【数学】2021届一轮复习人教A版三个正数的算术_几何平均不等式课时作业

【数学】2021届一轮复习人教A版三个正数的算术_几何平均不等式课时作业

第3课时 三个正数的算术—几何平均不等式 A．基础巩固 ‎1．若a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为(　　)‎ A．9 B．8 ‎ C．3 D． ‎【答案】A　【解析】∵a，b，c∈R＋，∴(a＋b＋c)·≥3·3＝9，当且仅当a＝b＝c＝时＋＋取得最小值，且最小值为9.故选A．‎ ‎2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．V≥π B．V≥π ‎ C．V≤π D．V≤π ‎【答案】C　【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则4r＋2h＝6，即2r＋h＝3，V＝πr2h≤π·3＝π.故选C．‎ ‎3．已知x，y，z均为正数，＋＋＝1，则＋＋的最小值是(　　)‎ A．1　 B．3　 ‎ C．3　 D．3 ‎【答案】A　【解析】∵x，y，z均为正数，＋＋＝1，∴＝1(x，y，z均为正数)．∵＋＋＝＝≥＝1，当且仅当x＝y＝z＝3时等号成立．故选A．‎ ‎4．设0＜x＜，则y＝x2(1－2x)的最大值为(　　)‎ A．1 B． ‎ C． D． ‎【答案】C　【解析】∵0＜x＜，∴y＝x2(1－2x)＝x·x(1－2x)≤3＝ ‎，当且仅当x＝x＝1－2x，即x＝时取得最大值.‎ ‎5．函数y＝3x＋(x＞0)的最小值为(　　)‎ A．6 B．3 ‎ C．9 D．15‎ ‎【答案】C　【解析】∵x＞0，∴y＝3x＋＝＋＋≥3·＝9.当且仅当＝＝即x＝2时，y＝3x＋(x＞0)的最小值为9.‎ ‎6．已知a，b，c都是正数且a＋2b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．‎ ‎【答案】6＋4　【解析】∵a，b，c都是正数且a＋2b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋2b＋c)＝4＋＋＋＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝6＋4，当且仅当a＝c＝b时等号成立．∴＋＋的最小值为6＋4.‎ ‎7．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R且为常数)和g(x)＝2x＋的定义域均为，如果当自变量取同一值时，函数f(x)与g(x)有相同的最小值，则函数f(x)在上的最大值为__________．‎ ‎【答案】4　【解析】g(x)＝2x＋＝x＋x＋≥3，当且仅当x＝，即x＝1时g(x)取得最小值3.由已知当x＝1时，f(x)有最小值3，所以－＝1，且1＋b＋c＝3.解得b＝－2，c＝4，故f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，又(2－1)2＞2，从而f(x)的最大值为f(2)＝4.‎ B．能力提升 ‎8．已知a，b，c为正实数，求证：‎ ‎(1)≥9；‎ ‎(2)(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.‎ ‎【证明】(1)因为a，b，c∈R＋，‎ 所以＋＋≥3＝3，‎ ＋＋≥3＝3.‎ 故≥9，当且仅当a＝b＝c时等号成立．‎ ‎(2)因为a，b，c∈R＋，‎ 所以a＋b＋c≥3，a2＋b2＋c2≥3.‎ 所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥3·3＝9abc.‎ 故(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.‎