高考数学专题复习（精选精讲）练习5-圆的方程习题精选精讲
圆的方程
（1）标准方程——请看圆心和半径
所谓标准方程，就是能显示图形特征的方程.
从圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2 = r2（r>0）中，我们能看见它的图形特征：圆心即定点（a，b），半径即定长r. a，b确定了圆的位置，r确定了圆的大小.
确定一个圆需要三个条件，1个圆心相当2个条件，而半径只相当1个条件.
【例1】 求过点A（5，2）和点B（3，-2），圆心在直线2x-y=3上的圆的方程.
【分析】点A和点B已知相当2个条件，圆心在已知直线上只相当1个条件. 三个条件已知，圆的方程可定.
【解析】 设圆心为（a，b）,则有
解得
即圆心为（2，1）.
由距离公式得半径 r 2=
因此所求圆的方程为 .
【点评】 具备三个独立条件方能确定圆的三个参数值，即确定圆的方程. 如果还有某个条件未能确定，则得到的是“圆系”（圆的集合）方程. 当题设中有条件很隐晦时，可先按“显形条件”求出圆系方程，再让圆系方程满足隐晦条件而把圆方程最后确定.
（2）一般方程——看圆的代数式特征
如果把圆的标准方程称作圆方程的“几何式”，而圆的一般方程则可称作圆方程的“代数式”.
圆的一般方程为 ①
这是一个缺“混合二次项xy”、且x2和y2两项系数相等且不为零的二元二次方程. 它的图形是否为圆，还有限制条件.
将①配方得整理得 ②
（1）当时，依②知①表示以为圆心，为半径的圆；
（2）当，①表示点圆；
（3）当，①不表示任何图形.
【例2】已知方程x2+y2-2(m+3)x+2·(1-4m2)·y+16m4+9=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆半径r的取值范围；(3)求圆心的轨迹方程.
【解析】 (1)方程表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0，即：4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0，解之得-
0.
（3）直线与圆的位置关系——由心线距确定
判断直线与圆的位置关系有两种方法：
① 几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断
② 代数法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，利用判别式“Δ”进行判断：
【例3】 若圆上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2,求直线l的倾斜角的取值范围.
【解析1】 圆（x-2）2+（y-2）2=18的圆心为A（2，2），半径为r= .
当A到l的距离d=时，圆上恰有三个点到l的距离为2；
当d<时，圆上有四点到直线l的距离为2；
当d>时，圆上有两点到l的距离为2.
如右图，当d=AC=时，OA=2，AOC=30°，
∴COx=15°.
在另一极端位置l′时，其倾斜角为75°.
∴所求角的范围为[15°，75°]
【解析2】 圆的圆心为（2，2），半径为3.
∵圆上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2，
∴圆心到直线的距离小于或等于.
即，亦即.故
∴15°
故所求角的范围为[15°，75°].
【点评】解析1采用几何法来处理直线与圆的位置关系问题，而解析2是通过代数的方法来处理.
（4）圆与圆的位置关系——由心心距和半径长确定
【例4】 已知两圆和，求：
（1）m取何值时两圆外切；（2）m取何值时两圆内切，此时内切线方程是什么？
（3）求m=45时两圆的公共弦长.
【分析】 先将两圆方程变为标准方程，利用外切和内切的条件求m的值，特别是两圆内切时，还应分析两圆半径大小关系再准确求解.
【解析】 (1)两圆的标准方程分别为：
圆心分别为M（1，3），N（5，6），半径分别为和.
当两圆外切时，解得.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心距离5，故只有
解得又∵∴两圆公切线的斜率为.
设所求公切线方程为
解得易验证当时，直线与后一圆相交.
故所求公切线方程为，即
（3）当m=45时，两圆公共弦所在直线方程为4x+3y-23=0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为
.
【点评】 当两圆内含、内切、相交、外切、外离时，它们的公切线条数分别为0、1、2、3、4. 特别地，当两圆外离求其公切线方程时，可根据两直角三角形相似或定比分点公式求解.
● 通法 特法 妙法（1）转移法——化未知为已知
若已知动点P1（α ,β）在曲线C1：f1（x,y）=0上移动，动点P（x,y）依动点P1而动，它满足关系：
①
则关于α 、β反解方程组①，得 ②
代入曲线方程f1（x,y）=0，即可求得动点P的轨迹方程C：f（x,y）=0.
【例5】已知点A(3，0)，点P在圆x２+y２=1的上半圆周上，∠AOP的平分线交PA于Q，求点Q 的轨迹方程.
