河南省驻马店市新蔡县2020届高三12月调研考试数学（理）试题

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2019-2020 学年度上期高中调研考试高三理数试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.全集U  R ，   | lg 1 1A x x   ，  2| 4 8B y y x x    ，则  UA B  ð （ ） A.  1,2 B.  ,2 C.  2,11 D.  1,2 【答案】D 【解析】 【分析】 解不等式  lg 1 1x   和求函数 2 4 8y x x   的值域，求两个集合，然后再求  UA B∩ ð . 【详解】解：     | lg 1 1 | 0 1 10A x x x x        |1 11x x   ，  2 4 8B y y x x      22 4 2y y x     ， 则  | 2U B x x ð ，则    |1 2UA B x x   ð . 故选：D. 【点睛】本题考查求函数的值域和解对数不等式，以及求集合的交并补，属于基础题型. 2.下列函数中，既是偶函数，又在区间 0,1 上单调递增的函数是（ ） A. y x x  B. cosy x C. 12 xy  D.  cosy x   【答案】D 【解析】 【分析】 从函数的形式以及偶函数的定义判断函数是否是偶函数，结合函数的性质，排除选项，得到 正确选项. 【详解】四个选项中的函数的定义域均为 R ，它关于原点对称. 对于 A，因为      f x x x f x       ， y x x  为奇函数，故 A 错； 对于 B，因为 cosy x 是偶函数，但在区间 0,1 上单调递减，故 B 错； 对于 C，因为 12 xy  关于 1x  对称，是非奇非偶函数，故 C 错； 对于 D，    cos cosx x     ，所以函数是偶函数，当  0,1x 时，  0,x  ，此 时函数  cosy x   单调递减，满足条件. 故选：D 【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的性质，属于基础题型. 3.“ 1m  ”是“直线 1l ： 1 0mx y   和直线 2l ：  2 2 6 0x m m y    垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可知  2 2 0m m m   ，解得 m ，再根据充分必要条件的定义判断. 【详解】直线 1l ： 1 0mx y   和直线 2l ：  2 2 6 0x m m y    垂直， 则  2 2 0m m m   ，则 0m  或 1m  . 则“ 1m  ”能推出两直线 1 2,l l 互相垂直， 反过来两直线互相垂直，不能推出“ 1m  ”， 所以“ 1m  ”是“直线 1l ： 1 0mx y   和直线 2l ：  2 2 6 0x m m y    垂直”的充分 不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查根据两条直线垂直求参数和判断充分必要条件的综合问题，意在考查基本 公式和基本概念，属于基础题型，若 1 1y k x b  和 2 2y k x b  互相垂直，则 1 2 1k k   ，若 1 1 1 0A x B y C   与 2 2 2 0A x B y C   互相垂直，则 1 2 1 2 0A A B B  . 4.已知函数   lg 0 3 0x x xf x x    ，则 1 100f f        （ ） A. -2 B. 9 C. 1 9 D. lg 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据分段函数，首先求 1 100f      ，然后求 1 100f f        . 【详解】由题可知， 1 1lg 2100 100f        ，  1 12100 9f f f          . 故选：C 【点睛】本题考查分段函数求值，属于简单题型. 5.下列说法正确的个数是（ ） ①. “  0 0f  ”是“定义在 R 上函数  f x 是奇函数”的充要条件 ②. 若 p ： 0x R  ， 2 0 0 1 0x x   ，则 p ： x R  ， 2 1 0x x   ③. “若 6   ，则 1sin 2   ”的逆否命题是错误的 ④. 若 p q 为假命题，则 p ， q均为假命题 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 逐一分析选项，对应①可根据特殊函数直接判断是否成立， ②根据特称命题的否定形式直接判断； ③根据原命题和逆否命题的关系判断真假； ④根据复合命题的真假判断方法直接判断. 