数学文卷·2018届湖南省师大附中高三上学期月考（五）（2018

数学文卷·2018届湖南省师大附中高三上学期月考（五）（2018

湖南师大附中2018届高三月考试卷(五)‎ 数　学(文科) ‎ 命题人、审题人：彭萍　苏萍　曾克平 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。时量120分钟。满分150分。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(1)设全集U＝N*，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为(B)‎ ‎(A){2} (B){4，6}‎ ‎(C){1，3，5} (D){2，4，6}‎ ‎【解析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B，∴(∁UA)∩B＝{4，6}．故选B.‎ ‎(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(－3，5)，若(2a＋b)⊥c，则c的坐标可以是(D)‎ ‎(A)(－2，3) (B)(－2，－3)‎ ‎(C)(4，－4) (D)(4，4)‎ ‎【解析】2a＋b＝(－1，1)，设c＝(x，y)，‎ ‎∵(2a＋b)⊥c，∴(2a＋b)·c＝－x＋y＝0，即x＝y.‎ 只有D满足上述条件，故选：D.‎ ‎(3)已知直线m，n与平面α，β，γ满足α⊥β，α∩β＝m，n⊥α，n⊂γ，则下列判断一定正确的是(D)‎ ‎(A)m∥γ，α⊥γ (B)n∥β，α⊥γ ‎(C)β∥γ，α⊥γ (D)m⊥n，α⊥γ ‎【解析】因为n⊥α，则α⊥γ；同时n⊥α，m⊂α，则m⊥n，所以D选项是正确的；对于A选项中的直线m与平面γ的位置关系无法判断，B选项中的直线n也可能落在平面β内；C选项中的平面β与平面γ也可能相交，故答案选D.‎ ‎(4)下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为(D)‎ S＝0‎ i＝1‎ WHILE ______‎ INPUT　x S＝S＋x i＝i＋1‎ WEND a＝S/20‎ PRINT　a END ‎(A)i＞20 (B)i＜20 (C)i＞＝20 (D)i＜＝20‎ ‎【解析】根据题意为一个求20个数的平均数的程序，则循环体需执行20次，从而横线上应填充的语句为i＜＝20.故选：D.‎ ‎(5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(B)‎ ‎(A)3 (B)4 (C)5 (D)6‎ ‎【解析】由题意，几何体为四棱锥，其中底面是上底为2，下底为4，高为2 的直角梯形，棱锥的高为2，所以体积为××(2＋4)×2×2＝4；故选B.‎ ‎(6)在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，若向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为(D)‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎【解析】由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，由于S△ABP＝AB×h＝2h，则三角形的高要h≥1，同样，P点到AD的距离要不小于，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是整个阴影矩形的面积(3－1)＝，∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的 概率为：＝；故选D.‎ ‎(7)已知sin＝，则cos＝(A)‎ ‎(A)－ (B)－ (C) (D) ‎【解析】∵sin＝，‎ ‎∴cos＝1－2sin2＝，‎ ‎∴cos＝cos＝－cos＝－，故选：A.‎ ‎(8)已知函数y＝f(x)对任意自变量x都有f(x)＝f(2－x)，且函数f(x)在[1，＋∞)上单调．若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a6)＝f(a2 012)，则{an}的前2 017项之和为(B)‎ ‎(A)0 (B)2 017 (C)2 016 (D)4 034‎ ‎【解析】∵函数y＝f(x)对任意自变量x都有f(x)＝f(2－x)，且函数f(x)在[1，＋∞)上单调．‎ 又∵f(a6)＝f(a2 012)，∴a6＋a2 012＝2，‎ 又数列{an}是公差不为0的等差数列，‎ ‎∴a6＋a2 012＝a1＋a2 017，‎ 则{an}的前2017项之和＝＝2017×＝2017.故选：B.‎ ‎(9)已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为(D)‎ ‎(A)2 (B)2＋ (C)4 (D)2＋2 ‎【解析】∵△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，△ABC的三边长分别为a，b，c，‎ ‎∴(a＋b＋c)×1＝1，‎ 即a＋b＋c＝2，‎ 即a＋b＝2－c，∴0＜c＜2，‎ ‎∴＋＝＋＝＋－1，‎ 设f(x)＝＋－1，0＜x＜2，‎ ‎∴f′(x)＝－＝，‎ 令f′(x)＝0，解得x＝－2＋2，‎ 当x∈(0，－2＋2)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，‎ 当x∈(－2＋2，2)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，‎ ‎∴f(x)min＝f(－2＋2)＝2＋2，‎ 故＋的最小值为2＋2，故选：D.