0，1)为圆心，a为半径的圆.‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos ‎ θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.‎ 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.‎ 所以a＝1. ‎ ‎【方法规律】(1)第(1)题将曲线C1的参数方程先化成普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的转化与化归能力.第(2)题中关键是理解极坐标方程的含义，消去ρ，建立与直线C3：θ＝α0的联系，进而求a.‎ ‎(2)由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解. ‎ ‎【变式探究】 在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)求直线l被圆C所截得的弦长.‎ ‎ ‎ ‎1. （2018年全国I卷理数） [选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的直角坐标方程； ‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．‎ ‎【答案】 (1）．‎ ‎（2）的方程为．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由，得的直角坐标方程为． ‎ ‎2. （2018年全国Ⅱ卷理数）[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程； ‎ ‎（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．‎ ‎【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）‎ ‎ ‎ ‎3. （2018年全国Ⅲ卷理数） [选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求中点的轨迹的参数方程．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2） 为参数， ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）的直角坐标方程为．‎ 当时，与交于两点．‎ 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎（2）的参数方程为为参数，．‎ 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．‎ 于是，．又点的坐标满足 所以点的轨迹的参数方程是 为参数，． ‎ ‎4. （2018年江苏卷） [选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎【答案】直线l被曲线C截得的弦长为 ‎1.【2017江苏，21】在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的普通方程为.‎ 因为点在曲线上，设，‎ 从而点到直线的的距离，‎ 当时， .‎ 因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值. ‎ ‎2. 【2017课标II，理22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。‎ ‎（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值。‎ ‎【答案】(1)；(2) 。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知 ‎|OP|= ， =.‎ 由|OP|=16得的极坐标方程 因此的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设点B的极坐标为 （）.由题设知|OA|=2， ，于是△OAB面积 当时， S取得最大值.‎ 所以△OAB面积的最大值为.‎ ‎3.【2017北京，理11】在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为 ，整理为 ‎ ，圆心，点是圆外一点，所以的最小值就是.‎ ‎4.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为 ‎.‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ ‎【答案】（1）与的交点坐标为， ；（2）或.‎ ‎（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为 ‎.‎ 当时， 的最大值为.由题设得，所以；‎ 当时， 的最大值为.由题设得，所以.‎ 综上， 或.‎ ‎1.【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线与圆 交于A，B两点，则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线过圆的圆心，因此 ‎2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．‎ 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.‎ ‎（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．‎ ‎【答案】（I）圆,（II）1 ]‎ ‎（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组 若，由方程组得，由已知，‎ 可得，从而，解得（舍去），.‎ 时，极点也为的公共点，在上.所以. ‎ ‎3.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求 的斜率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（I）由可得的极坐标方程 ‎ ‎ ‎4.【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分 ‎（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，. ‎ ‎………………8分 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ………………10分 ‎1.【2015高考北京，理11】在极坐标系中，点到直线的距离为 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎2.【2015高考湖北，理16】在直角坐标系中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为 ( 为参数) ，与C相交于两点，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，所以，即；‎ 由消去得．联立方程组，解得或，‎ 即，，‎ 由两点间的距离公式得.‎ ‎3.【2015高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为 .‎ 【答案】．‎ ‎【解析】‎ 解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，‎ 点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．‎ 点A到直线l的距离为：=．‎ 故答案为：． ‎ ‎4.【2015高考安徽，理12】在极坐标中，圆上的点到直线距离的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎5.【2015高考新课标2，理23】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．‎ ‎（Ⅰ）.求与交点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）.若与相交于点，与相交于点，求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由，得 则解得,‎ ‎（Ⅱ）‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 故． ‎ ‎6.【2015高考福建，理21】选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为 ‎(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ) ．‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即 解得 ‎7.【2015高考陕西，理23】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极 轴建立极坐标系，的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出的直角坐标方程；‎ ‎（II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】‎ ‎ 1．（2014·广东卷）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为 ．‎ ‎【答案】(1，1)　‎ ‎【解析】本题主要考查将极坐标方程化为直角坐标方程的方法．将曲线C1的方程ρsin 2θ＝cos θ 化为直角坐标方程为y2＝x，将曲线C2的方程ρsin θ＝1化为直角坐标方程为y＝1.由解得 故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1，1)．‎ ‎2．（2014·湖北卷） (选修44：坐标系与参数方程)‎ 已知曲线C1的参数方程是(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为 ．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】由消去t得y＝x(x≥0)，即曲线C1的普通方程是y＝x(x≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x2＋y2＝4，即曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4.联立解得 故曲线C1与C2的交点坐标为.‎ ‎3．（2014·湖南卷）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是 ‎ ．‎ ‎【答案】ρcos θ－ρsin θ＝1　‎ ‎4．(2014·辽宁卷)选修44：坐标系与参数方程 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ 解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得由x＋y＝1得x2＋＝1，即曲线C的方程为x2＋＝1.‎ 故C的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k＝，于是所求直线方程为y－1＝，‎ 化为极坐标方程，并整理得 ‎2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝.学 . ‎ ‎5．(2014·陕西卷)C．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点到直线ρsin＝1的距离是 ．‎ ‎【答案】C．1　‎