数学（文）卷·2018届湖北省沙市中学高三1月月考（2018

数学（文）卷·2018届湖北省沙市中学高三1月月考（2018

沙市中学2015级2018年元月考数学（文科）试题 ‎ 满分:150分 ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎1.已知集合，，则=（ ）‎ A．　　　 　 B． C D． ‎ ‎2.若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值是（ ）‎ A．　　　　　　 B． C． D．‎ ‎3. 从中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 在等比数列中是函数的极值点，则=（ ） ‎ A．　　 B． 　 C．　 D．‎ ‎5. 已知函数的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则函数的图象（ ）‎ A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 ‎6. 在椭圆中任取一点，则所取的点能使直线与圆恒有公共点的概率为（ ）（注：椭圆的面积公式为）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知实数满足约束条件，若，，设表示向量在方向上的投影，则的取值范围是（ ）‎ A． 　　 B． C． D． ‎ ‎8.过双曲线的一个焦点的直线与双曲线相交于两点，当 轴时，称线段为双曲线的通径．若的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 执行如下左图所示的程序框图，输出的（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知偶函数满足且当，则函数在上的零点个为（ ）‎ A．4　　　 B．5　　 　 C．6　　　 D．8‎ ‎12. 已知下列命题：‎ ①命题“，”的否定是：“，”；‎ ②若样本数据的平均值和方差分别为和则数据的平均值和标准差分别为，；‎ ③两个事件不是互斥事件的必要不充分条件是两个事件不是对立事件；‎ ④在列联表中，若比值相差越大，则两个分类变量有关系的可能性就越大．‎ ⑤已知α、β为两个平面，且，为直线．则命题:“若则”的逆命题和否命题均为假命题．‎ ⑥设定点、，动点满足条件，则的轨迹是椭圆．‎ 其中真命题的个数为( )‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知平面向量且，则 ． 14.已知数列为等差数列，为的边上任意一点，且满足，则的最大值为 ．‎ ‎15. 抛物线的焦点为为抛物线上一点，若 的外接圆与抛物线的准线相切(为坐标原点)，且外接圆的面积为，则 ．‎ ‎16.“求方程 的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解.类比上述解题思路，不等式的解集是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分12分）在如图四边形中，为的内角的对边，且满足.‎ ‎(Ⅰ)证明：成等差数列； ‎ ‎(Ⅱ)已知求四边形的面积.‎ ‎18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，分别是和的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)若上一点满足，求与所成角的余弦值.‎ ‎19.（本小题满分12分）某保险公司有一款保险产品的历史户获益率（获益率=获益÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：‎ ‎（Ⅰ）试估计平均收益率；‎ ‎（Ⅱ）根据经验若每份保单的保费在元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下组与的对应数据：‎ ‎(元)‎ 销量（万份）‎ ‎（ⅰ）根据数据计算出销量（万份）与（元）的回归方程为；‎ ‎（ⅱ）若把回归方程当作与的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均获 益率估计此产品的获益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益，并求出该最大获益.‎ 参考公示：‎ ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程；‎ ‎(Ⅱ)已知点，求证：若圆与直线相切，则圆与直线也相切.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当在处的切线与直线垂直时，方程有两相异实数根，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若幂函数的图象关于轴对称，求使不等式在上恒成立的的取值范围.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 在直角坐标系中，曲线（为参数且），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．‎ ‎（Ⅰ）求与交点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）若与相交于点，与相交于点，求当时的值．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知，不等式成立.‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对于实数满足且不等式恒成立，求的最小值.‎ 数学（文科）试题参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D B A D B D A C B C A ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎17. 解析：(Ⅰ)由题设有 即 由三角形内角和定理有由正弦定理有 成等差数列 ‎ (Ⅱ) 在中，由余弦定理有即 ‎,即则为.‎ ‎ 由于 ‎18. 解析：（Ⅰ）证明：直三棱柱中，‎ ‎,又，，‎ 取的中点，连接,为中点，且。‎ 又为中点，且 且，故四边形为平行四边形，‎ ‎，，‎ ‎(Ⅱ)由等体积法有,则为中点。‎ 取中点,连, 则,故与所成角为（或其补角）‎ 在中，‎ 由余弦定理有即为所求角的余弦值 ‎19. 解析：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，‎ 取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，‎ 平均获益率为 ‎（Ⅱ）（i）‎ 则即 ‎（ii）设每份保单的保费为元，则销量为，则保费获益为 万元， ‎ 当元时，保费收入最大为万元，保险公司预计获益为万元.‎ ‎20. 解析：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c(c>0)，依题意，‎ 解得，c=1，故椭圆C的标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，M，N两点关于x轴对称，点P（4,0）在x轴上，所以直线PM与直线PN关于x轴对称，所以点O到直线PM与直线PN的距离相等，故若圆与直线PM相切，则也会与直线PN相切；‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，‎ 由得：‎ 所以，，‎ ‎，，‎ ‎， ‎ 所以，，于是点O到直线PM与直线的距离PN相等，‎ 故若圆与直线PM相切，则也会与直线PN相切；‎ 综上所述，若圆与直线PM相切，则圆与直线PN也相切.‎ ‎21. 解析：（Ⅰ）由题设可得，令 则令得 ‎ ‎0‎ 递减 极小值 递增 ‎ ‎ 且 有两个不等实根 即 ‎ ‎（Ⅱ）由题设有，令 则，令 则 又，，在在单调递增 又 当，即时，，‎ 所以在内单调递增，，所以．‎ ‎②当，即时，由在内单调递增，‎ 且 使得 ‎0‎ 递减 极小值 递增 所以的最小值为，‎ 又，所以， ‎ 因此，要使当时，恒成立，只需，即即可．‎ 解得，此时由，可得．‎ 以下求出的取值范围．‎ 设，， 得，‎ 所以在上单调递减，从而 综上①②所述，的取值范围．‎ ‎22.解析：（Ⅰ）由题设有曲线的直角坐标方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为，联立解得或 即与交点的直角坐标为和 ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为其中 因此的极坐标为，的极坐标为。‎ 所以，当时，.‎ ‎23.解析：（Ⅰ）令，则 ‎，由于,不等式成立，‎ ‎（Ⅱ）当时，不等式恒成立等价于恒成立，‎ 由题意知根据基本不等式有 从而（当且仅当时等号成立）。‎ 再由基本不等式（当且仅当时等号成立）的最小值为