‎ ‎(10)设F1、F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(A)‎ ‎(A)x±y＝0 (B)x±y＝0‎ ‎(C)x±2y＝0 (D)2x±y＝0‎ ‎【解析】不妨设P为右支上一点，‎ 由双曲线的定义，可得，|PF1|－|PF2|＝2a，‎ 又|PF1|＋|PF2|＝6a，‎ 解得，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，‎ 且|F1F2|＝2c，‎ 由于2a最小，即有∠PF1F2＝30°，‎ 由余弦定理，可得，cos 30°＝＝＝.‎ 则有c2＋3a2＝2ac，即c＝a，‎ 则b＝＝a，‎ 则双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ 即为y＝±x，故选A.‎ ‎(11)定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(3)＝0，且当x＞0时，不等式f(x)＞－xf′(x)恒成立，则函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为(C)‎ ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎【解析】定义在R上的奇函数f(x)满足：‎ f(0)＝0＝f(3)＝f(－3)，‎ 且f(－x)＝－f(x)，‎ 又x＞0时，f(x)＞－xf′(x)，即f(x)＋xf′(x)＞0，‎ ‎∴[xf(x)]′＞0，函数h(x)＝xf(x)在x＞0时是增函数，‎ 又h(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，∴h(x)＝xf(x)是偶函数；‎ ‎∴x＜0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为R，且 f(0)＝f(3)＝f(－3)＝0，‎ 可得函数y1＝xf(x)与y2＝－lg|x＋1|的大致图象如图所示，‎ ‎∴由图象知，函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为3个．‎ 故选：C.‎ ‎(12)狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若f(x)＝则称f(x)为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数f(x)，给出下面4个命题：①对任意x∈R，都有f[f(x)]＝1；②对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；③对任意x1∈R，都有x2∈Q，f(x1＋x2)＝f(x1)；④对任意a，b∈(－∞，0)，都有{x|f(x)＞a}＝{x|f(x)＞b}．其中所有真命题的序号是(D)‎ ‎(A)①④ (B)②③ (C)①②③ (D)①③④‎ ‎【解析】①当x∈Q，则f(x)＝1，f(1)＝1，则f[f(x)]＝1，‎ 当x∈∁RQ，则f(x)＝0，f(0)＝1，则f[f(x)]＝1，即对任意x∈R，都有f[f(x)]＝1，故①正确，‎ ‎②当x∈Q，则－x∈Q，则f(－x)＝1，f(x)＝1，此时f(－x)＝f(x)，‎ 当x∈∁RQ，则－x∈∁RQ，则f(－x)＝0，f(x)＝0，此时f(－x)＝f(x)，‎ 即恒有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数，故②错误，‎ ‎③当x1∈Q，有x2∈Q，则x1＋x2∈Q，此时f(x1＋x2 )＝f(x1)＝1；‎ 当x1∈∁RQ，有x2∈Q，则x1＋x2∈∁RQ，此时f(x1＋x2 )＝f(x1)＝0；‎ 综上恒有f(x1＋x2 )＝f(x1)成立，故③正确，‎ ‎④∵f(x)≥0恒成立，∴对任意a，b∈(－∞，0)，都有{x|f(x)＞a}＝{x|f(x)＞b}＝R，故④正确，‎ 故正确的命题是①③④，故选：D.‎ 选择题答题卡 题号 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎(6)‎ ‎(7)‎ ‎(8)‎ ‎(9)‎ ‎(10)‎ ‎(11)‎ ‎(12)‎ 答案 B D D D B D A B D A C D 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．‎ ‎(13)设i是虚数单位，则复数z＝的共轭复数的虚部为__－__．‎ ‎【解析】∵z＝＝＝＝＝＋i，∴复数z＝的共轭复数为－i.则复数z＝的共轭复数的虚部为－.‎ ‎(14)过点(1，－2)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为__y＝－__．