数学（理）卷·2018届四川省成都经济技术开发区实验中学高三上学期第三次月考（11月）（2017

数学（理）卷·2018届四川省成都经济技术开发区实验中学高三上学期第三次月考（11月）（2017

成都经开区实验中学 2015 级高三上学期 11 月月考试题 数学（理工类） （考试用时：120 分 全卷满分：150 分 ） 注意事项： 1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴 在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写 在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后，请将答题卡上交； 第Ι卷（选择题部分，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1.若 },13|{},2|||{  xRxBxRxA 则 BA  =（ ） A． (-2，2) B． (-2，-1) C． (-2，0) D．(0，2) 2.已知集合 2{ | 1}M x x  ＜ ， { | 1}N y y x   ，则 ( )RC M N  （ ） A.(0,2] B.[0,2] C. D.[1,2] 3．复数 1 1 i i   （i 是虚数单位）的虚部为（ ） A． i B． 2i C． -1 D．-2 4. 已知曲线 f（x）=ex﹣ 与直线 y=kx 有且仅有一个公共点，则实数 k 的最大值是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 5. 已知 1 21, , , 9a a  成等差数列， 1 2 39, , , , 1b b b  成等比数列，则  2 2 1b a a 的值为（ ） A. 8 B. 8 C. 8 D. 9 8  6.如图所示程序框图输出的结果是 720S  ，则判断框内应填的条件是（ ） A ． 7i  B ． 7i  C ． 9i  D ． 9i  7．数列{an}，满足对任意的 n∈N+，均有 an+an+1+an+2 为定值．若 a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an} 的前 100 项的和 S100=（ ） A．132 B．299 C．68 D．99 8．函数 y＝lg|x| x 的图象大致是 ( ) 9.甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均成绩 x 89 89 86 85 方差 s2 2.1 3.5 2.1 5.6 从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 10.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( ) A.8 cm3 B.12 cm3 C.32 3 cm3 D.40 3 cm3 11．下列结论正确的是（ ） A．命题“若 2 1x ，则 1x ”的否命题为：“若 2 1x ，则 1x ” B．已知  y f x 是 R 上的可导函数，则“   0 f x ”是“ 0x 是函数  y f x 的极值 点”的必要不充分条件 C．命题“存在 x R ，使得 2 1 0  x x ”的否定是：“对任意 x R ，均有 2 1 0  x x ” D．命题“角 的终边在第一象限角，则 是锐角”的逆否命题为真命题 12．已知椭圆 2 2 2 2 1 1 1 x y a b （ 1 1 0 a b ）的离心率为 2 2 ，双曲线 2 2 2 2 2 2 1 x y a b （ 2 0a ， 2 0b ）与椭圆有相同的焦点 1F ， 2F ， M 是两曲线的一个公共点，若 1 2 60  F MF ， 则双曲线的渐近线方程为（ ） A． 2 2  y x B．  y x C． 2 y x D． 3 y x 第Ⅱ卷（非选择题部分，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第 22～23 题为选做题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分 13．在等比数列{an}中，a3a7=8，a4+a6=6，则 a2+a8= . 14. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . 15．设变量 x，y 满足不等式组 2 4 1, 2 2 x y x y x y          ，则 z=x+y 的最小值为 ． 16.设函数 f(x)＝ax＋bx－cx，其中 c>a>0，c>b>0. 若 a，b，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论 的序号) ① x∈(－∞，1)，f(x)>0； ② x0∈R，使 ax0，bx0，cx0 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则 x0∈(1，2)，使 f(x0)＝0； ④若△ABC 为直角三角形，对于 n∈N*，f(2n)>0 恒成立． 三、解答题:（本题包括 6 小题，共 70 分。要求写出证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 12 分）已知 , ,a b c 分别为锐角 ABC 三个内角 , ,A B C 的对边，且     sin sin sina b A B c b C    （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）求 2sin 2sin2 2 CB     的取值范围. 18.（本小题满分 12 分） 已知向量 (2 cos ,sin )m a x x ， (cos , cos )n x b x ，函数 3( ) 2f x m n    ，函数 ( )f x 在 y 轴上的截距我 3 2 ，与 y 轴最近的最高点的坐标是 ( ,1)12  ． （Ⅰ）求函数 ( )f x 的解析式； （Ⅱ）将函数 ( )f x 的图象向左平移 （ 0  ）个单位，再将图象上各点的纵坐标不变， 横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 siny x 的图象，求 的最小值． 