高中数学选修2-2课时提升作业(十二) 1_7_1

高中数学选修2-2课时提升作业(十二) 1_7_1

温馨提示：‎ ‎ 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。‎ 课时提升作业(十二)‎ 定积分在几何中的应用 一、选择题(每小题3分，共12分)‎ ‎1.(2014·广州高二检测)用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是(　　)‎ A.f(x)dx B.f(x)dx C.f(x)dx+f(x)dx D.f(x)dx-f(x)dx ‎【解析】选D.因为在区间[a，b]上f(x)<0，‎ 所以在区间[a，b]上对应图形的面积为-f(x)dx，‎ 所以阴影部分的面积为：S=f(x)dx-f(x)dx.‎ ‎2.由y=，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为(　　)‎ A.ln2 B.ln2-1　‎ C.1+ln2 D.2ln2‎ ‎【解析】选A.画出曲线y=(x>0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积.‎ 所以S=dx=lnx ‎=ln2-ln1=ln2.‎ ‎3.已知a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，f(x)=a·b，则直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】求出函数解析式，确定积分区间，利用定积分的几何意义计算面积.‎ ‎【解析】选C.由a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，‎ 得f(x)=a·b=2sinxcosx=sin2x，‎ 当x∈时，sin2x≥0；‎ 当x∈时，sin2x<0.‎ 由定积分的几何意义，直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为 sin2xdx-sin2xdx ‎=-cos2x|+cos2x|‎ ‎=1+=.‎ ‎【变式训练】已知a=(cosx，sinx)，b=(cosx，-sinx)，f(x)=a·b，则直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选C.由a=(cosx，sinx)，‎ b=(cosx，-sinx)，‎ 得f(x)=a·b=cos2x-sin2x=cos2x，‎ 当x∈时，cos2x≥0；‎ 当x∈时，cos2x<0.‎ 由定积分的几何意义，直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为 cos2xdx-cos2xdx ‎=sin2x|-sin2x|‎ ‎=-+=.‎ ‎4.(2014·大连高二检测)若两曲线y=x2与y=cx3(c>0)围成图形的面积是，则c等于(　　)‎ A. B. C.1 D.‎ ‎【解析】选B.由得交点(0，0)，，‎ 则S=(x2-cx3)dx ‎==·-·=，c=.‎ ‎【误区警示】解答此题时往往误认为积分上限是1，积分区间错误的确定为[0，1].确定积分区间必须通过解曲线交点确定.‎ 二、填空题(每小题4分，共8分)‎ ‎5.直线x=，x=，y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积为________.‎ ‎【解析】由题意画草图：‎ 由图形知面积为 S=cosxdx=-cosxdx ‎=-sinx ‎=-(-1-1)=2.‎ 答案：2‎ ‎6.(2014·青岛高二检测)由曲线y2=2x，y=x-4所围图形的面积是________.‎ ‎【解析】如图，为了确定图形的范围，‎ 先求出这两条曲线交点的坐标，‎ 解方程组得交点坐标为(2，-2)，(8，4).‎ 因此所求图形的面积S=dy.‎ 取F(y)=y2+4y-，‎ 则F′(y)=y+4-，‎ 从而S=F(4)-F(-2)=18.‎ 答案：18‎ ‎【一题多解】联立方程组，‎ 解得：(2，-2)，(8，4)，‎ S=2dx+(-x+4)dx=18.‎ 答案：18‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎7.(2013·沈阳高二检测)求曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=t2，t∈(0，1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.‎ ‎【解题指南】将阴影部分的面积表示为定积分，建立面积的目标函数求最小值.‎ ‎【解析】由定积分与微积分基本定理，得S=S1+S2‎ ‎=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx ‎=+‎ ‎=t3-t3+-t2-t3+t3‎ ‎=t3-t2+，t∈(0，1)，‎ 所以S′=4t2-2t，所以t=或t=0(舍去).