‎ ‎【解析】圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1，0)，半径为1，以(1，－2)、C(1，0)为直径的圆的方程为：(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减，即得公共弦AB的方程为2y＋1＝0.即y＝－.‎ ‎(15)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则·的最大值为____．‎ ‎【解析】设与的夹角为θ，由·的几何意义可知，·等于||与在的投影的乘积，由投影的定义可知，只有当点F取点C时，·有最大值为·＝(＋)·(＋)＝2＋2＝4＋＝.‎ 本题也可建立平面直角坐标系，把向量的数量积运算转化为向量的坐标运算，从而将问题转化为在已知可行域内求·的最值问题．‎ ‎(16)已知曲线y＝ex＋a与y＝(x－1)2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为__(－∞，2ln_2－3)__．‎ ‎【解析】y＝(x－1)2的导数y′＝2(x－1)，y＝ex＋a的导数为y′＝ex＋a，设公共切线与曲线y＝ex＋a相切的切点为(m，n)，与y＝(x－1)2相切的切点为(s，t)，则有公共切线斜率为2(s－1)＝em＋a＝，又t＝(s－1)2，n＝em＋a，即有2(s－1)＝＝，即为s－m＝－1，即有m＝(s＞1)，则有em＋a＝2(s－1)，即为a＝ln 2(s－1)－(s＞1)，令f(s)＝ln 2(s－1)－(s＞1)，则f′(s)＝－＝，当s＞3时，f′(s)＜0，f(s)递减，当1＜s＜3时，f′(s)＞0，f(s)递增．‎ 即有s＝3处f(s)取得极大值，也为最大值，且为2ln 2－3，由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的范围是a＜2ln 2－3.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S市的A区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x表示在各区开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和. ‎ ‎ x(个)‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ y(百万元)‎ ‎ 2.5‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎4.5 ‎ ‎ 6‎ ‎(Ⅰ)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；‎ ‎(Ⅱ)假设该公司在A区获得的总年利润z(单位：百万元)与x，y之间的关系为z＝y－0.05x2－1.4，请结合(Ⅰ)中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大？‎ 参考公式：‎ ＝x＋，＝＝4，＝＝＝，‎ ‎∴＝y－－x－＝0.6.‎ ‎∴y关于x的线性回归方程y＝0.85x＋0.6.6分 ‎(Ⅱ)z＝y－0.05x2－1.4＝－0.05x2＋0.85x－0.8，‎ A区平均每个分店的年利润t＝＝－0.05x－＋0.85＝－0.01＋0.85，‎ ‎∴x＝4时，t取得最大值，‎ 故该公司应在A区开设4个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大.12分 ‎(18)(本小题满分12分)‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2.四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.E为侧棱PB的中点，F为侧棱PC上的任意一点．‎ ‎(Ⅰ)若F为PC的中点，求证：平面EFP⊥平面PAB；‎ ‎(Ⅱ)是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】(Ⅰ)∵E、F分别为侧棱PB、PC的中点，∴EF∥BC.‎ ‎∵BC∥AD，∴EF∥AD.‎ ‎∵平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，平面PAC∩平面ABCD＝AC，‎ ‎∴PA⊥平面ABCD，且AD⊂平面ABCD，得PA⊥AD.‎ 又∵AB⊥AD，PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB，可得EF⊥平面PAB.‎ 又EF⊂平面EFP，得平面EFP⊥平面PAB.6分 ‎(Ⅱ)存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直．‎ 平面PCA中，过点A作AF⊥PC，垂足为F.‎ 由已知AB⊥AD，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝2.‎ 根据平面几何知识，可得CD⊥AC.‎ 又∵由(Ⅰ)PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，且PA∩AC＝A，‎ ‎∴CD⊥平面PAC，又AF⊂平面PAC，得CD⊥AF.‎ 又∵CD∩PC＝C，∴AF⊥平面PCD.‎ 在△PAC中，PA＝2，AC＝，∠PAC＝90°，‎ ‎∴PC＝＝，AF＝＝，∴PF＝.