2018-2019学年重庆市部分区县高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年重庆市部分区县高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年重庆市部分区县高二上学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．‎ ‎【详解】‎ 因为直线x+y﹣1＝0的斜率为：，‎ 直线的倾斜角为：α．‎ 所以tanα，‎ α＝120°‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．‎ ‎2．在一个命题和它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，真命题的个数不可能是（ ）‎ A．0 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据四种命题间的关系，可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 在一个命题和它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，互为逆否命题的命题有2对，根据互为逆否命题的两个命题真假性相同，这四个命题中真命个数可以为0、2或4.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四种命题间的关系，考查学生的推理能力，属于基础题.‎ ‎3．命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据全称命题的否定为特称命题，写出答案即可.‎ ‎【详解】‎ 命题“，”的否定是，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 全程命题：，，它的否定：，.‎ ‎4．曲线在点处的切线斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出导数后可得切线斜率．‎ ‎【详解】‎ ‎，则，．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题关键．‎ ‎5．若圆的半径为，则实数（ ）‎ A． B．-1 C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意，圆的方程可化为，‎ 所以半径为，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.‎ ‎6．已知离心率为2的双曲线的中心在原点，焦点与椭圆的焦点重合，则该双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出椭圆焦点即得双曲线焦点得，再由离心率得，最后由求得，从而得双曲线方程．‎ ‎【详解】‎ 椭圆的焦点为，它也是双曲线的焦点，所以，又，，∴，‎ 所以双曲线方程是，即．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求双曲线的方程，掌握双曲线的几何性质是解题关键．‎ ‎7．已知直线与平面，，则下列说法正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】结合空间中点、线、面的位置关系，对四个选项逐个分析，即可选出答案.‎ ‎【详解】‎ A、B选项中，直线都可以在平面内，故错误；‎ C选项中，内要有两条相交直线均与平行，才有，故错误；‎ D选项中，内有一条直线与垂直，则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点、线、面的位置关系，考查学生的空间想象能力，属于基础题.‎ ‎8．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图为正方形，则该几何体的表面积是（ ）‎ A．1 B．2 C． D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三视图画出直观图，进而求出该几何体的表面积即可.‎ ‎【详解】‎ 该几何体的直观图为如图所示的正四棱锥，且，，其中于，故表面积为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图，考查几何体表面积的求法，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.‎ ‎9．已知某圆柱形容器的轴截面是边长为2的正方形，容器中装满液体，现向此容器中放入一个实心小球，使得小球完全被液体淹没，则此时容器中所余液体的最小容量为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】小球恰好与圆柱侧面和底面同时相切时，容器中所余液体最小，求出圆柱的体积及小球的体积，相减可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 圆柱的轴截面是边长为2的正方形，可知圆柱底面半径为1，母线长为2，故圆柱体积为，‎ 当小球与圆柱的侧面、上下底面都相切时所余液体容量最小，此时，小球的体积为，所余液体容量为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆柱的性质，考查圆柱的内切球问题，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎10．条件甲：关于的不等式的解集为空集，条件乙：，则甲是乙的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分别求出条件甲、乙所对应的的关系式，比较两个关系式所表示的图形，可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 由题意，当时，不等式的解集为空集，‎ 当不都为0时，，，.‎ 因为的解集为空集，所以，即.‎ 如下图，表示以原点为圆心，半径为1的圆及其内部，表示为圆内接正方形及其内部，所以甲是乙的必要不充分条件.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分性与必要性的判断，考查三角函数的恒等变换，考查不等式表示的平面区域，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.‎ ‎11．已知椭圆：的左焦点为，点，为椭圆上一动点，则的周长的最小值为（ ）‎ A．3 B．4 C．7 D．10‎ ‎【答案】B ‎【解析】计算可得，，可知的周长为，结合，可求得周长的最小值.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的右焦点为，，点在椭圆内，点，且，，，‎ 的周长为，当且仅当位于射线与椭圆的交点时，等号成立，所以周长的最小值为4.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的性质，考查三角形周长，考查学生的计算求解能力，属于中档题.‎ ‎12．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出导函数，题意说明有两个不等实根．‎ ‎【详解】‎ 由题意有两个不等实根，，‎ 设，，‎ 当时，，递增，当时，，递减，‎ 时，为极大值也是最大值，‎ 时，，且，当时，，‎ 所以当，即时，直线与的图象有两个交点，即有两个不等实根．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数与极值，考查零点零点与方程根的个数问题．解题关键是把方程根的个数转化函数图象交点个数，通过研究函数性质确定结论．‎ 二、填空题 ‎13．过原点且与直线平行的直线方程是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据平行直线的性质，可设出所求直线方程，进而将代入，可求出该直线方程.‎ ‎【详解】‎ 设与直线平行的直线方程为，‎ 将代入，得，即所求直线为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程，考查平行直线的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.‎ ‎14．已知正三棱柱中，，，则此三棱柱外接球的表面积为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出其外接球半径即可求表面积，外接球心是正三棱柱上下底中心连线的中点．