高中数学选修2-3课件3_1 回归分析（三）

高中数学选修2-3课件3_1 回归分析（三）

2021/1/13 郑平正 制作 郑平正 制作 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（三） 高二数学 选修 2-3 第三章 统计案例 2021/1/13 郑平正 制作 比 《 数学 3》 中“回归”增加的内容 数学３ —— 统计 画散点图 了解最小二乘法的思想 求回归直线方程 y ＝ bx ＋ a 用回归直线方程解决应用问题 选修 2-3 —— 统计案例 引入线性回归模型 y ＝ bx ＋ a ＋ e 了解模型中随机误差项 e 产生的原因 了解相关指数 R 2 和模型拟合的效果之间的关系 了解残差图的作用 利用线性回归模型解决一类非线性回归问题 正确理解分析方法与结果 2021/1/13 郑平正 制作 复习回顾 1 、线性回归模型： y=bx+a+e ， (3) 其中 a 和 b 为模型的未知参数， e 称为随机误差 。 y=bx+a+e ， E(e)=0,D(e)= (4) 2 、数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，称 为 残差 。 3 、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为： 称为 残差平方和 ， 它代表了随机误差的效应。 2021/1/13 郑平正 制作 4 、 两个指标： （ 1 ）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作 为 的估计量， 越小，预报精度越高。 （ 2 ）我们可以用 相关指数 R 2 来刻画回归的效果，其 计算公式是： R 2 1 ，说明回归方程拟合的越好； R 2 0 ，说明回归方程拟合的越差。 2021/1/13 郑平正 制作 表 3-2 列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。 5 、残差分析与残差图的定义： 然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据， 这方面的分析工作称为残差分析 。 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59 残差 -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为 残差图 。 2021/1/13 郑平正 制作 残差图的制作及作用 1 、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 2 、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域； 3 、对于远离横轴的点，要特别注意。 身高与体重残差图 异常点 错误数据 模型问题 几点说明： 第一个样本点和第 6 个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。 2021/1/13 郑平正 制作 例 1 在一段时间内，某中商品的价格 x 元和需求量 Y 件之间的一组数据为： 求出 Y 对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。 价格 x 14 16 18 20 22 需求量 Y 12 10 7 5 3 解： 2021/1/13 郑平正 制作 例 1 在一段时间内，某中商品的价格 x 元和需求量 Y 件之间的一组数据为： 求出 Y 对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。 价格 x 14 16 18 20 22 需求量 Y 12 10 7 5 3 列出残差表为 0.994 因而，拟合效果较好。 0 0.3 -0.4 -0.1 0.2 4.6 2.6 -0.4 -2.4 -4.4 2021/1/13 郑平正 制作 例 2 关于 x 与 y 有如下数据： 有如下的两个线性模型： （ 1 ） ；（ 2 ） 试比较哪一个拟合效果更好。 x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 2021/1/13 郑平正 制作 6 、注意回归模型的适用范围： （ 1 ）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。样本数据来自哪个总体的，预报时也仅适用于这个总体。 （ 2 ）模型的时效性。利用不同时间段的样本数据建立的模型，只有用来对那段时间范围的数据进行预报。 （ 3 ）建立模型时自变量的取值范围决定了预报时模型的适用范围，通常不能超出太多。 （ 4 ）在回归模型中，因变量的值不能由自变量的值完全确定。正如前面已经指出的，某个女大学生的身高为 172cm ，我们不能利用所建立的模型预测她的体重，只能给出身高为 172cm 的女大学生的平均体重的预测值。 2021/1/13 郑平正 制作 7 、一般地，建立回归模型的基本步骤为： （ 1 ）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。 （ 2 ）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。 （ 3 ）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程 y=bx+a ） . （ 4 ）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。 （ 5 ）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。 2021/1/13 郑平正 制作 案例 2 一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关。