2019届二轮复习(理)2-9-1坐标系与参数方程(选修4—4)课件（35张）

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专题九　选做大题 9.1 　坐标系与参数 方程 ( 选修 4—4) - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - - 7 - - 8 - 1 . 极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点 , x 轴的非负半轴作为极轴 , 并在两种坐标系中取相同的长度单位 , 设 M 是平面内任意一点 , 它的直角坐标是 ( x , y ), 极坐标为 ( ρ , θ ), 则它们之间的关系为 x= ρ cos θ , y= ρ sin θ . 另一种关系为 ρ 2 =x 2 +y 2 ,tan θ = ( x ≠0) . 2 . 直线的极坐标方程 若直线过点 M ( ρ 0 , θ 0 ), 且此直线与极轴所成的角为 α , 则它的方程为 ρ sin( θ - α ) = ρ 0 sin( θ 0 - α ) . 几个特殊位置的直线的极坐标方程 : (1) 直线过极点 : θ = θ 0 和 θ = π + θ 0 ; (2) 直线过点 M ( a ,0), 且垂直于极轴 : ρ cos θ =a ; - 9 - - 10 - - 11 - - 12 - 考向一 考向二 考向三 考向四 曲线方程的三种形式间的互化 例 1 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 1 的参数方程 为 ( t 为参数 , a> 0) . 在以坐标原点为极点 , x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 , 曲线 C 2 : ρ = 4cos θ . (1) 说明 C 1 是哪一种曲线 , 并将 C 1 的方程化为极坐标方程 ; (2) 直线 C 3 的极坐标方程为 θ = α 0 , 其中 α 0 满足 tan α 0 = 2, 若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上 , 求 a. 考向五 - 13 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 : (1) 消去参数 t 得到 C 1 的普通方程 x 2 + ( y- 1) 2 =a 2 , C 1 是以 (0,1) 为圆心 , a 为半径的圆 . 将 x= ρ cos θ , y= ρ sin θ 代入 C 1 的普通方程中 , 得到 C 1 的极坐标方程为 ρ 2 - 2 ρ sin θ + 1 -a 2 = 0 . (2) 曲线 C 1 , C 2 的公共点的极坐标满足 方程组 若 ρ ≠0, 由方程组得 16cos 2 θ - 8sin θ cos θ + 1 -a 2 = 0, 由已知 tan θ = 2, 可得 16cos 2 θ - 8sin θ cos θ = 0, 从而 1 -a 2 = 0, 解得 a=- 1( 舍去 ), a= 1 . a= 1 时 , 极点也为 C 1 , C 2 的公共点 , 在 C 3 上 , 所以 a= 1 . - 14 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得 1 . 无论是将参数方程化为极坐标方程 , 还是将极坐标方程化为参数方程 , 都要先化为直角坐标方程 , 再由直角坐标方程化为需要的方程 . 2 . 求解与极坐标方程有关的问题时 , 可以转化为熟悉的直角坐标方程求解 . 若最终结果要求用极坐标表示 , 则需将直角坐标转化为极坐标 . 考向五 - 15 - 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练 1 (2018 河北唐山一模 ,22) 在直角坐标系 xOy 中 , 圆 C 1 :( x- 1) 2 +y 2 = 1, 圆 C 2 :( x- 3) 2 +y 2 = 9 . 以坐标原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . (1) 求 C 1 , C 2 的极坐标方程 ; 考向五 - 16 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 : (1) 由 x= ρ cos θ , y= ρ sin θ 可得 , C 1 : ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 θ - 2 ρ cos θ + 1 = 1, 所以 ρ = 2cos θ ; C 2 : ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 θ - 6 ρ cos θ + 9 = 9, 所以 ρ = 6cos θ . - 17 - 考向一 考向二 考向三 考向四 极坐标方程的应用 例 2 在直角坐标系 xOy 中 , 直线 C 1 : x=- 2, 圆 C 2 :( x- 1) 2 + ( y- 2) 2 = 1, 以坐标原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . (1) 求 C 1 , C 2 的极坐标方程 ; (2) 若直线 C 3 的极坐标方程为 θ = ( ρ ∈ R ), 设 C 2 与 C 3 的交点为 M , N , 求 △ C 2 MN 的面积 . 