2017-2018学年河北省邢台市第一中学高二上学期第一次月考数学（文）试题

2017-2018学年河北省邢台市第一中学高二上学期第一次月考数学（文）试题

邢台一中 2017-2018 学年上学期第一次月考 高二年级文科数学试题 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.一个圆锥的表面积为 ，它的侧面展开图是圆心角为120 的扇形，则该圆锥的高为 （ ） A． 1 B． 2 C．2 D． 2 2 2.已知水平放置的 ABC 的直观图 ' ' 'ABC （斜二测画法）是边长为 2a 的正三角形，则 原 ABC 的面积为（ ） A． 22a B． 23 2 a C． 26 2 a D． 26a 3.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，与对角线 1BD 异面的棱有（ ）条 A．3 B．4 C． 6 D． 8 4.如图，在下列四个正方体中， ,A B 为正方体的两个顶点， , ,M N Q 为所在棱的中点，则 在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是（ ） A． B． C. D． 5.已知圆心 (2, 3) ，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ） A． 2 2 4 6 8 0x y x y     B． 2 2 4 6 0x y x y    C. 2 2 4 6 0x y x y    D． 2 2 4 6 8 0x y x y     6.已知 ,m n 是不同的直线， , ,   是不同的平面，命题：（1）若 / /m  ， / /n  ，则 / /m n ； （2）若 / /m  ， / /m  ，则 / /  ；（3）若 m  ， n  ，则 / /m n ；（4）若 m  ， m  ，则 / /  ；（5）若  ，  ，则 / /  ，错误命题的个数是（ ） A． 1 B．2 C. 3 D．4 7.给出下列命题，其中正确的命题为（ ） A．若直线 a 和b 共面，直线b 和 c 共面，则 a 和 c 共面 B．直线 a 与平面 不垂直，则 a 与平面 内的所有的直线都不垂直 C. 直线 a 与平面 不平行，则 a 与平面 内的所有的直线都不平行 D．异面直线 ,a b 不垂直，则过 a 的任何平面与b 都不垂直 8.在空间四边形 ABCD 中，AB CD ，且异面直线 AB 与 CD 所成的角为 60 ， ,E F 分别 为边 BC 与 AD 的中点，则异面直线 EF 和 AB 所成的角为（ ） A．30 B． 45 C. 60 D．30 或 60 9.图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：① BM 与 DE 平行；②CN 与 BE 是异面直 线；③CN 与 BM 成 60 角；④ DM 与 BN 垂直；以上四个命题中，正确的是（ ） A．①②③ B．②④ C. ②③④ D．③④ 10.正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 棱长为 4， , ,M N P 分别是棱 1 1 1 1 1, ,A D A A D C 的中点，则过 , ,M N P 三点的平面截正方体所得截面的面积为（ ） A． 2 3 B． 4 3 C. 6 3 D．12 3 11.已知三棱锥 A BCD 中， 2AB CD  ， 3AC BC AD BD    ，且各顶点均 在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A． 4 3  B． 4 C. 2 D． 32 3  12.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，M 为 1BB 的中点，则直线 MC 与平面 1ACD 所成角的 正弦值为（ ） A． 5 5 B． 10 5 C. 15 5 D． 3 5 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.点 ,A B 到平面 距离分别为 12,20，若斜线 AB 与 成30 的角，则 AB 的长等 于 ． 14.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 ． 15.如图，正四面体 P ABC 中， ,D E 分别是 AB 及 PC 的中点，则直线 AE 与 PD 所成 的角的余弦值为 ． 16.如图，在正四棱锥 S ABCD 中， , ,E M N 分别是 , ,BC CD SC 的中点，动点 P 的线段 MN 上运动时，下列四个结论： ① EP AC ；② / /EP BD ；③ / /EP 平面 SBD ；④ EP  平面 SAC 恒成立的是 ．（把正确的序号都填上） 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. 如图，在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3 的圆柱，求圆柱的表面 积. 18. 圆过点 (1, 2)A  ， ( 1,4)B  . 求：（1）周长最小的圆的方程； （2）圆心在直线 2 4 0x y   上的圆的方程. 19. 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，E 为 AC 与 BD 的交点，PA  平面 ABCD ， M 为 PA 中点， N 为 BC 中点. （1）证明：直线 / /MN 平面 PCD ； （2）若点Q 为 PC 中点， 120BAD   ， 3PA  ， 1AB  ，求三棱锥 A QCD 的体 积. 20. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，点 E 是棱 PC 的中点，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F . （1）求证： / /AB EF ； （2）若 PA AD ，且平面 PAD 平面 ABCD ，试证明： AF  平面 PCD . 21. 