【数学】甘肃省天水一中2020届高三下学期复学诊断考试(理)

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【数学】甘肃省天水一中2020届高三下学期复学诊断考试(理)

甘肃省天水一中2020届高三下学期复学诊断考试(理)‎ ‎(满分:150分 时间120分钟)‎ 一、单选题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知全集,集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知是虚数单位,表示复数的共轭复数.若,则复数在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知向量,,若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部形为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约230米.因年久风化,顶端剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为( )‎ A.128.5米 B.132.5米 C.136.5米 D.110.5米 ‎5.下图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时,进行的5组100次投篮的命中数,若这两组数据的中位数相等,平均数也相等,则,的值为( )‎ A.8,2 B.3,6 C.5,5 D.3,5‎ ‎6.设,,,则a,b,c的大小关系是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设、、是三个不同的平面,、、是三条不同的直线,已知,,.给出如下结论:‎ ‎①若,则;②若,则;‎ ‎③若,,则,;④若,,则,.‎ 其中正确的结论个数是( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎8.过点的直线与抛物线相交于两点,且,则点到原点的距离为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知函数的最小正周期为4,其图象关于直线对称,给出下面四个结论:‎ ‎①函数在区间上先增后减;②将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称;③点是函数图象的一个对称中心;④函数在上的最大值为1.其中正确的是( )‎ A.①② B.③④ C.①③ D.②④‎ ‎10.函数的部分图象如右图所示,设是图象的最高点,是图象与轴的交点,记,则的值是( )‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎11.已知双曲线的左、右两个焦点分别为,为其左右顶点,以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为,且,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.若函数在区间内有极大值,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.某公司有职工2000名,从中随机抽取200名调查他们的居住地与上班工作地的距离,其中不超过1000米的共有10人,不超过2000米的共有30人,由此估计该公司所有职工中居住地到上班地距离在(1000,2000]米的有 人.‎ ‎14.已知函数是定义在[-5,5]上的偶函数,且在区间是减函数,若,则实数a的取值范围是_______..‎ ‎15.在中,角所对的边分别为,若,,则的面积的最大值为________‎ ‎16.已知体积为的正四棱锥外接球的球心为,其中在四棱锥内部.设球的半径为,球心到底面的距离为。过的中点作球的截面,则所得截面圆面积的最小值是___________.‎ 三、解答题(共6题,共70分)‎ ‎17.已知数列的前项和为,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式 ‎(2)若数列是等差数列,且,,求数列的前项和.‎ ‎18.如图所示的几何体中,是菱形,,平面,,.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)求平面与平面构成的二面角的正弦值.‎ ‎19.某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从种服装商品,种家电商品,种日用商品中,选出种商品进行促销活动.‎ ‎(Ⅰ)试求选出的种商品中至多有一种是家电商品的概率;‎ ‎(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高元,同时,若顾客购买该商品,则允许有次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是,若使促销方案对商场有利,则最少为多少元?‎ ‎20.已知椭圆的左焦点为,是椭圆上关于原点对称的两个动点,当点的坐标为时,的周长恰为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过点作直线交椭圆于两点,且,求面积的取值范围.‎ ‎21.已知函数是奇函数,的定义域为.当时,.(e为自然对数的底数).‎ ‎(1)若函数在区间上存在极值点,求实数的取值范围;‎ ‎(2)如果当x≥1时,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎22.已知平面直角坐标系,以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,点的极坐标为,曲线的极坐标方程为(为参数).‎ ‎(1)写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若为曲线上的动点,求的中点到直线:的距离的最小值.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 ‎ 已知函数 ‎(1)若的解集为,求实数的值;‎ ‎(2)若,若存在,使得不等式成立,求实数的取值范围。‎ 参考答案 一、单选题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.C 7.D 8.D 9.C 10.A 11.B 12.C 二、填空题 ‎13.200 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.(1);(2)‎ ‎(1)当时,,所以,‎ 当时,因为,所以,‎ 两式作差得,即,因为,‎ 所以数列是首项为1,公比为3的等比数列,故;‎ ‎(2)令,则,,‎ 所以数列的公差,故,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎18.(1)证明见解析;(2).‎ ‎(1)证明:取中点,连结,设交于,连结,,‎ 在菱形中,,‎ ‎∵平面,平面,∴,‎ 又,,平面,∴平面,‎ ‎∵,分别是,的中点,∴,,‎ 又,,∴,且,‎ ‎∴四边形是平行四边形,则,∴平面,‎ 又平面,∴平面平面.‎ ‎(2)由(1)中证明知,平面,则,,两两垂直,以,‎ ‎,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由及是菱形,‎ 得,,,则,‎ ‎,,,‎ ‎,,,‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则,即,‎ 取,求得,所以,‎ 同理,可求得平面的一个法向量为,‎ 设平面与平面构成的二面角的平面角为,则 ‎,又,,‎ ‎∴,‎ ‎∴平面与平面构成的二面角的正弦值为.‎ ‎19.(Ⅰ)(Ⅱ)最少为元 ‎(Ⅰ)选出种商品一共有种选法, ‎ 选出的种商品中至多有一种是家电商品有种 所以至多有一种是家电商品的概率为 ‎(Ⅱ)奖券总额是一随机变量,设为,可能值为,,,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0‎ 所以 所以,因此要使促销方案对商场有利,则最少为元 ‎20.(1)(2)‎ ‎(1)当点的坐标为时,,所以.‎ 由对称性,,‎ 所以,得 将点代入椭圆方程 中,解得, ‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎(2)当直线的斜率不存在时,,‎ 此时. ‎ 当直线的斜率存在时,设直线的方程为.‎ 由消去整理得:. 显然,‎ 设,则 ‎ 故 .‎ 因为,所以,‎ 所以点到直线的距离即为点到直线的距离,‎ 所以 ‎,‎ 因为,所以,所以.综上,.‎ ‎21.(1);(2).‎ 设x>0时,结合函数的奇偶性得到: ‎ (1) 当x>0时,有,‎ ‎;‎ 所以在(0,1)上单调递增,在上单调递减,函数在处取得唯一的极值.由题意,且,解得所求实数的取值范围为 ‎ ‎(2)当时,‎ 令,由题意,在上恒成立 ‎ 令,则,当且仅当时取等号. ‎ 所以在上单调递增,‎ 因此, 在上单调递增,. ‎ 所以.所求实数的取值范围为 ‎22.(1)点 ;(2)‎ 试题解析:(1)点的直角坐标为;‎ 由得①‎ 将,,代入①,‎ 可得曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)直线 的直角坐标方程为,‎ 设点的直角坐标为,则,‎ 那么到直线的距离:‎ ‎ ,‎ ‎(当且仅当时取等号),‎ 所以到直线的距离的最小值为.‎ ‎23.(1) .‎ ‎(2) .‎ 详解:(1)显然,当时,解集为,,无解;‎ 当时,解集为,,,‎ 综上所述. ‎ ‎(2)当时,令 由此可知在上单调递减,在上单调递增,当时,取到最小值-2,由题意知,,. ‎
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