【数学】2021届一轮复习人教A版构造函数（导数单调性）作业
一、选择题
1.已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)
1}
C． {x|x<－1或x>1}
D． {x|－1f(x)，则f(2 015)与f(2 013)e2的大小关系为( )
A．f(2 015)f(2 013)e2
D． 不能确定
5.已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是( )
A． (0,1)
B． (－1,0)∪(0,1)
C． (1，＋∞)
D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)
6.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A． (－∞，－1)∪(0,1)
B． (－1,0)∪(1，＋∞)
C． (－∞，－1)∪(－1,0)
D． (0,1)∪(1，＋∞)
7.已知函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x)，则( )
A．f(2)e2f(0)
8.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<1(x∈R)，则不等式f(x)2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A． (－1,1)
B． (－1，＋∞)
C． (－∞，－1)
D． (－∞，＋∞)
10.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A． (－3,0)∪(3，＋∞)
B． (－3,0)∪(0,3)
C． (－∞，－3)∪(3，＋∞)
D． (－∞，－3)∪(0,3)
11.设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)
B．f(2)e2 016f(0)
C．f(2)e2f(0)，f(2 016)x2＋2 013的解集为( )
A． (－2,2)
B． (－2，＋∞)
C． (－∞，－2)
D． (－∞，＋∞)
13.设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当af(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
14.定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝2，则不等式f(x)<2ex的解集为( )
A． (－∞，0)
B． (－∞，2)
C． (0，＋∞)
D． (2，＋∞)
15.已知函数y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，xf′(x)a>b
B．c>b>a
C．a>b>c
D．a>c>b
16.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＝－1，且当x>0时，有xf′(x)>f(x)，则不等式f(x)>x的解集是( )
A． (－1,0)
B． (1，＋∞)
C． (－1,0)∪(1，＋∞)
D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)
17.已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋>0，若a＝f(1)，b＝－2f(－2)，c＝(ln)f(ln)，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．af()
C．f()>f()
D．f(1)<2f()·sin 1
19.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式f(x)>0的解集是( )
A． (－1,0)∪(1，＋∞)
B． (－1,0)∪(0,1)
C． (－∞，－1)∪(1，＋∞)
D． (－∞，－1)∪(0,1)
20.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)x2＋2 009的解集为( )
A． (－2,2)
B． (－2，＋∞)
C． (－∞，－2)
D． (－∞，＋∞)
22.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)－x，则下列不等式成立的是( )
A． 3f(2)<2f(3)
B． 3f(3)>4f(4)
C． 3f(4)<4f(3)
D．f(2)<2f(1)
24.已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋>0，若a＝f()，b＝－2f(－2)，c＝ln 2f(ln 2)，则下列关于a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>b>a
D．b>c>a
25.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：
①f(x)＝(a>0，且a≠1)；
②g(x)≠0；
③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x)．
若＋＝，则a等于( )
A．
B．
C． 2
D． 2或
26.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(1)＝5，对任意实数x都有f′(x)<3，则不等式f(x)<3x＋2的解集为( )
A． (－∞，0)
B． (0，＋∞)
C． (－∞，1)
D． (1，＋∞)
二、填空题
27.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其中f(1)＝0，且当x>0时，有>0，则不等式f(x)>0的解集是________．
28.已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0，a＝20.1·f(20.1)，b＝(ln 2)·f(ln 2)，c＝(log2)·f(log2)，则a，b，c的大小关系是________．
29.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≥0，对任意正数m，n，若m≥n，则mf(n)与nf(m)的大小关系是mf(n)________nf(m)(请用≤，≥或＝)
30.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝1，对任意x∈R，f′(x)>3，则f(x)>3x＋4的解集为________．
31.定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(lgx)>的解集为________．
32.设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有3f(x)＋xf′(x)>0，则不等式(x＋2 015)3f(x＋2 015)＋27f(－3)>0的解集是________．
33.已知可导函数f(x)(x∈R)的导函数f′(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式f(x)>f(0)ex的解集是________．
34.设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，当00，则不等式f(x)cosx<0的解集为________．
35.已知函数y＝f(x)，对于任意的x∈[0，)满足f′(x)cosx＋f(x)sinx>0，则下列不等式中成立的有________．
①f()1.