19．（本小题满分 12 分）如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PC 底面 ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形， AB AD ， ∥AB CD ， 2AB AD 2 2 CD ， 2PE BE . （Ⅰ）求证平面 EAC 平面 PBC ； （Ⅱ）若二面角  P AC E 的余弦值为 6 3 ，求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 20.某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位： 人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1) 从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1，A2，A3，A4，A5， 3 名女同学 B1，B2，B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) sinf x x ．(Ⅰ)当 0x  时，证明： 2 ' ( ) 1 2 xf x   ； (Ⅱ)若当 (0, )2x  时， ' ( )( ) ( ) f xf x axf x   恒成立，求实数 a 的取值范围． 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请 写清题号，本小题满分 10 分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x＝acos t， y＝1＋acos t(t 为参数，a>0).在以坐标 原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝4cos θ. (1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； (2)直线 C3 的极坐标方程为θ＝α0，其中α0 满足 tan α0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公共点 都在 C3 上，求 a. 23.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数  ( ) 2 1 2f x x x t t    R ． （Ⅰ）当 3t  时，解关于 x 的不等式 ( ) 1f x  ； （Ⅱ） x  R ，使 ( ) 5f x   ，求 t 的取值范围． 成都经开区实验中学 2015 级高三上学期 11 月月考试题 数学（理工类）参考答案 1—5 CBCDC 6—10 ABDAC 11—12 BA 13.9 14. 15．2 16. ①②③ 17. （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）因为    sin sin sina b A B c b C    ， 由正弦定理有     a b a b c b c    即有 2 2 2b c a bc   …………3 分 由余弦定理得 2 2 2 1cos 2 2 2 b c a bcA bc bc     ，又 A 为锐角，∴ A= 3  …………6 分 （Ⅱ）由题， 2 2sin 2sin cos cos 1 cos cos 12 2 3 CB B C B B                   sin 16 B      ………8 分 又在锐角 ABC 中，有 00 22 2 6 200 3 22 BB B BC                        ， …………10 分 所以 2 3 6 3B     ，所以 3 sin 12 6 B      ， ∴ 2sin 2sin2 2 CB     的取值范围是.        0,12 3 . ……………12 分 18.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ） 23 3( ) 2 cos sin cos2 2f x m n a x b x x       ， 由 3 3(0) 2 2 2f a   ，得 3 2a  ， 此时， 3( ) cos2 sin 22 2 bf x x x  ， 由 23( ) 14 4 bf x    ，得 1b  或 1b   ， 当 1b  时， ( ) sin(2 )3f x x   ，经检验 ( ,1)12  为最高点； 当 1b   时， 2( ) sin(2 )3f x x   ，经检验 ( ,1)12  不是最高点． 故函数的解析式为 ( ) sin(2 )3f x x   ． （Ⅱ）函数 ( )f x 的图象向左平移 个单位后得到函数 sin(2 2 )3y x    的图象，横坐 标伸长到原来的 2 倍后得到函数 sin( 2 )3y x    的图象， 所以 2 23 k   （ k Z ）， 6 k    （ k Z ）， 因为 0  ，所以 的最小值为 5 6  ． 19.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ） Q PC 平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ， AC PC ， 由条件知 2AB ， 1 AD CD ， 2 AC BC . 2 2 2 Q AC BC AB ， AC BC . 又 IBC PC C ， AC 平面 PBC . Q AC 平面 EAC ，平面 EAC 平面 PEC . （Ⅱ）取 AB 中点为 F ，连结 CF ，则 CF AB ，以C 为原点建立空间直角坐标系如图所 示， 则  0,0,0C ，  1,1,0A ，  1, 1,0B . 设  0,0,P a （ 0a ），则 2 2, ,3 3 3     aE ，  1,1,0 uur CA ，  0,0, uur CP a ， 2 2, ,3 3 3      uur aCE . 