【法一】如图所示，设P(x0，y0)(y0>0)，Q(x，y).
∵OQ为∠AOP的平分线，∴，
∴Q分PA的比为.
∴
又因＝１，且y0>0，∴.
∴Q的轨迹方程为.
【法二】 设∠AOP=α，α∈(0，π)，则P(cosα，sinα)，∠AOQ=，则OQ直线方程为y=x·tan=kx ①
kPA＝∴直线PA方程为y=(x－3) ②
由Q满足①②且k=tan.由②得y=.消去k有y=∴x2+y2－，由图知y>0.
故所求Q点轨迹方程为x2＋y2－x=0(y>0).
【点评】上述两种方程为求轨迹的基本方法：相关点及参数法.
（2）待定系数法——把方程（组）带进几何
当已知动点的轨迹是所学过的曲线方程时，则可设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程. 其基本思路是：先定性，再定型，最后定量.
【例6】求经过两圆x2＋y2＋6x－4=0和x2＋y2＋6y－28=0的交点，并且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程.
【法一】 解方程组 得 或
∴两圆交点为(－1，3)，(－6，－2).
设所求圆方程为：x2＋y2＋dx＋ey＋f =0
∴所求圆方程为：x2＋y2－x＋7y－32=0 .
【法二】 解方程组 得 或
∴两圆交点为(－1，3)，(－6，－2). 设所求圆方程为：(x－a)2＋(y－b)2=r2
∴所求圆方程为：x2＋y2－x＋7y－32=0.
【法三】设所求圆方程为： x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2+6y－28)=0 即：
∴圆心为 又∵圆心在直线x－y－4=0上 ∴ ∴λ=－7
∴所求圆方程为：x2＋y2－x＋7y－32=0
（3）几何法——与向量或三角沟通
直线被圆截得的弦长计算，运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦半径及半径构成直角三角形计算，此公式是
半径2=弦心距2+半弦长2.
【例7】 在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.
（1）求向量的坐标； （2）求圆关于直线OB对称的圆的方程；
【解析】 （1）设得
所以v－3>0,得v=8,故={6，8}.
（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：
由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为.设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则
故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10.
（4）参数法——与函数或不等式接轨
当动点P（x,y）直接找不出坐标x,y之间的关系时，可设动点P（x,y）满足关于参数t的方程 （t是参数） ③
则由方程组③消去参数t，即求得动点P(x,y)的普通方程：f(x,y)=0.
【例8】点P（x，y）在圆C：x2+y2-2x-2y+1=0上运动，点A（2，2），B（2，-2）是平面上两点，求的最值.
【解析】∵
∴=
设x2+y2+4x=k，即（x+2）2+y2=4+k，视为以K（-2，0）为圆心，为半径.
(问题转化为求半径的取值范围)
∵x、y在圆上运动，而点K（-2，0）在圆C外，
又两圆心距为
当圆K与圆C内切时取最大值，最大值为+1，此时k=（+1）2-4=7+2.
当圆K与圆C外切时取最小值，此时有+1=，
即x2+y2+4x的最大值为7+2，最小值为
习题精选精讲圆标准方程
已知圆心和半径，即得圆的标准方程；已知圆的标准方程，即得圆心和半径，进而可解得与圆有关的任何问题.
一、求圆的方程
例1 (06重庆卷文) 以点为圆心且与直线相切的圆的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
解 已知圆心为，且由题意知线心距等于圆半径，即 ，∴所求的圆方程为，故选(C).
点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程即得圆的方程.
二、位置关系问题
例2 (06安徽卷文) 直线与圆没有公共点，则的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)
解 化为标准方程，即得圆心和半径.
∵直线与已知圆没有公共点，∴线心距，平方去分母得，解得，注意到，∴，故选(A).
点评：一般通过比较线心距与圆半径的大小来处理直线与圆的位置关系：线圆相离；线圆相切；线圆相交.
三、切线问题
例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆相切的直线方程为( )
(A)或 (B)或
(C)或 (D)或
解 化为标准方程,即得圆心和半径.
设过坐标原点的切线方程为，即，∴线心距，平方去分母得，解得或，∴所求的切线方程为或，故选(A).
点评：一般通过线心距与圆半径相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.
四、弦长问题
例4 (06天津卷理) 设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则 .
解 由已知圆，即得圆心和半径.
∵线心距，且，∴，即，解得.
点评：一般在线心距、弦长的一半和圆半径所组成的直角三角形中处理弦长问题：.
五、夹角问题
例5 (06全国卷一文) 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )
(A) (B) (C) (D) 0
解 已知圆化为，即得圆心和半径.
