2018届二轮复习熟练公式灵活赋值解决二项式定理问题理学案（全国通用）

2018届二轮复习熟练公式灵活赋值解决二项式定理问题理学案（全国通用）

第63讲 熟练公式灵活赋值解决二项式定理问题 考纲要求:‎ ‎(1)能用计数原理证明二项式定理.‎ ‎(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 基础知识回顾:‎ ‎1．二项式定理: (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cabn－1＋Cbn(n∈N*)．.‎ ‎ 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数.式中的Can－rbr叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即展开式的第r项，Tr＋1＝Can－rbr，.‎ ‎2．二项展开式形式上的特点 ‎(1)项数为n＋1.‎ ‎(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.‎ ‎ (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.‎ ‎ (4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.‎ ‎3．二项式系数的性质 ‎ (1)对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C＝C.‎ ‎ (2)增减性与最大值：二项式系数C，当k<(n+1)/2时，二项式系数是递增的；当k>(n+1)/2时，二项式系数是递减的．‎ ‎ 当n是偶数时，中间的一项即第＋1项取得最大值．‎ ‎ 当n是奇数时，中间两项即第，项相等，且同时取得最大值．‎ ‎ (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n ‎ 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.‎ ‎4．二项式系数与项的系数 ‎(1)二项式系数：二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．‎ ‎(2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．‎ 应用举例:‎ 类型一、求展开式中的特定项 ‎1.求展开式中的常数项 例1【2018届云南省昆明市高新技术开发区高考适应性月考】的展开式的常数项是（ ）‎ A. -3 B. ‎-2 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出展开式中的系数， ，令，所以 ， 展开式中常数项为-1，因此的展开式的常数项是，选C.‎ ‎2.几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题 例2【2018届山西省山大附中等晋豫名校高三年级第四次调研诊断】 ，则__________．‎ ‎【答案】28‎ ‎【解析】令 ，则，‎ 设的展开式含有项， ，令 ， ，所以.‎ ‎3.几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题 例3【2018届山西实验中学、南海桂城中学高三上学期联考】的展开式中的系数是（ ）‎ A. 56 B. ‎84 C. 112 D. 168‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据和的展开式的通项公式可得， 的系数为,故选D.‎ ‎4.三项展开式中特定项(系数)问题 例4【2018届广西贺州市桂梧高中高三上学期第四次联考】的展开式的第4项的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得的展开式的第4项为，选A.‎ 点评：1．对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．‎ ‎2．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．‎ ‎3．对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．‎ 类型二、二项式系数的性质与各项系数和 ‎1.求展开式中的二项式系数或项的系数 例5【2018届湖南师范大学附属中学高三11月月考】已知，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，得，而表示的系数， ，故选D.‎ 例6【2018届浙东北联盟高三上期中】的展开式中各项二项式系数之和为64，则__________，展开式中的常数项为__________．‎ ‎【答案】 6 60‎ ‎【解析】的展开式中各项二项式系数之和为， ， ，其通项为，令常数项为，故答案为.‎ ‎2.赋值法求展开式中各项系数和 例7、若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为 (　　)‎ A．1或－3 B．－1或‎3 C．1 D．－3‎ 解析：令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得a0－a1＋a2－…－a9＝m9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，即(a0＋a1＋a2＋…＋a9)·(a0－a1＋a2－…－a9)＝39，即(2＋m)9·m9＝39，所以 (2＋m)m＝3，解得m＝1或－3.‎ 例8【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】二项式中，所有的二项式系数之和为 ‎___________；系数最大的项为_________．‎ ‎【答案】 32 ‎ ‎【解析】所有的二项式系数之和为，展开式为，系数最大的项为和.‎ ‎3.求展开式中的系数最大的项或二项式系数最大的项 例9、设，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：令,则,而,令可得,故,应选B.‎ 例10、在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)‎ A．－7 B．‎7 C．－28 D．28‎ 解析：只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，即n＝8，Tk＋1＝C8－kk＝C(－1)k·8－k·x8－k，当k＝6时为常数项，T7＝7.答案：B 点评：赋值法研究二项式的系数和问题 ‎“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．‎ 类型三、与二项式有关的综合性问题 ‎1、二项式与函数交汇命题 例11、若， 记，则的值为 ．‎ 解析：令，有，所以.‎ ‎2、二项式与积分交汇命题 例12【2018届陕西省西安市长安区高三上质量检测大联考（一）】若，则 的展开式中常数项为（ ）‎ A. 8 B. ‎16 C. 24 D. 60‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵∴的通项公式为 令，即 ‎∴二项式展开式中常数项是，故选C ‎3、二项式与整除问题交汇 例13、设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0 B．‎1 C．11 D．12‎ 解析：512 012＋a＝a＋(1－13×4)2 012＝a＋1－C13×4＋C(13×4)2＋…＋C(13×4)2 012，又512 012＋a能被13整除，又∵0≤a＜13，∴a＋1＝13，故a＝12.答案：D ‎4、二项式与数列交汇命题 例14【2017届北京市大兴区第一次综合练习】已知数列满足， ， 表示不超过的最大整数（如），‎ 记，数列的前项和为.‎ ‎①若数列是公差为的等差数列，则=_____；‎ ‎②若数列是公比为的等比数列，则=_____．‎ ‎【答案】 6 ‎ ‎【解析】①若数列是公差为的等差数列，且， ，则，所以，则；故填6.‎ ‎②若数列是公比为的等比数列，且， ，则 ‎，则，‎ ‎ ‎ ‎；故填.‎ 点评：解决二项式与其他知识交汇问题的关键是弄清二项式与哪些知识交汇，然后借助交汇点的知识与方法，确定二项式，再利用二项式的通项公式确定出待求量. ‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1、求二项展开式中的项的方法 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．‎ ‎(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；‎ ‎(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；‎ ‎(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．‎ ‎2．二项式系数最大项的确定方法 ‎(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；‎ ‎(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．‎ ‎3．二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得．‎ 实战演练:‎ ‎1.【2018届南宁市高三毕业班摸底】 的展开式中项的系数为（ ）‎ A. 80 B. C. D. 48‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得，令r=1,所以的系数为-80.选B.‎ ‎2. 若，则 ( )‎ A. -1 B. ‎1 C. 2 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】，令，则，故选A.‎ ‎3.【2017届东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学高三下第四次模拟】若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．‎ ‎4.【2017课标3，理4】的展开式中33的系数为 A． B． C．40 D．80‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎5.【2017课标1，理6】展开式中的系数为 A．15 B．‎20 ‎ C．30 D．35‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】‎ 因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.‎ ‎6.【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得．‎ ‎7．【2018届河北省衡水第一中学高三上学期综合】若的展开式中含有常数项，则的最小值等于__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】的展开式中， ，‎ 令 ，展开式中含有常数项，当时， 取最小值为 ；‎ 令 ，展开式中含有常数项，当时， 取最小值为2；‎ 综上可知： 取最小值为2.‎ ‎8．【2017浙江，13】已知多项式32=，则=________，=________．‎ ‎【答案】16，4‎ ‎【解析】‎ ‎9．【2017届上海市复旦大学附属中学高三上第一次月考】若二项式 展开式中含有常数项，则的最小取值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】展开式的通项为，令，解得，所以时， 取时有最小值，故填.‎ ‎10.【2018届重庆市巴蜀中学高三9月高考适应月考】若，则展开式的常数项为__________.‎ ‎【答案】240‎ ‎【解析】由微积分基本定理有：，‎ 则代数式为：，其展开式的通项公式为：‎ ‎,‎ 令可得：，‎ 即常数项为：.‎