取  1, 1,0  ur m ，则   ur uur m CP   0  ur uur m CA ，  ur m 为面 PAC 的法向量. 设  , , r n x y z 为面 EAC 的法向量，则   r uur n CA 0  r uur n CE ， 0, 2 2 0       x y x y ax 令 x a ，  y a ， 4 z ， 则  , , 4   r n a a . 依题意，有 cos ,   ur r ur r ur r m n m n m n 2 2 2 2 16    a a 2 6 38    a a ，则 4a ， 于是  4, 4, 4   r n . 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ，则 sin cos ,  uur r PA n   uur r uur r PA n PA n 16 2 6 918 48    20.（本小题满分 12 分） 解:(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人， 故至少参加上述一个社团的共有 45－30＝15 人， 所以从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 P＝15 45 ＝1 3 . (2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其一切可能的结果组成的基本事件有： {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}， {A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}， {A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}， 共 15 个. 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的， 事件“A1 被选中且 B1 未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共 2 个. 因此，A1 被选中且 B1 未被选中的概率为 P＝ 2 15 . 21.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）设     2 2 ' 1 cos 12 2 x xg x f x x               ，  ' sing x x x    '' 1 cos 0g x x    'g x 在 0, 递增    ' ' 0 0g x g   ，   2 ' 1 2 xf x   成立 （Ⅱ）      ' sin tanf xf x ax x x axf x      设   sin tanh x x x ax   ，  ' 2 1cos cosh x x ax    ， 0 2x   令 cost x ，由 0 2x   有 0 1t  设  2 1t k tt   ，   3 ' 2 3 2 21 0tk t t t      k t 在 0,1 减 ，    1 2k t k   Ⅰ、 2a  时  ' 0h x   h x 在 0, 2      增    0 0h x h   成立 Ⅱ、 2a  时 2 1t at   在 0,1 仅有一根，设根为 0t 设 0cos x t 20 x   存在唯一 m 有 0cosm t 当  0,x m 时  ' 0 cos 1 0t x h x     h x 在 0,m 减    0 0h x h   这与条件矛盾，所以 2a  时不成立 综上 2a  22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 解:(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2＋(y－1)2＝a2，C1 是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆. 将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ ＋1－a2＝0. (2)曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组 ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0， ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得 16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知 tan θ＝2，可得 16cos2 θ－8sin θcos θ＝0，从而 1－a2＝0，解得 a＝－1(舍去)，a＝1. a＝1 时，极点也为 C1，C2 的公共点，在 C3 上. 所以 a＝1. 23.（本小题满分 10 分）选修 4 5 ：不等式选讲 解:（Ⅰ）原不等式可化为 3,2 2 1 2 3 1 x x x        或 1 3 2 2 2 1 2 3 1 x x x         ， 或 1 2 2 1 2 3 1. x x x         ， 3 分 解得 x 或 1 3 2 4x   或 1 2x   ．. ..............................4 分 综上，原不等式的解集是 3 4x x     .....................................5 分 （Ⅱ）解： ,x  R 使 ( ) 5f x   ，等价于 min ( ) 5f x   .........................6 分    ( ) 2 1 2 2 1 2 = 1+f x x x t x x t t        ......................7 分 1+ ( ) 1+t f x t   ， 所以 ( )f x 取得最小值 1+t ...................................8 分 1+ 5t   ， 得 4t  或 6,t    t 的取值范围是    6 4 ,   ， ..........................10 分