‎ ‎∴PC上存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直，此时线段PF的长为.12分 ‎(19)(本小题满分12分)‎ 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象．‎ ‎(Ⅰ)求函数y＝g(x)的解析式；‎ ‎(Ⅱ)在△ABC中，角A、B、C所对的边分別为a、b、c，asin Acos C＋csin Acos A＝c，D是AC的中点，且cos B＝，BD＝，求△ABC的最短边的边长．‎ ‎【解析】由图知＝4，解得ω＝2，‎ ‎∵f＝sin＝1，‎ ‎∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ 由于|φ|<，因此φ＝4分 ‎∴f(x)＝sin，‎ ‎∴f＝sin＝sin，‎ 即函数y＝g(x)的解析式为g(x)＝sin，6分 ‎ ‎(2)由正弦定理可知：＝＝＝2R，‎ 则a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin Asin Acos C＋sin Csin Acos A＝sin C，‎ 则sin Asin(A＋C)＝sin C，∴sin Asin B＝sin C，‎ 由cos B＝，可得sin B＝7分 ‎∵||＝，＝(＋)，26＝(c2＋a2＋2accos B)‎ ‎∴104＝c2＋a2＋2ac·.9分 ‎∵sin A×＝sin C，‎ ‎∴a＝c，‎ ‎∴解得：a＝2，c＝6.11分 又sin A×＝×，∴bsin A＝c，b＝2 ‎∴△ABC的最短边的边长为2.12分 ‎(20)(本小题满分12分)‎ 已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝nx(n>0)上在第一象限内的点P(2，t)到焦点的距离为，曲线C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴．‎ ‎(Ⅰ)求Q点的坐标；‎ ‎(Ⅱ)设不经过点P和Q的动直线l2：x＝my＋b交曲线C于点A和B，交l1于点E，若直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，试问： l2是否过定点？请说明理由．‎ ‎【解析】(Ⅰ)由抛物线上的点P(2，t)到焦点的距离为，得2＋＝，所以n＝2，‎ 则抛物线方程为y2＝2x，故曲线C在点P处的切线斜率k＝，切线方程为y－2＝(x－2)，‎ 令y＝0得x＝－2，所以点Q(－2，0)．‎ ‎(Ⅱ)由题意知l1：x＝－2，因为l2与l1相交，所以m≠0.‎ 设l2：x＝my＋b，令x＝－2，得y＝－，故E(－2，－)，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由消去x得y2－2my－2b＝0，则y1＋y2＝2m，y1y2＝－2b，直线PA的斜率为＝＝，同理直线PB的斜率为，直线PE的斜率为.因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，‎ 所以kPA＋kPB＝2kPE，即＋＝，即＝整理得：b2＝4，‎ 因为l2不经过点Q，所以b≠－2.所以b＝2.‎ 故l2：x＝my＋2，即l2恒过定点(2，0)．‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax.‎ ‎(Ⅰ)若f(1)＝0，求函数f(x)的单调递减区间；‎ ‎(Ⅱ)证明当n≥2(n∈N*)时，＋＋＋…＋>1；‎ ‎(Ⅲ)若关于x的不等式f(x)≤x2＋(2a－1)x－1恒成立，求整数a的最小值．‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为f(1)＝0，所以a＝11分 此时f(x)＝ln x－x2＋x，x>0，f′(x)＝－2x＋1＝(x>0)‎ 由f′(x)<0，得2x2－x－1>0，又x>0，所以x>1.所以f(x)的单调减区间为(1，＋∞).3分 ‎(Ⅱ)令a＝1，由(Ⅰ)得：f(x)在(1，＋∞)递减，∴f(x)＝ln x－x2＋x≤f(1)＝0，故ln x≤x2－x，x>1时，>，分别令x＝2，3，4，……n，‎ 故＋＋…＋>＋＋…＋＝1－，‎ ‎∴n≥2时，＋＋…＋＞1.6分 ‎(Ⅲ)由f(x)≤x2＋(2a－1)x－1恒成立得ln x－ax2－ax＋x＋1≤0在上恒成立，‎ 问题等价于a≥在(0，＋∞)上恒成立．‎ 令g(x)＝，只要a≥g(x)max.8分 因为g′(x)＝，令g′(x)＝0，得－x－ln x＝0.‎ 设h(x)＝－x－ln x，h(x)在(0，＋∞)上单调递减，不妨设－x－ln x＝0的根为x0.当x∈(0，x0)时，g′(x)>0；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)<0，‎ 所以g(x)在x∈(0，x0)上是增函数；在x∈(x0，＋∞)上是减函数．‎ 所以g(x)max＝g(x0)＝＝＝.10分 因为h＝ln 2－>0，h(1)＝－<0，‎ 所以0，y>0，nx＋y＋m＝0，求证：x＋y≥16xy.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由＋0，y>0，9x＋y＝1，‎ ‎∴＝10＋＋≥10＋2＝16，‎ 当且仅当＝即x＝，y＝时取等号， ‎ ‎∴＋≥16，即x＋y≥16xy.10分