【详解】对于①  0 0f  时，函数  f x 不一定是奇函数，如   2f x x ， xR ，∴错误； 对于②命题 p ： 0x R  ， 2 0 0 1 0x x   ，则 p ： x R  ， 2 1 0x x   ，∴错误； 对于③，因为若 6   ，则 1sin 2   正确，所以它的逆否命题也正确，∴错误； 对于④若 p q 为假命题，则 p ， q至少有一假命题，∴错误； 故选：A. 【点睛】本题考查有关命题的判断，意在考查基本概念和基本知识和基本判断方法，属于基 础题型. 6.若数列 na 满足 1 3a  ， 1 1 1 n n n aa a   ，则 2019a  （ ） A. 3 B. 1 2 C. 1 3  D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据递推形式求数列的前几项，判断数列是周期数列，再求值. 【详解】 1 3a  ， 2 1 2a  ， 3 1 3a   ， 4 2a   ， 5 3a  ， na 是周期数列，周期为 4， 故 2019 4 504 3 3 1 3a a a     . 故选：C 【点睛】本题考查数列的函数特性，周期性，数列是特殊的函数，考查数列的函数性质，一 般考查单调性，最值，周期性. 7.已知向量 1a  ， 1( , )2b m ，若 ( ) ( )a b a b     ，则实数 m 的值为（ ） A. 1 2  B. 3 2 C. 1 2 D. 3 2  【答案】D 【解析】 【分析】 由向量的几何意义，因为 ( ) ( )a b a b     ，所以 ( ) ( ) 0a b a b      ，再运用向量积的运算 得到参数 m 的值. 【详解】因为 ( ) ( )a b a b     ，所以 ( ) ( ) 0a b a b      ，所以 22 0a b  ，将 1a  和 2 2 21( )2b m  代入，得出 2 3 4m  ，所以 3 2m   ，故选 D. 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于基础题． 8.设 0.012a  ， 9ln 4b  ， 1 2 log 5c  ，则 a ，b ， c 的大小关系是（ ） A. a b c  B. b c a  C. b a c  D. a c b  【答案】A 【解析】 【分析】 首先这三个数和特征值 0 或 1 比较大小，然后再比较这三个数的大小关系. 【详解】解： 0.01 02 2 1a    ， 90 ln ln4b e   ，所以  0,1b ， 1 2 log 5 0c   ，则 a b c  . 故选：A 【点睛】本题考查指对数比较大小，属于简单题型，一般指对比较大小，根据函数单调性比 较大小，或是根据特殊值比较大小. 9.将函数 4cos 2 5y x      的图象上各点向右平行移动 2  个单位长度，再把横坐标缩短为原 来的一半，纵坐标伸长为原来的 4 倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ） A. 44cos 4 5y x      B. 4cos 5y x      C. 4cos 4 5y x      D. 34cos 4 10y x      【答案】C 【解析】 【分析】 根据图象的平移，伸缩变换规律得到函数的解析式. 【详解】由题意函数 4cos 2 5y x      的图象上各点向右平移 2  个单位长度，得到 4cos 2 cos 25 5y x x               ， 再 把 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 一 半 ， 得 到 cos 4 5y x      ，纵坐标伸长为原来的 4 倍，得到 4cos 4 5y x      ， 故选:C. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换规律，若图象是左右平移，则根据“左＋右－”变换， 例：  siny x   向左平移 3  个单位，得到函数 sin 3y x           ，若图象是横坐 标伸缩，则是周期变换，例  siny x   的横坐标伸长到原来的 倍，得到函数 1siny x       ，若是纵坐标伸缩，是振幅变换，例： siny x 的纵坐标伸长到原来的 A 倍， 得到 siny A x . 10.在 ABC 中， 80a  ， 100b  ， 45A   ，则符合条件的三角形个数是（ ） A. 一个 B. 两个 C. 一个或两个 D. 0 个 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求 sinb A ，然后再和 a 比较大小，判断三角形个数. 