【数学】2020届一轮复习人教B版6-1不等关系与不等式学案

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【数学】2020届一轮复习人教B版6-1不等关系与不等式学案

第一节　不等关系与不等式 不等式的概念和性质 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．‎ 知识点一　实数的大小顺序与运算性质的关系 ‎(1)a>b⇔a－b>0；‎ ‎(2)a＝b⇔a－b＝0；‎ ‎(3)aN C．M＝N D．不确定 解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，‎ 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.‎ ‎∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.‎ 答案：B 知识点二　不等式性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ‎⇔‎ 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒acb＋d ‎⇒‎ 同向同正 可乘性 ⇒ac>bd ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn ‎(n∈N，n≥1)‎ 同正 可开方性 a>b>0⇒> ‎(n∈N，n≥2)‎ 易误提醒　‎ ‎1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，bb⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．‎ ‎[自测练习]‎ ‎2．设a，b，c∈R，且a>b，则(　　)‎ A．ac>bc B.< C．a2>b2 D．a3>b3‎ 解析：当c<0时，ac>bc不成立，故A不正确，当a＝1，b＝－3时，B、C均不正确，故选D.‎ 答案：D ‎3．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)‎ A.> B．a＋>b＋ C．a＋>b＋ D.> 解析：由a>b>0⇒0<<⇒a＋>b＋，故选C.‎ 答案：C ‎4．已知a<0，－10，∴ab>ab2>a.‎ 答案：ab>ab2>a 考点一　利用不等式(组)表示不等关系|‎ ‎1．将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x应满足的不等关系．‎ 解：由题意知 ‎2．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．‎ 解：设甲、乙两种产品的产量分别为x件，y件，由题意可知， 利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点：‎ 关键点：准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言．‎ 注意点：要注意“不超过”，“至少”，“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．‎ ‎　　‎ ‎　　　　考点二　不等式性质及应用|‎ ‎1．(2018·大庆质检)若a B.> C．|a|>|b| D．a2>b2‎ 解析：由a不成立，选A.‎ 答案：A ‎2．(2018·武汉调研)若实数a，b∈(0,1)，且满足(1－a)b>，则a，b的大小关系是(　　)‎ A．ab D．a≥b 解析：∵a，b∈(0,1)，∴1－a>0，又(1－a)b>，‎ ‎∴<2，<，即b－a>0，故选A.‎ 答案：A ‎3．设a，b是实数，则“a>b>‎1”‎是“a＋>b＋”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：法一：因为a＋－＝，所以若a>b>1，显然a＋－＝>0，则充分性成立；当a＝，b＝时，显然不等式a＋>b＋成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立，故选A.‎ 法二：令函数f(x)＝x＋，则f′(x)＝1－＝，可知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“a>b>1”是“a＋>b＋”的充分不必要条件，选A.‎ 答案：A 运用不等式性质求解问题的两个注意点 ‎1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误．‎ ‎2．对于不等式的常用性质，要注意弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据．‎ ‎　　‎ 考点三　比较大小|‎ ‎　(1)若实数a≠1，比较a＋2与的大小；‎ ‎(2)比较aabb与abba(a>0且a≠1，b>0且b≠1)的大小．‎ ‎[解]　(1)a＋2－＝，‎ ‎∵a2＋a＋1＝2＋>0，∴－(a2＋a＋1)<0，‎ ‎∴当1－a>0，即a<1时，<0，则有a＋2<.‎ 当1－a<0即a>1时，>0，则有a＋2>.综上知，当a<1时，a＋2<，‎ 当a>1时，a＋2>.‎ ‎(2)＝aa－bbb－a＝a－b，‎ 当a>b>0时，>1，a－b>0，‎ 则a－b>1，∴aabb>abba；‎ 当b>a>0时，0<<1，a－b<0，‎ 则a－b>1，∴aabb>abba；‎ 当a＝b>0时，a－b＝1，∴aabb＝abba，‎ 综上知aabb≥abba(当且仅当a＝b时取等号)．‎ 比较两个数(式)大小的两种方法 ‎(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．‎ ‎(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．‎ ‎　　‎ 已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．c≥b>a　　　　　　　 B．a>c≥b C．c>b>a D．a>c>b 解析：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，‎ ‎∴c≥b.将题中两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2.‎ ‎∵1＋a2－a＝2＋>0，∴1＋a2>a，‎ ‎∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a.‎ 答案：A ‎　　10.不等式变形中不等价致误 ‎【典例】　设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．