专题12-2 分类计数原理与分步计数原理-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点 题型全突破

专题12-2 分类计数原理与分步计数原理-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点 题型全突破

分类计数原理与分步计数原理 ‎【基础知识整合】‎ ‎1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念 一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法.‎ ‎2．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念 一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.‎ ‎3. 两个原理的区别：‎ ‎（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.‎ ‎（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.‎ ‎4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.‎ 类型一 分类计数原理的应用 ‎【典例1】　高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人.‎ ‎(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？‎ ‎(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？‎ ‎【答案】165 80‎ ‎【解析】‎ ‎(1)完成这件事有三类方法：‎ 第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；‎ 第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；‎ 第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法.‎ 根据分类计数原理，任选一名学生任学生会主席共有50＋60＋55＝165种选法.‎ ‎【思路点拨】　分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置.首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.‎ ‎【变式训练】‎ ‎ 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有________个.‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】‎ 由题意知，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A＝72个；若万位是4，则有2×A＝48个，故比40000大的偶数共有72＋48＝120个.‎ 类型二　分步计数原理的应用 ‎【典例2】　(1)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种.‎ ‎(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法.‎ ‎【答案】　(1)12　(2)120‎ ‎【引申探究】‎ ‎1.本例(2)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？‎ 解　每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729种.‎ ‎2.本例(2)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？‎ 解　每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216种.‎ ‎【变式训练】‎ ‎(1)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花________元.‎ ‎(2)用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为________.‎ ‎【答案】　(1)8640　(2)100‎ 类型三　两个计数原理的综合应用 ‎【典例3】‎ 如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种.‎ ‎【答案】　30‎ ‎【解析】‎ 由题意知本题需要分类来解答，‎ 首先A选取一种颜色，有3种情况.‎ 如果A的两个相邻点颜色相同，有2种情况；‎ 这时最后两个点也有2种情况；‎ 如果A的两个相邻点颜色不同，有2种情况；‎ 这时最后两个点有3种情况.‎ 所以方法共有3×(2×2＋2×3)＝30种.‎ ‎【典例4】‎ ‎(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有________种. ‎ ‎(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种. ‎ ‎【答案】　64　　7‎ ‎【解析】‎ ‎【思路点拨】‎ ‎ 解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算.解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)注意一封信只能投在一个信箱中； ‎ ‎ 在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.‎ ‎【一题多解】‎ ‎　 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数.‎ ‎【解法一】　可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步计数原理即可得出结论.由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法.‎ 当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有3＋2＋2＝7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420种.‎ ‎【解法二】　以S、A、B、C、D顺序分步染色.‎ 第一步，S点染色，有5种方法；‎ 第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；‎ 第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；‎ 第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步、分类计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420种.‎ ‎【解法三】　按所用颜色种数分类.‎ 第一类，5种颜色全用，共有A种不同的方法；‎ 第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A种不同的方法；‎ 第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A种不同的方法.‎ 由分类计数原理，得不同的染色方法种数为 A＋2×A＋A35＝420.‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎1. 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．‎ ‎2.利用分类计数原理解决问题时： ‎ ‎(1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．‎ ‎(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：‎ ‎①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；‎ ‎②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；‎ ③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．‎ ‎ 3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：‎ ‎(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．‎ ‎(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．‎ ‎(3)对完成各步的方法数要准确确定．‎ ‎4. 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．‎ ‎(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．‎ ‎(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．‎ ‎(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．‎ ‎(4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．‎ ‎5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．‎ ‎(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．‎ ‎(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．‎ ‎6. 分类加法计数原理的两个条件：‎ ‎(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；‎ ‎(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．‎ ‎7.分步乘法计数原理的两个条件：‎ ‎(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．‎ ‎(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．‎ ‎8. 涂色问题：‎ ‎（1）涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.‎ ‎（2）涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.‎ ‎（3）涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．‎