如图，在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 2AB AA  ，M 为 AB 的中点， N 为 1AA 的 中点， 1BC 与 1CB 的交点为O . （1）求证： 1 1CB NC ； （2）求直线CM 与平面 1BNC 所成角的正弦值. 22.如图，四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1AA  底面 ABCD ，底面 ABCD 是梯形， / /AB DC ， 90BAD   ， 1 12AB AD CD   . （1）求证：平面 1BCC  平面 1BDC ； （2）在线段 1 1C D 上是否存在一点 P ，使 / /AP 平面 1BDC ，若存在，请确定点 P 的位置； 若不存在，请说明理由. 试卷答案 1-5 BDCAB 6-10 CDDDD 11-12 AC 13.16 或 64 14. 2 2 15. 2 3 16.①③ 17.解:设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S.则 R＝OC＝2，AC＝4，AO ＝ 42－22＝2 3. 如图所示易知△AEB∽△AOC，∴AE AO ＝EB OC ，即 3 2 3 ＝r 2 ，∴r＝1。 S 底＝2πr2＝2π，S 侧＝2πr·h＝2 3π. ∴S＝S 底＋S 侧＝2π＋2 3π＝(2＋2 3)π. 18.解:(1)当 AB 为直径时，过 A、B 的圆的半径最小，从而周长最小．即 AB 中点(0,1)为圆 心，半径 r＝1 2 |AB|＝ 10.则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10. (2)解法 1：AB 的斜率为 k＝－3，则 AB 的垂直平分线的方程是 y－1＝1 3 x.即 x－3y＋3＝0 由 x－3y＋3＝0， 2x－y－4＝0. 得 x＝3， y＝2. 即圆心坐标是 C(3,2)． r＝|AC|＝ 2 2(1 3) ( 2 2)    ＝2 5.∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 解法 2：待定系数法 设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则 2 2 2 2 2 2 (1 ) ( 2 ) ( 1 ) (4 ) 2 4 0 a b r a b r a b                 ⇒ a＝3， b＝2， r2＝20. ∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20. 19.解:（1）证明：取 中点 ，连结 ， ， ∵ / /MR AD ， / /NC AD ， ，∴ / /MR NC ， ， ∴四边形 为平行四边形，∴ / /MN RC ，又∵ 平面 ，平面 ， ∴ / /MN 平面 ． （2）由已知条件得 ，所以 ， 所以 1 1 1 3 2 8A QCD Q ACD ACDV V S PA       20. 解：（1）∵底面 ABCD 是正方形，∴ / /AB CD ， 又∵ AB  平面 PCD， CD  平面 PCD，∴ / /AB 平面 PCD，又∵ A ， B ， E ， F 四点共面，且平面 ABEF  平面 PCD EF ，∴ / /AB EF . （2）在正方形 ABCD 中， CD AD ，又∵平面 PAD  平面 ABCD ，且平面 PAD  平 面 ABCD AD ，∴CD  平面 PAD ，又∵ AF  平面 PAD ，∴CD AF ， 由（1）可知 / /AB EF ，又∵ / /AB CD ，∴ / /CD EF ，由点 E 是棱 PC 中点，∴点 F 是 棱 PD 中点，在 PAD 中，∵ PA AD ，∴ AF PD ，又∵ PD CD D  ，∴ AF  平 面 PCD. 21． （ 1 ） 连 接 1, ,NO NC NB ； 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 5NC NB NO CB CB BNC CB NCO CB BB C C BC CB              平面为 中点 为正方形 （2）延长 CA， 1C N 交于 Q，连接 BQ，延长 CM 交 BQ 于 P，连接 OP. 1 1 / / 21 2 NA CC QA AC NA CC      , 2,AB QB BC   1 1 1 1 1 1 1 QB BC QB B BCC QB B CBB QB OC QBC B C BC            平面 平面 . OPC 为直线 CM 与平面 1BNC 所成角的平面角 , , 26 2BCP PBC BC      ， 2 3 4 3cos ,6 2 3PCPC      . 2 6sin 44 3 3 OPC    所以，直线 CM 与平面 1BNC 所成角的正弦值为 6 4 . （（3）思路二：取 1 1A B 中点为 H，连接 1 ,C H 则 1 1/ / ,C H CM C H 与平面 1BNC 所成角等 于直线 CM 与平面 1BNC 所成角，可等体积法求得 H 到平面 1BNC 的距离 h ，然后求线面角 的正弦值 1 h C H ) 22. 解析：（1）因为 1AA  底面 ABCD ，所以 1CC  底面 ABCD ，因为 BD  底面 ABCD ， 所 以 1 .CC BD 因 为 底 面 ABCD 是 梯 形 ， / /AB DC ， 90BAD   ， 1 .2AB AD CD  因为 1AB  ，所以 1AD  ， 2.CD  所以 2BD  ， 2.BC  所以在 BCD 中， 2 2 2.BD BC CD  所以 90 .CBD   所以 .BD BC 又因为 1 .CC BD 所以 BD  平面 1.BCC 因为 BD  平面 1BDC ，所以平面 1BCC  平面 1.BDC （2）存在点 P 是 1 1C D 的中点，使 / /AP 平面 1BDC . 证明如下：取线段 1 1C D 的中点为点 P ，连结 AP ,所以 1 / /C P CD ，且 1 1 .2C P CD 因为 / /AB DC ， 1 .2AB CD 所以 1 / /C P AB ，且 1 .C P AB 所以四边形 1ABC P 是平行四边 形.所以 1/ / .AP BC 又因为 1BC  平面 1BDC ， AP  平面 1BDC ，所以 / /AP 平面 1.BDC