【数学】2020届一轮复习人教B版圆锥曲线的综合问题学案理

【数学】2020届一轮复习人教B版圆锥曲线的综合问题学案理

圆锥曲线的综合问题 ‎【2019年高考考纲解读】‎ ‎1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.‎ ‎2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．‎ ‎【重点、难点剖析】‎ 一、 范围、最值问题 圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．‎ 二、定点、定值问题 ‎1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． ‎ ‎(1)求E的方程；‎ ‎(2)设E与y轴正半轴的交点为B，过点B的直线l的斜率为k(k≠0)，l与E交于另一点P.若以点B为圆心，以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点，求k的取值范围．‎ ‎【解析】解法一　(1)设点M(x，y)，由2＝，得A(x,2y)，‎ 由于点A在圆C：x2＋y2＝4上，则x2＋4y2＝4，‎ 即动点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知，E的方程为＋y2＝1，‎ 因为E与y轴正半轴的交点为B，所以B(0,1)，‎ 所以过点B且斜率为k的直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．‎ 由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，‎ 设B(x1，y1)，P(x2，y2)，因此x1＝0，x2＝－，‎ ‎|BP|＝|x1－x2|＝.‎ 由于以点B为圆心，线段BP长为半径的圆与椭圆E的公共点有4个，由对称性可设在y轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P，T，满足|BP|＝|BT|，此时直线BP的斜率k＞0，‎ 记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k，‎ 则|BT|＝，‎ 故＝，所以－＝0，‎ 即(1＋4k2)＝(1＋4k)，‎ 所以(k2－k)(1＋k2＋k－8k2k)＝0，‎ 由于k1≠k，因此1＋k2＋k－8k2k＝0，‎ 故k2＝＝＋.‎ 因为k2＞0，所以8k－1＞0，所以k2＝＋＞.‎ 又k＞0，所以k＞.‎ 又k1≠k，所以1＋k2＋k2－8k2k2≠0，‎ 所以8k4－2k2－1≠0.又k＞0，解得k≠，‎ 所以k∈∪.‎ 根据椭圆的对称性，k∈∪也满足题意．‎ 综上所述，k的取值范围为∪∪∪.‎ 解法二　(1)设点M(x，y)，A(x1，y1)，则Q(x1,0)．‎ 因为2＝，所以2(x1－x，－y)＝(0，－y1)，所以解得 因为点A在圆C：x2＋y2＝4上，所以x2＋4y2＝4，‎ 所以动点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知，E的方程为＋y2＝1，所以B的坐标为(0,1)，易得直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．‎ 由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，‎ 设B(x1，y1)，P(x2，y2)因此x1＝0，x2＝－，‎ ‎|BP|＝|x1－x2|＝.‎ 则点P的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝，‎ 由得3y2＋2y－5＋＝0(－1＜y＜1)．　(*)‎ 依题意，得(*)式在y∈(－1,1)上有两个不同的实数解．‎ 设f(x)＝3x2＋2x－5＋(－1＜x＜1)，‎ 易得函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－，‎ 要使函数f(x)的图象在(－1,1)内与x轴有两个不同的交点，‎ 则 整理得 即所以 得k∈∪∪∪‎ ，‎ 所以k的取值范围为∪∪‎ ∪.‎ ‎【方法技巧】‎ ‎1．解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． ‎ 由∠MQO＝∠NQO，得直线MQ与NQ的斜率之和为零，易知x1或x2等于0时，不满足题意，故＋＝＋＝＝0，‎ 即2kx1x2＋(x1＋x2)＝2k·＋·＝＝0，当k≠0时，m＝6，所以存在定点(0,6)，使得∠MQO＝∠NQO；当k＝0时，定点(0,6)也符合题意．‎ 易知当直线MN的斜率不存在时，定点(0,6)也符合题意．‎ 综上，存在定点(0,6)，使得∠MQO＝∠NQO.‎ ‎ ‎