‎ ‎【详解】‎ 如图，设是正三棱柱的上下底中心，是的中点，则是三棱柱外接球心，‎ 由已知，，所以，．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球的表面积，求出球的半径是解题关键．正三棱柱中上下底中心连线的中点就是外接球球心．‎ ‎15．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由在上恒成立即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，函数在上单调递增，‎ 则在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎∴，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数与函数的单调性，一般由确定增区间，由确定减区间．如果的点是孤立的，则确定的区间也是增区间．‎ ‎16．若圆上存在两点，，使得，圆外一动点，则点到原点距离的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对于点，若圆上存在两点，使得，只需由点引圆的两条切线所夹角不小于即可，可知动点在以为圆心，半径为的圆环内运动，当在线段上时，最小，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 如图，圆的半径为，圆心为，‎ 对于点，若圆上存在两点，使得，只需由点引圆的两条切线所夹角不小于即可，‎ 从而点距圆心的距离要不超过，故动点在以为圆心，半径为的圆环内运动，‎ 当在线段上时，最小，最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的性质，考查数形结合的数学思想的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知轴是曲线在点处的切线.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的极大值为，极小值为 ‎【解析】（Ⅰ）由和可求得；‎ ‎（Ⅱ）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间，则可得极值点．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），由题知且，即且，，，；‎ ‎（Ⅱ），在上单增，在上单减，在上单增，故的极大值为，极小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，考查导数与极值．求极值时一定要注意，时，不一定是极值点，还要满足在两侧，的符号相反．‎ ‎18．已知，命题：，命题：.‎ ‎（1）当时，若命题为真，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分条件，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由命题为真，可知都是真命题，结合对应的的范围，可求出答案；‎ ‎（2）利用充分条件对应的关系列出不等式，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，，即命题：，‎ 当时，命题：，即：，‎ 若为真，则都是真命题，则；‎ ‎（2）由题意，：，：，‎ 若是的充分条件，则，‎ 即，解得.‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题间的关系，考查充分性的应用，考查不等式的解法，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.‎ ‎19．在中，边，，所在直线的方程分别为，，.‎ ‎（1）求边上的高所在的直线方程；‎ ‎（2）若圆过直线上一点及点，当圆面积最小时，求其标准方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）联立直线和的方程，可求出点坐标，由直线的斜率，可求得边上的高所在的直线的斜率，然后利用点斜式可求得所求直线方程；‎ ‎（2）过点向直线作垂线，垂足记为，当圆以线段为直径时面积最小，求出点的坐标，进而可求出圆心的坐标和半径，即可得到该圆的标准方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）联立，解得点，又直线的斜率为，‎ 故边上的高所在直线方程为，即；‎ ‎（2）过点向直线作垂线，垂足记为，显然，当圆以线段为直径时面积最小，‎ 易知直线的斜率为，则直线的方程为，‎ 由，解得点，故圆的圆心为，半径为，‎ 所以圆面积最小时，标准方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程与圆的方程，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.‎ ‎20．如图，棱长为2的正方体中，点分别是的棱的中点.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证：直线平面；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）连接，可证，从而得线面平行；‎ ‎（Ⅱ）四边形为等腰梯形，且上底是下底的一半，因此有 ‎，这样有，三棱锥的底面面积易求，高就是，体积易得．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）连接，则，又，‎ ‎，又平面，平面，‎ ‎∴直线平面；‎ ‎（Ⅱ）连接，由，，知，为等腰梯形，故，‎ ‎，，点到平面的距离为2，.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查证明线面平行，考查求棱锥的体积．由线面平行的判定定理证线面平行是基本方法．棱锥的体积在高不易求得时，可转换底．‎ ‎21．已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一点，且.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点的直线与抛物线交于，两点，求线段的垂直平分线的横截距的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由抛物线的定义知，即可求出的值，进而求出抛物线的方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，可求得，两点的中点坐标，进而求得线段的垂直平分线方程，令，可求得横截距的表达式，求出取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由抛物线的定义知，即，∴，故抛物线的方程为；‎ ‎（2）由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，‎ 联立，得，‎ ‎∴线段中点纵坐标为，横坐标为，‎ ‎∴的垂直平分线方程为，令得，‎ 由题知直线不与轴垂直，否则中垂线的横截距不存在，即，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.‎ ‎22．已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若在上存在两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）在上单减，在上单增（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）求出．由确定增区间，由确定减区间；‎ ‎（Ⅱ）由函数值变化，只要极小值小于0即可．极小值点满足 ‎，求出的范围，即可得的取值范围（因为），，结合相应函数的单调性可得．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），，，‎ 故在上单减，在上单增；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，当时，‎ 故在上存在两个零点，只需，其中即为方程的正根，‎ ‎，‎ 显然在上单减，故即可，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数与函数的单调性的关系，考查函数零点个数问题，考查导数与极值的关系．利用导数确定函数的单调性与极值后，本题函数存在两个零点的条件是极小值小于0即可．‎