专题9-6 双曲线（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

专题9-6 双曲线（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第九章 解析几何 第六节 双曲线 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 双曲线 ‎(1)了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系.‎ ‎（2）了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法.‎ ‎（3）理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.了解圆锥曲线的简单应用.‎ ‎2013•浙江理9; ‎ ‎2014•浙江文17；理16;‎ ‎2015•浙江理9;‎ ‎2016•浙江文13；理7.‎ ‎1.考查双曲线的定义，与双曲线的焦点三角形结合；‎ ‎2.考查双曲线的标准方程，结合双曲线的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；‎ ‎3.考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率问题；‎ ‎4.考查双曲线、椭圆或抛物线的综合问题.‎ ‎5.备考重点：‎ ‎ (1)掌握双曲线的定义、标准方程、几何性质，关注双曲线的“特征三角形”；‎ ‎（2）熟练运用方程思想及待定系数法；‎ ‎（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1. 双曲线的定义及标准方程 ‎1．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 ‎(1)在平面内；‎ ‎(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；‎ ‎(3)这一定值一定要小于两定点的距离．‎ ‎2．双曲线的标准方程 标准方程 －＝1(a>0，b>0)‎ －＝1(a>0，b>0)‎ 图形 对点练习：‎ ‎【2017天津，文5】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】 ‎ ‎2. 双曲线的几何性质 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0)‎ －＝1(a>0，b>0)‎ 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A‎1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A‎1A2|＝‎2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．‎ a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)‎ 对点练习：‎ ‎【2017课标II，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【考点深度剖析】‎ 纵观近几年的高考试题，高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.‎ 命题以小题为主，多为选择题或填空题，近几年无解答题.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 双曲线的定义及标准方程 ‎【1-1】【2017课标3，理5】已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线C： (a＞0,b＞0)的渐近线方程为 ，‎ 椭圆中： ，椭圆，即双曲线的焦点为 ，‎ 据此可得双曲线中的方程组： ，解得： ，‎ 则双曲线 的方程为 .‎ ‎【1-2】【2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】已知双曲线的两个焦点分别为，，点是双曲线上一点，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【综合点评】‎ ‎1.双曲线的轨迹类型是；2．双曲线标准方程的求解方法是”待定系数法”，“先定型，后计算”．‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.待定系数法求双曲线方程的常用方法 ‎(1)与双曲线－＝1共渐近线的可设为－＝λ(λ≠0)；‎ ‎(2)若渐近线方程为y＝±x，则可设为－＝λ(λ≠0)；‎ ‎(3)若过两个已知点则设为＋＝1(mn<0)．‎ ‎ 2．应用双曲线的定义需注意的问题：‎ 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．‎ ‎3．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a、b、c的关系易错易混．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2018届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分别为，则的值为（ ）‎ A. 26 B. C. 52 D. ‎ ‎【答案】D ‎【变式二】已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于___________．‎ ‎【答案】48‎ ‎【解析】‎ 由题意得，所以，根据双曲线的定义得，是等腰三角形，边上的高为，所以的面积等于．‎ ‎【综合点评】‎ ‎1、在焦点三角形中，注意双曲线的定义和正弦定理、余弦定理交汇解题；2、求双曲线方程需要两个独立条件．‎ 考点2 双曲线的简单几何性质 ‎【2-1】【2017北京，文10】若双曲线的离心率为，则实数m=__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】 ，所以 ，解得 .‎ ‎【2-2】【2018届广东省阳春市第一中学高三上第二次月考】若圆关于直线对称，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆的半径为：，满足题意时，直线过圆心，即，‎ 双曲线的离心率为：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【2-3】【2017江苏，8】 在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是 .‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎【综合点评】‎ ‎1．已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分m＝或m＝讨论，求离心率值，需要寻求的等式，求离心率取值范围，需寻求关于的不等式关系，并结合求．‎ ‎2．注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．‎ 若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，)；‎ 若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝；‎ 若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞.‎ ‎2．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.‎ ‎3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．‎ ‎4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b ‎5．渐近线与离心率 －＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝ ＝ ＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】【2017新课标1，文5】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【变式2】【2017届浙江温州市高三8月模拟】双曲线的离心率是__________，渐近线方程是___________．‎ ‎【答案】2，‎ ‎【解析】双曲线中，，所以离心率为，渐近线方程为，即．‎ ‎【综合点评】‎ ‎1、充分利用条件列关于的等式或不等式，可得离心率的取值或取值范围；2、双曲线的渐近线是与之间的比值关系，再结合，可得的关系，及离心率的关系，从这点而言，渐近线方程和离心率是有联系的．‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程．‎ 易错分析：忽视双曲线定义．‎ 温馨提示：双曲线的轨迹类型是．‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.‎ 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三 点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.‎ ‎【典例】【2017届浙江省名校协作体高三下学期考试】设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率的值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