设由向这个圆作的两条切线的夹角为，则在切线长、半径和构成的直角三角形中，，∴，故选(B).
点评：处理两切线夹角问题的方法是：先在切线长、半径和所构成的直角三角形中求得的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角问题.
六、圆心角问题
例6 (06全国卷二) 过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 .
解 由已知圆，即得圆心和半径.
设，则；∵直线时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线的斜率.
点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.
七、最值问题
例7 (06湖南卷文) 圆上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是( )
(A) 30 (B) 18 (C) (D)
解 已知圆化为，即得圆心和半径.
设线心距为，则圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为，∴，故选(C).
点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距与圆半径的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为，最小距离为.
八、综合问题
例8 (06湖南卷理) 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
解 已知圆化为，即得圆心和半径.
∵圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，∴，即，由直线的斜率代入得，解得，又，，∴直线的倾斜角的取值范围是，故选(B).
点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.
经过两已知圆的交点的圆系
例1． 求经过两已知圆：和的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。
解： 设经过两已知圆交点的圆系的方程为：
（-1）
其圆心的横坐标为： ，令 =3 得
∴ 所求圆的方程为：即
例2． 设圆方程为：
其中－4
求证： 不论为何值，所给圆必经过两个定点。
证明： 把所给方程写为：
这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程：
所以，不论为何值，所给圆必经过这两个圆的两个交点
轴对称
轴对称是解析几何的一个重要内容，利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题，而且还可以解决诸如最值、光线反射、角平分线等问题，并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。
例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L：y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。
分析：本题的常规方法是：（1）设点（2）列出相应的函数关系式（3）求解。
但本题若这样做，则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可以轻松解决。
解：如图，设点C(x,y)是点B关于直线L的对称点，则由，得：，
∴直线BC的方程为：，将其与直线y=3x-1联立，解得：D,其中D为BC中点，利用中点坐标公式，得C（3,3）。
显然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当A、C、P三点共线时，|PA|-|PB|最大。可求得：直线AC方程为：，与L方程联立解得P的坐标为（2,5）。
例2、光线由点C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1上，已知其被直线L反射后经过点A(4,1)，求反射光线方程。
解：设点B是点C关于L的对称点，则由光线反射的知识易知：点B在反射光线上，故所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线方程。
由例1知点C关于L的对称点为B（0,4），
故直线AB的方程易求得为：。它即为反射光线方程。
例3、已知ΔABC的顶点A的坐标为(1,4)，∠B、∠C的平分线的分别方程为和，求BC所在的直线方程。
分析：本题的常规思路是利用L1到L2的角的有关知识解决问题，但较繁，若能注意到角平分线的有关性质，则可简捷求解。
解：设∠B、∠C的平分线分别为L1、L2,则由角平分线的知识可知：AB与CB关于L1对称，AC与BC关于L2对称，故点A关于L1、L2的对称点A1、A2都应该在直线BC上，故BC所在的直线方程即为A1A2所在的直线方程。
利用对称性可求得：（过程略）
于是BC方程可求得为：
直线和圆
1．自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线L所在直线方程．
解：已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1。
设光线L所在直线方程是：y－3＝k(x＋3)。
由题设知对称圆的圆心C′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即．
整理得 解得．故所求的直线方程是，或，
即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．
2．已知圆C：
，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线L的方程，若不存在说明理由．（14分）
．解：圆C化成标准方程为: 假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）
由于CM⊥L，∴kCM×kL=－1 ∴kCM=，即a+b+1=0，得b= －a－1 ①
直线L的方程为y－b=x－－，即x－y+b－a=0 ∴ CM=∵以AB为直径的圆M过原点，∴ ，
∴ ② 把①代入②得 ，∴
当此时直线L的方程为：x－y－4=0；当此时直线L的方程为：x－y+1=0
故这样的直线L是存在的，方程为x－y－4=0 或x－y+1=0．
3．（12分）求过点P（6，－4）且被圆截得长为的弦所在的直线方程．
解：设弦所在的直线方程为，即①
则圆心（0，0）到此直线的距离为．
因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成Rt△，所以．由此解得或．
代入①得切线方程或
，即或．
4．（12分）已知圆C:及直线.
（1）证明:不论取什么实数,直线与圆C恒相交；
（2）求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程．
．解:(1)直线方程,可以改写为,所以直线必经过直线的交点.由方程组解得即两直线的交点为A 又因为点与圆心的距离,所以该点在内,故不论取什么实数,直线与圆C恒相交.