【详解】由题意知， 80a  ， 100b  ， 45A   ，∴ 2sin 100 50 2 802b A     ， 如图： ∵ sinb A a b  ，∴此三角形的解的情况有 2 种， 故选：B. 【点睛】本题考查已知两边和其中一边的对角，判断三角形个数，需数形结合和公式相结合 判断求三角形的个数，属于基础题型. 11.若 1x  是函数  3 2 21( ) ( 1) 33f x x a x a a x      的极值点，则 a 的值为（ ） A. -2 B. 3 C. -2 或 3 D. -3 或 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可知 ' (1) 0f  ，这样可求出 a ，然后针对 a 的每一个值，进行讨论，看 1x  是不是函 数的极值点. 【详解】        3 '2 222 ( ) 2(1 3 1)1 33 f xf x x a x a a x ax aa x            ， 由题意可知 ' (1) 0f  ，  ' 2(1) 1 ( 1) 3 0 3a a af a         或 2a   当 3a  时，  2' 22 3 8 9 ( 9)(( ) 2( 1) )1f x x a x a a x x x x           ， 当 1, 9x x   时， ' ( ) 0f x  ，函数单调递增；当 9 1x   时， ' ( ) 0f x  ，函数单调递减， 显然 1x  是函数  f x 的极值点； 当 2a   时，  ' 2 2 2 2( ) 2( 1) 3 2 1 ( 1) 0a a xx xf x a xx            ，所以函数是 R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故本题选 B. 【点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出 a 的值，没有通 过单调性来验证 1x  是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定 是极值点. 12.已知函数    2ln 2f x a x x a x    恰有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A.  1,0 B.  1,  C.  2,0 D.  2, 1  【答案】A 【解析】 【分析】 先将函数有零点，转化为对应方程有实根，构造函数   2 2x xg x x lnx   ，对函数求导，利用导 数方法判断函数  g x 单调性，再结合图像，即可求出结果. 【详解】由  2 2 0alnx x a x    得 2 2x xa x lnx   ， 令   2 2x xg x x lnx   ， 则       2 1 2 2x x lnxg x x lnx       ， 设   2 2h x x lnx   ， 则   21h x x    ， 由   0h x  得 2x  ；由   0h x  得 0 2x  ， 所以  h x 在 0 2， 上单调递减，在 2， 上单调递增； 因此    2 4 2 2 0minh x h ln    ， 所以 2 2 0x lnx   在 0 ， 上恒成立； 所以，由   0g x  得 1x  ；由   0g x  得 0 1x  ； 因此，  g x 在 01，上单调递减，在  1 ， 上单调递增； 所以    1 1ming x g   ； 又当  01x ， 时， 2 2 0x x  ，   2 2 0x xg x x lnx   ， 作出函数  g x 图像如下： 因为函数    2ln 2f x a x x a x    恰有两个零点， 所以 y a 与   2 2x xg x x lnx   有两不同交点， 由图像可得：实数 a 的取值范围是 1 0a   . 故选 A 【点睛】本题主要考查函数零点以及导数应用，通常需要将函数零点转化为两函数交点来处 理，通过对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性、最值等，根据数形结合的思想求解， 属于常考题型. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.已知数列  na 的前 n 项和 3 1n nS   ，则它的通项公式是 na  _____; 【答案】    1 4 1 2 3 2n n n     【解析】 【分析】 先根据数列 na 的前 n 项和 3 1n nS   ，求出 1 4a  ，再根据当 2n  时， 1n n na S S   求出 na ，并验证当 1n  是否也满足，即可求出数列 na 的通项公式． 