【数学】江西省南昌市第二中学2020届高三下学期校测（三）试题（文）

【数学】江西省南昌市第二中学2020届高三下学期校测（三）试题（文）

江西省南昌市第二中学2020届高三下学期校测（三）‎ 数学试题（文）‎ 第I卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则集合可以是 （ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 若复数的其共轭复数满足，则复数为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．某产品的宣传费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表所示：‎ 宣传费用（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额（万元）‎ ‎45‎ ‎24‎ ‎50‎ 根据上表可得回归方程则宣传费用为3万元时，对应的销售额为（ ）‎ A.36.5 B.30 C.33 D.27‎ ‎4．设，，则（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎5.已知点在表示的平面区域内，则的 最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子口诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值．按此口诀的算法如图，则输出n的结果为（　　）‎ A．263 ‎ B．158 ‎ C．54 ‎ D．53‎ ‎7.定义在R上的函数满足对任意的都有.设 ‎，若，则（　　）‎ A．-2020 B．2020 C．0 D．1010‎ ‎8. 已知的外接圆直径为1，D是BC 的中点，且，则 ‎（　　）‎ A．20 B． C．10 D．‎ ‎9. 函数y＝sinx+ln|x|在区间[﹣3，3]的图象大致为（　　）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎10. 已知数列为等差数列, 是其前项和, .数列的前 项和为,若对一切都有恒成立,则能取到的最小整数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知双曲线C: 的离心率为，过点的直线l与双曲线C交于不同 的两点A、B,且为钝角（其中O为坐标原点），则直线l斜率的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12.已知函数，若不等式对于任意的非负实数都 成立，求实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 若向量，，则 ．‎ ‎14. 我市 VR大会展厅前广场改造,在人行道（斑马线）两侧划分5块区域(如图)，现有四种不同颜色的花卉,要求每块区域随机种植一种颜色的花卉,且相邻区域（有公共边的区域）所选花卉颜色不能相同,则不同的摆放方式共有 种.‎ ‎15. 三棱柱ABC—A1B1C1的各顶点都在同一球面上，且球的表面积等于20π．若AB＝AC=2，‎ ‎∠BAC＝120°，则此棱柱高为________．‎ ‎16.已知椭圆的焦点为,若在长轴上任取一点M，过点M作 垂直于的直线交椭圆于点P,若使得的点M的概率为，则m的值为 ‎________．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题：共60分.‎ ‎17. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，点在函数的图像上，数列满足,‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ ‎18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD， E是PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：直线平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）若点M为PC 的中点，,求点D到平面MAB的距离．‎ ‎19. （本小题满分12分）某校为了解学生在新冠病毒疫情期间学生自制力，学校随机抽取80位学生，请他们家长（每位学生请一位家长）对学生打分，满分为10分.下表是家长所打分数的频数统计.‎ 分数 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎4‎ ‎8‎ ‎20‎ ‎24‎ ‎16‎ ‎8‎ ‎（Ⅰ）求家长所打分数的平均值；‎ ‎（Ⅱ）若分数不小于8分为“自制力强”,否则为“自制力一般”,在抽取的80位学生中，男同学共42人，其中打分为“自制力强”的男同学为18人，是否有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关？‎ ‎（III）在评分为10分的学生中有7名女同学，小雯同学也在其中，学校团委随机抽选这七名女同学中的两名同学座谈，则小雯同学被选中的概率是多少？‎ 附：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎20. （本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点（点，与点不重合），设直线的斜率分别为，．‎ ‎（Ⅰ）求该抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎21. （本小题满分12分）设函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：方程有唯一解. ‎ ‎ (二)选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的直角坐标方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标系方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）判断：直线与曲线是否相交？若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由.‎ ‎ ‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23. （本小题满分10分）已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）当时，若的图像与轴围成的三角形面积等于6，求的值.‎ ‎【参考答案】‎ ‎1-12 C A D A D D A C A B A C ‎13. 4 14. 288 15. 2 16. ‎ ‎11. 【解析】由题意得，双曲线C: ，‎ 设直线l：，与双曲线C联立得：，‎ 设点，则 ‎，又因为为钝角，‎ 所以，‎ 即得出，所以直线l的斜率，‎ 即直线l斜率的取值范围是，所以选C.‎ ‎12. 【解析】不等式对于任意的非负实数都成立，‎ 即对于任意的非负实数都成立，‎ 令，因为，‎ 所以在上递减，所以，所以问题转化为 恒成立，令则，所以在上递增，在上递减.‎ 所以所以.‎ ‎13.【解析】‎ ‎14．【解析】根据乘法计数原理得（种）.‎ ‎15. 【解析】设球的半径为R，∴S球＝4πR2＝20π. 则R＝＝ 在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝4＋4－2×2×2×＝12，‎ ‎∴BC＝2.由正弦定理知△ABC的外接圆半径r满足＝2r，‎ ‎∴r＝2.由题意知球心到平面ABC的距离为，∴此棱柱高2‎ ‎16．【解析】联立，，当时，解得，‎ 故只要，。当时解得 .解得 ‎17. 解：（1）；‎ ‎（2），，‎ 是以为首项，以为公比的等比数列，，‎ 所以，所以.‎ ‎18.（1）证明：取的中点，连结，．‎ 因为是的中点，所以∥，，‎ 由得∥，‎ 又，所以，四边形是平行四边形，∥．‎ 又平面，平面，故平面． ‎ ‎(2)‎ ‎19. 解：（1）‎ ‎（2）列联表如下：‎ 男生 女生 合计 自制力强 ‎18‎ ‎30‎ ‎48‎ 自制力一般 ‎24‎ ‎8‎ ‎32‎ 合计 ‎42‎ ‎38‎ ‎80‎ 则，故有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关．‎ ‎（3）总共基本事件为21种，有小雯同学的选法为6种，故 ‎20. 解：（1）由抛物线的定义，得，∴．‎ ‎∴该抛物线的方程为．‎ ‎（2）由（1）可知，点的坐标为．‎ 当直线斜率不存在时，设，，且，‎ 则 ‎∴，∴，此时，两点重合，舍去．‎ 当直线斜率存在时，设直线的方程为．‎ 设，．‎ 联立直线与抛物线的方程，得整理，得，‎ ‎∴，．‎ 又，‎ 整理，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，解得或．‎ 当时，直线为，此时直线恒过定点．‎ 当时，直线为，此时直线恒过定点（与点重合，舍去）．‎ ‎∴直线l恒过定点 ‎21. 解：（1）当时，，所以，‎ 即，‎ 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）令，，‎ ‎①当时，，当且仅当时取等号，所以为减函数.‎ 因为，，所以在内有唯一零点；‎ ‎②当时，当或时，；当时，，‎ 所以在和上单调递减，在上单调递增.‎ 因为，，‎ 所以在内有唯一零点；‎ ‎③当时，当或时，；当时，，‎ 所以在和上单调递减，在上单调递增.‎ 因为，，‎ 所以在内有唯一零点.‎ 综上可得方程有唯一零点.‎ ‎22. 解：（1）将改称为，‎ 化为极坐标方程为；‎ ‎（2）将代入得，，‎ 以为，‎ 所以方程有2个不同的根，，‎ 所以直线与曲线相交，公共弦的长为.‎ ‎23. 解：(1)当时，‎ 令，解得，即解集为：‎ ‎(2)当，可得，‎ 的图像与轴围城的三角形面积等于6‎