3.【答案】A
【解析】设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，
∴g(x)在区间x∈(0，＋∞)单调递减或g(x)为常函数，
∵af(x)，∴F′(x)>0，
∴F(x)在R上为增函数，
∴F(2 015)>F(2 013)，
∴e－2 015f(2 015)>e－2 013f(2 013)，
∴f(2 015)>f(2 013)e2.
5.【答案】C
【解析】设g(x)＝f(x)－x，
因为f(1)＝1，f′(x)>1，
所以g(1)＝f(1)－1＝0，g′(x)＝f′(x)－1>0，
所以g(x)在R上是增函数，且g(1)＝0.
所以f(x)>x的解集，即g(x)>0的解集(1，＋∞)．
6.【答案】A
【解析】记函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，故当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，且g(－1)＝g(1)＝0.当00，则f(x)>0；当x<－1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．
7.【答案】D
【解析】设F(x)＝，则F′(x)＝>0，
∴F(x)在R上为增函数，故F(2)>F(0)，
∴>，
即f(2)>e2f(0)．
8.【答案】A
【解析】不等式f(x)1.
9.【答案】B
【解析】令g(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则g′(x)＝f′(x)－2>0，
故g(x)在R上单调递增．
又g(－1)＝f(－1)－2＝0，故当x>－1时，g(x)>0，即f(x)>2x＋4.
10.【答案】D
【解析】设F(x)＝f(x)g(x)，
∵当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
∴F(x)在x<0时为增函数．
∵F(－x)＝f(－x)g(－x)
＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，
故F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．
已知g(－3)＝0，必有F(－3)
＝－F(3)＝0.
构造如图的F(x)的图象，可知F(x)<0的解集为
x∈(－∞，－3)∪(0,3)．
11.【答案】C
【解析】∵函数F(x)＝的导数
F′(x)＝＝<0，
∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数，
∴F(2)F(－2)＝0，
∴不等式f(x)>x2＋2 013的解集为(－∞，－2)．
13.【答案】C
【解析】因为[]′＝，
又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，
所以在R上为减函数．
又因为a>，
又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．
14.【答案】C
【解析】设g(x)＝，
则g′(x)＝，
∵f(x)>f′(x)，
∴g′(x)<0，即函数g(x)单调递减．
∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，
则不等式等价于g(x)0，∴不等式的解集为(0，＋∞)．
15.【答案】A
【解析】∵函数y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，
∴当x∈(－∞，0)时，xf′(x)0时，xf′(x)>f(x)，
∴g′(x)＝>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，
又f(－1)＝－1，∴f(1)＝1，g(1)＝1，
当x>0时，∵不等式f(x)>x，
∴>1，即g(x)>g(1)，
∴有x>1；
当x<0时，∵不等式f(x)>x，
∴<1，即g(x)x不成立，
综上，不等式f(x)>x的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．
17.【答案】D
【解析】设g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)
＝x[f′(x)＋]，
∵x≠0时，f′(x)＋>0，
∴x>0时，g′(x)>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∵f(x)为奇函数，
∴b＝－2f(－2)＝2f(2)，
c＝(ln)f(ln)＝(－ln 2)f(－ln 2)＝(ln 2)f(ln 2)，a＝f(1)＝1f(1)，
∵ln 2<1<2，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴g(ln 2)0，cosx>0，
由f(x)0.
令g(x)＝，x∈(0，)，
则g′(x)＝>0，
所以函数g(x)在x∈(0，)上为增函数，
则g()2f()·sin 1，
故A正确，B、C、D错误．
19.【答案】D
【解析】因为当x>0时，有<0恒成立，
即[]′<0恒成立，
所以在(0，＋∞)内单调递减．
因为f(1)＝0，
所以在(0,1)内恒有f(x)>0；在(1，＋∞)内恒有f(x)<0.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以在(－∞，－1)内恒有f(x)>0；在(－1,0)内恒有f(x)<0.
不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
20.【答案】B
【解析】∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x＋2)的图象关于x＝0对称，
∴y＝f(x)的图象关于x＝2对称，
∴f(4)＝f(0)，
又∵f(4)＝1，∴f(0)＝1，
设g(x)＝(x∈R)，
则g′(x)＝＝，
又∵f′(x)0.
21.【答案】C
【解析】令g(x)＝f(x)－x2－2 009，则g′(x)＝f′(x)－2x<0，
∴函数g(x)在R上单调递减，而f(－2)＝2 013，
∴g(－2)＝f(－2)－(－2)2－2 009＝0.