【详解】数列 na 的前 n 项和 3 1n nS    11 4a S  ， 1 1 3 1( 2, )n nS n n N       , 又 1( 2, )n n n n Na nS S      ，  1 13 1 (3 1) 2 3 ( 2, )n n n na n n N          ，检验当 1n  时， 1 1 1 12 3 2 4a S     ，   1 4( 1) 2 3 2n n n a n     【点睛】本题考查数列前 n 项和与通项公式之间的关系，易错点是 1( 2, )n n n n Na nS S      ，所以必须要检验 1n  是否满足通项，属于基础题，必须掌握 14.已知等差数列 na ，满足 3 1 14 22OP a OP a OP    ，其中 P ， 1P ， 2P 三点共线，则数列 na 的前 16 项和 16S  ______. 【答案】16 【解析】 【分析】 因为 P ， 1P ， 2P 三点共线，可知 3 14 12 2 a a  ，再根据等差数列的性质 3 14 1 16a a a a   ， 最后求 16S . 【详解】因为 3 1 14 22OP a OP a OP    ，则 3 14 1 22 2 a aOP OP OP    , 其中 P ， 1P ， 2P 三点共线， 3 14 12 2 a a   所以 3 14 2a a  ； 因为  na 为等差数列，所以 3 14 1 16 2a a a a    ， 因此数列 na 的前 16 项和  1 16 16 16 162 a aS   . 故答案为：16 【点睛】本题考查等差数列的性质和平面向量基本定理向结合的问题，意在考查转化与化归 的思想，属于基础题型. 15.已知 a ，b ， c 分别为锐角 ABC 三个内角 A ， B ，C 的对边， 2a  ，     2 sin sin sinb A B c b C    ，则 ABC 周长范围为______. 【答案】2 2 3,6  【解析】 【分析】 首先根据正弦定理边角互化为    a b a b c b c    ，再由余弦定理得到 60A   ，利用 正弦定理和三角函数求周长的范围. 【详解】由已知    a b a b c b c    ，即 2 2 2 1cos 2b c a bc A     得 60A   ， 由正弦定理 2 4 3sin sin sin sin 60 3 a b c A B C     ， 4 3sin3b B  ， 4 3sin3c C 三角形的周长为 4 4 43sin 3sin 2 3 sin sin 23 3 3 3 3a b c B B B B                       4 3 3 3 13 sin cos 2 4 sin cos 23 2 2 2 2B B B B                   4sin 26B       ， ABC 是锐角三角形是锐角三角形， 0 2B    , 3 2B    , 6 2B    3 sin 12 6B        周长的取值范围为2 2 3,6  . 故答案为：2 2 3,6  【点睛】本题考查正余弦定理解三角形和三角函数求值域，意在考查转化与化归和计算能力. 16.已知命题 p ：“对任意的  1,2x ， 2 0x a  ”，命题 q：“存在 xR ， 2 2 2 0x ax a    ”若命题“ p 且 q”是假命题，命题“ p 或 q”是真命题，则实数 a 的取 值范围是______. 【答案】 2a   【解析】 【分析】 首先分别求两个命题为真命题时 a 的取值范围，由题意判断 p 和 q一真一假，列不等式组求 a 的取值范围. 【详解】命题 p 为真时 2a x 恒成立，  1,2x ，即  2 min a x ， 1a  ， 命题 q为真时   ，即  24 4 2 0a a   ，解得： 2a   或 1a  . 命题“ p 且 q”是假命题，命题“ p 或 q”是真命题时， p 和 q一真一假. 当 p 真 q假时， 1 2 1 a a     ，解得： 2 1a   ， 当 p 假 q真时， 1 2 1 a a a    或 ，解得： 1a  ， 综上可知，实数 a 的取值范围是 2a   . 故答案为： 2a   【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数的取值范围，本题的关键是根据两个命题是真命 题求 a 的取值范围. 三、解答题：本大题共 6 个小题，17 题 10 分，其余每题 12 分，解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 17.已知函数    2sin 3 cos sin 1f x x x x   . （1）求  y f x 的单调递增区间； （2）当 ,6 3x       时，求  f x 的最大值和最小值. 【答案】(1)  ,3 6k k k Z        (2) 最大值为 2，最小值为-1. 