(2)连接,过作的垂线,此时的直线与圆相交于、.为直线被圆所截得的最短弦长.此时,.即最短弦长为.
又直线的斜率,所以直线的斜率为2.此时直线方程为:
5（12分）已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．
解：由
又OP⊥OQ， ∴x1x2+y1y2=0,而x1x2=9－6(y1+y2)+4y1y2=
∴ 解得m=3.
6.已知圆C：(x+4)2+y2=4和点A(-2，0)，圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y 轴交于点M、N. ∠MAN是否为定值？若为定值，求出∠MAN的弧度数；若不为定值，说明理由.
【解】设圆D的方程为那么
因为圆D与圆C外切, 所以
又直线的斜率分别为
为定值
7．（14分）已知圆和直线交于P、Q两点，且OP⊥OQ （O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．
解：将代入方程，得．
设P，Q，则满足条件：．
∵ OP⊥OQ, ∴而，，∴．
∴，此时Δ，圆心坐标为（－，3），半径．
8．（14分）求圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的方程．
解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）将两圆的方程联立得方程组
，解这个方程组求得两圆的交点坐标A（－4，0），B（0，2）．
因所求圆心在直线上，故设所求圆心坐标为，则它到上面的两上交点
（－4，0）和（0，2）的距离相等，故有，
即，∴，，从而圆心坐标是（－3，3）．
又， 故所求圆的方程为．
解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标A（－4，0），B（0，2），弦AB的中垂线为，
它与直线交点（－3，3）就是圆心，又半径， 故所求圆的方程为．
解法三：（用待定系数法求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标为A（－4，0），B（0，2）．
设所求圆的方程为，因两点在此圆上，且圆心在上，所以得方
程组 ，解之得，
故所求圆的方程为．
解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）
设所求圆的方程为，
即 ． 可知圆心坐标为．
因圆心在直线上，所以，解得． 将代入所设方程并化简，求圆的方程
9．(12分) 已知一个圆截y轴所得的弦为2，被x轴分成的两段弧长的比为3∶１．（1）设圆心为（a，b），求实数a，b满足的关系式；（2）当圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时，求圆的方程．
⑴设圆心P（a，b），半径为r，则 |b|＝，2b2＝r2．又|a|2＋1＝r2，所以a2＋1＝r2，所以2b2＝a2＋1；
(2)点P到直线x－2y＝0的距离d＝，5d2＝a2－4ab＋4b2≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1．
所以所以 或
所以（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2．
10 已知圆C与圆相外切，并且与直线相切于点，求圆C的方程
设圆C的圆心为，则
所以圆C的方程为
11.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为，求该圆的方程.
.解：设圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2.令x=0，得y2－2by+b2+a2－r2=0.
|y1－y2|==2，得r2=a2+1 ①令y=0，得x2－2ax+a2+b2－r2=0，
|x1－x2|=，得r2=2b2 ②由①、②，得2b2－a2=1
又因为P（a，b）到直线x－2y=0的距离为，得d=，即a－2b=±1.
综上可得或解得或于是r2=2b2=2.
所求圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=2或（x－1）2+（y－1）2=2.
12.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.
.解：设所求圆的圆心为P（a，b），半径为r，则P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.
由题设圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P截x轴所得弦长为r，故r2＝2b2，
又圆P截y轴所得弦长为2，所以有r2＝a2＋1，从而有2b2－a2＝1
又点P（a，b）到直线x－2y=0距离为d＝，
所以5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值，
由此有 解方程得或 由于r2＝2b2，知r＝，
于是所求圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2
13.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ．
.答案：2
解析：圆心到直线的距离d＝＝3∴动点Q到直线距离的最小值为d－r＝3－1＝2
圆的方程例析
. 求圆心坐标和半径
【例1】 求下列各圆的圆心坐标和半径: （1）x2+y2－x=0；（2）x2+y2+2ax=0（a≠0）；（3）x2+y2+2ay－1=0.
【思考与分析】 我们先配方得标准方程，然后写出圆心坐标及半径.解： （1）配方 ∴ 圆心为半径为r=.
（2）配方得（x+a）2+y2=a2， ∴ 圆心为（-a，0），半径为r=（注意：这里字母a不知道正负，而半径为正值，所以要加绝对值）.
（3）配方得x2+（y+a）2=1+a2， ∴ 圆心为（0，-a），半径为r=
【拓展】 讨论方程x2+y2+2ay+1=0（a∈R）表示曲线的形状.
解： 配方得x2+（y+a）2=a2-1， 当a<-1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为（0，-a），半径为r=
的圆；
当a=±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为（0，-a）； 当-1
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