∴不等式f(x)>x2＋2 009，可化为g(x)>g(－2)，
∴x<－2，
即不等式f(x)>x2＋2 009的解集为(－∞，－2)．
22.【答案】D
【解析】∵f(x)＝axg(x)，
∴＝ax，
∵f′(x)g(x)－x得＋x>0，则>0，
则当∈(0，＋∞)时，f(x)＋xf′(x)<0，即g′(x)<0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上递减，
则g(3)>g(4)，即3f(3)>4f(4)．
24.【答案】D
【解析】令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)．
∵当x≠0时，f′(x)＋>0，
∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，
即当x>0时，g′(x)>0，
因此当x>0时，函数g(x)单调递增．
∵函数f(x)为奇函数，∴b＝－2f(－2)＝2f(2)，
又c＝ln 2f(ln 2)，
∵2>ln 2>，
∴g(2)>g(ln 2)>g()，
即b>c>a.
25.【答案】C
【解析】由①得＝，
∴[]′＝，
由②g(x)≠0，③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x)，
得f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x)<0，
可知[]′＝<0，
即函数在R上单调递减，
即a>1.
若＋＝，
则＋＝＋a＝，
即2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或a＝，
∵a>1，∴a＝2.
26.【答案】D
【解析】记g(x)＝f(x)－3x，
∵对任意实数x都有f′(x)<3，
∴g′(x)＝f′(x)－3<0，
∴g(x)是定义在R上的单调递减函数．
∵f(1)＝5，
∴g(1)＝f(1)－3＝5－3＝2.
∵f(x)<3x＋2，
∴f(x)－3x<2，
∴g(x)1.
27.【答案】(－1,0)∪(1，＋∞)
【解析】[]′＝>0，
即x>0时，是增函数，
当x>1时>f(1)＝0，f(x)>0；
00；
x<－1时，f(x)＝－f(－x)<0.
则不等式f(x)>0的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．
28.【答案】c20.1>1,020.1>ln 2，
即h(3)0时，F(m)≥F(n)，
∴≤，从而mf(n)≤nf(m)．
30.【答案】(－1，＋∞)
【解析】设F(x)＝f(x)－(3x＋4)，
则F(－1)＝f(－1)－(－3＋4)＝1－1＝0，
又对任意x∈R，f′(x)>3，∴F′(x)＝f′(x)－3>0，
∴F(x)在R上是增函数，
∴F(x)>0的解集是(－1，＋∞)，
即f(x)>3x＋4的解集为(－1，＋∞)．
31.【答案】(0,10)
【解析】∵f′(x)<，
∴f′(x)－<0，
∴f(x)－在R上为减函数．
设F(x)＝f(x)－，则F(x)在R上为减函数，
∵f(1)＝1，∴F(1)＝f(1)－1＝1－1＝0，
由f(lgx)－>0，得F(lgx)>F(1)，
∵F(x)在R上单调递减，
∴lgx<1，∴00，
∴g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增，
又不等式(x＋2 015)3f(x＋2 015)＋27f(－3)>0可化为(x＋2 015)3f(x＋2 015)>(－3)3f(－3)，
即g(x＋2 015)>g(－3)，
∴0>x＋2 015>－3，解得－2 015>x>－2 018，
∴该不等式的解集为(－2 018，－2 015)．
33.【答案】(0，＋∞)
【解析】设F(x)＝，
∵f′(x)>f(x)对于x∈R恒成立，
∴F′(x)＝>0，
∴F(x)在R上递增，
则不等式f(x)>f(0)ex，
等价为>f(0)＝，
即F(x)>F(0)，
∵F(x)在R上递增，∴x>0，
即不等式的解集为(0，＋∞)．
34.【答案】(－π，－)∪(0，)
【解析】设g(x)＝f(x)cosx，
∵f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，
故g(－x)＝f(－x)cos(－x)＝－f(x)cosx＝－g(x)，
∴g(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数．
g′(x)＝f′(x)cosx－sinxf(x)>0，
∴g(x)在(0，π)上递增，
于是奇函数g(x)在(－π，0)上递增．
∵g(±)＝0，
∴f(x)cosx<0的解集为(－π，－)∪(0，)．
35.【答案】②③④
【解析】构造函数F(x)＝，x∈[0，)，
则F′(x)＝>0，
∴函数F(x)在x∈[0，)上单调递增，
∴F()>F()，即2f()>f()，可得f()>f()，①错误；
同理可得F()
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