【解析】 【分析】 （1）首先根据公式化简   2sin 2 6f x x      ，再令  2 2 ,26 2 2x k k k Z           求得函数的单调递增区间； （2）首先求 2 6x  的范围，再求函数的最大值和最小值. 【详解】（1）    2sin 3 cos sin 1f x x x x   3sin 2 cos2 2sin 2 6        x x x ， 由  2 2 ,26 2 2x k k k Z           得：  ,3 6x k k k Z         ， ∴  f x 的单调增区间为  ,3 6k k k Z        . （2）当 ,6 3x       时， 52 ,6 6 6x         ， 当 2 6 2x    时，  max 2sin 22f x   ， 当 π π2 6 6x + = - 时，  min 2sin 16f x        ， ∴  f x 的最大值为 2，最小值为-1. 【点睛】本题考查三角函数的性质和三角恒等变形，意在考查转化与化归和计算能力，本题 的关键是正确化简函数. 18.已知函数    lnf x ax x a R   . （1）若 1a  ，求曲线  y f x 在 1x  处切线方程； （2）讨论  y f x 的单调性； （3） 1 2a   时，设   2 2 2g x x x   ，若对任意  1 1,2x  ，均存在  2 0,3x  ，使得    1 2f x g x ，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） 2 1y x  ；（2）见详解；（3） 5 ln 21, 2a      【解析】 【分析】 （1）利用导数的几何意义直接求切线方程，     1 1 1y f f x   ； （2）首先求函数的导数   1 1axf x a x x     ， 0x  ，分 0a  和 0a  两种情况讨论函数 的单调性； （3）由题意可知    , 1,2f x x 的值域是 M ，    , 0,3g x x 值域是 N ， M N ，所以 分别求两个函数的值域，转化为子集问题求实数 a 的取值范围. 【详解】（1）由已知 1a  时，   lnf x x x  ，    1' 1 0f x xx    ，  1 1f  ，  ' 1 1 1 2f    ， 故曲线  y f x 在 1x  处切线的方程是  2 1 1y x   ，即 2 1y x  . （2）  f x 定义域为 0,  ，   1' 1axa xf xx    ， 当 0a  时，  ' 0f x  恒成立，所以  f x 在 0,  上单调递增； 当 0a  时， 10,x a      时  ' 0f x  恒成立， 1 ,x a       时  ' 0f x  恒成立， 所以  f x 在 10, a     上单调递增，在 1 ,a      上单调递减； 综上述，当 0a  时，  f x 在 0,  上单调递增； 当 0a  时，  f x 在 10, a     上单调递增，在 1 ,a      上单调递减. （3）由已知，转化为  f x 在  1,2x 的值域 M 和  g x 在  0,3x 的值域 N 满足： M N ，易求  1,5N  . 又   1' 1axa xf xx    且 1 2a   ，  f x 在  1,2x 上单调递增，故值域  ,2 ln 2M a a  . 所以 1 5 2 ln 2 a a     ，解得 5 ln 21 2a   ，即 5 ln 21, 2a      . 【点睛】本题考查利用导数求切线方程和讨论函数的单调性，本题第三问考查双变量的问题， 对任意，存在问题求参数的取值范围，若满足 1x A  ， 2x B  ，使    1 2f x g x ，只需满 足    min minf x g x ，若是    1 2f x g x ，只需满足    max maxf x g x . 19.已知数列 na 的各项均不为零，设数列 na 的前 n 项和为 nS ，数列 2 na 的前 n 项和为 nT ， 且 2 4 3 0n n nS S T  ， *n N . （1）求 1a ， 2a 的值，证明数列 na 是等比数列； （2）设 2 2 1 n n nb a  ，求数列 nb 的前 n 项和 nC . 【答案】（1） 1 2a  ， 2 4a  ；证明见详解；（2）   15 6 5 4 9 n n n C       【解析】 【分析】 （1）代入 1n  ， 2n  求 1 2,a a ，并构造 2 1 1 14 3 0n n nS S T     ，和已知两式相减，变形， 化简为 1 2n n a a    2n  ，并验证 2 1 a a ； （2）由（1）可知 2 1 4n n nb  ，利用错位相减法求和. 