考向五 - 18 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得 直线与曲线相交的交点间的长度在极坐标系中易表达且形式简单 , 当然求解与极坐标方程有关的问题时 , 可以转化为熟悉的直角坐标方程求解 . 若最终结果要求用极坐标表示 , 则需将直角坐标转化为极坐标 . 考向五 - 19 - 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练 2 (2018 江苏卷 ,23) 在极坐标系中 , 直线 l 的方程为 ρ sin = 2 , 曲线 C 的方程为 ρ = 4cos θ , 求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 . 考向五 - 20 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 21 - 考向一 考向二 考向三 考向四 参数方程的 应用 ( 1) 求 C 和 l 的直角坐标方程 ; (2) 若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2), 求 l 的斜率 . 考向五 - 22 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 23 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得 在过定点 P 0 ( x 0 , y 0 ) 的直线的参数方程中 , 参数 t 的几何意义是定点 P 0 ( x 0 , y 0 ) 到直线上的点 P 的数量 , 若直线与曲线交于两点 P 1 , P 2 , 则 |P 1 P 2 |=|t 1 -t 2 | , P 1 P 2 的中点对应的参数 为 ( t 1 +t 2 ); 若点 P 为 P 1 P 2 的中点 , 则 t 1 +t 2 = 0 . 考向五 - 24 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 25 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 26 - 考向一 考向二 考向三 考向四 求动点轨迹的参数方程 ( 1) 求 α 的取值范围 ; (2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 . 考向五 - 27 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 28 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 29 - 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得 求动点轨迹的参数方程就是用参数表示出动点的横坐标和纵坐标 , 注意参数的取值范围 . 考向五 - 30 - 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练 4 已知动点 P , Q 都在曲线 C : ( t 为参数 ) 上 , 对应参数分别为 t= α 与 t= 2 α (0 < α < 2 π ), M 为 PQ 的中点 . (1) 求 M 的轨迹的参数方程 ; (2) 将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数 , 并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 . 考向五 - 31 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 求动点轨迹的极坐标方程 例 5 在直角坐标系 xOy 中 , 以坐标原点为极点 , x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ cos θ = 4 . (1) M 为曲线 C 1 上的动点 , 点 P 在线段 OM 上 , 且满足 |OM| · |OP|= 16, 求点 P 的轨迹 C 2 的直角坐标方程 ; (2) 设点 A 的极坐标 为 , 点 B 在曲线 C 2 上 , 求 △ OAB 面积的最大值 . - 32 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 : (1) 设 P 的极坐标为 ( ρ , θ )( ρ > 0), M 的极坐标为 ( ρ 1 , θ )( ρ 1 > 0) . 由题设知 |OP|= ρ , |OM|= ρ 1 = 由 |OM|·|OP|= 16 得 C 2 的极坐标方程 ρ = 4cos θ ( ρ > 0) . 因此 C 2 的直角坐标方程为 ( x- 2) 2 +y 2 = 4( x ≠0) . (2) 设点 B 的极坐标为 ( ρ B , α )( ρ B > 0) . 由题设知 |OA|= 2, ρ B = 4cos α , 于是 △ OAB 面积 - 33 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解题心得 在求动点轨迹方程时 , 如果题目有明确要求 , 求轨迹的参数方程或求轨迹的极坐标方程或求轨迹的直角坐标方程 , 那么就按要求做 ; 如果没有明确的要求 , 那么三种形式的方程写出哪种都可 , 哪种形式的容易求就写哪种 . - 34 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 - 35 - 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五