现收集了 7 组观测数据列于表中： （ 1 ）试建立产卵数 y 与温度 x 之间的回归方程；并预测温度为 28 o C 时产卵数目。 （ 2 ）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？ 温度 x o C 21 23 25 27 29 32 35 产卵数 y / 个 7 11 21 24 66 115 325 2021/1/13 郑平正 制作 选变量 解：选取气温为解释变量 x ，产卵数 为预报变量 y 。 画散点图 假设线性回归方程为 ： ŷ =bx+a 选 模 型 分析和预测 当 x =28 时， y = 19.87×28-463.73≈ 93 估计参数 由计算器得：线性回归方程为 y= 19.87 x -463.73 相关指数 R 2 = r 2 ≈0.864 2 =0.7464 所以，二次函数模型中温度解释了 74.64% 的产卵数变化。 探索新知 0 50 100 150 200 250 300 350 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 方案 1 当 x =28 时， y = 19.87×28-463.73≈ 93 一元线性模型 2021/1/13 郑平正 制作 奇怪？ 93>66 ? 模型不好？ 2021/1/13 郑平正 制作 y=bx 2 +a 变换 y=bt+a 非线性关系 线性关系 方案 2 问题１ 选用 y=bx 2 +a ，还是 y=bx 2 +cx+a ？ 问题 3 产卵数 气温 问题 2 如何求 a 、 b ？ 合作探究 t =x 2 二次函数模型 2021/1/13 郑平正 制作 方案 2 解答 平方变换 ： 令 t=x 2 ，产卵数 y 和温度 x 之间二次函数模型 y=bx 2 +a 就转化为产卵数 y 和温度的平方 t 之间线性回归模型 y=bt+a 温度 21 23 25 27 29 32 35 温度的平方 t 441 529 625 729 841 1024 1225 产卵数 y / 个 7 11 21 24 66 115 325 作散点图，并由计算器得： y 和 t 之间的线性回归方程为 y= 0.367 t -202.54 ，相关指数 R 2 = r 2 ≈0.896 2 =0.802 将 t=x 2 代入线性回归方程得： y= 0.367 x 2 -202.54 当 x =28 时 ， y =0.367×28 2 -202.54≈85 ，且 R 2 =0.802 ， 所以，二次函数模型中温度解 释了 80.2% 的产卵数变化。 t 2021/1/13 郑平正 制作 问题２ 变换 y=bx+a 非线性关系 线性关系 问题１ 如何选取指数函数的底 ? 产卵数 气温 指数函数模型 方案 3 合作探究 对数 2021/1/13 郑平正 制作 方案 3 解答 温度 x o C 21 23 25 27 29 32 35 z=lgy 0.85 1.04 1.32 1.38 1.82 2.06 2.51 产卵数 y / 个 7 11 21 24 66 115 325 x z 当 x=28 o C 时， y ≈44 ，指数回归模型中温度解释了 98.5% 的产卵数的变化 由计算器得： z 关于 x 的线性回归方程 为 z=0.118 x -1.665 ， 相关指数 R 2 = r 2 ≈0.9925 2 =0.985 对数变换：在 中两边取常用对数得 令 ，则 就转换为 z =bx+a 2021/1/13 郑平正 制作 最好的模型是哪个 ? 产卵数 气温 产卵数 气温 线性模型 二次函数模型 指数函数模型 2021/1/13 郑平正 制作 比一比 函数模型 相关指数 R 2 线性回归模型 0.7464 二次函数模型 0.802 指数函数模型 0.985 最好的模型是哪个 ? 2021/1/13 郑平正 制作 用身高预报体重时，需要注意下列问题： 1 、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体； 2 、我们所建立的回归方程一般都有时间性； 3 、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围； 4 、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。 事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。 —— 这些问题也使用于其他问题。 涉及到统计的一些思想： 模型适用的总体； 模型的时间性； 样本的取值范围对模型的影响； 模型预报结果的正确理解。 小结 2021/1/13 郑平正 制作 什么是回归分析？ （内容） 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度 2021/1/13 郑平正 制作 回归分析与相关分析的区别 相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位， x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制 2021/1/13 郑平正 制作 练习 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y （万元），有如下的统计资料。 使用年限 x 2 3 4 5 6 维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知 ,y 对 x 呈线性相关关系。试求： （ 1 ）线性回归方程 的回归系数 ； （ 2 ）求残差平方和； （ 3 ）求相关系数 ； （ 4 ）估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？ 2021/1/13 郑平正 制作 解： （ 1 ）由已知数据制成表格。 1 2 3 4 5 合计 2 3 4 5 6 20 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 4 9 16 25 36 90 所以有