数学文卷·2017届四川省成都市高三第三次诊断检测(2017

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数学文卷·2017届四川省成都市高三第三次诊断检测(2017

成都市2014级高中毕业班第三次诊断性检测 数学(文科)‎ 第Ⅰ卷(选择题,共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数.若在复平面内对应的点分别为,线段的中点对应的复数为,则( )‎ A. B.5 C. D.‎ ‎3.在等比数列中,,公比.若,则( )‎ A.11   B.10  C.9   D.8 ‎ ‎4.是表示空气质量的指数,指数值越小,表明空气质量越好,当指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据,图中点表示4月1日的指数值为201,则下列叙述不正确的是( )‎ A.这12天中有6天空气质量为“优良” ‎ B.这12天中空气质量最好的是4月9日 ‎ C.这12天的指数值的中位数是90 ‎ D.从4日到9日,空气质量越来越好 ‎5.已知平面向量,,向量与垂直,则实数的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知双曲线,直线.若直线平行于双曲线的一条渐近线且经过的一个顶点,则双曲线的焦点到渐近线的距离为( )‎ A.1   B.2   C.    D.4‎ ‎7.高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1.执行图2所示的程序框图,若输入的分别为这15名学生的考试成绩,则输出的结果为( )‎ A.6   B.7   C. 8   D.9‎ ‎8.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在鳖臑中,平面,且,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知抛物线的焦点为,点.若线段与抛物线相交于点,则 ( )‎ A.   B. C. D.‎ ‎10.已知函数.给出下列命题:①函数的值域为;②为函数的一条对称轴;③为奇函数;④,对恒成立.其中的真命题有( )‎ A.①② B.③④   C. ②③   D.①④‎ ‎11.如图,某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为( )‎ A.   B.   C.   D.‎ ‎12.在递减等差数列 中,.若,则数列的前项和的最大值为 ( )‎ A.   B.   C.   D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.若,则的值为 .‎ ‎14.若变量满足约束条件,则的最小值为 .‎ ‎15.已知函数,其中.若曲线在点处的切线方程为,则 .‎ ‎16.如图,将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状,下底是半圆的直径,上底的端点在半圆上,则所得梯形的周长的最大值为 .‎ 三、解答题 :本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.的内角的对边分别为,已知.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小;‎ ‎(Ⅱ)若,求的长.‎ ‎18.如图,在多面体中,底面是边长为2的菱形,,四边形是矩形,平面平面,,为线段的中点.‎ ‎(Ⅰ)求三棱锥的体积;‎ ‎(Ⅱ)求证:.‎ ‎19.几个月前,成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车,这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题.然而,这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题,比如乱停乱放,或将共享单车占为“私有”等.‎ 为此,某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人,他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表:‎ 年龄 受访人数 ‎5‎ ‎6‎ ‎15‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎5‎ 支持发展 共享单车人数 ‎4‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎(Ⅰ)由以上统计数据填写下面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系;‎ 年龄低于35岁 年龄不低于35岁 合计 支持 不支持 合计 ‎(Ⅱ)若对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查,求恰好这两人都支持发展共享单车的概率.‎ 参考数据:‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式:,其中.‎ ‎20.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与椭圆相交于两点,求面积的最大值.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若关于的不等式在上恒成立,求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)设函数,在(Ⅰ)的条件下,试判断在上是否存在极值.若存在,判断极值的正负;若不存在,请说明理由.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为,在以极点为直角坐标原点,极轴为轴的正半轴建立的平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).‎ ‎(Ⅰ)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)在平面直角坐标系中,设曲线经过伸缩变换得到曲线,若为曲线上任意一点,求点到直线的最小距离.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知.‎ ‎(Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)若函数的值域为,且,求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CABCD 6-10:BDAAD 11、12:CD 二、填空题 ‎13.1 14.-3 15.-1 16.10‎ 三、解答题 ‎17.解:(Ⅰ)由已知及正弦定理,得.‎ ‎∵,∴.‎ 化简,得.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎(Ⅱ)由余弦定理,得.‎ 已知,∴,即.‎ 解得或(不合题意,舍去).‎ ‎∴的长为3.‎ ‎18.解:(Ⅰ)如图,记.‎ ‎∵底面是边长为2的菱形,,‎ ‎∴,且,.‎ ‎∵四边形是矩形,平面平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎∵,为线段的中点,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ),可知平面.‎ ‎∴.‎ 则在正方形中,,.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵,且平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎19.解:(Ⅰ)根据所给数据得到如下列联表:‎ 年龄低于35岁 年龄不低于35岁 合计 支持 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 不支持 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 合计 ‎35‎ ‎15‎ ‎50‎ 根据列联表中的数据,得到的观测值为 ‎.‎ ‎∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系.‎ ‎(Ⅱ)“对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持发展共享单车”记为事件,‎ 对年龄在的5个受访人中,有4人支持,1人不支持发展共享单车,分别记为.则从这5人中随机抽取2人的基本事件为:‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.共10个.‎ 其中,恰好抽取的两人都支持发展共享单车的基本事件包含.共6个.‎ ‎∴.‎ ‎∴对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持发展共享单车的概率是.‎ ‎20.解:(Ⅰ)由已知,设椭圆的方程为.‎ ‎∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,‎ ‎∴.‎ 又,∴.‎ 由,得.‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎(Ⅱ)设.‎ 联立消去,得.‎ 此时有.‎ 由一元二次方程根与系数的关系,得 ‎,.‎ ‎∴.‎ ‎∵原点到直线的距离,‎ ‎∴.‎ 由,得.又,∴据基本不等式,得 ‎.‎ 当且仅当时,不等式取等号.‎ ‎∴面积的最大值为.‎ ‎21.解:(Ⅰ)由,得.‎ 即在上恒成立.‎ 设函数,.‎ 则.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴当时,.‎ ‎∴在上单调递减.‎ ‎∴当时,.‎ ‎∴,即的取值范围是.‎ ‎(Ⅱ),.‎ ‎∴.‎ 设,则.‎ 由,得.‎ 当时,;当时,.‎ ‎∴在上单调递增,在上单调递减.‎ 且,,.‎ 据(Ⅰ),可知.‎ ‎(ⅰ)当,即时,即.‎ ‎∴在上单调递减.‎ ‎∴当时,在上不存在极值.‎ ‎(ⅱ)当,即时,‎ 则必定,使得,且.‎ 当变化时,,,的变化情况如下表:‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴当时,在上的极值为,且.‎ ‎∵.‎ 设,其中,.‎ ‎∵,∴在上单调递增,,当且仅当时取等号.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴当时,在上的极值.‎ 综上所述:当时,在上不存在极值;当时,在 上存在极值,且极值均为正.‎ 注:也可由,得.令后再研究在上的极值问题.‎ ‎22.解:(Ⅰ)由消去参数,得.‎ 即直线的普通方程为.‎ ‎∵,, ‎ ‎∴.‎ 即曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(Ⅱ)由,得.‎ 代入方程,得.‎ 已知为曲线上任意一点,故可设,其中为参数.‎ 则点到直线的距离 ‎,其中.‎ ‎∴点到直线的最小距离为.‎ ‎23.解:(Ⅰ)当时,不等式即为.‎ 当时,不等式可化为,∴;‎ 当时,不等式可化为,∴;‎ 当时,不等式可化为,∴.‎ 综上所述:原不等式的解集为.‎ ‎(Ⅱ)∵ ,‎ ‎∴ .‎ ‎∴函数的值域.‎ ‎∵,∴.‎ 解得或.‎ ‎∴的取值范围是.‎
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