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文档介绍
数学文卷·2017届四川省成都市高三第三次诊断检测(2017
成都市2014级高中毕业班第三次诊断性检测 数学(文科) 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合,,则( ) A. B. C. D. 2.已知复数.若在复平面内对应的点分别为,线段的中点对应的复数为,则( ) A. B.5 C. D. 3.在等比数列中,,公比.若,则( ) A.11 B.10 C.9 D.8 4.是表示空气质量的指数,指数值越小,表明空气质量越好,当指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据,图中点表示4月1日的指数值为201,则下列叙述不正确的是( ) A.这12天中有6天空气质量为“优良” B.这12天中空气质量最好的是4月9日 C.这12天的指数值的中位数是90 D.从4日到9日,空气质量越来越好 5.已知平面向量,,向量与垂直,则实数的值为( ) A. B. C. D. 6.已知双曲线,直线.若直线平行于双曲线的一条渐近线且经过的一个顶点,则双曲线的焦点到渐近线的距离为( ) A.1 B.2 C. D.4 7.高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1.执行图2所示的程序框图,若输入的分别为这15名学生的考试成绩,则输出的结果为( ) A.6 B.7 C. 8 D.9 8.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在鳖臑中,平面,且,则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 9.已知抛物线的焦点为,点.若线段与抛物线相交于点,则 ( ) A. B. C. D. 10.已知函数.给出下列命题:①函数的值域为;②为函数的一条对称轴;③为奇函数;④,对恒成立.其中的真命题有( ) A.①② B.③④ C. ②③ D.①④ 11.如图,某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为( ) A. B. C. D. 12.在递减等差数列 中,.若,则数列的前项和的最大值为 ( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若,则的值为 . 14.若变量满足约束条件,则的最小值为 . 15.已知函数,其中.若曲线在点处的切线方程为,则 . 16.如图,将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状,下底是半圆的直径,上底的端点在半圆上,则所得梯形的周长的最大值为 . 三、解答题 :本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.的内角的对边分别为,已知. (Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若,求的长. 18.如图,在多面体中,底面是边长为2的菱形,,四边形是矩形,平面平面,,为线段的中点. (Ⅰ)求三棱锥的体积; (Ⅱ)求证:. 19.几个月前,成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车,这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题.然而,这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题,比如乱停乱放,或将共享单车占为“私有”等. 为此,某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人,他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表: 年龄 受访人数 5 6 15 9 10 5 支持发展 共享单车人数 4 5 12 9 7 3 (Ⅰ)由以上统计数据填写下面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系; 年龄低于35岁 年龄不低于35岁 合计 支持 不支持 合计 (Ⅱ)若对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查,求恰好这两人都支持发展共享单车的概率. 参考数据: 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式:,其中. 20.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若直线与椭圆相交于两点,求面积的最大值. 21.已知函数. (Ⅰ)若关于的不等式在上恒成立,求的取值范围; (Ⅱ)设函数,在(Ⅰ)的条件下,试判断在上是否存在极值.若存在,判断极值的正负;若不存在,请说明理由. 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为,在以极点为直角坐标原点,极轴为轴的正半轴建立的平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数). (Ⅰ)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程; (Ⅱ)在平面直角坐标系中,设曲线经过伸缩变换得到曲线,若为曲线上任意一点,求点到直线的最小距离. 23.选修4-5:不等式选讲 已知. (Ⅰ)当时,求不等式的解集; (Ⅱ)若函数的值域为,且,求的取值范围. 试卷答案 一、选择题 1-5:CABCD 6-10:BDAAD 11、12:CD 二、填空题 13.1 14.-3 15.-1 16.10 三、解答题 17.解:(Ⅰ)由已知及正弦定理,得. ∵,∴. 化简,得. ∵,∴. ∵,∴. (Ⅱ)由余弦定理,得. 已知,∴,即. 解得或(不合题意,舍去). ∴的长为3. 18.解:(Ⅰ)如图,记. ∵底面是边长为2的菱形,, ∴,且,. ∵四边形是矩形,平面平面, ∴平面. ∵,为线段的中点, ∴. ∴. (Ⅱ)由(Ⅰ),可知平面. ∴. 则在正方形中,,. ∴. ∴. ∵,且平面, ∴平面. 19.解:(Ⅰ)根据所给数据得到如下列联表: 年龄低于35岁 年龄不低于35岁 合计 支持 30 10 40 不支持 5 5 10 合计 35 15 50 根据列联表中的数据,得到的观测值为 . ∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系. (Ⅱ)“对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持发展共享单车”记为事件, 对年龄在的5个受访人中,有4人支持,1人不支持发展共享单车,分别记为.则从这5人中随机抽取2人的基本事件为: , , , .共10个. 其中,恰好抽取的两人都支持发展共享单车的基本事件包含.共6个. ∴. ∴对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持发展共享单车的概率是. 20.解:(Ⅰ)由已知,设椭圆的方程为. ∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形, ∴. 又,∴. 由,得. ∴椭圆的标准方程为. (Ⅱ)设. 联立消去,得. 此时有. 由一元二次方程根与系数的关系,得 ,. ∴. ∵原点到直线的距离, ∴. 由,得.又,∴据基本不等式,得 . 当且仅当时,不等式取等号. ∴面积的最大值为. 21.解:(Ⅰ)由,得. 即在上恒成立. 设函数,. 则. ∵,∴. ∴当时,. ∴在上单调递减. ∴当时,. ∴,即的取值范围是. (Ⅱ),. ∴. 设,则. 由,得. 当时,;当时,. ∴在上单调递增,在上单调递减. 且,,. 据(Ⅰ),可知. (ⅰ)当,即时,即. ∴在上单调递减. ∴当时,在上不存在极值. (ⅱ)当,即时, 则必定,使得,且. 当变化时,,,的变化情况如下表: - 0 + 0 - - 0 + 0 - ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴当时,在上的极值为,且. ∵. 设,其中,. ∵,∴在上单调递增,,当且仅当时取等号. ∵,∴. ∴当时,在上的极值. 综上所述:当时,在上不存在极值;当时,在 上存在极值,且极值均为正. 注:也可由,得.令后再研究在上的极值问题. 22.解:(Ⅰ)由消去参数,得. 即直线的普通方程为. ∵,, ∴. 即曲线的直角坐标方程为. (Ⅱ)由,得. 代入方程,得. 已知为曲线上任意一点,故可设,其中为参数. 则点到直线的距离 ,其中. ∴点到直线的最小距离为. 23.解:(Ⅰ)当时,不等式即为. 当时,不等式可化为,∴; 当时,不等式可化为,∴; 当时,不等式可化为,∴. 综上所述:原不等式的解集为. (Ⅱ)∵ , ∴ . ∴函数的值域. ∵,∴. 解得或. ∴的取值范围是.查看更多