‎ 当t变化时，S′，S变化情况如下表：‎ t S′‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ S ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以当t=时，S最小，且Smin=.‎ ‎【拓展延伸】复杂图形面积的两个求解策略 ‎(1)由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图象对各段分别求面积进而求和.‎ ‎(2)若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限.‎ ‎8.(2014·潍坊高二检测)如图，直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.‎ ‎【解题指南】所围图形的面积可用定积分表示，从而确定出要求的参数.‎ ‎【解析】抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标x1=0，x2=1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积 S=(x-x2)dx==-=.‎ 由可得抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x′1=0，x′2=1-k，‎ 所以=(x-x2-kx)dx ‎==(1-k)3.‎ 又S=，所以(1-k)3=.‎ 于是k=1-=1-.所以k的值为1-.‎ 一、选择题(每小题4分，共12分)‎ ‎1.由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选A.由得交点为(0，0)，(1，1).‎ 所以S=(x2-x3)dx ‎=‎ ‎=.‎ ‎2.直线x=-1，x=1，y=0与偶函数y=f(x)的图象围成平面图形的面积表示为 ‎①f(x)dx；②f(|x|)dx；③|f(x)|dx；④2|f(x)|dx.‎ 其中，正确表示的个数为(　　)‎ A.0　　　　 B‎.1　‎　　　 C.2　　　　 D.3‎ ‎【解析】选C.由于偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称，当f(x)≥0时，平面图形的面积为f(x)dx ‎=‎2f(x)dx；当f(x)<0时，平面图形的面积为 ‎-f(x)dx=-‎2f(x)dx.故③④正确.‎ ‎3.用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设f(x)=max{x2，}，那么由函数y=f(x)的图象、x轴、直线x=和直线x=2所围成的封闭图形的面积是 ‎(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选A.由题设知：‎ f(x)=‎ 所以S=dx+x2dx ‎=+x3‎ ‎=.‎ 二、填空题(每小题4分，共8分)‎ ‎4.(2014·北京高二检测)如图，已知点A，点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y=x2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等，则x0=________.‎ ‎【解析】S阴=x2dx=-×03=，S△OAP=××x0=x0，由题意知=x0，‎ 因为x0>0，所以x0=.‎ 答案：‎ ‎5.设曲线y=2cos2x与x轴、y轴、直线x=围成的面积为b，若g(x)=2lnx-2bx2-kx在[1，+∞)上单调递减，则实数k的取值范围是________.‎ ‎【解析】由题意b=2cos2xdx ‎=sin2x=sin=，‎ 所以g(x)=2lnx-x2-kx，‎ 所以g′(x)=-2x-k，‎ 因为g(x)=2lnx-2bx2-kx在[1，+∞)上单调递减，‎ 所以g′(x)=-2x-k<0在[1，+∞)上恒成立.‎ 即k>-2x在[1，+∞)上恒成立.‎ 因为-2x在[1，+∞)上递减，‎ 所以-2x≤0，所以k>0.‎ 由此知实数k的取值范围是(0，+∞).‎ 答案：(0，+∞)‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎6.(2014·济宁高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值.‎ ‎【解析】由图知方程f(x)=0有三个实根，其中有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，‎ 所以f(x)=x2(x+a)，‎ 有=[0-(x3+ax2)]dx ‎=-=，‎ 所以a=±3.‎ 又-a>0⇒a<0，得a=-3.‎ ‎7.如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线形桥拱的高为常数h，宽为常数b.求抛物线桥拱的面积.‎ ‎【解题指南】建立平面直角坐标系确定抛物线方程，求由曲线围成的平面图形面积.‎ ‎【解析】以抛物线的顶点为原点，如图建立平面直角坐标系.‎ 设抛物线方程为y=-ax2(a>0)，将抛物线上一点代入方程，则有-h=-a，‎ 解得a=，所以抛物线方程为y=-x2.‎ 则有S=2dx ‎=2(hx-x3)|=2=bh.‎ 关闭Word文档返回原板块