高中数学必修2同步练习：直线与平面垂直的判定

高中数学必修2同步练习：直线与平面垂直的判定

必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定 一、选择题 ‎1、从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题：‎ ‎①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；‎ ‎③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为(　　)‎ A．4 B．‎3 C．2 D．1‎ ‎3、如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 ‎4、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　　)‎ A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 ‎5、直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是(　　)‎ A．a⊥β B．a∥β C．a⊂β D．a⊂β或a∥β ‎6、下列命题中正确的个数是(　　)‎ ‎①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；‎ ‎②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；‎ ‎③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；‎ ‎④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ 二、填空题 ‎7、如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．‎ ‎8、在直三棱柱ABC—A1B‎1C1中，BC＝CC1，当底面A1B‎1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．‎ ‎9、在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，‎ ‎ ‎ ‎ (1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；‎ ‎(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；‎ ‎(3)直线A1B与平面AB‎1C1D所成的角是________．‎ 三、解答题 ‎10、如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；‎ ‎(2)PQ⊥SC．‎ ‎11、如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．‎ ‎12、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．‎ 求证：(1)CD⊥PD；‎ ‎(2)EF⊥平面PCD．‎ ‎13、如图所示，在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，E、F分别是棱B‎1C1、B1B的中点．‎ 求证：CF⊥平面EAB．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A　[PO⊥面ABC．‎ 则由已知可得，△PAO、△PBO、△PCO全等，‎ OA＝OB＝OC，‎ O为△ABC外心．‎ 只有③正确．]‎ ‎2、A　[⇒ ‎⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，‎ ‎∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．]‎ ‎3、B　[易证AC⊥面PBC，所以AC⊥BC．]‎ ‎4、C　[取BD中点O，连接AO，CO，‎ 则BD⊥AO，BD⊥CO，‎ ‎∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，‎ 又BD、AC异面，∴选C．]‎ ‎5、D ‎6、B　[只有④正确．]‎ 二、填空题 ‎7、90°‎ 解析　∵B1C1⊥面ABB1A1，‎ ‎∴B1C1⊥MN．‎ 又∵MN⊥B1M，‎ ‎∴MN⊥面C1B1M，‎ ‎∴MN⊥C1M．‎ ‎∴∠C1MN＝90°．‎ ‎8、∠A1C1B1＝90°‎ 解析　‎ 如图所示，连接B1C，‎ 由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，‎ 因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，‎ 即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．‎ 因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．‎ ‎(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)‎ ‎9、(1)45°　(2)30°　(3)90°‎ 解析　‎ ‎(1)由线面角定义知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°．‎ ‎(2)连接A1D、AD1，交点为O，‎ 则易证A1D⊥面ABC1D1，所以A1B在面ABC1D1内的射影为OB，‎ ‎∴A1B与面ABC1D1所成的角为∠A1BO，‎ ‎∵A1O＝A1B，‎ ‎∴∠A1BO＝30°．‎ ‎(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，‎ ‎∴A1B⊥面AB1C1D，即A1B与面AB1C1D所成的角为90°．‎ 三、解答题 ‎10、证明　(1)∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ ‎∴SA⊥BC．‎ 又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，‎ ‎∴BC⊥平面SAB．‎ 又∵AQ⊂平面SAB，‎ ‎∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B，‎ ‎∴AQ⊥平面SBC．‎ ‎(2)∵AQ⊥平面SBC，SC⊂平面SBC，‎ ‎ ∴AQ⊥SC．‎ 又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，‎ ‎∴SC⊥平面APQ．∵PQ⊂平面APQ，∴PQ⊥SC．‎ ‎11、证明　连接AB1，CB1，设AB＝1．‎ ‎∴AB1＝CB1＝，‎ ‎∵AO＝CO，∴B1O⊥AC．‎ 连接PB1．‎ ‎∵OB＝OB2＋BB＝，‎ PB＝PD＋B1D＝，‎ OP2＝PD2＋DO2＝，‎ ‎∴OB＋OP2＝PB．∴B1O⊥PO，‎ 又∵PO∩AC＝O，‎ ‎∴B1O⊥平面PAC．‎ ‎12、证明　(1)∵PA⊥底面ABCD，‎ ‎∴CD⊥PA．‎ 又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，‎ ‎∴CD⊥PD．‎ ‎(2)取PD的中点G，连接AG，FG．‎ 又∵G、F分别是PD，PC的中点，‎ ‎∴GF綊CD，∴GF綊AE，‎ ‎∴四边形AEFG是平行四边形，‎ ‎∴AG∥EF．‎ ‎∵PA＝AD，G是PD的中点，‎ ‎∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，‎ ‎∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD．‎ ‎∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．‎ ‎∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．‎ ‎13、证明　在平面B1BCC1中，‎ ‎∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，‎ ‎∴△BB1E≌△CBF，‎ ‎∴∠B1BE＝∠BCF，‎ ‎∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，‎ 又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，‎ ‎∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．‎