【详解】（1）∵ 2 4 3 0n n nS S T  ，令 1n  ，得 2 2 1 1 14 3 0a a a   ，∵ 1 0a  ，∴ 1 2a  ； 令 2n  ，得     2 2 2 2 22 4 2 3 4 0a a a      ，即 2 2 22 8 0a a   ，∵ 2 0a  ， ∴ 2 4a  . 证明：∵ 2 4 3 0n n nS S T  ，① ∴ 2 1 1 14 3 0n n nS S T     ，② ②-①得：   2 1 1 1 14 3 0n n n n nS S a a a       ， ∵ 1 0na   ，∴ 1 14 3 0n n nS S a     ，③ 从而当 2n  时， 1 4 3 0n n nS S a    ，④ ③-④得：  1 13 3 0n n n na a a a     ，即 1 2n na a  ，∵ 0na  ，∴ 1 2n n a a   . 又 1 2a  ， 2 4a  ，∴ 2 1 2a a  . ∴数列 na 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列. （2）由（1）知则 12 2 2n n na    ，故 2 1 4n n nb  ， 于是   2 31 1 1 11 3 5 2 14 4 4 4 n nC n                       L ， ∴   2 3 4 11 1 1 1 11 3 5 2 14 4 4 4 4 n nC n                              L ， 上述两式相减得： ∴   2 3 13 1 1 1 1 12 2 14 4 4 4 4 4 n n nC n                                 L   1 1 1 1116 41 12 2 114 41 4 n n n                    15 5 1212 3 4 n n          ， ∴   15 6 55 6 5 1 4 9 9 4 9 n n nC nn                . 【点睛】本题考查已知数列的前 n 项和求通项公式和错位相减法求和，意在考查转化与化归和 计算能力，属于难题，一般数列求和的方法包含 1.公式法求和；2.错位相减法求和；3.裂项 相消法求和；4.分组转化法求和；5.倒序相加法求和. 20.在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别是 , , .a b c 已知 (2 )cos cosa c B b C  ． （1）求 BÐ 的大小； （2）若 ABC 的面积为 3, 6a c  ，求 ABC 的周长． 【答案】（1） 60 ；（2） 6 2 6 ． 【解析】 【分析】  1 利用正弦定理，再进行三角恒等变换求 cos B 的值，从而求出 B 值； 2 由 ABC 的面积 公式，利用余弦定理求得 b 的值，再求 ABC 的周长． 【详解】解：  1 ABC 中， 2a c cosB bcosC  ， 由正弦定理可得 2sinA sinC cosB sinBcosC  ， 整理可得  2sinAcosB sinBcosC cosBsinC sin B C sinA     ， 又 A 为三角形内角， 0sinA  ， 所以 1 2cosB  ， 由 B 为三角形内角，可得 60B   ；  2 由 ABC 的面积为 3 ，即 1 32 acsinB  ， 所以 2 3 460ac sin   ， 又 6a c  ， 由余弦定理得 2 2 2 2b a c accosB   2( ) 2 2 60 36 3 36 3 4a c ac accos ac         24 ， 所以 2 6b  ， ABC 的周长为 6 2 6a b c    ． 【点睛】本题考查三角形的正弦、余弦定理和面积公式应用问题，考查三角函数的恒等变换， 以及化简运算能力，是中档题． 21.某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为 x 万元时，销售量t 万件满足 125 3t x    （其中 0 x a  ，a 为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品 t 万件还需投入成本 10 2t 万元（不含促销费用），产品的销售价格定为 205 t     万元/万 件． （1）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． 【答案】（1）y=25-( 36 x 3 +x)，（ 0 x a  ， a 为正常数）;（2）当 a≥3 时，促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大；当 O

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