‎ ‎[解析]　法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则‎4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，‎ 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，‎ 于是得解得 ‎∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．‎ 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，‎ ‎∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10.‎ 法二：由得 ‎∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．‎ 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，‎ ‎∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.‎ 法三：由 确定的平面区域如图阴影部分，当f(－2)＝4a－2b过点A时，‎ 取得最小值4×－2×＝5，‎ 当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，‎ 取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.‎ ‎[答案]　[5,10]‎ ‎[易误点评]　解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范围，再求f(－2)＝‎4a－2b的范围，导致变量范围扩大．‎ ‎[防范措施]　(1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．‎ ‎[跟踪练习]　若α，β满足试求α＋3β的取值范围．‎ 解：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.‎ 则解得 ‎∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，‎ 两式相加，得1≤α＋3β≤7.‎ ‎∴α＋3β的取值范围为[1,7]．‎ A组　考点能力演练 ‎1．已知<<0，则下列结论错误的是(　　)‎ A．a22‎ C．ab>b2 D．lg a20，∴a－b>0，‎ ‎∴ab－b2＝(a－b)b<0，∴abπb，即a>b，由函数y＝ln x，y＝sin x，y＝，y＝x3的单调性知C正确．‎ 答案：C ‎3．(2018·资阳一诊)已知a，b∈R，下列命题正确的是(　　)‎ A．若a>b，则|a|>|b| B．若a>b，则< C．若|a|>b，则a2>b2 D．若a>|b|，则a2>b2‎ 解析：当a＝1，b＝－2时，A不正确；当a＝1，b＝－2时，B不正确；当a＝1，b＝－2时，C不正确；对于D，a>|b|≥0，则a2>b2，故选D.‎ 答案：D ‎4．已知ab>0，则“b<”是“a<”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由b<，ab>0得ab20，所以a<，同理由a<可得b<，故选C.‎ 答案：C ‎5．(2018·贵阳期末)下列命题中，正确的是(　　)‎ A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ac>bc，则a>b C．若<，则ab，c>d，则a－c>b－d 解析：A项，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；B项，当c<0时，ac>bc⇒a0，∴ay，a>b，则在①a－x>b－y，②a＋x>b＋y，③ax>by，④>这四个式子中，恒成立的不等式有________(写出所有恒成立的不等式的序号)．‎ 解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x>y，a>b，∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立．又ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立．又＝＝－1，＝＝－1，∴＝，因此④不成立．由不等式的性质可推出②成立．‎ 答案：②‎ ‎8．如果00，∴＋＋>＋＋，即当变量a的值增加1会使S的值增加最大．‎ 答案：a ‎9．若a>b>0，c.‎ 证明：∵c－d>0.‎ 又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.‎ ‎∴(a－c)2>(b－d)2>0.‎ ‎∴0<<.‎ 又∵e<0，∴>.‎ ‎10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．‎ 解：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，‎ 则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx.‎ 所以y1－y2＝x＋xn－nx＝x－nx＝x.‎ 当n＝5时，y1＝y2；‎ 当n>5时，y1y2.‎ 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．‎ B组　高考题型专练 ‎1．(2018·高考天津卷)设a，b∈R，则“(a－b)·a2<‎0”‎是“ab>1，c<0，给出下列三个结论：‎ ‎①>；②acloga(b－c)．‎ 其中所有的正确结论的序号是(　　)‎ A．① B．①②‎ C．②③ D．①②③‎ 解析：∵a>b>1，∴<.又c<0，‎ ‎∴>，故①正确．‎ 当c<0时，y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，‎ 又a>b>1，∴acb>1，－c>0，∴a－c>b－c>1.‎ ‎∵a>b>1，∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，‎ 即logb(a－c)>loga(b－c)，故③正确．‎ 答案：D ‎3．(2018·高考山东卷)已知实数x，y满足ax B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)‎ C．sin x>sin y D．x3>y3‎ 解析：根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立．‎ 答案：D ‎4．(2018·高考四川卷)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)‎ A.＞ B.＜ C.＞ D.＜ 解析：依题意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，代入验证得A，B，C均错，只有D正确．‎ 答案：D
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